Musterlösung. Aufgabe 1 (Regelungstechnik) 6 Punkte. Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( )

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1 Seite Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) BSc - Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) () Musterlösung Prof. L. Guzzella Aufgabe 1 (Regelungstechnik) 6 Punkte a) Füllen Sie die Lücken im folgenden Text sinnvoll aus. Für jedes richtige Wort gibt es.5 Punkte. ausgefüllte Lücken geben keinen Punkteabzug. In der Regelungstechnik werden eine bestimmte messbare externe Ein System, das sich in einem so beeinflusst, dass einem gewünschten vorgegebenen, und dass dabei nicht werden. befindet, ist dann, wenn es nach einer Störung in den Gleichgewichtszustand. Eine alleine kann ein instabiles System nicht stabilisieren. Es muss zwingend eine vorhanden sein. b) Die Wissensvermittlung an der ETH erfolgt parallel durch Vorlesungs- und Übungsbetrieb. Damit soll sichergestellt werden, dass der Student den Stoff versteht und die Lernziele erreicht. Zeichnen Sie dieses Regelungsproblem als Signalflussbild. Verwenden Sie dazu die folgenden Elemente: Systeme: Signale: Dauer der Prüfung: Anzahl der Aufgaben: 1 Minuten 9 (unterschiedlich gewichtet, total 76 Punkte) Bewertung: 6 Punkte Note 4, 44 Punkte Note 6. (Die Bewertung der Prüfung erfolgt nach einem affinen Zusammenhang zwischen Anzahl erreichter Punkte und Note.) Bei jeder Aufgabe ist die erreichbare Punktezahl angegeben. e Antworten bei den Multiple-Choice Aufgaben geben Punkteabzug. (Detaillierte Angaben sind bei den entsprechenden Aufgaben zu finden.) Erlaubte Hilfsmittel: Zur Beachtung: A4-Blätter (4 Seiten) Die Assistenten dürfen keine Hilfe geben, und es sind keine elektronischen Hilfsmittel erlaubt. Lösen Sie die Aufgaben ausschliesslich auf den vorbereiteten Blättern. Zusatzblätter sind bei den Assistenten erhältlich. Professor (Prof) Hilfsassistenten (Assi) Student (Studi) Lösung 1 Lernziele (lz) Erklärungen aus der Vorlesung (ev) Erklärungen aus der Übungsstunde (eu) Verstandener Stoff (vs) a) In der Regelungstechnik werden Systeme so beeinflusst, dass eine bestimmte Grösse einem gewünschten vorgegebenen Wert folgt, und dass dabei nicht messbare externe Störungen eliminiert werden. Ein System, das sich in einem Gleichgewichtszustand befindet, ist dann instabil/stabil, wenn es nach einer Störung nicht/wieder in den Gleichgewichtszustand zurückfindet. Eine (Vor-)steuerung alleine kann ein instabiles System nicht stabilisieren. Es muss zwingend eine Rückführung (Regelung) vorhanden sein. b) ev Prof bzw. Assi lz Assi eu + + Studi vs

