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1 BSc - Sessionsprüfung Regelungstechnik I (5-59-) Prof. L. Guzzella Musterlösung Dauer der Prüfung: Anzahl der Aufgaben: Bewertung: 2 Minuten + 5 Minuten Lesezeit am Anfang! 8 (unterschiedlich gewichtet, total 67 Punkte) Um die Note 6 zu erlangen, müssen nicht alle Aufgaben gelöst werden. Bei jeder Aufgabe ist die Punktezahl angegeben. Erlaubte Hilfsmittel: 2 A4-Blätter (4 Seiten) Taschenrechner (zur Verfügung gestellt) Die Assistenten dürfen keine Hilfe geben. Zur Beachtung: Alle Lösungen, ausser die Antworten bei Multiple-Choice Aufgaben, sind zu begründen. Lösen Sie die Aufgaben ausschliesslich auf den vorbereiteten Blättern.

2 Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Aufgabe (Modellieren, Linearisieren) Punkte Ochsner (Amacher) In dieser Aufgabe sollen Sie ein lineares Teilmodell eines U-Boots erstellen. Dieses Teilmodell beschreibt den Auftrieb des U-Boots unter Wasser, der mittels einer Gaskammer geregelt werden kann. Abbildung zeigt einen Schnitt durch dieses U-Boot. Das U-Boot hat ein konstantes totales Volumen V tot. Der untere Teil dieses Volumens ist mit Wasser gefüllt; der obere Teil ist mit einem Gas gefüllt. Dabei gilt V g (t) = V tot V w (t), wobei V w (t) das Volumen des Wassers und V g (t) das Volumen des Gases beschreiben. Im Innern des U-Boots herrscht der Druck p(t); ausserhalb des U-Boots herrscht der Druck p a (t), der eine Störung für das System darstellt. Der Druck innerhalb des U-Boots wird durch die Ideale Gasgleichung p(t) = m g(t) R ϑ g V g (t) beschrieben, wobei m g (t) die Masses des Gases, R die Gaskonstante und ϑ g die konstante Temperatur des Gases beschreiben. Das Wasser kann abhängig von der Druckdifferenz in das und aus dem U-Boot strömen. Die Änderung des Wasservolumens wird beschrieben durch dv w (t) dt = p a(t) p(t), r wobei r den Stömungswiderstand beschreibt. Der Eingang des Systems ist ein Gasmassenstrom v(t) = m g (t) in das U-Boot, welcher eingestellt werden kann; der Ausgang des Systems ist die Auftriebskraft w(t) = F a (t) = ρ w g V g (t), wobei ρ w die konstante Dichte des Wassers und g die Erdbeschleunigung beschreiben. Abbildung : Querschnitt durch das U-Boot. a) (5 Punkte) Wählen Sie die Zustandsvariablen z (t) = V g (t) und z 2 (t) = m g (t) und stellen Sie das System in der nichtlinearen Zustandsraumdarstellung dz(t) dt = f ( z(t), v(t), p a (t) ) w(t) = g ( z(t), v(t), p a (t) ) dar. Benützen Sie die Variablennamen z (t), z 2 (t), v(t) und w(t). b) (5 Punkte) Linearisieren Sie das System nun um den Zustand ( z,, z 2, ) und den Eingang v. Geben Sie als Resultat die Systemmatrizen A, b, c und d an.

3 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 3 Lösung a) Die Differentialgleichung für die erste Zustandsvariable z (t) = V g (t) wird folgendermassen hergeleitet: Zuerst wird die erste Gleichung aus der Aufgabenstellung nach der Zeit abgeleitet: dv g (t) dt = dv tot dt dv w(t) dt = dv w(t). dt D.h. die Änderung des Gasvolumens ist gleich minus der Änderung des Wasservolumens. Die Änderung des Wasservolumens wiederum ist gegeben durch die dritte Gleichung aus der Aufgabenstellung: dv g (t) dt = p a(t) p(t) r = p(t) p a(t). r Der Druck im U-Boot kann dann mit der idealen Gasgleichung beschrieben werden. dv g (t) dt = m g(t) R ϑ g r V g (t) p a(t). r Die Differentialgleichung für die zweite Zustandsvariable z 2 (t) = m g (t) lautet folgendermassen: dm g (t) dt = m g (t). Die Gleichung für den Ausgang w(t) = F a (t) ist bereits in der Aufgabenstellung gegeben: F a (t) = ρ w g V g (t) In der gewünschten Form dargestellt lautet die Lösung für a): dz (t) dt dz 2 (t) dt z 2 (t) R ϑ g r z (t) = v(t) w(t) = ρ w g z (t) p a(t) r b) Die Zustandsmatrizen sind gegeben durch A = df dz df dz 2 df 2 dz df 2 dz 2 B = ( C = ( D = df dv df 2 dv dg dz dg dv z=z,v=v = ) z=z,v=v = z 2(t) R ϑ g r z 2(t) ) ( dg = dz 2 z=z,v=v ( ) z=z,v=v = R ϑ r z (t) z=z,v=v = ρ w g z=z,v=v = ) ( z=z,v=v = z=z,v=v = ). ( z 2, R ϑ g r z, 2 ρ w g R ϑ r z, )

