Finanzmathematik Lehrbuch für Studium und Praxis

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1 Finanzmathematik Lehrbuch für Studium und Praxis

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3 Finanzmathematik Lehrbuch für Studium und Praxis Mit Futures, Optionen, Swaps und anderen Derivaten von Andreas Pfeifer 6., aktualisierte Auflage VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße Haan-Gruiten Europa-Nr.: 56283

4 Der Autor Prof. Dr. Andreas Pfeifer ist Professor für Finanz- und Wirtschaftsmathematik an der Hochschule Darmstadt (University of Applied Sciences). 6., aktualisierte Auflage 2016 Druck Die bisherigen Auflagen sind unter dem Titel Praktische Finanzmathematik erschienen. ISBN Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden. Der Inhalt des Werkes wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autor und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie für eventuelle Druckfehler keine Haftung. Die dargestellten Informationen dienen nicht als Anlageberatung oder Empfehlung für irgendwelche finanziellen Geschäfte. Eingetragene Warenzeichen sind nicht besonders gekennzeichnet. Deshalb ist den Bezeichnungen nicht zu entnehmen, ob sie freie Warennamen sind bzw. ob Patente oder Gebrauchsmuster vorliegen. Bei direkten oder indirekten Verweisen auf Internetseiten distanzieren sich der Verlag Europa-Lehrmittel und der Autor von den Inhalten dieser fremden Internetseiten. Verlag und Autor haften nicht für die Inhalte dieser Seiten by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, Haan-Gruiten Umschlaggestaltung: braunwerbeagentur, Radevormwald Druck: Medienhaus Plump GmbH, Rheinbreitbach

5 1 Vorwort Für die 6. Auflage wurde das Konzept des Buches beibehalten, aber der Inhalt erheblich überarbeitet und auch erweitert: Eine Vielzahl an Aktualisierungen wurde vorgenommen: Angefangen von der Preisangabenverordnung (PAngV) über negative Zinsen bis hin zu neuen Bedingungen bei der geometrisch-degressiven Abschreibung und bei der Bewertung von Derivaten, um nur einige Themen zu nennen. Auch wurden viele Ergänzungen eingefügt, unter anderem zu geometrischen und arithmetischen Mittelwerten, zu Auswirkungen von Zinseszinsen bei niedrigen Zinssätzen, zu Treasury-Bills, zum Mehrkurvenansatz bei Zinsderivaten und zum Einkommensteuertarif in Österreich. Ganze Abschnitte wie beispielsweise zu Steuertarifen in Deutschland wurden neu erstellt. Das Literaturverzeichnis ist aktualisiert und auf grundlegende Werke beschränkt worden. Der Seitenumfang des Buches ist auf insgesamt 452 Seiten angewachsen. Extras: Online Für die im Buch aufgeführten Beispiele und Aufgaben gibt es Excel-Dateien unter der Internet-Adresse mit denen Sie auf einfache Weise die Beispiele und Aufgaben des Buches nicht nur nachvollziehen, sondern auch mit anderen Zahlenwerten nachrechnen können. Vom gleichen Autor und im gleichen Verlag ist Finanzmathematik Das große Aufgabenbuch mit 444 Aufgaben, ausführlichen Lösungswegen und einer herausnehmbaren Formelsammlung erschienen. Das Buch wendet sich an Studierende von Fachhochschulen und Universitäten sowie an Praktiker in Banken, in Versicherungen und in kaufmännischen Bereichen, die sich mit Finanzmathematik beschäftigen. Darüber hinaus richtet es sich an alle, die Interesse an finanzmathematischen Fragestellungen und Antworten haben. Es wird viel Wert auf Anwendungen und Praxisbeispiele gelegt. Zum Abschluss jedes Kapitels gibt es Aufgaben, deren Lösungen Sie im Anhang finden. In den Kapiteln 1 bis 8 wird der klassische Stoff der Finanzmathematik behandelt, wie die Zins- und Zinseszinsrechnung (einschließlich der Darstellung verschiedener Zinstage- Methoden und Geschäftstage-Konventionen), das Äquivalenzprinzip, die Renten- und Tilgungsrechnung sowie verschiedene Arten der Abschreibung. Die Ermittlung des effektiven Jahreszinses nach verschiedenen Methoden u.a. nach der deutschen Preisangabenverordnung wird anhand vieler Beispiele erläutert. Umfassend wird im Kapitel 7 die Bewertung festverzinslicher Wertpapiere behandelt. Erklärt werden u.a. Begriffe

6 2 Vorwort wie Duration, Konvexität und Zinsimmunisierung. Im Kapitel 8 werden Investmentfonds und dabei insbesondere die Auswirkungen des Durchschnittskosteneffekts (Cost- Average-Effekt) auf Anlageerfolge ausführlich erläutert. Die Bewertung von Wertpapierdepots (Portfolios) aufgrund von Rendite und Risiko wird im Kapitel 9 dargestellt. Hier wird auch erklärt, was die Kennzahl Volatilität bedeutet, die zur Bewertung vieler Finanzprodukte notwendig ist. Derivative Finanzprodukte wie Optionen (einschließlich Binomialmodell und Black- Scholes-Merton-Modell), Futures, Forward-Rate-Agreements (FRAs), Swaps, Caps, Floors, Collars und Repos werden im Kapitel 10 erklärt und bewertet. Kapitel 11 behandelt die Kennzahl Value-at-Risk. Anhand von Beispielen werden die wichtigsten Methoden zur Berechnung dieser Kennzahl beschrieben. Dabei wird insbesondere auf die Varianz-Kovarianz-Methode eingegangen; aber auch die Historische Simulation und die Monte-Carlo-Simulation werden erklärt. Außerdem wird das Mapping von Zahlungsströmen erläutert. Zu den in diesem Buch angegebenen Beispielen und Aufgaben gibt es Excel-Dateien unter der Internet-Adresse mit denen Sie auf einfache Weise die Beispiele und die Lösungen der Aufgaben nicht nur nachvollziehen, sondern auch mit anderen Zahlenwerten nachrechnen können. Dazu finden Sie genauere Informationen im Anhang A. Dort sind auch nützliche Hinweise zur Anwendung von Excel in der Finanzmathematik angegeben. Die Lösungen zu den Aufgaben am Ende jeden Kapitels finden Sie im Anhang B. Bei der sogenannten modernen oder stochastischen Finanzmathematik (ab Kap. 9) spielen die Statistik und die Wahrscheinlichkeitsrechnung eine große Rolle. Statistikgrundlagen wie beispielsweise zur Normalverteilung finden Sie im Anhang C. Im Anhang D sind die Tarife der Einkommensteuer, des Solidaritätszuschlags und der Abgeltungsteuer in Deutschland angegeben. Begriffe wie Grenzsteuersatz, Eingangssteuersatz und Durchschnittssteuersatz werden erklärt. Angaben zum Einkommensteuertarif in Österreich und zur Steuerberechnung in der Schweiz sind in Anhang E und F zu finden. Anhang G enthält eine kurze Beschreibung wichtiger Zinssätze. Das Ende von Beispielen ist durch das Symbol gekennzeichnet. Bedanken möchte ich mich bei allen, die mir Hinweise und Verbesserungsvorschläge zu vorherigen Auflagen gegeben haben, insbesondere bei Herrn Prof. Dr. Kowitz für seine Hinweise zur dritten Auflage. Für weitere Anregungen und Hinweise bin ich dankbar. Unter finden Sie im Internet neben den Excel-Dateien aktuelle Ergänzungen und falls notwendig Fehlerkorrekturen. Groß-Zimmern, im Januar 2016 Andreas Pfeifer