2 Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) Seite Seite 4 Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) Aufgabe (Normieren und Linearisieren) 8 Punkte b) Für eine Ruhelage gilt: ż 1 (t) = und ż (t) =. Mit (1) folgt daraus dass gilt: Gegeben sei ein invertiertes Pendel gemäss Abbildung. Eine Punktmasse sei an einem als masselos und starr zu betrachtenden Stab befestigt. Der Stab sei im Koordinatenursprung drehbar gelagert. Der Winkel φ(t) soll über ein einstellbares Moment M(t) geregelt werden. z (t) = und mit () folgt: = v(t) k mgl cos(z 1(t)) l m v(t) =mgl cos(z 1 (t)), wobei z 1 (t) [, π]. l =.5 m m =kg g 1 m s k: unbekannter Reibungskoeffizient Die Dynamik des abgebildeten Systems sei durch die folgende Differentialgleichung ausreichend genau beschrieben: M(t) =l m φ(t)+k φ(t)+m g l cos(φ(t)). a) Finden Sie für das System eine Zustandsraumdarstellung von der Form: d dt z(t) =f(z(t),v(t)), w(t) =g(z(t),v(t)), z Rn, v R. b) Welches ist/sind die Gleichgewichtslage(n) des Systems? Begründen Sie Ihre Antwort. c) Das Pendel soll um die Gleichgewichtslage bei φ = π rad betrieben werden. Es ist mit typischen Winkelgeschwindigkeiten von φ(t) [ 7, +7] rad s zu rechnen. Finden Sie eine geeignete Normierung für dieses System. d) Linearisieren Sie das normierte System für kleine Auslenkungen um den Betriebspunkt aus Teilaufgabe c) und geben Sie die Systemmatrizen A, b, c, d der linearisierten Zustandsraumdarstellung an. Lösung a) Zustandsraumdarstellung z(t) =[z 1 (t),z (t)] T = [φ(t), φ(t)] T v(t) =M(t) w(t) =φ(t) =z 1 (t) ż 1 (t) = f 1 (z(t),v(t)) = z (t) (1) v(t) kz(t) mgl cos(z1(t)) ż (t) = f (z(t),v(t)) = () l m w(t) = g(z(t),v(t)) = z 1 (t) Das heisst für alle zulässigen z 1 (t) gibteseinv(t) [ mgl, mgl] und somit unendlich viele Ruhelagen. c) Normiert wird um z 1 = π z 1, = π. Damit die Geschwindigkeiten zwischen -1 und 1 liegen wählt man z, = 7. Weil um eine Ruhelage normiert wird, folgt: z (t) =, ż (t) =, somitwird()zu: ( π ) v = mgl cos(z 1, )=mgl cos = =5 und es gilt: w = π. Es resultiert die Transformationsmatrix [ ] [ z1, π ] T = =. z, 7 Die normierten Differentialgleichungen lauten: f 1, (x(t),u(t)) = x(t)z, z 1, = 1 π x (t) f, (x(t),u(t)) = Die normierte ZSR Darstellung ist also: ẋ 1 (t) = 1 π x (t) u(t)v kx(t)z, mgl cos(x1(t)z1,) z,l = 5u(t) 7kx(t) 1 cos( π x1(t)) m 7 ẋ (t) = 1 7 u(t) kx (t) 7 cos( π x 1(t)) y(t) = x1(t)z1, w u(t) = v(t) v = v(t) 5. = x 1 (t) d) Es muss die Vektorfunktion f (x(t),u(t)) um den Punkt x =[1, ], u = 1 in eine Taylorreihe entwickelt werden. In Matrixschreibweise folgen somit direkt die Jacobi Matrizen: [ ] 1 A = f x x=[1,],u=1 = π 1 π sin ( ) π k [ ] b = f u x=[1,],u=1 = 1 7 c = [1, ] d = []..

