Kap.4 JPEG: Bildkompression. Ziel: Gegeben sind Daten y R N. Bestimme C R N N mit C C T = I, so dass x = C y dünbesetzt ist.

Transkript

1 Kap.4 JPEG: Bildkompression Ziel: Gegeben sind Daten y R N. Bestimme C R N N mit C C T = I, so dass x = C y dünbesetzt ist. Originalbild y (30Kbt) Komprimiertes Bild z y(7kbt)

2 JPEG (Joint Photographic Experts Group) wurde 1992 entwickelt und hat sich im Internet als Bildstandard durchgesetzt. Ablauf der JPEG-Kompression: Ursprüngliche Datei.bmp Komprimierte Datei.jpg

3 4.1 Bildmodelle Kriterium für die Qualität eines Bildes ist die menschliche Wahrnehmung des Bildes (menschliches Auge): 130 Millionen schwarz-weiße Rezeptoren, 100 Grautöne 6 Millionen farbige Rezeptoren: rot, grün, blau. Definition: Ein Schwarz-Weiß-Bild ist eine N 1 N 2 Matrix B = (B[i, j]) mit ganzzahligen Einträgen (Pixeln) B[i, j] {0,...,255}. 8 Bit-Farbtiefe: Ein Bild benötigt Bit =: 1kByte

4 RGB-Farbraum (Komputermonitoren) Definition: Ein Farbbild ist eine N 1 N 2 3 Matrix B = (B[i, j, k]) mit ganzzahligen Einträgen (Pixeln) B[i, j, k] {0,...,255}. Pixel[i, j] = Schwarz+ B[i, j, 1] Rot + B[i, j, 2] Grün+B[i, j, 3] Blau.

5 YCbCr-Farbraum (digitales Fernsehen) Y Luminanz (Helligkeit) Cb und Cr skalierte Chrominanzen (Farbigkeit) mit Y Cb Cr = } {{ } reguläre Matrix 0 Y Cb Cr R G B

6 4.2 JPEG: Farbmodelländerung } {{ } Datei.bmp gespeichert als }{{} RGB Farbraum oder äquivalent }{{} YCbCr Farbraum

7 4.3. JPEG: Blockeinteilung

8 4.4. JPEG: Subsampling } {{ } Datei.bmp gespeichert als }{{} RGB Farbraum oder äquivalent }{{} YCbCr Farbraum Daten können um einen Faktor 2 reduziert werden (verlustbehaftete Kompression)

9 4.5. JPEG: Indexverschiebung R G B Y Cb Cr { 128,...,127} vorzeichenlose Bit vorzeichenbehaftete Bit Verlustbehaftet aber keine Kompression.

10 4.6. JPEG: 2-dim Diskrete Cosinus Transformation Definition: Die 2-dim DCT ist eine lineare Transformation auf R M M, M N, B ˆB, ˆB = C B C T, C R M M, (1) die Matrix C = (C[n,l]) n,l=0,...,m 1 ist gegeben durch mit C[n,l] = d[n] cos π(2l+1)n 2M d[n] = 1 M { 1, falls n = 0, 2, sonst. (2)

11 Beispiel: nach DCT:

12 Sei B = (B[n,l]) n,l=0,...,m 1. Definiere den Vektor und die Matrix Lemma: Es gilt B vek = B[0, 0]. B[0, M 1] B[1, 0]. B[1, M 1]. B[M 1, M 1] R M2 C T C = (C[l, n] C) l,n=0,...,m 1, C = (C[n,l]) n,l=0,...,m 1. ˆB = C B C T ˆB vek = ( C T C ) B vek.

13 4.7. JPEG: 2-dim DCT via 1-dim DCT Die 2-dim DCT ist separabel, d.h. man kann die 2-dim DCT mit Hilfe der 1-dim DCT ausführen. Definition: Die 1-dim DCT ist eine lineare Transformation auf R M, M N, y ŷ, ŷ = Cy, C R M M. (3) Die Matrix C = (C[n,l]) n,l=0,...,m 1 ist definiert wie in (2). Eigenschaften der 1-dim DCT: (i) 1-dim DCT ist nicht symmetrisch, d.h. C C T ; (ii) 1-dim DCT ist eine orthogonale Transformation, d.h. CC T = I; (iii) 1-dim DCT ist eine Rotation in R M, d.h. CC T = I und det(c) = 1; (iv) 1-dim DCT ist eine der Techniken zur Dekorrelation.