7 Inhaltsübersicht 3 Inhaltsübersicht 1 Was ist Finanzmathematik? Beispiele Anlagemöglichkeiten Mathematische Grundlagen...14 Aufgaben Zinsrechnung Prozentrechnung Einfache Verzinsung (Nachschüssige) Zinseszinsen Vorschüssige Verzinsung Gemischte Verzinsung Unterjährige Verzinsung Stetige Verzinsung Vergleich von einfacher, exponentieller und stetiger Verzinsung Zahlungsstrom...66 Aufgaben Äquivalenz, Effektivverzinsung und Kapitalwert Äquivalenz Lösung der Gleichung für die Effektivverzinsung Effektivverzinsung bei unterjährigen Zahlungen Investitionsrechnung Laufzeitabhängige Zinssätze Marktzinsmethode Aufgaben Rentenrechnung Grundbegriffe Rentenendwert und Rentenbarwert Aufgeschobene, abgebrochene und unterbrochene Renten Ewige Rente Rentenperiode kleiner als Zinsperiode Rentenperiode größer als Zinsperiode Aufgaben Abschreibung Grundlagen Lineare Abschreibung Geometrisch-degressive Abschreibung Abschreibung in Staffelbeträgen Leistungsabschreibung...152

8 4 Inhaltsübersicht 5.6 Investitionsabzugsbetrag Vergleich linearer und geometrisch-degressiver Abschreibung Aufgaben Tilgungsrechnung Grundbegriffe Gesamtfällige Tilgung mit Zinsansammlung Gesamtfällige Tilgung ohne Zinsansammlung (Zinsschuld) Ratentilgung Annuitätentilgung Effektivverzinsung bei Annuitätentilgung Sonderformen von Darlehen Ratenkredit Spezielle Aspekte A Provisionen und sonstige Kosten B Steuern C Tilgung über Lebensversicherung D Leasing E Forward-Darlehen F Beleihungswert G Bonitätsprüfung H Inflation Aufgaben Bewertung festverzinslicher Wertpapiere Barwert festverzinslicher Wertpapiere Rendite und Arbitrage Berechnung der Spot-Rates Sicherheit Duration nach Macaulay Modifizierte Duration und Konvexität Rentenindex REX Aufgaben Investmentfonds Grundlagen Cost-Average-Prinzip Ermittlung der Anteilspreise (Fondspreise) Rendite Aufgaben Grundlagen der Portfoliotheorie Problemstellung Portfolioauswahl Volatilität Aufgaben...299

9 Inhaltsübersicht 5 10 Derivative Finanzprodukte Finanzmärkte Floating-Rate-Notes (Floater) Futures / Forwards Optionen A Grundlagen B Fairer Optionspreis C Binomialmodell D Black-Scholes-Modell Forward-Rate-Agreements Caps, Floors und Collars Swaps Weitere Finanzprodukte Aufgaben Value-at-Risk Grundlagen des Value-at-Risk Mapping von Zahlungsströmen (Cashflow-Mapping) Aufgaben Anhang Anhang A: Kalkulationsprogramm Excel A.1 Excel-Dateien der Beispiele und Aufgaben aus diesem Buch A.2 Tipps zum Anwenden von Excel im Finanzbereich Anhang B: Lösungen der Aufgaben Anhang C: Statistikgrundlagen C.1 Zufallsvariablen und stochastische Prozesse C.2 Wichtige Verteilungen Anhang D: Steuertarife in Deutschland D.1 Einkommensteuer D.2 Solidaritätszuschlag D.3 Abgeltungsteuer Anhang E: Einkommensteuertarif in Österreich Anhang F: Einkommensteuertarife in der Schweiz Anhang G: Zinssätze EURIBOR, LIBOR und EONIA Anhang H: Literaturverzeichnis Schlusswort Index...444

10 6 Seid nicht geldgierig, und lasst euch genügen an dem, was da ist. Denn der Herr hat gesagt: Ich will dich nicht verlassen und nicht von dir weichen. Die Bibel. Hebräer 13, 5 (Übersetzung nach Martin Luther) Wie oft soll ich es Ihnen eigentlich noch erklären, sagt der Mathematik- Professor in der Vorlesung, es gibt keine größere und kleinere Hälfte. Eine Hälfte ist eben eine Hälfte. Aber ich sehe schon, die größere Hälfte von Ihnen begreift das nie! Eine Frau fragt ihren vom Arzt kommenden Mann: Was hat er gesagt? Zehn Euro. Nein, ich meine doch, was hast du gehabt? Acht Euro! Nein! Was dir gefehlt hat, will ich wissen! Zwei Euro! Seit Abschaffung der 10-Euro-Praxisgebühr im Januar 2013 nur noch bei Zusatzleistungen vorkommend Aus einem Brief eines Vaters an seinen Sohn, der studiert: Anbei die von dir gewünschten zehn Euro. Übrigens schreibt man zehn Euro mit einer Null und nicht mit drei Nullen. Von jetzt an werde ich nur so viel ausgeben, wie ich einnehme, selbst wenn ich mir dafür Geld borgen muss. Von Mark Twain, amerik. Schriftsteller, , überliefert Ein Schotte kommt spät abends nach Hause und erzählt stolz seiner Frau: Heute habe ich mir das Geld für den Bus gespart. Ich bin hinter dem letzten Bus hergelaufen; habe ihn aber nicht mehr erreicht. Seine Frau antwortete daraufhin kritisch: Warum bist du nicht hinter einem Taxi hergelaufen, du Dummer? Dann hättest du noch viel mehr sparen können.

11 7 1 Was ist Finanzmathematik? Bei einer Sparquote von ungefähr zehn Prozent des verfügbaren Einkommens ist ein enormes Geld- und Realvermögen angehäuft worden. Es gibt nach Angaben der Deutschen Bundesbank ( über fünf Billionen Euro privates Geldvermögen in Deutschland: als Bargeld oder angelegt in Sparkonten, Aktien, Wertpapieren oder anderen Finanzprodukten. Dagegen stehen knapp zwei Billionen Euro an Verbindlichkeiten, sodass das Nettogeldvermögen aller privaten Haushalte in Deutschland bei über drei Billionen Euro liegt. Das Vermögen ist jedoch ungleich auf die Haushalte verteilt. Der Markt für Finanzanlagen wurde in den letzten Jahrzehnten immer vielfältiger, woran auch Finanzkrisen nichts geändert haben. Umso wichtiger ist es, Finanzgeschäfte korrekt bewerten zu können. Dazu sind mathematische Berechnungen ungeheuer wichtig. Die Finanzmathematik ist ein Gebiet der angewandten Mathematik und befasst sich mit der mathematischen Bewertung von Finanzprodukten wie beispielsweise der Bewertung von Krediten, festverzinslichen Anleihen oder Optionen. Mit Hilfe der Finanzmathematik können Eigenschaften dieser Finanzprodukte berechnet werden. Grundsätzlich lässt sich die Finanzmathematik in die klassische Finanzmathematik und in die moderne (oder stochastische) Finanzmathematik einteilen. Die klassische Finanzmathematik beinhaltet die Zins- und Zinseszinsrechnung, die Renten- und Tilgungsrechnung und das Äquivalenzprinzip. Mathematische Grundlagen sind dabei Folgen und Reihen. Die moderne (oder stochastische) Finanzmathematik, deren Basis die Wahrscheinlichkeitstheorie ist. umfasst die Portfoliotheorie, die Bewertung derivativer Finanzprodukte und die Risikoanalyse. Die stochastische Finanzmathematik wird in diskrete Finanzmathematik dazu gehört beispielsweise das Binomialmodell zur Bewertung von Optionen und stetige Finanzmathematik dazu zählt unter anderem das Black-Scholes-Modell unterteilt. Im nächsten Abschnitt folgen drei Beispiele der klassischen Finanzmathematik. In späteren Kapiteln werden auch optimale Anlagekombinationen und Risikoberechnungen der stochastischen Finanzmathematik betrachtet. 1.1 Beispiele Beispiel 1.1.1: Drei Anlagemöglichkeiten Sie wollen für zwei Jahre anlegen. Sie erkundigen sich und finden dabei Angebote von drei Banken. Angebot A bietet 4% Zinsen im ersten Jahr und 4% im zweiten Jahr. Die Zinsen des ersten Jahres werden dabei im zweiten Jahr mitverzinst. Dies gilt auch für Angebot B, bei dem es im ersten Jahr 6% Zinsen und im darauf folgenden Jahr allerdings nur 2% gibt. Bei Angebot C erhalten Sie dagegen im ersten Jahr nur 2%, im zweiten dann allerdings 6%. Angebot A B C 1. Jahr 4% 6% 2% 2. Jahr 4% 2% 6%