4 Seite 4 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Aufgabe 2 (Frequenzbereich-Zeitbereich) 8 Punkte Amacher (Ochsner) Gegeben sind vier Übertragungsfunktionen offener Regelkreise (L (s), L 2 (s), L 3 (s), L 4 (s)), die Nyquistdiagramme dieser offenen Regelkreise (Diagramme A, B, C und D; nur positive Frequenzen werden gezeigt), sowie die Sprungantworten der daraus resultierenden geschlossenen Regelkreise (Sprungantworten bis 4). Ordnen Sie jeder Übertragungsfunktion das entsprechende Nyquistdiagramm des offenen Regelkreises, sowie die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises zu. Verwenden Sie für die Lösung die vorbereitete Tabelle. Eine Begründung der Antworten ist nicht notwendig. Punktevergabe: Pro richtige Zuordnung: + Punkt Pro falsche Zuordnung: Punkt Minimalpunktzahl der Aufgabe: Punkte Übertragungsfunktion Tabelle für Lösung L (s) = L 2 (s) = L 3 (s) = L 4 (s) = (s ) (s+5) (s+) (s 5) 5 s (.s+) 5 s (.s+) e.2s Nyquistdiagramm (offener Regelkreis) Sprungantwort (geschlossener Regelkreis) Nyquistdiagramm A Nyquistdiagramm B.5.5 Im Im Re Re

5 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 5 Nyquistdiagramm C Nyquistdiagramm D.5.5 Im Im Re Re Sprungantwort Sprungantwort Amplitude [-] Amplitude [-] Time [s] Time [s] Sprungantwort 3 Sprungantwort Amplitude [-] Amplitude [-] Time [s] Time [s]

6 Seite 6 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Lösung 2 Übertragungfunktion Paare L (s) = L 2 (s) = L 3 (s) = L 4 (s) = (s ) (s+5) (s+) (s 5) 5 s (.s+) 5 s (.s+) e.2s Erklärungen: Nyquistdiagramm B C A D Sprungantwort Die vier Systeme können in zwei Gruppen unterteilt werden: Systeme L und L 2 : Enthalten keinen offenen Integrator, also kommen die Nyquistdiagramme B und C sowie die Sprungantworten 2 und 3 in Frage. Systeme L 3 und L 4 : Enthalten einen offenen Integrator, also kommen die Nyquistdiagramme A und D sowie die Sprungantworten und 4 in Frage. Systeme L und L 2 : Die Übertragungsfunktionen für die geschlossenen System lauten wie folgt: T (s) = T 2 (s) = L (s) + L (s) = s 2s + 4 L 2 (s) + L 2 (s) = s + 2s 4 Das System T 2 hat also einen instabilen Pol und daher kann die Sprungantwort 2 zugeordnet werden die ein instabiles Verhalten zeigt. Dem System T wird folglich die Sprungantwort 3 zugeordnet. Für die Zuordnung der Nyquistdiagramme wird der Phasenverlauf der beiden Systeme (für positive Frequenzen ω) analysiert: ( ) jω ( ω ) (L (jω)) = = (jω ) (jω + 5) = arctan ( ω) + π arctan 5 (L 2 (jω)) = jω + 5 ) ( jω + jω 5 ( ( ω ) ) = (jω + ) (jω 5) = arctan (ω) arctan + π 5 Aus diesen beiden Ungleichungen ist ersichtlich, dass das Nyquistdiagramm B zum System L gehört (Phase ist immer grösser als ) und das Nyquistdiagramm C zum System L 2 gehört (Phase ist immer kleiner als ). Alternativ zur Analyse des Phasenverlaufs kann der Imaginärteil der Übertragungsfunktionen analysiert werden: L (jω) = jω (jω ) (jω 5) = jω + 5 (jω + 5) (jω 5) = (ω2 5) + 6jω ω Der Imaginärteil von L (jω) ist also grösser als für positive Frequenzen, so dass Nyquistdiagramm B dem System L zugeordnet werden kann. Das gleiche Vorgehen könnte für das System L 2 angewendet werden.

7 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 7 Systeme L 3 und L 4 : Das System L 4 hat eine Totzeit, diese ergibt im Nyquistdiagramm wegen der stetig fallenden Phase eine Spirale. In der Sprungantwort ist die Totzeit direkt ersichtlich. Diesem System kann also das Nyquistdiagramm D und Sprungantwort zugeordnet werden. Daraus ergibt sich dass zum System L 3 das Nyquistdiagramm und die Sprungantwort 4 gehört.