3 Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) Seite 5 Seite 6 Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) Aufgabe (Systemanalyse) 1 Punkte Gegeben sei das detaillierte Signalflussbild eines linearen dynamischen Systems mit Eingang u(t) und Ausgang y(t): 5 u(t) x 1 (t) x (t) x (t) y(t) a) Schreiben Sie das Zustandsraummodell des gegebenen Systems in den Koordinaten {x 1,x,x } an. b) Ist das gegebene System vollständig steuerbar? Begründen Sie Ihre Aussage mathematisch. c) Ist das gegebene System vollständig beobachtbar? Begründen Sie Ihre Aussage mathematisch. d) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion Σ(s) des gegebenen Systems vom Eingang u(t) zum Ausgang y(t). e) Zeigen Sie, dass das gegebene System einen Eigenwert bei λ 1 = hat. f) Beurteilen Sie die Lyapunov-Stabilität des Systems. g) Mit Hilfe welcher Befehle würden Sie die Teilaufgaben b) und c) in Matlab R lösen? Lösung a) Die Zustandsraumdarstellung des Systems in den Koordinaten {x 1,x,x } lautet ẋ 1 (t) =x 1 (t) 5x (t)+u(t) ẋ (t) = x 1 (t) ẋ (t) = x (t) x (t) y(t) =x (t) beziehungsweise mit: ẋ(t) =A x(t)+b u(t) y(t) =c x(t), A =, b =, c = [ ]. 1 b) Ein System (A, b) ist genau dann vollständig steuerbar (completely reachable), wenn die Matrix R n vollen Rang n hat, Vollständig steuerbar Rang ( R n = [ b, A b,,a n 1 b ]) = n. Für das gegebene System ergibt sich: R =[b, A b, A b] =. Offensichtlich 1 hat R vollen Rang (Rang(R ) = ), womit das gegebene System vollständig steuerbar ist. c) Ein System (A, c) ist genau dann vollständig beobachtbar (completely observable), wenn die Matrix O n vollen Rang n hat, Vollständig beobachtbar Rang ( O n = c c A. c A n 1 Die Matrix O n berechnet sich für das gegebene System zu: c O = c A = 6. c A ) = n. Offensichtlich hat O vollen Rang (Rang(O ) = ), womit das gegebene System vollständig beobachtbar ist. d) Die Übertragungsfunktion eines linearen zeitinvarianten Systems n-ter Ordnung, lautet: ẋ(t) =A x(t)+b u(t), y(t) =c x(t), Σ(s) =c (si A) 1 b = A R n n c Adj(sI A) b det(si A) PNK = b(s) a(s) = b m s m + + b 1 s + b s n + a n 1 s n 1, m < n. + + a 1 s + a Eventuelle gemeinsame Wurzeln des Zählers und des Nenners werden im dritten Schritt der Rechnung gekürzt (Pol-Nullstellen-Kürzung). Für das gegebene System berechnet sich die Determinate der Matrix s 1 5 si A = s 1 s + 1 Die erste Zeile von R kann nicht als eine Linearkombination der verbleibenden zwei Zeilen von R geschrieben werden. Die dritte Zeile von O kann nicht als eine Linearkombination der ersten zwei Zeilen von O geschrieben werden. Nullstellen eines Polynoms

4 Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) Seite 7 Seite 8 Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) (das charakteristische Polynom von A) zu 4 det(si A) =( 1) + (s +) [(s 1) s 5] =(s +) (s s 1) (1) = s + s 1s. () Aufgrund der -Einträge in den Vektoren b und c benötigt man für die Berechnung des Zählerpolynoms von Σ i (s) nur einen Eintrag der Adjungierten Adj(sI A). [ ] [Adj(sI A)] 1 =( 1) +1 s det((si A) 1 )= det( )= 1 Es ergibt sich somit, c Adj(sI A) b = [ ] # # # 1 # # # # # = [ ] # # =6. Die Übertragungsfunktion lautet somit: 6 Σ(s) = s + s 1s. e) Aus der Gleichung 1 ist direkt ersichtlich, dass das System einen Eigenwert bei λ 1 = hat. Alternativ kann von dem charakteristischen Polynom (Gleichung ) die Wurzel bei s = abgespalten werden: (s + s 1s ) : (s +)=s s 1. s +s s s s 1s 1s f) Die Eigenwerte λ i des Systems sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung. Mit Hilfe der Resultate aus Teilaufgabe e) erhält man für die drei Eigenwerte, λ 1 =, λ, = 1 ± 1+4 =.5 ± 1.5. Da der Eigenwert λ in der rechten Halbebene liegt, λ = >.5 ist das gegebene System instabil. g) Matlab R Befehle: ctrb(.), obsv(.), (rank(.)). 4 Entwickeln nach der dritten Kolonne Aufgabe 4 (Frequenzganganalyse) 1 Punkte Sie haben durch ein Experiment den Frequenzgang eines Systems gemessen. Sie wissen, dass das System keine nicht-minimalphasigen Nullstellen besitzt. Das Resultat haben Sie gefiltert und in einem Bode-Diagramm dargestellt: Phase (deg) Magnitude (db) Bode Diagram Frequency (rad/sec) a) Identifizieren Sie die Übertragungsfunktion P (s) des Systems anhand des gegebenen Bode- Diagrammes. b) Welche der in Abbildung 1 (auf Seite 9) gezeigten Sprungantworten gehört zum System P (s)? Geben Sie zu jeder Sprungantwort eine Begründung, warum sie zum gesuchten System passt oder nicht. c) Bestimmen Sie graphisch die kritische Verstärkung k p,krit >, von welcher an das System beim Einsatz eines P-Reglers instabil wird. Verwenden Sie dazu das gegebene Bode- Diagramm. Erläutern Sie Ihr Vorgehen. d) Das mit einem P-Regler geregelte System hat einen statischen Nachlauffehler. Beschreiben Sie qualitativ, was Sie als Regelungstechniker dagegen tun würden.