12 8 1 Was ist Finanzmathematik? Welches der drei Angebote ist das beste Angebot? Oder sind vielleicht alle Angebote gleich gut? Schätzen Sie doch einfach einmal, ohne zu rechnen und ohne weiterzulesen. Welches Angebot würden Sie wählen? Im Durchschnitt scheint jedes der drei Angebote 4% zu ergeben. Doch dies ist falsch. Um zu entscheiden, welches Angebot das Beste ist, muss das sogenannte Endkapital, das ist in diesem Beispiel das Kapital nach zwei Jahren, bestimmt werden. Beim Angebot A ergibt sich: Nach einem Jahr haben Sie plus 4% Zinsen, also plus 40. Dies ergibt Nach zwei Jahren sind es plus 41,60 Zinsen, also insgesamt 1.081,60. Beim Angebot B besitzen Sie nach einem Jahr 1.060, nämlich plus 6% Zinsen (= 60 ). Für das zweite Jahr erhalten Sie dann 2% Zinsen auf die 1.060, das sind 0, = 21,20 Zinsen, sodass Sie insgesamt 1.081,20 besitzen. Sie können leicht selbst nachrechnen, dass Angebot C auch genau 1.081,20 liefert. Es überrascht zunächst, dass Angebot B und Angebot C nach zwei Jahren genau den gleichen Betrag ergeben. Wir werden später sehen, dass das Endkapital bei Zinseszinsen mit gleichen Zinssätzen immer gleich hoch ist, gleichgültig ob die hohen Zinssätze am Anfang oder am Ende gezahlt werden. Zurück zum Beispiel. Insgesamt gilt: Angebot A B C Kapital zu Beginn 1.000, , ,00 nach 1. Jahr 1.040, , ,00 nach 2. Jahr 1.081, , ,20 Der Ertrag ist also bei Angebot A am höchsten. Auch ohne Finanzmathematik können Sie sagen: Angebot A bringt durchschnittlich 4% Zins oder wie gesagt wird: Die Rendite bei Angebot A ist 4%. Wie können Sie nun die durchschnittliche Verzinsung für die anderen zwei Angebote ausrechnen? Dies wird später behandelt. Ohne Finanzmathematik wissen Sie nur, dass die durchschnittliche Verzinsung wohl kleiner als 4% sein muss, da 1.081,20 weniger als 1.081,60 ist. Die Lösung dieser Aufgabe wird auf Seite 45 f erklärt und im Beispiel berechnet. Im dann folgenden Beispiel werden die Berechnungen auch für Anlagen mit unterschiedlichen Zinssätzen bei mehr als zwei Jahren Laufzeit durchgeführt. Ein Student schickt eine an seine Eltern: Wo bleibt das Geld? Die kurze Antwort: Hier!

13 26 2 Zinsrechnung Satz (einfache Verzinsung, auch lineare Verzinsung genannt): Es seien K 0 das Anfangskapital, t die Laufzeit, K t das Endkapital am Ende der Laufzeit und i der Zinssatz. i und t beziehen sich auf die gleiche Zeiteinheit. Dann gilt bei einfachen (nachschüssigen) Zinsen: Zinsen: Z t = t i. (I) K 0 Endkapital: K t = K 0 (1 + t i). (II) Anfangskapital: K 0 = K t. (III) 1 + t i Laufzeit: t = K t K 0. K0 i (IV) Zinssatz: i = Kt K0. K0 t (V) Das Multiplikationszeichen zwischen K 0, t und i wird oft weggelassen. Beispiel 2.2.2: Ein Kapital von 200 wird mit einem Zinssatz von 3% p.a. verzinst. Das Kapital ist dann nach zwei Jahren bei einfachen Zinsen auf 212 angewachsen, denn mit: K 0 = 200, i = 0,03 und t = 2 ergibt sich: K 2 = 200 ( ,03) = 212. Beispiel 2.2.3: Wenn Sie nach fünf Jahren bei 3% p.a. einfachen Zinsen ein Kapital von 400 besitzen, wie hoch ist das Kapital zu Beginn, d. h., wie hoch ist also der Barwert? 400 Mit K 5 = 400 ; i = 0,03 und t = 5 folgt K 0 = = 347,83. ( , ) Bemerkungen: 1. Die Werte des Kapitals bei einfacher Verzinsung K 0, K 1, K 2, K 3,... bilden eine arithmetische Folge (vgl. Def ) mit der Differenz d = K 0 i. 2. Aus dem Anfangskapital das Endkapital zu berechnen, wird Aufzinsen genannt. Der Vorgang, zu einem gegebenen Endkapital das Anfangskapital zu berechnen, heißt Abzinsen oder Diskontieren. Ursprünglich ist die Diskontierung der Ankauf eines Wechsels vor dessen Fälligkeit durch eine Bank unter Abzug von Zinsen (Diskont) von der Wechselsumme (vgl. Beispiel 2.4.2). 3. Um aus dem Endwert den Barwert zu ermitteln (Diskontierung), ist Formel (III) aus Satz zu verwenden, die auch bürgerliche (amtliche) Diskontierung genannt wird. Diese Diskontierung ist finanzmathematisch korrekt. Manchmal wird noch die kaufmännische Diskontierung verwendet: K 0 = K t (1 t i), t 0. Diese Methode

