Protokoll zum Versuch: Wärmeausbreitung

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1 Protokoll zum Versuch: Wärmeausbreitung Fabian Schmid-Michels Nils Brüdigam Universität Bielefeld Wintersemester 006/007 Grundpraktikum I Inhaltsverzeichnis 1 Ziel Theorie 3 Versuch Versuchsaufbau Versuchsdurchführung Messwerte rgebnisse Bestimmung von τ Bestimmung von κ Quellen 8 1

2 1 Ziel Der räumliche und zeitliche Verlauf der rwärmung eines Kupferstabes wird vermessen und mit Näherungslösungen der Wärmeleitungsgleichung verglichen. Theorie Wärmeausbreitung im Festkörper erfolgt im wesentlichen über die Schwingungsenergie gekoppelter Gitterschwingungen benachbarter Atome und über kinetische nergie durch Stösse zwischen den Leitungselektronen. Betrachtet man nun einen Stab der Länge L und Radius r, der aus Material mit der Dichte ρ und der spezischen Wärme c besteht. Wenn nicht der gesamte Stab die gleiche Temperatur hat, kommt es zum Wärmeaustausch entlang des Temperaturgefälles. Wenn dieser Wärmeuss nur in einer Raumrichtung statt- ndet, dann gilt für die in der Zeit dt durch die Fläche A ieÿende Wärmemenge dq die Beziehung dq dt = κa T (1) x Hierbei ist κ die Wärmeleitfähigkeit des Stoes. Das negative Vorzeichen drückt aus, dass die Wärme von der höheren Temperatur zu der niedrigeren ieÿt. ntsprechend gilt für die Wärmestromdichte j w : j w = κ T x Aus dieser Formel folgt mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung die Wärmeleitungsgleichung T t = σ T T (3) x Diese beschreibt die zeitliche und räumliche Verteilung der Temperatur. Die Grösse σ T = κ ρc wird als Temperaturleitfähigkeit bezeichnet. Die Wärmeleitungsgleichung kann man nur unter festgelegten Randbedingungen lösen. Im xperiment ist eine Randbedingung durch die Annahme eines konstanten Wärmestroms durch eine ndäche des Stabes j 0 = κ T x (4) x=0,l gegeben, der durch die elektrische Heizleistung P 0 gegeben ist. An der Oberäche des Stabes wird Wärme an die Luft und die Umgebung abgegeben. s wird mehr Wärme an die Luft abgegeben, je grösser der Temperaturunterschied zwischen Stab und Umgebungsluft ist. Der Verlust ist also proportional zur Temperaturdierenz ϑ = T T 0, T 0 ist dabei die Umgebungstemperatur. Die Strahlungsverluste sind nach dem Stefan-Boltzmann Gesetz proportional zu T 4 T 4 0. Berücksichtgt man diese Verluste, so nimmt die Wärmeleitungsgleichung die Form () ϑ t = σ ϑ T hϑ (5) x an, wobei die Konstante h die Wärmeverluste beschreibt und von der Form und dem Material des Stabes abhängt. Der Nullpunkt der Temperaturskala wurde

3 hierbei zur Vereinfachung so verschoben, dass alle Temperaturen relativ zur Umgebungstemperatur gemessen werden. s gibt auch für diesen vereinfachten Fall keine geschlossene Lösung θ(x, t). Lösbar ist jedoch der stationäre Fall, bei dem die am nde zugeführte Wärme entlang des Stabes an die Umgebung abgegeben wird. Die für grosse Zeiten erreichte Gleichgewichtsverteilung wird durch beschrieben, und kann durch den Ansatz ϑ σ T hϑ (6) x ϑ(x) = ϑ exp λx (7) gelöst werden. Die Temperatur am nde ϑ ist über die Randbedingung mit der Heizleistung P 0 verknüpft P 0 = j 0 da = πr κλϑ (8) A wobei Wärmeverluste der Heizung an die Umgebung vernachlässigt wurden. Neben der räumlichen Temperaturverteilung is natürlich auch die zeitiche ntwicklung von Interesse. Diese soll für einen festen Punkt x näherungsweise bestimmt werden. Herzu wird die Wärmebilanz für ein Volumeelement πr dx betrachtet, wobei das Temperaturgefälle θ x entlang des Stabes vernachlässigt wird: dq zu = dq + dq ab (9) wobei dq zu die zugeführte Wärme und dq ab die Verluste an Luft und Umgebung bezeichnen, so dass dq für die Temperaturerhöhung des Volumenelementes zur Verfügung steht. Ist m die Masse des Volumentelementes, so folgt: P zu dt = cmdϑ + hϑdt = ϑ t + πra cm ϑ = P zu cm Als Lösung für das Aufheizen ndet man (10) und für die Abkühlung ϑ(t) = ϑ (1 exp t/τ ) (11) ϑ(t) = ϑ exp t/τ (1) wobei beide Vorgänge durch die gleiche Zeitkonstante τ = mc h 3 Versuch 3.1 Versuchsaufbau bestimmt sind. Das Hauptelement im Versuchsaufbau ist ein Kupferstab, welcher von beiden Seiten mit Hilfe von zwei Lötkolben beheizt werden kann. An dem Kupferstab sind in einem regelmäÿigen Abstand 10 Drähte aus Konstantan befestigt, die am anderen nde mit einem Kupferblock verbunden sind, der in einem Referenz-Ofen auf konstanter Temperatur gehalten wird. Dadurch entstehen 10 3