5 Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) Seite 9 Seite 1 Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) Ausgang y Ausgang y Zeit t (sec) Lösung 4 (a) Zeit t (sec) (c) a) Die Übertragungsfunktion P (s) enthält: einen stabilen Pol eine minimalphasige Nullstelle eine Totzeit eine Verstärkung. Ausgang y Ausgang y Zeit t (sec) 1 Abbildung 1: Sprungantworten (b) Zeit t (sec) (d) ablesen, jene der Nullstelle mit etwa a =. Die Verstärkung k kann z.b. über die statische Übertragung ermittelt werden: P () = k a b = 1 (= 4 db) k = 1 b a = 1. = =6. 6 Die Totzeit kann über den Phasengang ermittelt werden. Bei ω = 9 rad/s beträgt die Phase etwa 54 = π. Der Phasengewinn der NS und der Phasenverlust des Pols neutralisieren sich bei dieser Frequenz etwa zu Null. Folglich gilt: P (jω) ω=9 rad/s = ω T ω=9 rad/s = π T π = 9 = 1 Die Übertragungsfunktion P (s) lautet also: P (s) = s + s +. e s b) Sprungantwort d) gehört zum System. Begründungen: Sprungantwort a): Ist nicht-minimalphasig und hat höhere Ordnung als 1. ausgeschlossen! Sprungantwort b): Hat höhere Ordnung als 1. ausgeschlossen! Sprungantwort c): Hat keine Totzeit. ausgeschlossen! Sprungantwortd): Muss passen da a), b) und c) ausgeschlossen wurden. (Hat Totzeit, Ordnung 1.) c) Der P-Regler ändert nur die Verstärkung, nicht die Phase. Folglich wird das System grenzstabil, wenn die Verstärkung von L(jω) gleich eins ist bei der Phase 18. L(jω krit )=k p,krit P (jω krit )= 1 =1 e πj Die Strecke P (s) hat bei der Frequenz mit Phase 18 etwa 1 db Verstärkung. Folglich ist die kritische Verstärkung des P-Reglers etwa 1 db. k p,krit = 1 db ( =.9) d) Um keinen statischen Regelfehler zu erhalten muss L(s) integrierend sein. Da P (s) nicht integrierend ist, muss also der Regler C(s) integrierend sein. Regler mit I-Anteil verwenden! Folglich lautet sie: P (s) =k s + a s + b e s T Die Eckfrequenz des Poles lässt sich ungefähr mit b =.

