Grundlagen der Regelungstechnik

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1 Grundlagen der Regelungstechnik Bernhard P. Lampe Universität Rostock Institut für Automatisierungstechnik Rostock, 22. Januar 2010 B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

2 Inhalt 1 Einführung 2 Analyse dynamischer Systeme 3 Reglerentwurf 4 Zustandsregelung 5 Digitale Regelung 6 Realisierungsaspekte 7 Ausblick B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

3 Inhalt 1 Einführung 2 Analyse dynamischer Systeme 3 Reglerentwurf 4 Zustandsregelung 5 Digitale Regelung 6 Realisierungsaspekte 7 Ausblick B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

4 Vorbemerkungen Ausgangspunkt Die Vorlesung baut auf den vorangegangenen Lehrveranstaltungen der Studiengänge ET und ITTI auf. Speziell werden die Methoden der Signal- und Systemtheorie intensiv genutzt. Die am Ende dieser Sammlung angegebene Literatur ist zu studieren. Anliegen Ergänzendes Material zur Lehrveranstaltung Kleine übersichtliche Zusammenfassungen Gebrauch neben der laufenden Lehrveranstaltung Status Die Sammlung wird laufend fortgeschrieben. Alle Teilnehmer der Lehrveranstaltung werden gebeten, die Aufnahme weiterer Themen oder Fakten vorzuschlagen. B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

5 Grundbegriffe Zeit? globale reelle Variable, kontinuierlich t oder diskret k Signal Zeitlicher Verlauf einer (physikalischen) Größe, Funktion der Zeit, Wertebereich kontinuierlich oder diskret x(t), x(k) = x k z.b. Verkehrsampel: Position, Farbe (abhängig)?bild? Operator Funktion Funktion H Eingangssignal Ausgangssignal y(t) = H[u(t)], u U, y Y (1) z.b. Verstärken, Verschieben, Differenzbildung, auflaufendes Summieren, Differenzieren, Integrieren,... B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

6 Linearer Operator H[c 1 u 1 + c 2 u 2 ] = c 1 H[u 1 ] + c 2 H[u 2 ] (2) Verschiebeoperator Zeitinvarianter Operator für alle u 1, u 2 U, c 1, c 2 R (C) System Zusammenwirken von Operatoren H τ [u(t)] = u(t τ), τ R (3) HH τ = H τ H für alle τ R (4) H 1 [y(t)] = H 2 [u(t)] (5) LTI System: Alle beteiligten Operatoren sind linear und zeitinvariant H 1 ist i.a. nicht (eindeutig) umkehrbar zu einem u gibt es mehrere y B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

7 Beispiel RCL-Schaltung u Eingangsspannung, y Ausgangsspannung u R L C y u Dyn. System y Statisch: Unbeweglich, Endzustände betreffend Dynamisch: Beweglich, Übergangsvorgänge betreffend B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

8 Inhalt 1 Einführung 2 Analyse dynamischer Systeme Beschreibung kontinuierlicher LTI Systeme Zustandsraum Kennfunktionen, Faltung Frequenzgang Übertragungsfunktion Standardglieder Linearisierung im Arbeitspunkt Eigenschaften dynamischer Systeme Lösungsmenge von LTI Systemen Steuerbarkeit, Beobachtbarkeit Stabilität Darstellungen für LTI Systeme Zustandsraum-Darstellungen ss Darstellungsformen für Übertragungsfunktionen Umwandlung von System-Darstellungen Zusammengesetzte Systeme B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

9 Differentialgleichungen (DGL) Ungeordnetes System von Bilanzgleichungen u(t) = u R (t) + u C (t) + u L (t) y(t) = u C (t) i(t) = i R (t) = i C (t) = i L (t) u R (t) = R i R (t) u L (t) = L di L(t) dt t u C (t) = 1 i C C (τ) dτ + u C (0) 0 du C (t) = 1 dt C i C(t) Algebro-DGL, Descriptor-System, Singuläre DGL B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

