Der Satz von Arzelà-Ascoli und der Satz von Peano. Anna Katharina Zentgraf Studiengang: Master GyGe Matrikelnummer:

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1 Der Satz von Arzelà-Ascoli und der Satz von Peano Anna Katharina Zentgraf Studiengang: Master GyGe Matrikelnummer: Mai 2013 Betreuer: JP Dr. Tomas Dohnal Fakultät für Mathematik Analysis (Ls1) Technische Universität Dortmund

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Abstract Deutsch Englisch Der Satz von Arzelà-Ascoli 3 3 Der Satz von Peano 7 Literaturverzeichnis 13 i

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5 KAPITEL 1 Abstract 1.1 Deutsch Der Inhalt dieser Arbeit konzentriert sich auf zwei Lehrsätze, die für ihre Teilgebiete der Mathematik einen besonderen Stellenwert einnehmen. Zunächst betrachten wir den Satz von Arzelà-Ascoli aus der Funktionalanalysis. Cesare Arzelà ( ) war ein italienischer Mathematiker, der 1889 einen Satz des italienischen Mathematikers Guilio Ascoli ( ) verallgemeinerte. Dieser Satz erklärt, unter welchen Voraussetzungen jede Funktion einer Funktionenfamilie auf einer kompakten Menge eine gleichmäßig konvergente Teilfolge besitzt. Der Satz von Arzelà-Ascoli hilft uns im weiteren Verlauf auch, den Satz von Peano zu beweisen. Guiseppe Peano ( ) war ebenfalls italienischer Mathematiker und beschäftigte sich unter anderem mit gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung. Sein 1886 entstandener Satz gibt verhältnismäßig einfache Voraussetzungen, um die Existenz einer Lösung eines Anfangswertproblems zu garantieren. 1.2 Englisch This paper approaches two theorems that play an important role in their subsections of mathematics. First we consider the Arzelà-Ascoli theorem from functional analysis. Cesare Arzelà ( ) who was an Italian mathematician, generalized a theorem of the Italian mathematician Guilio Ascoli ( ) in This theorem explains under which conditions each function belonging to a family of functions on a compact set, has a uniformly convergent subsequence. Later we can use the Arzelà-Ascoli theorem to prove the Peano existence theorem. 1

6 1 Abstract Guiseppe Peano ( ) who was also an Italian mathematician, dealt among other things with ordinary differential equations of first order. His theorem from 1886 gives relatively easy conditions to guarantee the existence of solutions to initial value problems. 2

7 KAPITEL 2 Der Satz von Arzelà-Ascoli Der Satz von Arzelà-Ascoli wird anhand von [Heu06] erläutert. Wir beginnen mit einer kleinen Wiederholung: Definition 2.1 (gleichmäßige Konvergenz). Eine Funktionenfolge (f n ) mit n N ist genau dann gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion f, wenn gilt: ε > 0 N N x D n N : f n (x) f(x) < ε (2.1) Definition 2.2 (gleichmäßige Stetigkeit). Eine Funktion f heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn gilt: ε > 0 δ > 0, x, y D : x y < δ f(x) f(y) < ε (2.2) Satz 2.3 (Satz von Heine). Sei I = [a, b] ein kompaktes Intervall und f auf I stetig. Dann ist f sogar gleichmäßig stetig. Wir benötigen im Folgenden noch den Begriff der Gleichstetigkeit und der Beschränktheit. Definition 2.4 (Gleichstetigkeit). Eine Familie F reellwertiger Funktionen auf X R heißt genau dann gleichstetig, wenn gilt: ε > 0 δ > 0, f F, x, y Xmit x y < δ f(x) f(y) < ε (2.3) Die f n haben sozusagen einen gleichen Grad der Stetigkeit, das bedeutet für alle f n gibt es ein δ (Gemeinschaftsdelta) und jedes f F ist gleichmäßig stetig! Satz 2.5. Jede gleichmäßig konvergente Folge stetiger Funktionen auf einer kompakten Menge ist sogar gleichstetig! 3