14 4.7 (i) 1-dim DCT ist nicht symmetrisch, denn für N = 8 gilt a 1 b 1 c 1 d 1 d 1 c 1 b 1 a 1 C = 1 a 2 b 2 b 2 a 2 a 2 b 2 b 2 a 2 b 1 d 1 a 1 c 1 c 1 a 1 d 1 b c 1 a 1 d 1 b 1 b 1 d 1 a 1 c 1 b 2 a 2 a 2 b 2 b 2 a 2 a 2 b 2 d 1 c 1 b 1 a 1 a 1 b 1 c 1 d 1 mit a 1 = 2 cos π 16 a 2 = 2 cos 2π b 1 = 2 cos 3π 16 b 2 = 2 cos 6π 16 c 1 = 2 cos 5π 16 d 1 = 2 cos 7π 16

15 4.7 (iii) Energie eines Vektors y R M ist gegeben durch y 2 = M y j. j=1 Lemma: Seien y R M. Dann gilt C y 2 2 = y 2 2. Beweis: Sei ŷ = C y. C y 2 2 = (Cy)T Cy = y T C T Cy = y 2 2. Orthogonale Transformationen ändern die Länge (Energie, Informationsinhalt) eines Vektors (Bildes) nicht.

16 B = 4.7 (iv) Sei B ein 8 8 Block eines Bildes. Beispiel: Nicht alle ˆB = CBC T sind dünnbesetzt nach DCT: ˆB = Solche Bildblöcke B kommen aber selten vor. Z.z.: ˆB = CBC T ist mit hoher Wahrscheinlichkeit dünnbesetzt.

17 Definition: Sei X = (X[n]) n=0,...,m 1 ein M 1 Markov, stationäres, stoch. Feld mit E(X[n]) = 0 und cov(x[n] 2 ) = 1, n = 0,...,M 1, d.h. 1 ρ ρ 2... ρ N 1 ρ 1 ρ... ρ N 2 cov(x, X) =....., ρ = cov(x[0], X[1]). ρ N 2... ρ 1 ρ ρ N 1... ρ 2 ρ 1 Die Transformation ˆX = K X heißt Karhunen-Loeve-Transformation von X, falls K cov(x, X) K T diagonal ist und die Diagonaleinträge von K cov(x, X) K T die Eigenwerte von cov(x, X) sind. Satz: Unter allen orthogonalen Transformationen ˆX = A X, A R M M verteilt die Karhunen-Loeve-Transformation ˆX = K X am meisten Energie auf die ersten m+1 < M Einträge von ˆX. Satz: Für ρ 1, gilt K C.

18 Die 8 8 KLT-Matrix K für ρ = und die 8 8 DCT-Matrix C

19 4.8. JPEG: Quantisierung mit Q = (3+2(i + j)) i,j=0,...,7 ˆB[i, j] ˆB q [i, j] = sgn(ˆb[i, j]), 0 i, j 7. Q[i, j]

20 4.8. JPEG: Quantisierung Zig-Zag-Scan von DCT-Koeffizienten:

21 4.9. JPEG: Kodierung Gegeben: Info-Quelle (d.h. die ZVe) X : Ω {s 1,...,s n } mit WV P(X = s j ), j = 1,...,n. Kodealphabet Σ = {σ 1,...,σ M } Ziel: Ersetze die Symbole s ji in der Nachricht s j1 s j2...s jm, s ji {s 1,...,s n }, durch Kodewörte k(s j ) M>0Σ M, j = 1,...,n, so dass die erwartete n Kodewortlänge Länge(k(s j )) P(X = s j ) minimal wird. Falls dieser j=1 Kode eindeutig dekodierbar ist, dann heißt er optimal

22 Huffman-Kodierung: 1. Erzeuge eine Tabelle mit allen in der Nachricht s j1 s j2...s jm, s ji {s 1,...,s n }, vorhandenen Symbolen s j und deren Wahrscheinlichkeiten. 2. Pflanze den Huffman-Baum und erzeuge daraus eine Kodetabelle 3. Durchlaufe die Nachricht und ersetze jedes Symbol s ji mit dem entsprechenden Kodewort.