8 Seite 8 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Aufgabe 3 (Reglerauslegung) 8 Punkte Ott (Nüesch) Sie erhalten den Auftrag einen Regler auszulegen. Ihr Kollege hat die Strecke bereits identifiziert und gibt Ihnen den Bode-Plot der Frequenzantwort der Strecke P (s) (Abbildung 2). Beachten Sie bitte, dass der Amplitudengang eine lineare Achse hat und nicht wie sonst üblich in db aufgetragen ist. Das Regelsystem muss die folgenden Spezifikationen erfüllen: Durchtrittsfrequenz: ω c = rad s Phasenreserve: ϕ = Bode Diagram Magnitude (abs) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Abbildung 2: Frequenzgang der Strecke P (s) Alle Teilaufgaben können unabhängig voneinander gelöst werden. a) (3 Punkte) Verwenden Sie einen PD-Regler: C(s) = k p ( + T d s) Bestimmen Sie die Reglerparameter k p und T d so, dass die Spezifikationen eingehalten werden. b) (3 Punkte) Ihr Vorgesetzer hat wenig Ahnung von Regelungstechnik, er schlägt deshalb vor, einen P-Regler zu verwenden: C(s) = k p

9 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 9 i) Welche Bedingung müsste die Strecke erfüllen, damit beide Spezifikationen mit einem P-Regler erfüllt werden könnten? ii) iii) Wie gross ist die Phasenreserve, wenn Sie den P-Regler so einstellen, dass die spezifizierte Durchtrittsfrequenz eingehalten wird? Wie gross ist die Durchtrittsfrequenz, wenn Sie den P-Regler so einstellen, dass die spezifizierte Phasenreserve eingehalten wird? c) (2 Punkte) Ihr Kollege schlägt vor, einen PI-Regler zu verwenden: ( C(s) = kp + ) T i s Können damit beide Spezifikationen gleichzeitig eingehalten werden? Die Antwort ist zu begründen. Lösung 3 a) Aus den Spezifikationen können folgende Bedingungen abgeleitet werden: L(jω c ) = (L(jω c )) ϕ = 8 Des weiteren gilt: L(jω c ) = P (jω c ) C(jω c ) (L(jω c )) = (P (jω c )) + (C(jω c )) Der Betrag und die Phase der Strecke bei der geforderten Durchtrittsfrequenz können aus dem Bodediagramm abgelesen werden: P (jω c ).75 (P (jω c ) 35 Daraus folgt für den Regler: C(jω c ) 4 3 (C(jω c ) 5 Setzt man die Übertragungsfunktion des Reglers ein folgt: C(jω c ) = kp 2 + (T d ω c ) 2 kp + Td 2 = 4 3 ( ) Td ω c (C(jω c ) = arctan arctan (T d) = 5 Woraus man die gesuchten Parameter bestimmen kann: T d = tan(5 ).27 k p = Td 2

10 Seite Sessionsprüfung Regelungstechnik I b) i) Mit dem P-Regler kann nur der Betrag der Kreisverstärkung verändert werden, da der Regler selbst bei allen Frequenzen eine Phase von hat. Die Spezifikationen könnten also nur dann erfüllt werden, wenn die Strecke bei der gewünschten Durchtrittsfrequenz eine Phase von 2 hätte ( 8 + ϕ). Dies ist aber nicht der Fall, somit kann höchstens eine der beiden Spezifikationen erfüllt werden. ii) In diesem Fall entspricht die Phase der Kreisverstärkung genau der Phase der Strecke bei der gewünschten Durchtrittsfrequenz, es folgt also: ϕ = 8 + (P (jω c )) 45 iii) In diesem Fall entspricht die Durchtrittsfrequenz der Frequenz ω c, bei der gilt: (P (jω c ) = ϕ 8 = 2 Aus dem Bodediagramm lässt sich ablesen: ω c.6 rad s c) Nein! Mit dem PI-Regler kann der Phasenabfall der Kreisverstärkung nie kleiner sein, als die Phase der Strecke, da der PI-Regler immer zu einem Phasenverlust führt. Da der Phasenverlust der Strecke bei der gewünschten Durchtrittsfrequenz bereits zu hoch ist, können die Spezifikationen mit dem PI-Regler nicht erfüllt werden.

11 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite Aufgabe 4 (Laplace Transformation) Punkte Nüesch (Ott) Allgemeiner Hinweis: Alle Teilaufgaben lassen sich unabhängig voneinander lösen. a) i) ( Punkt) Gegeben seien folgende Systemmatrizen eines linearen zeitinvarianten Systems: A =, b =, c = [ 5 ], d = ii) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion. (3 Punkte) Berechnen Sie die Systemantwort im Zeitbereich für die Übertragungsfunktion Σ(s) = s 5 (s + 4) 2 (s + ) und für den Diracstoss δ(t) als Eingangssignal: u(t) = δ(t). Was ist der Wert der Systemantwort zur Zeit t =? b) (3 Punkte) Sie haben mittels eines Oszilloskops die in Abbildung 3 gezeigte Impulsantwort eines linearen, zeitinvarianten Systems gemessen. Sie wissen, dass es sich um ein System 2. Ordnung handelt. Rekonstruieren Sie die Übertragungsfunktion Σ 2 (s) dieses Systems. (Tipp: Die Sprungantwort für t beträgt ). Abbildung 3: Impulsantwort von Σ 2 (s) c) (3 Punkte) Sie haben ihr Auto tiefer gelegt und merken nun, dass bei Bodenwellen die Räder am Radkasten anschlagen. Aus diesem Grund wollen Sie neue Schwingungsdämpfer einbauen. Zur Ermittlung eines passenden Schwingungsdämpfers haben Sie eines Nachts folgende Fahrzeugdaten und Spezifikationen erhoben:

12 Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Eigenfrequenz des Fahrzeugs f 2.5 Hz Max. tolerierbarer relativer Federweg ˆɛ 25 % Max. tolerierbare Reaktionszeit t 9.25 s Tabelle : Spezifikationen i) Approximieren Sie den minimalen Dämpfungswert δ min unter der Annahme, dass sich das relevante Verhalten durch ein lineares, zeitinvariantes System 2. Ordnung beschreiben lässt. ii) Berechnen Sie approximativ die minimale Reaktionszeit t 9,min für δ min =.8. Wählen Sie dann die kostengüstigste Lösung der aus dem Datenblatt in Tabelle 2 aufgelisteten Schwingungsdämpfer A-D. A B C D Reaktionseit t 9 in s Preis in CHF Tabelle 2: Datenblatt für Schwingungsdämpfer Lösung 4 a) i) Die Übertragungsfunktion kann auf 2 Varianten ermittelt werden: A) durch Ausrechnen von c (si A) b oder B) durch direktes Ablesen der Koeffizienten aus den Matrizen {A, b, c, d}, da diese in steuerbarer Standardform vorliegen. Letztere Methode liefert direkt die Lösung Σ(s) = s 5 s 3 + 9s s + 6 ( = ) s 5 (s + 4) 2 (s + ) ii) Durch Anwenden der Partialbruchzerlegung mittels der Residuenmethode ergeben sich mit den p = 2 Polen π i und Vielfachheiten φ i (i =, 2) π = 4, φ = 2 π 2 =, φ = die Residuen zu ρ, = lim s 4 ρ,2 = lim s 4 ρ 2, = lim s d s 5 ds s + ) = lim s 4 s 5 s + = 9 3 = 3 s 5 (s + 4) 2 = 6 ( + 4) 2 = 2 3. (s + ) (s 5) ( 4 + ) ( 4 5) (s + ) 2 = ( 4 + ) 2 = 2 3 Damit kann die Impulsantwort y(t) mit der Formel gemäss Skript (3. Aufl., S. 9, Gleichung (7.7)) y(t) = p φ i i= k= ρ i,k (k )! tk e π i t h(t)

13 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 3 berechnet werden: ( 2 y(t) = 3 e 4t + 3 t e 4t 2 ) 3 e t h(t). Die Systemantwort zur Zeit t = beträgt y() =. b) Vorweg: Der Graph ist unglücklich beschriftet, da das angeschriebene T nicht identisch mit dem im Skript erwähnten T übereinstimmt. Aus diesem Grund wurde auch grosszügig korrigiert. Lösungsweg (Laplace-Transformation) Der abgebildete Graph lässt sich wiefolgt beschreiben: x(t) = 3 e t sin(ωt), wobei ω = 2π T. Die Laplace-Transformation ergibt mittels der Transformationtabelle sin(ωt) ω s 2 + ω 2 und dem Verschiebungssatz x(t) e a t X(s a) folgende Übertragungsfunktion: 3 e t sin(ωt) 3 ω (s + ) 2 + ω 2, und damit mit ω = 2π T 3 rad/s X(s) = 3 ω (s + ) 2 + ω 2 = 3 ω s 2 + 2s + + ω 2 = s 2 + 2s +. Lösungsweg 2 (Pol-Rekonstruktion) Ein System 2. Ordnung lässt sich allgemein beschreiben durch Σ (s) = A (s π ) (s π 2 ). Aus Fig. 3 sieht man, dass die Impulsantwort schwingt, deshalb müssen π und π 2 ein komplex-konjugiertes Polpaar sein. Da der Realteil dieses Polpaars für den Amplitudenabfall verantwortlich ist, kann der Realteil dieser Pole gemäss der eingezeichneten Kurve... e t abgelesen werden: Re{π } = Re{π 2 } =.