8 2 Der Satz von Arzelà-Ascoli Beweisidee. Durch den Satz 2.3, den Satz von Heine, wissen wir, dass die Folge sogar gleichmäßig stetig ist. Damit können wir leicht die Gleichstetigkeit für die Folge zeigen (vgl. [Heu06], S ). Definition 2.6. Sei X eine beliebige, nicht notwendig reelle Menge und F ein Familie reellwertiger Funktionen auf X, dann heißt F: 1. punktweise beschränkt, wenn zu jedem x X eine Schranke M(x) existiert, sodass f(x) M(x), f F (2.4) 2. gleichmäßig beschränkt, wenn zu jedem x X eine Schranke M existiert, sodass f(x) M f F (2.5) Folgerung 2.7. Eine Familie F ist gleichmäßig beschränkt F ist normbeschränkt. Beweisidee. Aus Definition folgt f := sup x X f(x) M, f F. f M, f F Unser nächstes Ziel ist die partielle Umkehrung von Satz 2.5. Folgerung 2.8. Jedes einzelne Glied der Folge in Satz 2.5. ist eine beschränkte Funktion, da die Definitionsmenge kompakt ist. Das bedeutet: Glm. Konvergenz Folge ist normbeschränkt Folge ist punktweise beschränkt. Lemma 2.9. Jede kompakte Menge X R enthält eine höchstens abzählbare Teilmenge, die dicht in X liegt. Beweis. Sei k N fest, dann bildet das System der Umgebungen U 1/k (x) mit x X eine offene Überdeckung von X. Nach dem Satz von Heine-Borel wird X bereits von endlich vielen dieser Umgebungen überdeckt, das bedeutet: es existiert eine endliche Teilmenge M k := {x k1, x k2,..., x kmk } von X mit X m k U 1/k (x kµ ). Die Vereinigung M := M k ist eine höchstens abzählbare Teilmenge von X. µ=1 Sei y nun ein beliebiger, fester Punkt aus X und ε > 1 k. Wir wählen nun k N so, dass y in U 1/k (x 0 ) liegt. Daraus folgt auch, dass y U ε (x 0 ) und x 0 U ε (y). Mit anderen Worten: In jeder ε-umgebung von y liegt mindestens ein weiterer Punkt aus M. Daraus folgt, dass M dicht in X liegt. Satz 2.10 (Der Satz von Arzelà-Ascoli). Sei F eine Familie reellwertiger stetiger Funktionen auf der kompakten Menge X R. Jede Folge aus F enthält genau dann eine gleichmäßig konvergente Teilfolge, wenn F punktweise beschränkt und gleichstetig ist! Gilt eine der Äquivalenzaussagen, ist F sogar gleichmäßig beschränkt. k=1 4

9 Beweis. Voraussetzung: F ist punktweise beschränkt und gleichstetig. Zu zeigen: Jede Folge aus F enthält eine gleichmäßig konvergente Teilfolge. Sei (f n ) F beliebig und M := {x 1, x 2,...} X dicht in X (vgl. Lemma 2.9). Bolz. W eierstr. (f n (x 1 )) ist beschränkt = es existiert eine konvergente Teilfolge (f 1k (x 1 )) mit (f 1k ) = (f 11, f 12, f 13,...). (f 1k (x 2 ) ist ebenfalls beschränkt es existiert eine konvergente Teilfolge (f 2k (x 2 )) von (f 1k ) mit (f 2k ) = (f 21, f 22, f 23,...). f 11, f 12, f 13,... f 21, f 22, f 23,... f 31, f 32, f 33,... Wir betrachten nun die Diagonalfolge g n := f nn mit (n = 1, 2,...). Ab dem n-ten Glied ist g n Teilfolge der n-ten Zeilenfolge. Für x = x n folgt die Konvergenz von g n auf ganz M. Noch zu zeigen: g n konvergiert auf ganz X. F gleichstetig da g n aus F: für ein ε > 0 δ > 0, sodass n und x, y X mit x y < 2δ gilt: g n (x) g n (y) < ε 3 (2.6) Wir wissen mit dem Satz 2.3, dem Satz von Heine-Borel : p X U δ (y ν ) ν=1 MinXdicht = ψ ν M U δ (y ν ) x U δ (y ν ) : x ψ ν x y ν + y ν ψ ν < 2δ (2.7) n, x U δ (y ν ) X : g n (x) g n (ψ ν ) < ε 3 Wegen der Konvergenz von g n auf M wissen wir außerdem, dass n 0 : m, n > n 0 : g m (ψ ν ) g n (ψ ν ) < ε 3 (Cauchy-Kriterium). Mit diesen m, n > n 0 gilt nun: g m (x) g n (x) g m (x) g m (ψ ν ) + g m (ψ ν ) g n (ψ ν ) + g n (ψ ν ) g n (x) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε (2.8) (g n ) konvergiert gleichmäßig auf X. 5