14 2.2 Einfache Verzinsung 27 ergibt nur bei kleinen Laufzeiten (d.h. t klein) einigermaßen das gleiche Ergebnis. Sie ist finanzmathematisch falsch, entspricht jedoch der Diskontierung bei vorschüssiger Verzinsung. Die vorschüssige Verzinsung wird in Abschnitt 2.4 behandelt. 4. Bei Erträgen (Zinsen, Dividenden und Veräußerungsgewinnen) aus Wertpapiergeschäften ziehen die Banken in Deutschland grundsätzlich Steuern ab und überweisen sie dem Finanzamt. Von den Erträgen werden 25% Abgeltungsteuer und weitere 5,5% Solidaritätszuschlag (von den 25%) abgezogen, also insgesamt 25% + 5,5% 25% = 26,375%. 1 Gegebenenfalls sind noch 8% bzw. 9% Kirchensteuer zu zahlen. Genaue Angaben dazu finden Sie im Anhang D.3. Erträge bis zum Sparer-Pauschbetrag von M = 801 für Alleinstehende bzw. M = für Ehepaare/Lebenspartnerschaften (Stand: 2016) können pro Jahr vom Abschlag befreit werden, wenn Sie der Bank einen Freistellungsauftrag vorlegen. Den Sparer-Pauschbetrag können Sie auch auf verschiedene Banken aufteilen. Die Summe darf aber den Höchstbetrag nicht überschreiten. In der folgenden Tabelle ist in Abhängigkeit des Zinssatzes angegeben, wie viel Euro Sie maximal ohne Steuerabzug anlegen können. Die Werte sind nach folgender Formel ermittelt worden: K 0 = i M. So viel Euro können Sie ohne Abzüge anlegen, abgerundet auf ganze Euro Zinssatz p.a. Alleinstehende Ehepaare / Lebenspartnerschaften 1% % % % % % % des Bürgerlichen Gesetzbuches (BGB) besagt: Ist eine Schuld nach Gesetz oder Rechtsgeschäft zu verzinsen, so sind vier vom Hundert für das Jahr zu entrichten, sofern nicht ein anderes bestimmt ist. 6. Eine Geldschuld ist während des Verzugs zu verzinsen. Im 288 des BGB wird der Zinssatz für Verzugszinsen beschrieben. Er liegt bei Rechtsgeschäften, an denen Verbraucher beteiligt sind, 5 Prozentpunkte über dem sogenannten Basiszinssatz, falls nichts anderes vereinbart wurde. Der Basiszinssatz wird zum 1. Januar und 1. Juli eines jeden Jahres nach bestimmten Regeln (gemäß 247 BGB) an einen Zinssatz der Europäischen Zentralbank angepasst. Ist der Basiszinssatz mit 0,12% festgestellt, beträgt der Verzugszinssatz somit 5,12%. Der aktuelle Basiszinssatz ist u.a. im Internet unter zu finden. 1 Es gibt auch die Möglichkeit, Kapitalerträge in der Steuererklärung anzugeben und dafür Einkommensteuer zu zahlen, wenn dies günstiger ist. Die gezahlte Abgeltungsteuer wird dabei angerechnet. Dies lohnt sich grundsätzlich bei einem Grenzsteuersatz von unter 25%.

15 28 2 Zinsrechnung Def (Zinstage-Methoden): In der Praxis wird die Laufzeit folgendermaßen berechnet: Zinstage t = years(t 1, t 2 ) =, Jahreslänge in Tagen wobei t 1 = T1.M1.J1 der Tag, der Monat und das Jahr des ersten Datums (Anfangsdatum) und t 2 = T2.M2.J2 der Tag, der Monat und das Jahr des zweiten Datums (Enddatum). Statt years(t 1, t 2 ) wird auch kurz t 2 t 1 geschrieben. Die Anzahl der Zinstage und die Jahreslänge in Tagen hängen von der gewählten Zinstage- Methode (day count convention) ab. Gebräuchliche Zinstage-Methoden (Usancen) sind: Zinstage- Methode Berechnungsweise caldays(t 1, t 2 ) ist die exakte Anzahl der Kalendertage vom Anfangsdatum t 1 bis zum Enddatum t 2. min{x, y} gibt den kleinsten Wert von x und y an. 30E/360 Die Anzahl der Zinstage basiert unabhängig von der tatsächlichen Länge des Monats auf der Voraussetzung, dass jeder Monat 30 Tage und das Jahr 360 Tage hat. Bei Monaten mit 31 Tagen ist der 31. kein Zinstag. ( J2 J1) 360+ (M2 M1) 30+ min{t2,30} min{t1,30} Formel: t = /360 Ähnlich wie Methode 30E/360, nur wenn der Endtag der 31. ist, wird anders gerechnet. Sei T2* = 30, falls T2 = 31 und (T1 = 30 oder T1 = 31), andernfalls T2* = T2. ( J2 J1) 360+ (M2 M1) 30+ T2 * min{t1,30} Formel: t =. 360 actual/360 Die Methode basiert auf der exakten, kalender-genauen (im Englischen (taggenau/360 actual) Auszählung der Zinstage. Die Jahreslänge beträgt immer 360 Tage. Euro-Zinsmethode) Formel: t =. caldays(t 1, t 2 ) 360 actual/365 Wie Methode actual/360, nur im Nenner immer mit 365. (taggenau/ caldays(t 1, t 2 ) 365) Formel: t =. 365 actual/ actual nach ICMA (taggenau) ICMA früher ISMA, vgl. Seite 91. Bei dieser Methode werden sowohl die Zinstage als auch Jahreslänge mit kalendergenauen Werten berücksichtigt. Sie wird nur bei regelmäßigen Zinszahlungen angewandt, z. B. bei festverzinslichen Wertpapieren (Stückzinsen) mit 1, 2, 3, 4, 6 oder 12 Zinszahlungen (Kuponzahlungen) pro Jahr: caldays(t t = 1,t2). Anzahl der Kuponzahlungen pro Jahr Tage der Kuponperiode

16 92 3 Äquivalenz, Effektivverzinsung und Kapitalwert Die Gleichung ist nach dem Zinssatz i eff aufzulösen; es muss dann ein Iterationsverfahren verwendet werden, vgl. Abschnitt 3.2. Es ergibt sich eine Effektivverzinsung i eff von 5,956%. Wird als Bezugszeitpunkt der Endzeitpunkt verwendet, ergibt sich als Gleichung für die Effektivverzinsung: 200 (1 + i eff ) 2,5 = 80 (1 + i eff ) 2, Gleichung (*) erhalten Sie durch Multiplikation mit (1 + i eff ) 2,5. Mit einem Iterationsverfahren erhalten Sie für die Effektivverzinsung nach der exponentiellen Methode i eff = 5,956%. Die Methode nach Braess/Fangmeyer liefert: 200 (1 + 0,5 i eff ) (1 + i eff ) 2 = 80 (1 + 0,25 i eff ) (1 + i eff ) , denn die vollen Jahre werden an das Ende gelegt. Damit ist das halbe Jahr der Gesamtlaufzeit von 2,5 Jahren an den Anfang zu legen. Die 80 nach einem Vierteljahr gezahlt werden deshalb ein Vierteljahr linear und dann zwei Jahre exponentiell verzinst. Es ergibt sich eine Effektivverzinsung von 5,936%. C) Methode nach der Preisangabenverordnung in Deutschland (PAngV) In der Europäischen Union (EU) ist bei Verbraucherkrediten der Effektivzins (genannt effektiver Jahreszins) nach EU-Richtlinien zu berechnen. In Deutschland sind diese Vorgaben in der Preisangabenverordnung, kurz PAngV, umgesetzt. 1 Bei der PAngV wird die exponentielle Methode verwendet. Allerdings sind bei der Zinstage-Methode gewisse Besonderheiten zu beachten. Zugrunde gelegt werden für das Jahr 52 Wochen oder 12 gleich lange Monate. Der 30. eines Monats mit 31 Tagen bzw. der 28. Februar (auch im Schaltjahr) wird als Monatsende angesehen. Können die Zeiträume zwischen den in den Berechnungen verwendeten Zahlungen nicht als ganze Zahl von Wochen, Monaten oder Jahren ausgedrückt werden, so sind sie als ganze Zahl eines dieser Zeitabschnitte in Kombination mit einer Anzahl von Tagen auszudrücken. Bei Verwendung von Tagen werden gleichlange Zeitabschnitte und dann Tage bis zur Inanspruchnahme des ersten Kreditbetrags zurückgezählt. Die Länge des in Tagen bemessenen Zeitabschnitts wird ohne den ersten und einschließlich des letzten Tages berechnet und in Jahren ausgedrückt, indem durch die Anzahl der Tage des gesamten Jahres (365 oder 366 Tage), zurückgezählt ab dem letzten Tag bis zum gleichen Tag des Vorjahres, geteilt wird. Vom Jahresende 2013 bis zum sind es somit einen Monat und 8 Tage, also 1/12 + 8/365 Jahre = 38, 416 /365 Jahre. Bei der PAngV ist als Bezugszeitpunkt der Tag der ersten Kreditauszahlung zu nehmen. Bei der exponentiellen Methode ist der Bezugspunkt zwar grundsätzlich gleichgültig. Dies 1 Quelle: siehe Literatur unter Preisangabenverordnung (PAngV) und Europäische Union (2014). Entsprechende Regelungen gelten in Österreich nach dem Verbraucherkreditgesetz (VKrG) und in der Schweiz nach dem Bundesgesetz über den Konsumkredit (KKG) und der Verordnung zum Konsumkreditgesetz (VKKG). In den USA erfolgen die Berechnungen nach dem Truth in Lending Act (TILA) und dem Mortage Disclosure Improvement Act (MDIA).