10 Zustandsdarstellung Eliminieren von überflüssigen Variablen Behalte x 1 = u C, x 2 = i, u, y Zustandsdarstellung ẋ 1 (t) = 1 C x 2(t) ẋ 2 (t) = 1 L x 1(t) R L x 2(t) + 1 L u(t) (6) y(t) = x 1 (t) (7) mit x = [ x1 x 2 ẋ = Ax + Bu, y = Cx + Du (8) ] [ 0 1, A = C 1 L R L ] [ 0, B = 1 L ], C = [ 1 0 ] D = 0 x Zustand, u Eingang, y Ausgang des Systems (Modells) B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

11 Beispiel fallender Stein Aktuelle Höhe h F a = m a F g = m g ḧ = g (9) Wähle x 1 = h, x 2 = v = ḣ, u(t) = 1(t) [ x1 x 2 ] = [ ] [ x1 x 2 y = [ 1 0 ] [ x 1 x 2 ] [ 0 + g ] + 0 u ] u (10) B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

12 Beispiel Feder-Masse-Dämpfer f m d y u Festlegung der Nullpunkte: u(t) 0 y(t) 0! Beschreibung d. Abweichungen von der Ruhelage! F a = mÿ, F f = f (y u), F d = d mÿ + dẏ + fy = d u + fu d(y u) dt Problem: In (8) darf u nicht vorkommen! Ansatz: x 1 = y, x 2 = ẏ + α(y u) Bestimme α so, dass u herausfällt ẋ 1 = x 2 α(x 1 u), ẋ 2 = ÿ + α(ẏ u) m[ẋ 2 α(ẏ u)] + d(ẏ u) + fx 1 = fu [ d m ẋ = 1 ] ] f m 0 x + [ d m f m α = d m u, y = [ 1 0 ] x + 0u (11) B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

13 Eigenschaften der ZR-Darstellung D 1 Strukturbild u B ẋ x 0 x C y A 2 Aus dem Anfangszustand x(t 0 ) = x 0 und u(t) für t t 0 ergibt sich x(t) für t t 0 eindeutig. Wegen TI kann man t 0 = 0 annehmen. Der Zustand enthält also alle Informationen aus der Vergangenheit des Systems, die für das zukünftige Verhalten relevant sind. Nennen Sie Beispiele für Zustand in der Alltagssprache! B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

14 3 Die Darstellung (8) ist nicht eindeutig. Gleichwertige Zustandsvariable R x = x, R quadratisch, regulär R 1 ẋ = R 1 Ax + R 1 Bu, y = Cx + Du Das Modell (12) hat dieselbe Gestalt wie (8). x = Ã x + Bu, y = C x + Du (12) Zuordnung: Ã = R 1 AR, B = R 1 B, C = CR (13) ss2ss A Ã Ähnlichkeitstransformation Chance: Wie kann man den Freiheitsgrad nutzen? Kanonische Darstellungen (Formen) Ã möglichst einfach, diagonal? Grundlegende Eigenschaften des Systems direkt ablesbar Einfache und numerisch stabile Gewinnung aus anderen Darstellungen des Systems B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

15 4 Eingabe eines Systems über die ZR-Darstellung: ss Das System ist in MATLAB ein Objekt: (A, B, C, D) >> g=9.81; % Gravitationskonstante >> A=[0 1; 0 0]; B=[0;-g]; C=[1 0]; D=0; >> Stein = ss(a,b,c,d) 1. Übung Man gebe die Systeme aus den beiden anderen Beispielen als MATLAB-Objekte ein! B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

16 Kennfunktionen Idee Durch Ausnutzung der Linearität und der Zeitinvarianz des Systems kann aus der Reaktionen des Systems auf ein charakteristisches Signal auf beliebige Systemreaktionen geschlossen werden. Bekannt: Übergangsfunktion (Sprungreaktion) des Systems u(t) = 1(t) y(t) = h(t), Anfangszustand = 0 Verfahren Zerlegung eines beliebigen Eingangssignals in eine Summe von verschobenen Sprungfunktionen variabler Höhe, Schrittweite T u(t) u(kt )[1(t kt ) 1(t (k + 1)T )] (14) k=0 Superposition der einzelnen Bestandteile Faltung B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