14 Seite 4 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Der Imaginärteil dieses Polpaars lässt sich direkt aus der Schwingungsfrequenz ω ablesen. Der Imaginärteil lässt sich finden, indem man die im Graph angegebene Phasendauer T in die Frequenz ω = 2π T = 3 rad/s umrechnet. Damit ergibt sich die Übertragungsfunktion bisher zu Σ (s) = A (s + + j 3)(s + j 3) = A s 2 + 2s +. Den Faktor A findet man mit dem in der Aufgabenstellung gegebenen Tipp: = lim t x(t) = lim s + s Σ (s) s = A, und somit A =. Lösung: Σ (s) = s 2 + 2s + Ungültige Lösungswege Im Skript gibt es einige Formeln, z.b. + ˆɛ = + δπ/ δ 2 ), welche nur für Sprungantworten gelten. Da der Graph keine Sprung-, sondern eine Impulsantwort zeigt, sind diese ungültig. c) i) Für Systeme 2. Ordnung gilt folgende Approximation aus der Vorlesung: + ˆɛ = + e δ π/ δ 2. Durch Auflösen nach δ ergibt sich für ˆɛ =.25 ln(ˆɛ) δ min = 2 π 2 + ln(ˆɛ) 2.4. ii) Für die Berechnung von t 9,min kann folgende Annäherung verwendet werden: t 9,min = ( δ min ) T, wobei T = f. Mit den gegebenen Werten δ min =.8 und f = 2.5 Hz ergibt sich daraus t 9,min.8 s. Durch Vergleich mit den Werten aus dem Datenblatt findet man heraus, dass Schwingungsdämpfer C alle aufgelisteten Anforderungen erfüllt und die kostengünstigste Variante darstellt.

15 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 5 Aufgabe 5 (Stabilisierung) 7 Punkte Moser (Ashouri) Sie haben von Ihrer Chefin die folgende Übertragungsfunktion einer instabilen Regelstrecke erhalten P (s) = s. () Sie sollen einen stabilisierenden Regler für diese Regelstrecke auslegen. Die Teilaufgabe d) ist unabhängig von den Teilaufgaben a) bis c) lösbar. a) (2 Punkte) Um Ihren Regler möglichst einfach zu halten, wollen Sie einen P-Regler C(s) = k p zur Stabilisierung verwenden. Bestimmen Sie den Wertebereich der Reglerverstärkung k p für welchen der Regler die Strecke stabilisiert. b) (2 Punkte) Gemäss den Angaben Ihrer Chefin soll das offene Regelsystem L(s) = P (s) C(s) eine Durchtrittsfrequenz von ω c = 2 rad /s haben. i) Ist die Wahl dieser Durchtrittsfrequenz sinnvoll? Begründen Sie Ihre Antwort! ii) Bestimmen Sie die Verstärkung k p des stabilsierenden P-Reglers C(s) = k p welcher die Spezifikation an die Durchtrittsfrequenz erfüllt. c) ( Punkt) Sie analysieren nun das Verhalten des in b) gefundenen P-Reglers. Wie gross ist der relative statische Nachlauffehler des geschlossenen Regelsystems, bezogen auf den Sollwerteingang? d) (2 Punkte) Als Verbesserung möchten Sie einen PI-Regler C(s) = k p (+ T i s ) verwenden. Das geschlossene Regelsystem soll zwei Pole bei haben. Bestimmen Sie die Reglerparameter k p und T i, welche diese Anforderung erfüllen. Lösung 5 a) Um den Wertebereich für k p zu bestimmen muss zuerst die Übertragungsfunktion T (s) des geschlossenen Regelkreises berechnet werden. Mit L(s) = kp s ergibt sich T (s) = L(s) + L(s) = k p k p + s Damit das geschlossene Regelsystem stabil ist muss der Pol π von T (s) einen negativen Realteil besitzen. Der Pol liegt bei π = k p + woraus folgt, dass k p < gelten muss damit das geschlossenen Regelsystem stabil ist. b) i) Die Durchtrittsfrequenz des offenen Regelsystems muss deutlich grösser sein als der instabile Pol der Regelstrecke. Gemäss Faustregel (RT-Buch, 3. Auflage, Seite 62) sollte mindestens ω c 2 π + gelten. Die Wahl ist also sinnvoll. ii) Bei der Durchtrittsfrequenz gilt L(jω c ) =. Aus dieser Bedingung kann k p bestimmt werden: L(2j) = k p 2j = k p = k p (3) 2 5 Gemäss der Lösung von Teilaufgabe a) muss für einen stabilisierenden Regler k p < gelten. Daraus folgt, dass k p = 5 die Spezifikation an die Durchtrittsfrequenz erfüllt und die Strecke stabilisiert. (2)

16 Seite 6 Sessionsprüfung Regelungstechnik I c) Der relative statische Nachlauffehler bezogen auf den Sollwerteingang ist e r = r y r = S(s) = L(s) + = s= k p s + = k p + = =.89 (4) 5 d) Die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises lautet ( L(s) = C(s) P (s) = k p + ) T i s s = k p T i s + k p T i s T i s 2. (5) Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises lautet somit ) T (s) = L(s) + L(s) = k p T i s + k k p p (s + Ti T i s 2 = + s T i (k p + ) + k p s 2 s (k p + ) k. (6) p T i Gemäss Aufgabenstellung soll die Übertragungsfunktion T (s) zwei Pole bei - haben. Das Nennerpolynom muss also (s+) 2 = s 2 +2s+ lauten. Durch Koeffizientenvergleich lassen sich k p und T i bestimmen: Damit folgt k p = 3 und T i = 3. (k p + ) = 2 (7) k p T i = (8)