17 3.3 Effektivverzinsung bei unterjährigen Zahlungen 93 gilt nicht bei der PAngV, da bei der Zinstage-Methode mit standardisierten Monaten (1/12 Jahre) und mit der Methode actual/actual gemischt gerechnet wird, d.h., years(t 0, t 2 ) ist nicht immer years(t 0, t 1 ) + years(t 1, t 2 ), vgl. Bemerkungen nach Satz Die Gleichung für den effektiven Jahreszins heißt: m k= 1 A k (1 + ieff ) Hierbei ist: t k = n j = 1 R (1 + i j t' j eff ). k die laufende Nummer des Kredit-Auszahlungsbetrages, m die Nummer des letzten Kredit-Auszahlungsbetrages, A k die Höhe des k-ten Kredit-Auszahlungsbetrages, t k der in Jahren oder Jahresbruchteilen ausgedrückte Zeitraum zwischen der ersten Kredit-Auszahlung und dem Zeitpunkt der k-ten nachfolgenden Auszahlung, t 1 = 0, j die laufende Nummer einer Tilgungs-, Zins- oder Kostenzahlung (= Rückzahlung), n die Nummer der letzten Rückzahlung, R j der Betrag der j-ten Rückzahlung (Tilgung-, Zins- oder Kostenzahlung), t j der in Jahren oder Jahresbruchteilen ausgedrückte Zeitraum zwischen dem Zeitpunkt der ersten Kredit-Auszahlung und dem Zeitpunkt der j-ten Rückzahlung. Die PAngV verlangt, den effektiven Jahreszins mit der im Kreditgewerbe üblichen Genauigkeit zu berechnen und in Prozent mit zwei Nachkommastellen anzugeben. Bestimmte Kosten wie beispielsweise Notarkosten müssen nicht einbezogen werden. Beispiel 3.3.3: a) Sie erhalten ein Darlehen von 550. Nach einem Monat zahlen Sie 280 zurück und nach einem weiteren Monat nochmals 280. Dies ergibt folgende Gleichung für den Effektivzinssatz nach PAngV: 550 = (1 + i eff ) (1 + i eff ) Mit einem Iterationsverfahren (Kapitel 3.2) ergibt sich i eff = 15,52%. b) Sie erhalten ein Darlehen über insgesamt , dass in zwei gleichen Raten zu Monatsbeginn Februar und August ausgezahlt wird. Die Rückzahlung erfolgt in 60 monatlichen Raten zu je 2.000, beginnend einen Monat nach der zweiten Darlehensauszahlung: =. 1 1 j j= 1 + (1 + i eff ) (1 ieff ) Beispiel 3.3.4: Sie erhalten einen Kredit am von und zahlen jeweils am 15. eines Monats (erstmals am , letztmals am ) 200 zurück. Zusätzlich zahlen Sie Ende November ,50 und Ende April zurück. Am leisten Sie.

18 290 9 Grundlagen der Portfoliotheorie Einzelanlage k Gewichtung a k Erwartungswert μ k Std. Abw. σ k Korrelationskoeffizienten ρ k,j j = 1 j = 2 j =3 1 40,0% 7,0% 6,0% 1 0,7 0,3 2 40,0% 10,0% 12,0% 0,7 1 0,2 3 20,0% 20,0% 40,0% 0,3 0,2 1 Abb : Daten für Beispiel Mit cov(r k,r j ) = σ k ρ k, j σ j ergeben sich aus den gegebenen Korrelationen die Kovarianzen. Damit erhalten Sie beispielsweise für cov(r 1,R 2 ) = 0,06 0,7 0,12 = 0, ,0036 0, ,0072 a1 und Var(R p ) = ( a1 a 2 a 3) 0, ,0144 0,0096 a 2 = 0, , 0,0072 0,0096 0,16 a 3 a1 0,4 1 a1 0 wobei a2 = 0,4 ist. Die Nebenbedingungen: ) ( a 1 a 2 a 3 1 = 1 und a2 0 a 0,2 1 a 0 3 sind erfüllt. Das Portfolio hat also einen erwarteten Ertrag von 10,8% und ein Risiko von 11,654%, d.h. Var( R p ) = 0, Wenn Anlagen mit Hilfe von Satz nur nach den beiden Entscheidungskriterien Rendite und Risiko ausgewählt werden, sollte die Rendite möglichst groß und das Risiko möglichst gering sein. Ein Anleger würde dann, wenn verschiedene Portfolios mit gleichem Wert zur Auswahl stehen, kein Portfolio wählen, das beispielsweise bei gleichem Risiko eine niedrigere Rendite als ein anderes Portfolio hat. Dazu Def : Eine Anlagemischung (= Portfolio) mit dem Erwartungswert der Rendite μ P und der Standardabweichung der Rendite σ P heißt μ σ ineffizient, wenn es eine Mischung mit dem Erwartungswert der Rendite μ M und der Standardabweichung der Rendite σ M gibt, sodass μ M > μ P und σ M σ P oder σ M < σ P und μ M μ P gilt. Anlagemischungen, die nicht (μ σ)-ineffizient sind, heißen μ σ effizient (μ σ efficient). Die effiziente Linie oder Effizienzlinie (engl.: efficient frontier) bezeichnet im σ-μ-diagramm aller Anlagemischungen die Linie (Kurve) aller effizienten Anlagemischungen.

19 9.2 Portfolioauswahl 291 Beispiel 9.2.2: In Abb sind die erwarteten Renditen und die Standardabweichungen für acht verschiedene Anlagen oder Anlagemischungen eingetragen. Anlage B ist ineffizient, da Anlage A bei gleicher Standardabweichung eine größere erwartete Rendite hat. F ist auch ineffizient, da E eine kleinere Standardabweichung und eine größere Rendite hat. Effizient sind in dem Beispiel die Anlagen A, E und G. In Abb ist bei einem anderen Beispiel die Menge aller möglichen Anlagemischungen der risikobehafteten Anlagen schraffiert dargestellt. Die Effizienzlinie ist die Linie am oberen Rand zwischen den mit * gekennzeichneten Portfolios, einschließlich der beiden Portfolios. Gibt es zusätzlich noch eine risikolose Anlage mit dem risikolosen Zinssatz r f (darzustellen auf der μ-achse), können alle möglichen risikobehafteten Portfolios mit der risikolosen Anlage gemischt werden. Die μ σ-effizienten Portfolios liegen dann auf der gestrichelten Linie, die Kapitalmarktlinie genannt wird. µ Ertrag. G. H. E. A. F. B. D. C σ Abb : σ-μ-diagramm mit acht Anlagemöglichkeiten A bis H Risiko µ Ertrag Wenn der μ-wert effiziente Linie wieder kleiner wird, * gehört der Rand nicht mehr zur effizienten Linie Menge aller möglichen Portfolios * r f Portfolio mit kleinstem Risiko σ Risiko Abb : σ-μ-diagramm