17 Faltung y(t) u(kt )[h(t kt ) h(t (k + 1)T )]/T T (15) k=0 Grenzübergang T 0 : kt = τ, T dτ, h T y(t) = 0 y(t) = g(t) u(t), u(τ)g(t τ) dτ dh(t) dt Faltungsintegral = g(t) symbolisch: Faltungsprodukt Gewichtsfunktion g(t) ist als Reaktion auf δ(t) = d1(t) denkbar. dt δ(t) Dirac-Stoß, Dirac-Impuls Kausales System: g(t) = 0 für t < 0 MATLAB: step liefert h(t), impulse liefert g(t) Faltung mit conv, Entfaltung mit deconv Ist das durch (8) beschriebene System kausal? (16) B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

18 2. Übung, Faltung und Entfaltung Die gedämpfte Federung mit den Parametern m = 2000 kg, f = N/m, d = 1000 Ns/m fährt über eine Bodenwelle, die durch t 2 für 0 < t < 1 2 (t 2) 5u(t) = 2 für 1 < t < 3 (t 4) 2 für 3 < t < 4 0 sonst modelliert wird. Berechnen Sie a) die Gewichtsfunktion g(t) des Systems und eine auf 1% gerundete Näherung g 1 (t) b) die Reaktionen y(t) und y 1 (t) des Systems durch Faltung von u(t) mit g(t) bzw. g 1 (t) c) aus der Wirkung y(t) die verursachende Bodenwelle u(t), wobei einerseits exakte und andererseits die auf 1% gerundeten Messwerte y(t) und Modellkenntnisse g(t) zur Verfügung stehen. d) Wie wirkt sich eine vorherige Glättung der verrauschten Messwerte aus? B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

19 Frequenzgang Idee: Wird ein kontinuierliches LTI System mit einer harmonischen Schwingung erregt, so stellt sich am Ausgang nach Ablauf von Übergangsvorgängen eine harmonische Schwingung gleicher Frequenz mit veränderter Amplitude und Phasenlage ein. e jωt LTI System A e j(ωt+φ) Messung oder Berechnung von K (ω) = A(ω) e jφ(ω) als frequenzabhängiger komplexer Verstärkungsfaktor. Der Frequenzgang ist die Funktion K (ω) für 0 ω <. Darstellung als Nyquist-Diagramm durch Ortskurve in der komplexen Ebene mit ω als Parameter Bode-Diagramm A(log ω) und φ(log ω) über log ω A in db, φ in Grad oder rad Kann man sich auf die Eingangsamplitude 1 beschränken? B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

20 Antwort auf harmonisches Eingangssignal B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

21 Darstellungen des Frequenzgangs 3. Übung Man stelle die Frequenzgänge mit Hilfe der MATLAB-Funktionen nyquist, bode für die vorgenannten Beispiele dar! Überprüfen Sie für eine von Ihnen gewählte Frequenz ω 0 die Richtigkeit durch Faltung von u(t) = sin ω 0 t mit g(t)! B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

22 Berechnung des Frequenzgangs aus der Differentialgleichung Einfaches Beispiel erster Ordnung: ẋ = ax + bu (17) Ansatz: u(t) = e jωt, x(t) = K (ω) e jωt ẋ(t) = jωx(t) jωk (ω) e jωt = ak (ω) e jωt +b e jωt K (ω) = b jω a (18) Da der Frequenzgang von jω abhängt, schreibt man K (ω) = G(jω) Erweiterung auf Zustands-DGL (8) : x(t) = G(jω) e jωt jωg(jω) e jωt = AG(jω) e jωt +B e jωt G(jω) = (jωi A) 1 B Mit Ausgangsgleichung: u(t) = e jωt y(t) = G(jω) e jωt G(jω) = C(jωI A) 1 B + D (19) B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

23 Systemantwort aus dem Frequenzgang Idee: Zusammensetzung eines Signals aus Bestandteilen e jωt und Superposition der Teilanworten. Periodische Signale mit der Periode T = 2π/ω 0 : Fourier-Reihe u(t) = 1 T /2 u k e kjω0t, u k = u(t) e kjω 0t dt T k= T /2 y(t) = 1 u k G(kjω 0 ) e kjω 0t y k = G(kjω 0 )u k T k= Aperiodische Signale (ω 0 dω): Fourier-Integral (-Transformation) u(t) = 1 2π y(t) = 1 2π (20) U(jω) e jωt dω, U(jω) = u(t) e jωt dt (21) U(jω)G(jω) e jωt dω Y (jω) = G(jω)U(jω) B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