17 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 7 Aufgabe 6 (Bode-Diagramm/Nyquist) 9 Punkte Ashouri (Moser) Das in Abbildung 4 dargestellte System soll identifiziert werden. Für die Identifikation steht das in Abbildung 5 dargestellte Bode-Diagramm der Kreisverstärkung L (s) = P (s) e sτ zur Verfügung, das durch Messungen generiert worden ist. Abbildung 4: Block-Diagramm des systems. Bode Diagram 2 4 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s) Abbildung 5: Bode-Diagramm der Kreisverstärkung L (s). a) (2 Punkte) Wie erkennen Sie den Einfluss des Totzeit-Elements e sτ im Bode-Plot? Identifizieren Sie die Totzeit τ. b) (3 Punkte) Identifizieren Sie mit Hilfe des Bode-Diagramms den rationalen Teil P (s) der Kreisverstärkung L (s), der wie folgt angesetzt werden darf: ω 2 P (s) = k s 2 + 2δ ω s + ω 2 (s 2 + ω) 2

18 Seite 8 Sessionsprüfung Regelungstechnik I c) ( Punkt) Bestimmen Sie mit Hilfe des Bode-Diagramms die Verstärkungsreserve γ und die Phasenreserve ϕ des geschlossenen Regelsystems (closed-loop system). Nun betrachten Sie ein anderes Regelsystem, dessen Blockdiagramm in der Abbildung 6 dargestellt ist. Abbildung 6: Block diagram of the system 2. Die Übertragungsfunktion der Kreisverstärkung dieses Regelsystems ist L 2 (s) = P 2 (s) C 2 (s) = s2 + 4s + 4 2s 2 2s die von der Totzeit τ abhängt. e sτ, d) (3 Punkte) Unten ist das Nyquist-Diagramm L 2 (s) für zwei Werte der Totzeit τ =. und τ = 5 dargestellt. Untersuchen Sie mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums die Stabilität des geschlossenen Regelsystems (closed-loop system) für die zwei Fälle. Nyquist-Diagramm von L 2 (s) für τ =. s Nyquist-Diagram von L 2 (s) für τ = 5 s Nyquist Diagram Nyquist Diagram τ =. 4 3 τ = Imaginary Axis - Imaginary Axis Real Axis Real Axis

19 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 9 Lösung 6 a) We observe that in frequencies ω > 2 rad/s the phase begins to drop while the amplitude remains constant. This is the effect of the delay. The delay time τ is found using the frequency at which the phase is decreased by 57. As marked on the Figure 7, this results in τ = =. sec. b) First, the type and relative degree of the system are determined. In very low frequencies, the amplitude response has a gradient of db/dec and phase is at. Therefore, the system has no pole on the origin and the type k =. For very high frequencies, the gradients of the amplitude response is db/dec Therefore, the system has a relative degree of r =. Other important properties: At ω =. rad/s, the amplitude gradient falls to 4 db/dec, implying the existence of a second-order system (two poles). At ω = rad/s, the amplitude gradient goes back to db/dec, implying the existence of two zeros. Since we know that P (s) has a form of ω 2 P (s) = k s 2 + 2δ ω s + ω 2 (s 2 + ω) 2 the parameters are found as follows. Bode Diagram 2 4 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s) Abbildung 7: Bode diagram. As marked on the Figure 7, we already have discovered that ω =. and ω =. Furthermore, the δ is calculated using P (jω ) = 2δ δ 2 δ δ =.. 2 4/2

20 Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik I The static gain k is calculated either using or using L (j) = k ω 2 = db k = lim L (jω) = k ω 2 = 4 db k = jω which both result in the same static gain. In total, the open-loop transfer function is L (s) =.(s2 + ) s 2 +.2s +. e.s. c) According to the bode plot, the phase at the point where the magnitude is crossing the unity gain ( db) is approximately 48. Thus, the phase margin ϕ = 8 48 = 32. The phase response crosses the phase 8 at around ω = 3 rad/s where the magnitude is 4 db. Therefore, the gain margin is γ = ( 4) = 4 db=. d) The open-loop gain L 2 (s) = s2 + 4s + 4 2s 2 2s e.τ =.5 (s + 2)2 s(s ) e.τ has one unstable pole and one pole the imaginary axis: n + =, n =. According to the Nyquist criterion, the critical point s = + j should be encircled.5 times counterclockwise: n c = n + + n /2! =.5. For τ =. sec, we observe that n c =.5. Therefore the closed-loop system is asymptotically stable. For τ = 5 sec, we observe that n c = 2.5. Therefore the closed-loop system is unstable.