10 2 Der Satz von Arzelà-Ascoli (f n ) enthält eine gleichmäßig konvergente Teilfolge und die Rück-Richtung ist gezeigt! Wir zeigen an dieser Stelle noch: F ist gleichmäßig beschränkt. Annahme: F ist nicht gleichmäßig beschränkt. Das bedeutet: n N f n F mit f n n. Außerdem wissen wir, dass eine konvergente Teilfolge (f nk ) von (f n ) existiert. Dann wissen wir mit Folgerung 2.8: (f nk ) ist normbeschränkt! zur Konstruktion f nk n k F ist gleichmäßig beschränkt! Voraussetzung: Jede Folge aus F enthält eine gleichmäßig konvergente Teilfolge. Wir haben gerade gezeigt, dass F gleichmäßig beschränkt ist F punktweise beschränkt. Noch zu zeigen: F ist gleichstetig. Annahme: F ist nicht gleichstetig. Das bedeutet: ε 0 f(x) f(y) ε 0. > 0 : δ > 0 f F und x, y X so, dass x y < δ, aber Wir wählen nun δ := 1 n, (n N), die Ausreißerfunktion f n und das Ausreißerpaar x n, y n. X ist kompakt und somit besitzt die Folge (x n ) eine Teilfolge (x nk ) mit x nk ψ X. Wir wählen (x n ) konvergent und folgern: Wegen x n y n < 1 n gilt auch y n ψ und f n (x n ) f n (y n ) ε 0. Nach Voraussetzung existiert dann eine gleichmäßig konvergente Teilfolge (f nk ) von (f n ), die gegen ein f F konvergiert, sodass mit den Teilfolgen (x nk ) von (x n ) und (y nk ) von (y n ) gilt: f nk (x nk ) f nk (y nk ) f(ψ) f(ψ) = 0 F gleichstetig! 6

11 KAPITEL 3 Der Satz von Peano Der Satz von Peano wird mithilfe von [Heu08] erläutert, die Definition zum Euler-Cauchy schen Polygonzug stammt aus [Bro08]. Definition 3.1 (Euler-Cauchy scher Polygonzug). Es sei das Anfangswertproblem y (x) = f(x, y(x)) mit y(x 0 ) = y 0 gegeben. Integration liefert: y(x) = y 0 + f(s, y(s))ds x 0 (3.1) Im Startpunkt (x 0, y 0 ) hat y(x) die Steigung f(x 0, y(x 0 )). Nun wird eine Gerade mit eben dieser Steigung bis zum Punkt (x 1, y 1 ) gezeichnet. Von dort wird eine weitere Gerade mit der Steigung f(x 1, y(x 1 )) bis zum Punkt (x 2, y 2 ) gezogen und so weiter (vgl. Abbildung 3.1 ). Abbildung 3.1: Euler-Cauchyscher Polynomzug 7

12 3 Der Satz von Peano Die y i lassen sich mit gegebenem y 0 wie folgt darstellen: y i+1 = y i + (x i+1 x i )f(x i, y i ), i = 0, 1,... (3.2) Die Geraden stellen eine Annäherung an die Lösungskurve y(x) des Anfangswertproblems dar. (x i+1 x i ) = h ist dabei die Schrittweite. Je kleiner h, desto genauer wird also die Annäherung. Beispiel 3.2. Gegeben sei das Anfangswertproblem y = f(x, y) mit y() = η. Dann gilt: y 1 = y 0 + (x 1 x 0 )f(x 0, y 0 ) = η + (x )f(, η) y 2 = y 1 + (x 2 x 1 )f(x 1, y 1 ). y n = y n 1 + (x n x n 1 )f(x n 1, y n 1 ) (3.3) Der Polygonzug p mit p(x i ) = y i kann also wie folgt dargestellt werden: η + (x )f(, η); x x 1 p(x 1 ) + (x x 1 )f(x 1, p(x 1 )); x 1 < x x 2 p(x) =. p(x n 1 ) + (x x n 1 )f(x n 1, p(x n 1 )); x n 1 < x x n (3.4) Man kann den Polynomzug p auch als Integral darstellen: p(x) = η + p(t)dt, x J (3.5) Hierbei ist p = { f(, η); x = x0 f(x k, p(x k )); x k < x x k+1 ; k = 0, 1,..., n 1 (3.6) Aus der Analysis II ist der Satz von Picard-Lindelöff bekannt. Er setzt die Lipschitz- Stetigkeit des Anfangswertproblems voraus und folgert sowohl die Existenz als auch die Eindeutigkeit einer Lösung. Nun stell sich die Frage, ob bereits die Stetigkeit ausreicht, um Aussagen über Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung zu treffen. Der Satz von Peano zeigt, dass unter der Voraussetzung der Stetigkeit eine Lösung existiert. Er garantiert jedoch nicht die Eindeutigkeit dieser Lösung. Satz 3.3 (Der Satz von Peano 1.0). Sei S := {(x, y) x + a, y R}, a > 0 ein Vertikalstreifen. Die Funktion f(x, y) sei stetig und beschränkt auf S. Dann besitzt das Anfangswertproblem y = f(x, y) mit y() = η für jedes η mindestens eine auf J = [, + a] existierende Lösung. 8