4 Abbildung 1: Schema des Versuchsaufbaus [Quelle (1) S. 78] Kupfer-Konstantan Thermoelemente. Die Temperatur wird nicht direkt gemessen,sondern indirekt über eine Spannung, die durch Temperaturdierenzen zwischen dem Konstantandraht und dem Kupferblock im Referenz-Ofen entsteht. Diese wird mit einem Sensorverstärker verstärkt und mit einem Mehrkanal- Analog-Digital-Wandler über ein USB-Interface vom Computer erfaÿt und gra- sch als Funktion der Zeit dargestellt. 3. Versuchsdurchführung Zuerst wird der Referenzofen angeschaltet und ungefähr 0 Minuten gewartet, um eine konstante Temperatur des zu erreichen. Die Messsoftware am PC wird gestartet, die einzelnen Messwerte der Thermoelemente weichen zunächst ein wenig voneinander ab. Dies muss durch eine Kalibration aller Messwerte auf einen Wert behoben werden. Danach wird einer der Lötkolben angeschaltet, von uns wurde der rechte gewählt. Die Messung am PC muss möglichst gleichzeitig gestartet werden. Der PC zeichnet nun die gemessenen Temperaturen auf und stellt sie in einem Graph als Funktion der Zeit dar (siehe Anhang). Nach einer Zeit verändern sich die Temperaturen im Kupferstab nicht mehr, dann kann die Messung gestoppt werden. Danach wird der Lötkolben abgeschaltet und gleichzeitig eine neue Messreihe der Abkühlung angefangen. Sobald der Stab angekühlt ist und es keine nennenswerten Änderungen der Temperatur mehr gibt, kann die Messung beendet werden. 4

5 3.3 Messwerte Der Abstand der Drähte bzw. Thermoelemente wird mit einer Schieblehre gemessen. Der Fehler wurde von uns auf 0.5mm geschätzt. Abstand von... nach... (v.r.n.l.) Abstand [mm] Wärmequelle Thermoelement 1 (T 1 ) 9.0 T 1 T 60.0 T T T 3 T T 4 T T 5 T T 6 T T 7 T T 8 T T 9 T Weitere Messwerte: Stromstärke I (Lötkolben) Spannung U (Lötkolben) Stabradius r T 0 (Raumtemperatur) (300±10)mA (9±3)V (0.50±0.05)cm (1. ± 0.1) C Die Heizeistung P 0 berechnet sich mit P 0 = U I zu P 0 = 7.60W. P 0 = ( I) ( U) = 1.9W (Gauÿ'sche Fehlerfortpanzung). Die ndtemperaturen, abgelesen aus dem Graphen aufwärmung.vi (im Anhang) bei 000s. T schätzen wir auf 3K. Thermoelement Abstand x von Heizung [m] T [ C] ϑ = T T 0 [K] (ϑ ) Tabelle 1: Die ndtemperaturen 4 rgebnisse 4.1 Bestimmung von τ Wir können nun mittels der nahe an der Heizung gelegenen Messpunkte (wir betrachten hierfür nur die ersten drei Messpunkte) die Zeitkonstante τ 5