20 444 Index Index Index 30/360, 30E/ Tage-Methode 90, 187 ^ (Exponentiation) 383./. (minus) 305 μ 284, 288, 418 ρ k, j 289, 294 σ siehe unter Standardabweichung oder Volatilität σ i, j 288 σ-algebra 414 A a siehe unter Aufgeld A 411 AAA 239 f. Abgeltungsteuer 27, 434 f. Abschlagszinssatz 48 Abschreibung 143 f Ansparabschreibung 153 arithmetisch-degressive 144 digitale 144 fallende Jahresbeträge 149f, 155 f. geometrisch-degressive 149 f., 154 f. gleiche Jahresbeträge 146 f. Investitionsabzugsbetrag 153 Leistungsabschreibung 152 lineare 146 f., 154 f. Staffelbeträge 151 Wechsel der 154 f. Abschreibungsrate 145 Absetzbetrag 437 Abzinsen 26 Abzinsungsfaktor siehe unter Diskontierungsfaktor actual 28 f. AfA 143, 145 Agio siehe unter Aufgeld AIBD-Methode 91 f. Aktie 13 Aktienanleihe 13, 370 a n 116 Amortisation 9, 160 Änderungsfaktor 18 Anfangskapital 24 Anfangswert 24 Anlagekriterien allgemein 12 Risiko-Rendite-Kriterium 286 f. Anleihe 32, 207, 218 f. nachrangige 241 Annuität 160 Annuitätendarlehen 161, 178 Annuitätenfaktor 179 Annuitätenmethode 95, 99 Annuitätenschuld 178 Annuitätentilgung 161, 178 Anschaffungskosten 145 Ansparabschreibung 153 Anteilspreis siehe Fondspreis APR 76 Äquivalenz 72 f. Äquivalenzgleichung 73 Arbitrage 84, 227, 302 Asset-Allokation 14 Assignment 356 A t siehe unter Annuität Aufgeld(satz) bei Anleihen 33 bei Investmentfonds 271 bei Optionen 325 f. Aufzinsen 26 Aufzinsungsfaktor 39 Ausgabeaufschlag 271 Ausfallrisiko 218, 239 f. Auszahlungsbetrag 163 Auszahlungskurs 164 f., 193 Auszahlungsprofil (bei Derivaten) siehe unter Payoff B B(Ω) 414 Backtesting 374

21 Index 445 BaFin 239 Bank für Internationalen Zahlungsausgleich 241 Bankarbeitstag (BAT) 32 Bankenformel, Bankenverfahren 171 Barausgleich 312 Barwert 24, 72, 104, 116, 219 Barwert ex Kupon 223 Barwertvolatilität 298 Basisgröße (Prozentrechnung) 18 Basisgut 301 Basisinstrument 301 Basisobjekt 301, 321 Basispreis 321 Basispunkt 19 Basispunktwert 256 Basis-Spread 307 f. Basiswert 301 Basiszinssatz 27 BAT siehe unter Bankarbeitstag Beleihungswert 211 Bereitstellungszinsen 205 Bernoulli-Verteilung 424 Bezugsverhältnis 325 BGB 27, 41, 192 Binomialmodell 327 f. Binomialverteilung 424 BIZ 241 Black, Fischer 327 Black-Scholes(-Merton) -Differenzialgleichung 342 -Formel 339 Modell 334 f., 338 Black-76-Formel 354 bond siehe unter Anleihe Bogen 218 Bonität 12, 211, 239 f., 366 Bootstrapping 234 Borel-Menge 414 BP siehe unter Basispunkt Braess/Fangmeyer 90 Break-Even-Punkt 322, 326 Briefkurs 36 f. Brownsche Bewegung siehe unter Wiener-Prozess Bruttokredit 162 Buchwert 145 Bundesanstalt für Finanzdienstleistungsaufsicht (BaFin) 239 Bundesanleihe 207 Bundesschatz, österreichischer 207 Bundesschatzbrief 46, 71, siehe auch unter Sparbrief mit wachsendem Zins Bundeswertpapiere 207 Bund-Future 312, 317 f. C caldays(t 1, t 2 ) 28 Call 321 f. Cap 353 f. Caplet 353, 354 f. cash settlement 312, 357 Cashflow 66, 96 Cashflow-Mapping 379 CDF 415 CDS 366 Cheapest-To-Deliver-Anleihe 319 Clean Price 226 Clearinghaus 302, 311 Close-out-Vereinbarung 356 CMS 356 Collar 355 Constant-Maturity-Swap 356 Convertible Bond 13 Cost-Average-Prinzip 274 f. Cost-of-Carry 315 coupon rate 32 f. cov 285, 288 f. Cov siehe unter Kovarianz-Matrix Cox-Ross-Rubinstein-Modell 332 f. cpi 212 Credit-Default-Swap 366 CRR-Modell 332 f. CTD-Anleihe 319 cumulative distribution function siehe unter CDF D d 103, 303

22 446 Index D siehe unter Duration d Ref 362, 363 d(t 0, t 1 ) 39, 103 f. d(t 1, t 2 t 0 ) 108 Dachfonds 270 Damnum 163 Darlehen siehe unter Tilgungsrechnung variabel verzinsliches 192 day count convention 28 f. DD 256 Delta 345 f. Delta-Forward 346 Derivate 14, 301 f. Devisenkurs 36, 312 f. Dirty Price 36, 226 Disagio 163 f. Discount-Zertifikat 365 f. Diskontsatz 48; 51 Diskont(ierungs)faktor 39, 103 f., 108 Diskontierung 26 Dispersion 257 Diversifikation 284 Dollar-Duration 256 Duplikationsprinzip 303 Duration 242 f absolute 276 Key-Rate-Duration 259 modifizierte 254, 276 Durationsmapping 379 Durchschnitt siehe unter Mittelwert Durchschnittskosteneffekt 276 Durchschnittssteuersatz 148, 429 f. E e (= Einkünfte) 434 e (= Eulersche Zahl) 339 ECB siehe unter EZB Eckwerte des Steuertarifs 430 Effektivverzinsung, Effektivzins(satz) i eff siehe unter Verzinsung, effektive Effizienz 290 f. Eingangssteuersatz 430 Einkommen 425 Einkommensteuer(gesetz) 425 f., 437 f. Einkommensteuertarif 426 f., 437 f. Einkünfte 425 Elastizität 257, 345 Elementarereignis 414 Emittent 32 Endkapital 24 Endwert 24, 116, 117 EONIA 439 Ereignis 414 Ersatzrente 129, 130 Erwartungswert 284, 288, 294, siehe auch unter Verteilung ESt siehe unter Einkommensteuer EStG siehe unter Einkommensteuergesetz ETF 279 EURIBOR 439 Euro-Bund-Future siehe Bund-Future Euroumrechnung 16 EWMA 297 Excel 2, 382 f. EXP 385 Exchange-Traded-Funds 279 EZB (Europäische Zentralbank) 439 F F EUR/USD 313 Finanzierungsbetrag 204 Finanzierungsschatz 50 f., 207 Finanzmärkte 301 Fitch 239 fix 31 flat 306 Floater 30, 304 f. Floating-Rate-Note siehe unter Floater Floor 354 Floorlet 354, 355 Folge, arithmetische und geometrische 16 Following 31 Fondspreis 279 Forward 311 f. Forward-Darlehen 210 Forward-Diskontierungsfaktor 108 Forward-Kontrakt 311 Forward-Preis 311, 315, 320 Forward-Rate 106 f.