13 Beweis. Wir führen den Beweis in fünf Schritten durch. Schritt 1: Wir betrachten das Intervall J = [, +a] und dessen Zerlegung Z := {x 0, x 1,..., x n }. Zu dieser Zerlegung konstruieren wir zum AWP einen Euler-Cauchy schen Polygonzug wie in Bsp Diesen können wir also wie folgt darstellen: p(x) = η + p(t)dt, x J (3.7) Idee: Wir unterteilen J immer feiner, sodass (Z m ) die Zerlegungsnullfolge zu der Folge (p m ) der Euler-Cauchy schen Polygonzüge ist. Eine Teilfolge p mk der (p m ) konvergiert dann für m gegen eine Lösung ϕ des Anfangswertproblemes. Das bedeutet, wir müssen die Konvergenz dieser Teilfolge (p mk ) zeigen. Schritt 2: Nach Voraussetzung wissen wir, dass f auf S beschränkt ist. Das bedeutet, dass einerseits f(x, y) M, (x, y) S, wobei M eine Schranke ist, und andererseits, dass nach Konstruktion auch p(x) M, x J. Wir betrachten nun die Beschränktheit und die gleichmäßige Stetigkeit von p(x): p(x) = η + η + η + η + p(t)dt p(t)dt p(t) dt Mdt = η + x M = η + am (3.8) Für x, y J mit x y < δ und M wie eben gilt: p(x) p(y) = η + = y y y y p(t)dt η p(t)dt p(t)dt, (y < x) p(t) dt Mdt = x y M < δm (3.9) Die Beschränktheit sowie die Gleichstetigkeit von p kann auf alle Elemente der Folge (p m ) übertragen werden. Damit folgt, dass die Familie F aller Euler-Cauchy schen Polynomzüge auf J sowohl punktweise beschränkt als auch gleichstetig ist! 9

14 3 Der Satz von Peano Mit diesem Wissen können wir nun Satz 2.10, den Satz von Arzelà-Ascoli, anwenden und schließen, dass jede Folge (p m ) wirklich eine gleichmäßig konvergente Teilfolge besitzt, also dass p mk ϕ, mit einer stetigen Funktion ϕ. Wir nennen diese Teilfolgen (p mk ) nun (p m ). Es bleibt noch zu zeigen, dass ϕ auch wirklich das Anfangswertproblem löst. Was genau ist nun dafür zu zeigen? Soll ϕ das AWP y = f(x, y) mit y() = η lösen, gilt also, dass ϕ (x) = f(x, ϕ(x)). Man sieht schnell, dass ϕ(x) = η + f(t, ϕ(t))dt mit ϕ() = η + F (, ϕ()) F (, ϕ()) = η die Lösung darstellt. Entsprechend haben wir die Polygonzüge konstruiert. Das bedeutet, wir müssen zeigen, dass p m (x) f(x, ϕ(x)) gleichmäßig. Dazu wollen wir uns zunächst eine alternative Darstellung der p m überlegen: Wir betrachten zunächst noch einmal die Zerlegungsnullfolge (Z m ) = {x (m) 0, x (m) 1,..., x (m) n m }. Zur vereinfachten Darstellung definieren wir für k = 0, 1,..., n m 1 die Treppenfunktion g durch:, x = = x (m) g m (x) = x (m) k, x (m) k 0 < x x (m) k 1 (3.10) Aus der Definition der p aus dem Beispiel wissen wir, dass p m (x) = f(g m (x), p m (g m (x))). Nun werfen wir einen genaueren Blick auf die Eigenschaften von f. Schritt 3: Wir wissen mit Satz 2.3, dem Satz von Heine, dass die Funktion f auf dem Rechteck R := {(x, y) x + a, y η + am} gleichmäßig stetig ist, da R eine kompakte Menge ist, das bedeutet: Für ε > 0 existiert ein δ > 0 mit x 1 x 2 < δ, y 1 y 2 < δ mit (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 ) R: f(x 1, y 1 ) f(x 2, y 2 ) < ε (3.11) Übertragen wir diese Eigenschaft auf die Argumente aus Schritt 2 ergibt sich: f(x, ϕ(x)) p m (x) = f(x, ϕ(x)) f(g m (x), p m (g m (x))) < ε (3.12) Dabei müssen x g m (x) < δ, ϕ(x) p m (g m (x)) < δ sein und (x, ϕ(x)) sowie (g m (x), p m (g m (x)) R, x J. Wir zeigen, dass dies für m groß genug gilt. Ist dies erfüllt, können wir die gleichmäßige Konvergenz von p m (x) = f(g m (x), p m (g m (x))) gegen f(x, ϕ(x)) folgern. Wir nun die Argumente entsprechend durch δ abschätzen. Schritt 4: es ist schnell klar, dass x g m (x) Z m, x J, denn x (m) k < x x (m) k 1. Da (Z m) eine Zerlegungsnullfolge ist, gilt für m groß genug auch: Z m < δ. Damit folgt also: x g m (x) < δ, x J. für ϕ(x) p m ((g m (x)) gilt: ϕ(x) p m ((g m (x)) ϕ(x) p m (x) + p m (x) p m (g m (x)) ϕ(x) p m (x) + M x g m (x) ϕ(x) p m (x) + Z m M (3.13) 10