23 Konstruktion eines Huffman-Baums für Zeichen A B C D E Häufigkeit

24 Huffman-Baum pflanzen: 1. Erzeuge eine nach Wahrscheinlichkeiten sortierte Liste von Bäumen mit jeweils nur einem Knoten (Symbol s j und seine Wahrscheinlichkeit). 2. Entferne die letzten beiden Bäume und hänge sie unter eine gemeinsame Wurzel, die die Summe der Wahrscheinlichkeiten ihrer Kinder speichert. Sortiere die Liste von Bäumen um. 3. Wiederhole Schritt 2., bis nur ein Baum in der Liste enthalten ist. Dieser ist der Huffman-Baum.

25 Huffman-Kode erzeugen: 1. Von der Wurzel ausgehend, für alle eindeutigen Wege, Kode:=leeres Wort 2. wenn ein linker Teilbaum beschritten wird, schreibe eine 1 hinter den bisherigen Kode 3. wenn ein rechter Teilbaum beschritten wird, schreibe eine 0 hinter den bisherigen Kode 4. Wiederhole Schritt 2. oder 3., bis ein Blatt (Symbol s j ) erreicht wird. Schreibe den gefundenen Kode in die Kodetabelle an die Position des jeweiligen Symbols s j.

26 Eigenschaften des Huffman-Kodes k : {s 1,...,s n } {k(s 1 ),...k(s n )}, oder, äquivalent, des Huffman-Baumes G = (V, E) (i) Alle Symbole s j sind Blätter von G. (ii) Der Baum G ist vollständig und binär. (iii) Seltene Symbole s j sind tiefer in G als die häufigen Symbole. (iv) Die zwei seltensten Symbole sind Geschwister, d.h. falls dann gilt P(X = s i ), P(X = s j ) < min P(X = s l) l {1,...,n}\{i,j} k(s i ) = σ j1...σ jm 0, k(s j ) = σ j1...σ jm 1, σ l {0, 1}. (v) Der Huffman-Kode ist optimal.

27 Beweis: I.A. X : Ω {s 1, s 2 }. Dann ist der Kode k(s 1 ) = 0, k(s 2 ) = 1, optimal, da nur 1Bit pro Symbol benötigt wird. I.S. Sei k nicht optimal. Dann existiert ein binär, präfixfreier, optimaler Kode k mit dem Baum G, so dass n Länge( k(s i )) P(X = s i ) < i=1 n Länge(k(s i )) P(X = s i ). i=1 k optimal es exitieren s j1, s j2 {s 1,...,s n }, die Geschwister mit dem Vater v sind, d.h. k(s j1 ) = k(v)0 und k(s j2 ) = k(v)1.

28 Daraus folgt für D = {s 1,...,s n }\{s j1, s j2 } = n Länge( k(s i )) P(X = s i ) = Länge( k(s i )) P(X = s i ) s i D i=1 [ ] + Länge( k(v))+1 [P(X = s j1 )+P(X = s j2 )] = }{{} =:P(X=v) Länge( k(s i )) P(X = s i )+P(X = v) I.V. < Länge(k(s i )) P(X = s i )+P(X = v) s i D {v} s i D {v} n Länge(k(s i )) P(X = s i ). i=1

29 Arithmetische Kodierung (ist nicht prüfungsrelevant): wird auch bei JPEG verwendet. Eingabe: Nachricht s j1 s j2...s jm, s ji {s 1,...,s n }. Initializierung: Ausgangsintervall [0, 1). Für i = 1,...,m: Ordne jedem Symbol s j, j = 1,...,n, der Nachricht ein Subintervall des Ausgangsintervalls zu, dessen Größe der Wahrscheinlichkeit P(X = s j ) des Symbols s j entspricht. Das Subintervall, das dem Symbol s ji der Nachricht entspricht, wird zum neuen Ausgangsintervall. Ausgabe: Der Kode ist eine beliebige reele Zahl (in der dyadischen Darstellung) aus dem letzten Ausgangsintervall. Zum Dekodieren: braucht man den Kode und die Anzahl m der Symbole in der kodierten Nachricht.