23 Index 447 Forward-Rate-Agreement 348 f. Forward-Zinssatz 106 f. FRA 348 f. Free Lunch 84, 227 Freistellungsauftrag 27 FRN 304 f. Future 311 f., 317 f. Future-Kontrakt 311 Future-Preis 311, 320 Future-Wert 319 future value 72 G Gamma 345 Gearing 326 Gegenleistung 67 Gegenwartswert 24, 72, 115 Geld, am, im bzw aus dem 325 Geldkurs 37 Geldmarkt 32 Genussschein 13, 218 Geschäftstage-Methode 31 Gewinnannuität 99 Gewinn-Verlust-Diagramm bei Optionen 322, 324 Girokonto 12 f., 80 Glattstellung 312 Glättung, exponentielle 21 f. Gleichung, Lösung einer 85 f. Grenzsteuersatz 148, 429 f Grundwert 18 GSt siehe unter Grenzsteuersatz H H 326, 371 h 325 f. Haltedauer 371 Handelstag 32, 36 Hauptrefinanzierungssatz 439 Hebel 326 Hedge-Fonds 270 Hedgen, Hedging 323 High Yield Bond 239 Historische Simulation 374, 377 Hochzinsanleihe 239 Hypothek(endarlehen) 178 I i 24, siehe auch unter Verzinsung i eff siehe unter Verzinsung, effektive i t 0, t1 102 i t 1, t2 t0 106 I siehe unter Indexmenge IAB siehe unter Investitionsabzugsbetrag ICMA 28, 91 Immobilienfonds 270 Index siehe unter Rentenindex Indexanleihe 13 Indexfonds 270, 279 Indexmenge 416 Inflation 70, 212 Interbankenhandel 302 Interest Rate Swap 356 internal rate of return 97 Interpolation, exponentielle u. lineare 232 f. Investition, (un)vorteilhafte 95 Investitionsabzugsbetrag 153 Investitionsrechnung 95 f. Investmentfonds 14, 270 f. Investment-Grade-Anleihe 239 IRR 97 IRS 356 ISMA siehe ICMA Itô, Lemma von 336, 417 J Jahreslänge 28 Jahreszins(satz), effektiver 76 K Kalkulationszinssatz 95 Kapital 24 Kapitalmarkt, grauer 47 Kapitalmarktlinie 291 Kapitalwert 95 Karenzzeit 123 Kassageschäft 301 Kassamarkt 301 Kaufkraft siehe unter Inflation Kaufoption 321 f.

24 448 Index Key-Rate-Duration 259 Kirchensteuer 434, 435 f. KiSt siehe unter Kirchensteuer Konfidenzzahl 371 Konfidenzniveau 371 Kontokorrentkonto 41 Kontostaffelmethode 67 Konversionsfaktor 317, 319 Konvexität 257 Korbindex 261 Korrelation(skoeffizient) 289, 294 Kovarianz(-Matrix) 288 f, 294 Kreditderivat 366 Kupon 32 Kuponanleihen 218 Kurs 33, 35, 164 f. Kurswert 35 L L (Verlust) 371, 372 Laspeyres-Verbraucherpreisindex 212 Laufzeit 24, 114 Leasing 210 Leibrente 114 Leistung 67 Lemma von Itô 336, 417 leverage 326 LIBOR 439 Liquidität 12 Literaturverzeichnis 440 f. ln 10 Logarithmus(regel) 10 Lognormalverteilung 422 f. Lösungen der Aufgaben 393 f. M m 38, 55 f., 130 Mapping von Zahlungsströmen 379 f. Mantel 218 Marchzins 35 Margin 311 Markowitz, Harry M. 286 Marktenge 219 Marktzinsmethode 109 f. Markrzins(satz) 221, 242 Markt(preis)risiko 218, 371 Matrixrechnung mit Excel 388 f. Mehrkurvenmodell 310, 363 Mehrwertsteuer 19 Merton, Robert C. 327 Miller, Merton H. 286 min{x, y} 28 Mittelwert arithmetischer 20, 21, 294 geometrischer 20, 21 gleitender 21 f., 297 harmonischer 20, 21 Vergleich 21 Modellannahmen für Aktienkurs 327, 334 Modified Following 31 Monatsanfang 31 Monatsende 31 Monte-Carlo-Simulation 374, 378 Moody's 239 Moosmüller 94 mortgage 178 MwSt siehe unter Mehrwertsteuer N N 0 siehe Nominalwert N(x), n(x) 418 f. Nachhaltigkeit 12 Nachrang-Anleihen 241 Nachsteuerrendite 208 Nächster Bankarbeitstag 31 NAV (Net Asset Value) 279 Negativzins 25 Nennwert 32 f. Nettobarwert 95, 220, 385 Newton-Verfahren 88 f. Nominalverzinsung siehe Nominalzinssatz Nominalwert 32 f. Nominalzinssatz 33, 161, 162 Nomogramm 11 Normalverteilung 418 f. NPV 95, 220 Nullkupon-Anleihe 33, 167, 218, 242 Nullmenge 415 Nutzenfunktion 293 Nutzungsdauer 144

25 Index 449 O OIS 303 Omega 345 Opportunitätszinssatz 95 Option 321 f. Optionskombinationen 324, 368 f. Optionspreis 326 f. Optionsschein 323 Optionsverhältnis 325 OTC 302 over the counter 302 Overnight Indexed Swap 303 P p 24 p. a., p. J., p. M., p. Q. 24 PAngV siehe unter Preisangabenverordnung pari 33 Par-Rate 235 Par-Yield siehe unter Par-Rate Payer-Swap 358 Payoff 326, 341 PBV siehe unter PVBP Periodenzinssatz, relativer 55 Pfad 416 P&L-Diagramm 322 Plain-Vanilla -Bond 218 -Option 322 -Swap 356 Poisson-Verteilung 424 Portfolio 246 Portfolio-Selektion 286 Portfoliotheorie 283 f. Preis, fairer 302, 326 f. Preisangabenverordnung (PAngV) 92 f., 196 Preisfaktor siehe unter Konversionsfaktor present value 72, 104 Programme zur Finanzmathematik 11 Promille 18 Prozentannuität 182 Prozentfuß 18 Prozentpunkt 19 Prozentsatz 18 Prozentwert 18 Prozess, stochastischer 416 Publikumsfonds 271 Put 321 Put-Call-Parität 347, 370 PV 72, 104 PVBP 256 Q q 39 qtrl 38 Quantil der Standardnormalverteilung Definition 418 Tabelle 420 R r siehe unter Rente r c, r d 339 Ratenkredit 161, 202 f. Ratensparvertrag 132 Ratentilgung 161, 174 Rating 239 f. RDAX 261 Realverzinsung 212 Receiver-Swap 358 Referenzzinssatz 304, 351, 439 Refzins 351 Regula Falsi 87 Rendite 45, 76, 90, 226, 271, 280 f einfache und logarithmische 280 reale 84 wertgewichtete 280 f. zeitgewichtete 280 f. Renditestrukturkurve 101 Rentabilität 12 Rente 9, 13, 114 f. abgebrochene 123 aufgeschobene 123 dynamische 128, 135 ewige 126 nachschüssige 114 unterbrochene 123 vorschüssige 114