6 Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) Seite 11 Seite 1 Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) Aufgabe 5 (Zeitbereich und Frequenzbereich) 8 Punkte Das dynamische Verhalten eines Systems sei gegeben durch die Differentialgleichung... y (t)+ 7ÿ(t) + 16ẏ(t)+ 1y(t) = u(t) +u(t). a) Finden Sie die Übertragungsfunktion Σ(s) dieses Systems. b) Berechnen Sie die Impulsantwort des gegebenen Systems (geben Sie die Lösung im Zeitbereich an). Die Anfangsbedingung ist: y() = ẏ() = ÿ() = u() =. Tipp: Ein reeller Pol der Übertragungsfunktion liegt bei s =. c) Das Eingangssignal sei nun ein Einheitssprung zur Zeit t =, { 1 für t> u(t) = für t. Lösung 5 Welchen Wert nimmt das Ausgangssignal des Systems nach unendlich langer Zeit an? Mittels Residuenmethode kann der Ausdruck einfach in Partialbrüche zerlegt werden: π 1 = ϕ 1 = 1 π = ϕ = Die Residuen lauten: s+1 ρ 1,1 = lim s ρ,1 = lim s d ds = (s+) { s+1 (s+) ρ, = lim s s+1 s+ = 1 1 = 1 } 1 = (s+) (s+1) = lim s = (s+) 1 = Es folgt für die Partialbruchzerlegung des Ausgangssignals: Y (s) = s + + s (s +) Durch Rücktransformation in den Zeitbereich erhält man: y(t) = e t +e t t e t c) Da das System asymptotisch stabil ist, existiert das zeitliche Limit lim t y(t). Es kann also das Endwerttheorem angewandt werden: lim t y(t) = lim s + s Y (s) = lim s + s Σ(s) 1 s = lim s + s +1 s +7s +16s +1 = 1 1 a) Laplace-transformiert (für y() = ): s Y (s)+7s Y (s)+16sy (s) =su(s)+u(s) Daraus folgt als Übertragungsfunktion: Σ(s) = Y (s) U(s) = s +1 s +7s +16s +1 b) Der Impuls lautet Laplace-transformiert: U(s) =L{δ(t)} =1 Das Ausgangssignal ist: s +1 Y (s) =Σ(s) 1= s +7s +16s +1 1 Das Nennerpolynom kann mithilfe des gegebenen Poles bei s = (Polynomdivision) in Faktoren zerlegt werden: (s +7s +16s + 1)/(s +)=s +4s +4=(s +) Es folgt für das Ausgangssignal Y (s): Y (s) = s +1 (s +) (s +)

7 Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) Seite 1 Seite 14 Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) Aufgabe 6 (Spezifikationen und Randbedingungen) 8 Punkte In dieser Aufgabe wird die Querdynamik eines Schiffes durch die folgenden Gleichungen approximiert (beachten Sie die Vorzeichen): ẋ 1 (t) =x (t) ẋ (t) = 1 τ [x (t) k u u(t) k d d(t)]. Das Messsignal y(t) istgleichx 1 (t), wobei x 1 (t) die Abweichung des Schiffes vom Sollkurs darstellt. Für dieses Schiff soll ein Autopilot (Kursregler) entworfen werden (dieser ist nicht Teil dieser Aufgabe), welcher das Schiff automatisch auf Kurs hält (y(t) =x 1 (t) ). Das Steuersignal u(t) beschreibt die Ruderwirkung. Das Störsignal d(t) bildet den Einfluss von Wind und Welle nach. Die Zeitkonstante τ hat den Wert 1 s. Die Verstärkungen der Störung d(t) und des Stellsignals u(t) haben den Wert k d = k u =1. Ebenso gegeben ist eine Unsicherheitsgrenze U(s) für dieses Modell U(s) =τ u s wobei τ u =1sist. Die wichtigsten Störungen (Wellen und Wind) lassen sich approximieren durch d(t) = 17 i=1 δ i cos(ω i t), <δ i 1, <ω i ω d =.1 rad/s. a) Leiten Sie die Übertragungsfunktion P (s) des Wirkkanals (u y) der Strecke her (x 1 () = x () = ). c) Als erstes stellt man fest, dass die Strecke minimalphasig aber instabil ist mit π + =1/τ =.8... rad/s. Dies ergibt eine untere Grenze für die Durchtrittsfrequenz π + = rad/s <ω c. Die Störungen verlangen eine untere Grenze ω d =. rad/s <ω c. Die Modellunsicherheit limitiert die Durchtrittsfrequenz nach oben. Die Grenze lautet ω c <.5 ω u =.5 rad/s. Andere Einschränkungen sind nicht vorhanden. Alle Bedingungen zusammengefasst lauten max{π +,ω d } =. rad/s <ω c <.5 ω u =.5 