15 Es gilt nun: δ > 0 n 0, sodass für die Zerlegungsnullfolge und festes M gilt: Z m M < δ 2, m n 0. Wegen der gleichmäßigen Konvergenzv ist außerdem ϕ(x) p m (x) < δ 2, x J, m n 0. Dabei muss das n 0 groß genug sein. Dann gilt: ϕ(x) p m (x) + M Z m < δ 2 + δ 2 = δ ϕ(x) p m(g m (x)) < δ, x J. Schritt 5: Wir fassen zusammen: Wir wissen, dass (x, ϕ(x)) und (g m (x), p m (g m (x))) R, x J. Dann folgt mit den Schritten 3 und 4: f(x, ϕ(x)) f(g m (x), p m (g m (x))) < ε, x J, m > n 0 (3.14) Das bedeutet, dass f(g m (x), p m (g m (x))) f(x, ϕ(x)) gleichmäßig auf J. Da wir nun also wissen, dass p m (x) ϕ(x) und p m (x) glm. f(x, ϕ(x)) folgt: ϕ(x) = lim m p m(x) = lim (η + p m (t)dt) m = η + lim ( p m (t)dt) m glm.konv. = η + = η + f(t, ϕ(t))dt lim p m(t)dt m (3.15) ϕ(x) ist also wirklich eine Lösung des Anfangswertproblems! Satz 3.4 (Der Satz von Peano 2.0). Sei R := {(x, y) x a, y η b} mit a, b > 0 ein kompaktes Rechteck. f sei stetig auf R und M und α definiert durch: M := max f(x, y), α := min(a, b ), M > 0 (3.16) (x,y) R M Dann können wir folgern, dass es in der Umgebung U α () mindestens eine Lösung des Anfangswertproblems y = f(x, y) mit y() = η gibt! Beweis. Wir betrachten den Vertikalstreifen S := {(x, y) x + α, y R}. Achtung, in diesem Fall ist x auf dem Intervall I + = [, + α] definiert! Sei f eine auf S stetige und durch M beschränkte Funktion mit: f(x, η + b), y > η + b f(x, y) = f(x, y), η b y η + b (3.17) f(x, η b), y < η b 11

16 3 Der Satz von Peano Dann folgt aus Satz3.3, dass das Anfangswertproblem y = f(x, y) auf dem Intervall I + = [, + α] mindestens eine Lösung ϕ mit ϕ() = η besitzt. Außerdem gilt für x + α: ϕ(x) η = f(t, ϕ(t))dt αm b (3.18) Daraus erklärt sich, dass der Punkt (x, ϕ(x) für x [, + α] im Definitionsbereich R von f liegt und ϕ somit wirklich eine Lösung des Anfangswertproblems ist. Unsere Betrachtungen können wir auch auf ein Intervall links von verschieben und mit der gleichen Argumentation stellen wir fest, dass auf dem Intervall I = [ α, ] mindestens eine Lösung ψ mit ψ() = η existiert. Nun können wir die Lösung y des Anfangswertproblems y = f(x, y) auf der Umgebung U α () darstellen durch: { ψ(x), α x < y(x) = ϕ(x), x + α (3.19) 12

17 Literaturverzeichnis [Bro08] Bronstein, Ilja: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 2008 [Heu06] Heuser, Harro: Lehrbuch der Analysis 1. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner GmbH, 2006 [Heu08] Heuser, Harro: Lehrbuch der Analysis 2. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner GmbH,