24 Übertragungsfunktion Idee: Der vorangegangene Ansatz legt eine symbolische Betrachtung oder eine Integraltransformation nahe. Differentiationsoperator p = d dt : px(t) = ẋ(t) (Heaviside) G(p) = C(pI A) 1 B + D (22) Übertragungsfunktion mit y(t) = G(p)u(t) Laplace-Transformation (jω s = σ + jω), u(t) = 0 für t < 0 Konvergenz des Integrals für weitere Signalklassen u(t) = 1 2π c+j y(t) = 1 2πj c j c+j U(s) e st ds, U(s) = c j 0 u(t) e st dt (23) U(s)G(s) e st ds Y (s) = G(s)U(s) Bildbereich/Frequenzber. s, bilde G(s) nach (22) (p s) B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

25 Übertragungsfunktion von LTI DGL höherer Ordnung a 0 y (n) + a 1 y (n 1) a n 1 ẏ + a n y (24) = b 0 u (n) + b 1 u (n 1) b n 1 u + b n u Symbolisch (oder Laplace-Transformation mit Anfangswert = 0) (a 0 p n +a 1 p n a n 1 p+a n )y = (b 0 p n +b 1 p n b n 1 p+b n )u G(p) = b 0p n + b 1 p n b n 1 p + b n a 0 p n + a 1 p n a n 1 p + a n (25) Begründen Sie aus der Beziehung G(jω) = G(p) p=jω, welche der Koeffizienten in (25) bei realen Systemen verschwinden dürfen! ovaa: a 0 0 a 0 = 1 B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

26 Standardglieder Idee: Es werden einfache Systeme definiert und ihre Eigenschaften untersucht. Später werden komplizierte Systeme aus einfachen zusammengesetzt. P-Glieder Proportionales (stationäres) Verhalten Name DGL G(s) h(t) V PT 1 T 1 ẏ + y = V u V 1 + st 1 T 1 PT 2 T 2 0 ÿ + 2dT 0ẏ + y = V u V 1 + s2dt 0 + s 2 T 2 0 V 2πT 0 B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

27 I-Glieder Integrierendes (stationäres) Verhalten D-Glieder Differenzierendes (stationäres) Verhalten Name DGL G(s) h(t) IT 1 T1 T I ÿ + T I ẏ = u 1 st I (1 + st 1 ) 1 T 1 T 1 +T I T D /T 1 DT 1 T 1 ẏ + y = T D u T D s 1 + st 1 T 1 Welche Sonderfälle ergeben sich für T 1 = 0? B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

28 Totzeit-Glied Zeitlicher Verzug Name Gleichung G(s) h(t) 1 T t y(t) = u(t T t ) e stt T t 4. Übung Man ergänze die Tabelle nach Möglichkeit um ZR-Darstellung, g(t), Bode-Diagramm! B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

29 Lösung zur 4. Übung Name Zustandsraum-Darst. g(t) G(jω) PT 1 A = 1 T 1, B = 1, C = V T 1, D = 0 V/T 1 V /T 1 20dB/dec PT 2 A = B = [ ] 2d T 0 1 T0 2, D = [ ] [ ] 1, C = 0 V 0 T0 2 0 T 1 90 V /T 0 40dB/dec A = IT 1 [ 1 B = 0 [ 1 T ] [, C = ], D = T I T 1 ] 1/T I 2πT T 1 /T I 90 20dB/dec 1/T 1 40dB/dec 1/T B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

30 Name Zustandsraum-Darst. g(t) G(jω) DT 1 A = 1 T 1, B = 1 C = T D T 1, D = T D T 1 0 T D /T 1 *δ(t) 90 20dB/dec 1/T 1 T D /T 1 T 1 0 T t Mit endlichen Matrizen A, B, C, D nicht darstellbar (unendliche Dim.) δ(t T t ) 1 1/T 1 T t Inwiefern lässt sich das Totzeitglied als P-Glied unendlich hoher Ordnung auffassen? e x = lim (1 + x ) n e st t = 1 1 n n e st = lim ( ) t n n 1 + s T t n B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

31 5. Übung Stellen Sie die Übergangsfunktionen von G(s) = e s 1 und deren Approximationen als Verzögerungsglieder der Ordnungen n = 2, 4, 8, 16 in einem Diagramm dar! B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