rad/s. Diese Ungleichung kann erfüllt werden, d.h. die Regelaufgabe ist grundsätzlich lösbar. d) Benutzt man die Faustregel t ω c so weist die Wahl von ω c =.1 rad/s einen Sicherheitsabstand von Faktor 5 zu beiden Grenzen hin auf. Entsprechend ist die Vorgabe t 9 =17s sinnvoll. b) Bei welcher Frequenz ω u erreicht die Unsicherheit 1%, d.h. ab welcher Frequenz ω u gilt U(jω) > 1für alle ω>ω u? c) Ist das oben formulierte Problem grundsätzlich lösbar? Begründen Sie Ihre Antwort. d) Der Projektleiter fragt Sie nach einer sinnvollen Spezifikation für die Zeitspanne t 9,in der das geschlossene Regelsystem sprungförmige Störungen d(t) = h(t) ausregeln kann. Welchen Wert würden Sie für t 9 vorschlagen? Lösung 6 a) Die Übertragungsfunktion lautet k u P (s) = 1 s τ s+1. b) Diese Frequenz findet man direkt aus U(jω) = τ u jω = τ u ω ω u = 1 τ u = 1 rad/s

8 Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) Seite 15 Seite 16 Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) Aufgabe 7 (Reglerauslegungsverfahren) 1 Punkte Sie kennen das Ziegler/Nichols-Verfahren. Nun möchten Sie Ihr eigenes PD-Reglerauslegungsverfahren für asymptotisch stabile Regelstrecken P (s) kreieren. Die Reglerparameter des PD-Reglers C(s) =k p (1 + T d s) sollen aufgrund der Kenngrössen der Regelstrecke { k p,ω } (vergleiche Skizze) P (jω )= 1 k p 1 Im Re b) In der komplexen Ebene ist der Punkt auf dem Einheitskreis mit einer Phase von 1 die komplexe Zahl 1 j. Gesucht ist also ein PD-Regler C(s) =k p (1 + T d s) für den gilt: L(jω )=C(jω )P (jω ) =! 1 j Ausgeschrieben ergibt das L(jω )=k p (1 + j T d ω ) 1! kp = 1 j Daraus entstehen die zwei Bedingungen: k p kp = 1 k p und kp T d ω = Somit gilt: k p = 1 k p und T d = ω. c) Es kann keine Phasenreserve garantiert werden, da die Form von L(jω) nicht bekannt ist. Es kann nicht einmal garantiert werden, dass das Regelsystem stabil ist. so bestimmbar sein, dass folgende Kriterien erfüllt werden: Für die Durchtrittsfrequenz ω c der Kreisverstärkung L(s) =C(s) P (s) soll gelten: ω c = ω. Die Kreisverstärkung soll bei einer Phase von 1 den Einheitskreis betreten: L(jω c )= 1. a) Beschreiben Sie in Ihren eigenen Worten, wie Sie die benötigten Kenngrössen der Regelstrecke { k p,ω } experimentell (= an einem Prüfstand) bestimmen könnten. (Bemerkung: Sie besitzen kein Gerät, mit dem Sie Frequenzgänge aufzeichnen können.) b) Leiten Sie ein Gesetz für die Herleitung der Reglerparameter {k p,t d } in Funktion der Kenngrössen (aus a)) her. c) Welche Phasenreserve können Sie mit Ihrem Verfahren garantieren? d) Beschreiben Sie in Ihren eigenen Worten, wie Sie die Phasenreserve eines asymptotisch stabilen Regelsystems experimentell bestimmen könnten. (Bemerkung: Wiederum ohne Messung von Frequenzgängen.) d) Die Phasenreserve kann man bestimmen, indem man in den Regelkreis eine Totzeit (reines Phasenverzögerungsglied) einfügt (z.bsp. zwischen Regler und Strecke) und dann die Totzeit langsam bis zur kritischen Totzeit Tdelay erhöht, bei der das System grenzstabil wird. Mit der kritischen Frequenz ω kann nun über die Beziehung ϕ = e j ω T delay = ω Tdelay die Phasenreserve berechnet werden. Lösung 7 a) Man erstellt einen geschlossenen Regelkreis mit der reellen Strecke und einem P-Regler. die Verstärkung des Reglers wird nun solange erhöht, bis das System grenzstabil wird, d.h auf einen Impuls am Eingang reagiert das Regelsystem mit einer ungedämpften harmonischen Schwingung; die Frequenz dieser Schwingung ist dann die kritische Frequenz ω und die zugehörige Verstärkung ist dann die kritische Verstärkung k.