21 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 2 Aufgabe 7 (Systemanalyse) 7 Punkte Alberding (Shafai) Betrachtet wird das System 2 4 d dt x(t) = x(t) + u(t). 2 a) (2 Punkte) Das System sei zum Zeitpunkt t = t aus seiner Ruhelage ausgelenkt. Es gelte u(t) = t t. Gegen welchen Wert strebt die Euklidische Norm des Zustandsvektors für t? Begründen Sie Ihre Antwort mathematisch. b) (2 Punkte) Ein an der Strecke angebrachter Sensor misst y(t) = x 2 (t) + x 3 (t). Ihnen liegen für ein endliches Zeitintervall t t t 2 Messwerte dieses Sensors vor, der Eingang ist während dieser Zeit Null. Ist es möglich, mit Hilfe des Modells den Anfangszustand x(t ) zu rekonstruieren? Begründen Sie Ihre Antwort mathematisch. c) (3 Punkte) Das System befinde sich im Gleichgewicht. Ist es möglich, mit Hilfe des Eingangs in endlicher Zeit τ den Zielzustand x (τ) = 2, x 2 (τ) =, x 3 (τ) = zu erreichen (das System muss danach nicht in diesem Zustand bleiben)? Begründen Sie Ihre Antwort mathematisch. Lösung 7 a) Aussagen über lim t x(t) können auf Basis der Lyapunov-Stabilität getroffen werden. Die Eigenwerte des Systems ergeben sich zu λ,2 = 2 ± 2j, λ 3 = (die Blockdiagonalform erleichtert die Berechnung), somit ist das System asymptotisch stabil und es gilt lim x(t) =. t b) Für den Ausgang y(t) = x 2 (t) + x 3 (t) ergibt sich die Ausgangsmatrix C = ( ), was zur Beobachtbarkeitsmatrix O 3 = 2 4 führt. Diese besitzt vollen Rang, somit ist das System vollständig beobachtbar und der Anfangszustand x(t ) kann rekonstruiert werden. n Die Euklidische Norm eines Vektors x R n ist definiert durch x = x 2 i. i=

22 Seite 22 Sessionsprüfung Regelungstechnik I c) Die Steuerbarkeitsmatrix 2 R 3 = 4 hat keinen vollen Rang, das System ist nicht vollständig steuerbar. Der steuerbaren Unterraum wird durch die Steuerbarkeitsmatrix aufgespannt. D.h. alle steuerbaren Zust ände sind Linearkombinationen der Spalten von R, bei vollem Rang wäre das der gesamte R 3. Der Zielzustand ist ein Vielfaches der zweiten Spalte, 2 2 = + ( ) + 4, liegt somit innerhalb des steuerbaren Unterraums und kann trotz der fehlenden vollständigen Steuerbarkeit erreicht werden. Alternativer Lösungsweg: Der dritte Zustand ist von den anderen beiden entkoppelt und vom Eingang nicht beeinflusst. Für die ersten beiden Zustände bleibt das Teilsystem ( d dt x ) ( ) ( ) (t) 2 4 x (t) d dt x = + 2(t) 2 x 2 (t) dessen Steuerbarkeitsmatrix ( ) 2 R 2 = ( ) u(t), vollen Rang hat. D.h. die ersten beiden Zustände können durch den Eingang auf beliebige Werte gebracht werden, während der dritte Zustand in der Ruhelage bleibt. Da x 3 (τ) = gewünscht ist, ist die Erreichbarkeit des Zielzustands gewährleistet.

23 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 23 Aufgabe 8 (Multiple-Choice) 8 Punkte Shafai (Alberding) Entscheiden Sie bei den folgenden Aussagen, ob sie richtig oder falsch sind. Markieren Sie das entsprechende Kästchen mit einem Kreuz ( ). Die Antworten sind nicht zu begründen. Alle Fragen sind gleich gewichtet ( Punkt). Falsch beantwortete Fragen geben je einen Punkt Abzug 2. Nicht beantwortete Fragen geben Punkte. Das Punkteminimum für die gesamte Aufgabe beträgt Punkte. a) {x e = π 3, u e = π 6 } ist eine Gleichgewichtslage des Systems d dtx = cos(x) x + 2 sin(u) u. Richtig Falsch b) Durch Linearisierung des nichtlinearen Systems d dt x = x2 + sin(2x) u 2 um den Gleichgewichtspunkt {x e = π 4, u e = π 4 } erhalten wir ein lineares System mit der Differentialgleichung d dt δx = π 2 δx + π 2 δu. Richtig Falsch c) Ein System wird durch folgende Differentialgleichung modelliert: d 3 d2 d2 y(t) + 2 y(t) 5y(t) = 3 u(t) + 4u(t) dt3 dt2 dt2 Die Übertragungsfunktion für dieses System ist somit P (s) = 3s2 +4 s 3 +2s 5. Richtig Falsch d) Eine instabile Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion s (s 7) kann mit einem P-Regler C(s) = k p (k p R) stabilisiert werden. Richtig Falsch e) Jemand hat das Bode-Diagramm einer Regelstrecke fünfter Ordnung korrekt dargestellt, obwohl sie zwei instabile Pole besitzt. Mit Hilfe dieses Bode-Diagramms kann herausgefunden werden, für welche Werte der Verstärkung k p eines P-Reglers ein asymptotisch stabiles geschlossenes Regelsystem resultiert. Richtig Falsch f) Eine asymptotisch stabile Strecke wird mittels eines PI-Reglers geregelt. Die Zeitkonstante des Integrators (Nachstellzeit) T i beträgt.3s. Angefangen bei k p = wird die Reglerverstärkung schrittweise erhöht, bis die kritische Verstärkung erreicht wird. Die Nachstellzeit wird nun auf.4s erhöht. Das Regelsystem wird darauf instabil. Richtig Falsch 2 Seien Sie also vorsichtig!