26 450 Index Rentenbarwert 115 f. Rentenendwert 114 f. Rentenindex 261 Rentenpapier 13 Rentenrate 114 Rentenrechnung 114 Repo 365 Reposatz 365 Repurchase-Agreement 365 Restkreditversicherung siehe unter Restschuldversicherung Restschuld 160 Restschuldversicherung 161, 203 f. Restwert 144 Reversal 356 Reverse-Convertible-Bond siehe unter Aktienanleihe Reverse-Floater 304 REX 261 f. REXP 261, 265 Rf siehe unter Risikofaktor Rho c 345 Rho d 345 Risiko 284, 371 Risiko-Rendite-Diagramm 285,286, 291 Risikoanalyse 283 f., 371 f. Risikofaktor (Rf) 374 f. RiskMetrics 297, 374, 379 RSV siehe unter Restschuldversicherung Runden 16 RZ (Rückzahlung) 33 S S & P 239 sa 38 Scholes, Myron S. 324 Schlusswort 443 SCHUFA 211 Schuld, gesamtfällige 166 Sekantenverfahren 87 semi-annual 38 S EUR/USD 312 Sharpe, William F. 286 Sicherheit 12, 239 Sicherheitsleistung beim Future 311 f. Sichteinlagen 13 Simulation, Historische 374, 377 Monte-Carlo- 374, 378 Skonto 80 s n 116 SN 418 Solidaritätszuschlag 27, 432 f. Sollzins(satz) 162, 192 gebundener 192 Solver (in Microsoft Excel) 371 SolZG 432f. Sondertilgung 192 Sorten 37 Spanne siehe unter Spread Sparbrief 13, 46 mit konstanter Verzinsung 100 mit wachsendem Zins 46, 79, 167 Spareinlagen 13 Sparer-Pauschbetrag 27, 435 Sparkassenformel 120 Sparplan 132, 136 Spezialfonds 271 Spitzensteuersatz 429 Splitting-Verfahren 426, 427 Spot/Next 32 Spot-Rate 102, 232 f. Spread 37, 305 Strafzins 25 Standard & Poor's 239 f. Standardabweichung 284, 294 Standardnormalverteilung 418 f. Steigerungsfaktor 18 Steuern 208 f., 425 f. Straddle 322 Stresstest 374 Strike-Preis 321, 353 Stripped-Bond 218 Stückelung 200 Stückzinsen 35 f., 173, 223 f. Stufenzinsanleihen 218 Swap 356 f. Swap-Rate siehe unter Swapsatz

27 Index 451 Swapsatz bei Festsatzseite 235, 356 f. bei Devisen 312, 314 Swaption 357 T t 24, 28 Tabellenkalkulationsprogramme 11, 382 Tafelgeschäft 207 Tagesgeld(konto) 13, 32 Tangentenverfahren 88 TARGET 32 Taylor-Reihenentwicklung 258 T-Bill 51 Termineinlage 13 Termingeschäft 301 f., 311 f. Terminkurs 311, 312 Terminmarkt 301 Terminpreis 311, 312 Terminzinssatz 106 Theta 345, 346 Tilgung 160 Tilgung über Lebensversicherung 210 Tilgungsarten 165 Tilgungsplan 161, 163 Tilgungsrate 161 Tilgungsrechnung 160 f. Tilgungsstreckung 200 Tilgungsverrechnung 162, 187 f. Tilgungssatz 182 Tom/Next 32 Treasury-Bill (T-Bill) 51 triple A 239 U unadjusted 31 Unabhängigkeit 289 underlying 301, 321 US-Methode 94 V V(t) 72, 247 f. Value-at-Risk 371 f. Valutatag 32, 35, 36 VaR siehe unter Value-at-Risk Var siehe unter Varianz Varianz 288, 294, 295 Varianz-Kovarianz-Matrix siehe unter Kovarianz-Matrix Varianz-Kovarianz-Methode 374 f., 376 f. VDAX 340 Vega 345, 346 Verbraucherpreisindex 212 Verdopplungszeit eines Kapitals 42 f. Verkaufsoption siehe unter Put Vermögenswert 247 f. Verteilung Bernoulli-Verteilung 424 Binomialverteilung 424 Poisson-Verteilung 424 Normalverteilung 418 f. Lognormalverteilung 422 f. Verteilungsfunktion 415, siehe auch unter Verteilung Verzinsung 24 f., 38 f., 58 f., 60 f. anfängliche effektive 196 effektive 45, 76, 90 f., 196 einfache 24 f., 60 f, 171 exponentielle 39, 60 f gebundene 192 gemischte 52 f. geometrische 39 interner Zinssatz (IRR) 97 f. jährliche 38, 52 kalenderjährliche 52 konforme 56 kontinuierliche 58 f. laufende 171 lineare 24 f. monatliche 38 nachschüssige 38 f., 48 negative 25, 35, 59, 61, 105 nominelle 55, siehe auch Nominalzinssatz relativer 55 risikolose 303, 439 stetige 58 f., 60 f, 65 unterjährige 38, 55 f. vorschüssige 48 f. Vola siehe unter Volatilität

28 452 Index Vola i, Vola PV 298 Volatilität 295 f., 340 Berechnung nach RiskMetrics 297 historische 295, 340 implizierte, implizite 340 Smile 340 Vorfälligkeitsentschädigung 192 Vorzeichenregel nach Descartes 99 VPI siehe unter Verbraucherpreisindex W Wahrscheinlichkeitsmaß 414 risikoneutrales 329 Währungskürzel 37 Währungsswap 356 Wärmeleitungsgleichung 343 Wandelanleihe 13 Wartezeit 123 Wechsel 50 Werbungskosten 425, 435 Wert 24, 72, siehe auch unter Barwert innerer 325 Wertpapier festverzinsliches 33 f., 218 variabel verzinsliches 30, 218, 304 f. Wertpapierpensionsgeschäft 365 Wertstellungstag siehe Valutatag Wertzuwachs, durchschnittlicher 78 Wiener-Prozess 335, 416 f. Y years(t 1, t 2 ) 28 yield 169, 171, 226 Z Zahlungsaufschub (bei Darlehen) 200 Zahlungsfolge 66 Zahlungsstrom 66f, 96 Zahlungstermin, mittlerer 113 Zeitrente 114 Zeitwert einer Kapitalanlage 24 einer Option 325 Zero-Bond siehe Nullkupon-Anleihe Zero-Cost-Collar 355 Zero-Preis 106 Zins- und Tilgungsverrechnung 162, 184, 188 f. sofortige 162 Zins, Zinsen siehe unter Verzinsung Zins, risikoloser 303 Zinsbetrag 24 Zinsbindung 192 Zinsdivisor 31 Zinselastizität 257 Zinseszinsen 25, 38, 60, 63 Zinseszinsformel 39 Zinsfaktor 39 Zinsfestschreibung 192 Zinsfuß 24 Zinsfußmethode, interne 95, 97 Zinskapitalisierungszeitpunkt 38, 65 Zinsobergrenze 353 Zinsparität 314 Zinsperiode 38 Zinsrate 24 Zinssatz 24, siehe auch unter Verzinsung Zinsschein 32 Zinsschuldtilgung 168 Zins-Strip 218 Zinsstrukturkurve 100, 101 Zinsswap 356 Zinstage-Methode 28 f. Zinsteiler 31 Zins- und Tilgungsverrechnung 162, 188 f. Zinsvolatilität 298 Zinszahl 31 Zinszuschlagstermin siehe unter Zinskapitalisierungszeitpunkt Z k (Zahlungsstrom) 66 Z t (Zinsen) 24 ZP t 106 Zufallsvariable Definition 415 Unabhängigkeit 289 Zufallsprozess 416 Zukunftswert 72