9 Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) Seite 17 Seite 18 Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) Aufgabe 8 (MULTIPLE-CHOICE) 8 Punkte Entscheiden Sie bei den folgenden Aussagen, ob sie richtig oder falsch sind. Markieren Sie das entsprechende Kästchen mit einem Kreuz ( ). Die Antworten sind nicht zu begründen. Alle Fragen sind gleich gewichtet (1 Punkt). beantwortete Fragen geben entsprechend Punkteabzug 5 ( 1 Punkt). Nicht beantwortete Fragen geben Punkte. Das Punkteminimum für die gesamte Aufgabe beträgt Punkte. a) Gegeben sei das folgende normierte lineare System: ẏ(t) =.y(t) + u(t), y() =. Die Steigung der Systemanwort y(t) zur Zeit t = s auf einen Einheitssprung u(t) = h(t) beträgt 1.5 s 1. b) Ein lineares System mit der Dynamikmatrix 4 1 A = 8 1 ist Lyapunov-instabil. c) Das lineare System mit ẋ(t) =Ax(t)+bu(t) y(t) =cx(t) 4 A = 8 1, b = ist vollständig steuerbar. d) Die Übertragungsfunktion eines linearen, zeitinvarianten Systems 7. Ordnung, das weder vollständig steuerbar noch vollständig beobachtbar ist, hat höchstens fünf Pole. 5 Seien Sie also vorsichtig! e) Die minimale Realisierung eines Systems (minimal realization) ist immer asymptotisch Lyapunov-stabil. f) Die Übertragungsfunktion Σ(s) von u(t) nach y(t) des folgenden Systems: ÿ 1 (t) =u(t) u(t) ẏ (t)+y (t) =5y 1 (t) y(t) =y (t 7) ist gegeben durch Σ(s) = 1 15s s + s e 7s. g) Die Übertragungsfunktion eines linearen, zeitinvarianten Systems kann bestimmt werden, indem man die Impulsantwort des Systems Laplace-transformiert. h) Das System y(t) = u(t) R(t)C(t)ẏ(t) mit Eingang u(t), Ausgang y(t) und den Systemparametern R(t) und C(t) ist nichtlinear. Lösung 8 a). Das System hat eine Zeitkonstante von τ = 1 s und einen Übertragungsfaktor von k = 15. Die Tangente an die Systemantwort zur Zeit t = s beträgt demnach k τ =1.5s 1. b). Das System hat die Eigenwerte λ 1 =,λ = 8,λ =,λ 4 = 1 und ist damit grenzstabil. (Beachte: A ist eine Dreiecksmatrix) c). Aus der Struktur der Matrizen A und b kann man erkennen, dass der Unterraum {x 1,x } nicht steuerbar ist. d). Die Übertragungsfunktion hat höchstens sechs Pole, da eine Zustandsvariable sowohl nicht steuerbar, als auch nicht beobachtbar sein kann. e). Die minimale Realisierung eines Systems ist immer vollständig steuerbar und vollständig beobachtbar. f). Das System ist eine Serieschaltung von drei Teilsystemen, wobei: Σ(s) =Σ (s) Σ (s) Σ 1 (s) =e 7s s + s 5 s +1 = 1 15s s + s e 7s.