24 r Seite 24 Sessionsprüfung Regelungstechnik I g) Eine Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion P (s) = s 5 wird mit einem P-Regler stabilisiert. Die Regelstrecke hat eine Störgrösse w an dessen Eingang. w + + k P s 5 y Mit einem k P = kann erreicht werden, dass die Sprungantwort (d.h. w(t) = h(t)) bei anfänglicher Ruhelage und r(t) = ) einen Wert von 5 überschreitet. Richtig Falsch s h) Eine Regelsrecke mit der Übertragungsfunktion P (s) = (s )(s+3) soll mit einem Regler stabilisiert werden. Eine Bandbreite von ω c = 4 rad/s ist für die Auslegung des Reglers eine sinnvolle Spezifikation. Richtig Falsch Lösung 8 a) Richtig. Die Bedingung für eine Gleichgewichtslage ist x e =. Diese Bedingung ist erfüllt, da ẋ e = cos(x e ) x e + 2 sin(u e ) u e = cos( π 3 ) π sin( π 6 ) π 6 = 2 π π 6 =. b) Richtig. Die Systemparameter A und b in der linearisierten Differentialgleichung δẋ = A δx + b δu erhalten wir durch partielle Differentiation der Funktion f(x, u) = x 2 + sin(2x) u 2 nach x resp. u und deren Auswertung an der Gleichgewichtslage wie folgt: A = b = f(x, u) x=xe,u=u x e = 2x e + 2u 2 e cos(2x e ) = 2( π 4 ) + 2(π 4 )2 = π 2 f(x, u) x=xe,u=u u e = + 2u e sin(2x e ) = 2( π 4 ) = π 2 c) Falsch. Die Übertragungsfunktion lautet P (s) = 3s2 +4 s 3 +2s 2 5. d) Falsch. Das charakteristische Polynom des Regelsystems ist s 2 7s + k P =. Unabhängig von k P ist der Realteil der Pole dieses Regelsystems immer 3.5 >, so dass das Regelsystem für beliebige Einstellung des P-Reglers (k P beliebig!) instabil bleibt. e) Richtig. Laut Nyquistkriterium muss die Kurve L(j ω) für < ω < + den kritischen Punkt + j zweimal im Gegenuhrzeigersinn umkreisen, damit das geschlossene Regelsystem asymptotisch stabil ist. Da L(j ω) = C(j ω) P (j, ω) ist, wird ein P-Regler C(j ω) = k p nur die Betragskurve von L(j ω) vertikal verschieben, die Phasenkurve aber unverändert belassen. Daher kann man anhand der Schnittpunkte des Phasengangs von P (j ω) mit der 8 -Linie bestimmen, ob die geforderte Anzahl Umdrehungen erreicht wird oder nicht.

25 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 25 f) Falsch. Eine Erhöhung der Nachstellzeit T i bewirkt eine positive Phasendrehung und eine Verkleinerung der Gesamtverstärkung des PI-Reglers. Dies sieht man am besten aus dem Frequenzgang eines PI-Reglers, der Σ(jω) = k P ( T i ω j) lautet. g) Falsch. Die Übertragungsfunktion des Störverhaltens des Regelsystems (für r(t) = ) lautet s+(k P 5). Für k P = lautet sie s+5 und hat einen statischen Verstärkungsfaktor von 5. Die Sprungantwort kann diesen Wert somit nur als Grenzwert erreichen: lim t y = 5 und wird ihn nicht überschreiten! s h) Richtig. Die Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion P (s) = (s )(s+3) besitzt neben der instabilen Nullstelle ξ + = rad/s auch einen instabilen Pol π + = rad/s. Die spezifizierte Bandbreite von ω c = 4 rad/s ist sinnvoll, da sie mit einem Faktor 4 höher als π + und gleichzeitig mit einem Faktor 2.5 tiefer als ξ + liegt und somit die Voraussetzungen für eine sinnvolle Spezifikation (knapp) erfüllt.