6 bestimmen. Hierzu formen (11) nach τ um, setzen anschlieÿend die Werte für die Zeiten t = 400s, t = 800s, t = 100s und t = 1600s ein und bestimmen den Mittelwert. (11) umformen: Für die drei Messpunkte ergeben sich als Mittelwert der Zeiten folgenden Werte für die Zeitkonstante: τ 1 = 436s τ = 994s τ 3 = 1616s Fehlerbestimmung von τ mittels Gauÿ'scher Fehlerformel für die Aufwärmung: ( τ ) ( ) ( ) τ τ τ = t t + ϑ(t) ϑ(t) + ϑ ϑ = ln t ( ) 1 ϑ(t) ϑ + t ϑ(t) ( ) ln 1 ϑ(t) ϑ (ϑ ϑ(t) + tϑ(t) ϑ ( ) ln 1 ϑ(t) ϑ (ϑ ϑ(t))ϑ s ergeben sich (nach einsetzen und Mittelwert aus den rgebnissen für die einzelnen Zeiten bilden) folgende Werte für die Fehler von τ: τ 1 = 156s τ = 15s τ 3 = 59s Nachdem wir nun die τs für die Aufwärmung bestimmt haben, berechnen wir diese auch für die Abkühlung des Kupferstabes. Wieder betrachten wir nur die drei dichtesten Messpunkte, sowie den Mittelwert aus 4 Zeiten (t = 310s, t = 710s, t = 1110s und t = 1510s). Die Zeiten haben diesen etwas merkwürdigen Wert, da wir die Heizung erst 90s nach Beginn der Messung ausgeschaltet haben. Diesmal formen wir die Formel für die Abkühlung (1) nach τ um und setzen unsere Werte ein. (1) umformen: ln ϑ(t) = ln ϑ e t/τ ln ϑ(t) = ln ϑ t/τ t τ = ln ϑ(t) ln ϑ 1 ϑ(t) τ = ln ϑ t t τ = ln ϑ(t) ϑ s ergeben sich die folgenden τs für die Abkühlung: 6

7 τ 1 = 63s τ = 5s τ 3 = 41s Wieder bestimmen wir nun τ mittels der Gauÿ'schen Fehlerformel. Fehlerbestimmung von τ mittels Gauÿ'scher Fehlerformel für die Abkühlung: ( τ ) ( ) ( ) τ τ τ = t t + ϑ(t) ϑ(t) + ϑ ϑ = t ln ( ) ϑ(t) ϑ + ln t ϑ(t) ( ) ϑ(t) ϑ ϑ(t) + ln t ϑ ( ) ϑ(t) ϑ ϑ τ 1 = 104s τ = 90s τ 3 = 99s Auällig ist, dass die τ für die Aufheizung steigen, je weiter der Messpunkt von der Heizung entfernt ist und das genaue Gegenteil bei der Abkühlung der Fall ist, nämlich dass die τ sinken, je weiter der Messpunkt von der Heizung entfernt ist. 4. Bestimmung von κ Zur Bestimmung von λ haben wir einen Graphen erstellt: Das Programm GNUPlot ermittelt für λ (mit Gleichung (7)) (3.56 ± 0.14)m 1 durch ein iteratives Optimierungsverfahren. Gleichung (8) umgeformt und die Werte eingesetzt: P 0 = πr κλϑ κ = P 0 πr λϑ = W mk Fehlerbestimmung von κ mittels Gauÿ'scher Fehlerformel: ( κ ) ( ) ( ) ( ) κ κ κ κ = r r + p 0 + P 0 λ λ + ϑ ϑ ( = P ) ( ) ( 0 r P0 πλϑ r 3 + πλϑ r + P ) ( 0 λ πλ ϑ r + P 0 ϑ πλϑ r 4P0 = r π λ ϑ + P 0 r6 π λ ϑ + P 0 λ r4 π λ 4 ϑ + P 0 ϑ r4 π λ ϑ 4 r4 ( 1 4P = 0 r π λ ϑ r4 r + P0 + P 0 ϑ ϑ + P ) 0 λ λ 1 4P0 = r πλϑ r r + P0 + P 0 ϑ ϑ + P 0 λ λ ) 7

8 Abbildung : Graph zur Bestimmung von λ, Daten aus Tabelle 1 insetzen ergibt: κ = W mk Der Literaturwert beträgt κ = 401 W mk (Quelle () S. 66). Unser ermittelter Wert unterscheidet sich wesentlich von diesem Wert und liegt bei der Fehlerbetrachtung sogar ausserhalb der 3σ-Umgebung. s ist allerdings sehr unwahrscheinlich, dass wir ein neues physikalischen Phänomen gefunden haben. Sehr viel wahrscheinlicher ist ein grober Fehler beim Messen oder beim ausrechnen von κ. 5 Quellen 1. Udo Werner: Physikalisches Grundpraktikum I S Universität Bielefeld Fakultät für Physik, Paul A. Tipler, Gene Mosca: Physik. Für Wissenschaftler und Ingenieure.. München 004, revidierter Nachdruck Dieter Geschke (Hrsg.): Physikalisches Praktikum S Teubner,