10 Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) Seite 19 Seite Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) g). Es gilt: L{y Impuls (t)} = Y Impuls (s) =Σ(s) L{δ(t)} =Σ(s) 1=Σ(s). h). Das gegebene System ist linear (aber nicht zeitinvariant). Aufgabe 9 (MULTIPLE-CHOICE) 8 Punkte Entscheiden Sie bei den folgenden Aussagen, ob sie richtig oder falsch sind. Markieren Sie das entsprechende Kästchen mit einem Kreuz ( ). Die Antworten sind nicht zu begründen. Alle Fragen sind gleich gewichtet (1 Punkt). beantwortete Fragen geben entsprechend Punkteabzug 6 ( 1 Punkt). Das Punkteminimum für die gesamte Aufgabe beträgt Punkte. Im folgenden bezeichnen L: Kreisverstärkung, S: Sensitivität, T : komplementäre Sensitivität. a) Um das Überschwingen der Sprungantwort eines asymptotisch stabilen Regelsystems zu reduzieren, muss dessen Bandbreite erhöht werden. b) Um bei einem asymptotisch stabilen Regelsystem mit einem P-Regler den bleibenden Regelfehler zu halbieren, muss die Reglerverstärkung k p verdoppelt werden. c) Im Nyquist Diagramm des offenen Regelkreises L(jω) gilt für alle Punkte auf der Geraden, welche parallel zur imaginären Achse ist und durch den Punkt 1 + j geht: T (jω) =1. d) Die Sprungantwort der Übertragungsfunktion Σ (s) = s +4 (s 6)(s ) geht nach unendlich langer Zeit auf den Wert 1. e) Falls für ein asymptotisch stabiles Regelsystem max S(jω) = 1 gilt, hat dieses eine Phasenreserve von mindestens 6. ω f) Gegeben sei die Regelstrecke P (s) = 1. Der Strahl mit dem Startpunkt im Ursprung und s4 einem Winkel zur reellen Achse von +45 liegt auf der Wurzelortskurve (root locus) der Strecke P (s). 6 Seien Sie also vorsichtig!

11 Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) Seite 1 Seite Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) g) Sei L(s) die Kreisverstärkung eines asymptotisch stabilen Regelsystems. Die Antwort des Regelsystems auf einen Einheitssprung der Sollgrösse weist einen stationären Nachlauffehler von % auf, falls L(s) rein integrierend ist. Ist hingegen L(s) rein differenzierend, so resultiert ein stationärer Nachlauffehler von 1 %. h) Jedes lineare Regelsystem mit einer instabilen Strecke wird bei zu grossen Reglerverstärkungen instabil. für die Strecke P (s) aus (m =,n=4,π 1,..,4 = ), erhält man: 4 arg(z) = 18. Für den Strahl ergibt das: 4 45 = 18. g). Für ein integrierendes L(s) gilt L() = und somit T () = = 1, und für ein differenzierendes L(s) gilt L() = und somit T () = 1 =. 1 h). Gegenbeispiel: Die Strecke G(s) = (s )(s +5) mit dem Regler C(s) =k p wird nur instabil, falls k p zu klein gewählt wird. Lösung 9 a). Die Bandbreite steht in Konkurrenz mit der Robustheit, d.h. wenn die Bandbreite erhöht wird, nimmt die Robustheit ab und somit das Überschwingen zu. b). Der bleibende Regelfehler berechnet sich mit T kp () = L() 1+L() wird nun die Reglerverstärkung verdoppelt, gilt: T kp () = L() 1+L() T k p () c). Setzt man L(jω)= 1 + j y in die Gleichung T (jω) = L(jω) 1+L(jω) =1 ein, erhält man 1 + j y = 1 + j y Diese Gleichung ist somit für alle y gültig. d). Die Grenzwertsätze gelten nur wenn das zeitliche Limit existiert. Das System ist instabil, folglich geht y(t ). e). S max = 1 bedeutet dass der Kreis mit dem Radius 1 um den Nyquistpunkt nicht betreten wird. Der Schnittpunkt mit dem Einheitskreis hat eine Phasenreserve von 6. f). Wertet man die Bedingung: m n arg(z ζ i ) arg(z π i ) = 18 i=1 i=1