32 Linearisierung im Arbeitspunkt Bisherigen Untersuchungen galten nur für LTI Systeme. Superpositionsprinzip gilt nicht, wenn Begrenzungen, Hysterese, Lose, Schalter, Diode, gekrümmte Kennlinien oder... vorkommen Prüfen Sie, ob y = 2u + 1 linear ist! Nichtlineare Zustandsgleichungen ẋ(t) = f(x(t), u(t)), y(t) = g(x(t), u(t)) (26) Stationärer Arbeitspunkt (AP): u o = const. x o = const. 0 = f(x o, u o ) y o = g(x o, u o ) (27) Im Prinzip kann (27) keine bis unendlich viele Lösungen haben. Verhalten für kleine Abweichungen vom AP: x = x x o, ũ = u u o, ỹ = y y o B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

33 Taylor-Entwicklung um den AP (u o, x o ) f(x, u) = A(x o, u o ) x + B(x o, u o )ũ + O( x 2, ũ 2 ) g(x, u) = g(x o, u o ) + C(x o, u o ) x + D(x o, u o )ũ + O( x 2, ũ 2 ) A(x o, u o f(x, u) ) = x x = x o, B(x o, u o f(x, u) ) = u x = x o u = u o u = u o C(x o, u o g(x, u) ) = x x = x o, D(x o, u o g(x, u) ) = u x = x o u = u o u = u o In Abhängigkeit vom AP ergibt sich unter gewissen Voraussetzungen an f, g für kleine Abweichungen x, ũ das LTI Modell (28) x = A x + Bũ, ỹ = C x + Dũ (29) Nennen Sie Beispiele, wo das beschriebene Vorgehen versagt! B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

34 Lösungsmenge von LTI Systemen Analyse: Untersuchung der Eigenschaften gegebener Klassen von (LTI) Systemen, speziell eines einzigen Systems Lösungsmenge für DGL 1. Ordnung ẋ(t) = ax(t)+bu(t) (30) Zugeordnete homogene Gleichung: ẋ(t) = ax(t) Allgemeine Lösung von (30) x = x h + x p x h allgemeine Lösung der homogenen Gl. x p partikuläre Lösung der inhom. Gl. (30) x h (t) = e at x 0, x p (t) = t 0 x 0 ist eine beliebige reelle Zahl (Anfangswert) e a(t τ) bu(τ) dτ (31) B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

35 Lösungsmenge für DGLS 1. Ordnung (ZR-Darstellung) Allgemeine Lösung von (32) ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) (32) x = x h + x p x h allgemeine Lösung der homogenen Gl. x p partikuläre Lösung der inhom. Gl. (32) x h (t) = e At x 0, x p (t) = t 0 e A(t τ) Bu(τ) dτ (33) x 0 bel. reeller Zahlenvektor der Dimension von x (Anfangswerte) e X = I + X + 1 2! X ! X (34) Wann gilt e R 1 XR = R 1 e X R? Siehe auch (13)! Wie sieht die Lösungsmenge für y(t) aus? B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

36 Steuerbarkeit Das System (32) heißt (vollständig) steuerbar, wenn jeder beliebige Zustand x 1 aus jedem beliebigen Zustand x 0 durch Veränderung von u in endlicher Zeit eingestellt werden kann. Man mache sich die Situation am Strukturbild von Seite 13 klar! Antwort über die Lösungsmenge t1 x 1 (t 1 ) = e At 1 x 0 + e A(t1 τ) Bu(τ) dτ 0 Lin. GLS: n = dim x Gl. mit unendl. vielen Unbek. u(t), t [0, t 1 ] Lösbarkeitsbedingung: Rang der Koeffizientenmatrix = n (34) rank [ B AB A 2 ] B... = rank [ B AB... A n 1 B ] = rank Q c = n (35) Das System (32) ist genau dann vollständig steuerbar, wenn die Steuerbarkeitsmatrix Q c vollen Rang hat. ctrb, ctrbf B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

37 Beobachtbarkeit Das System (8) heißt (vollständig) beobachtbar, wenn jeder beliebige Anfangszustand x 0 in endlicher Zeit t 1 aus den Werten von y(t), u(t) für t [0, t 1 ] bestimmbar ist. Strukturbild S. 13 t y(t) = C e At x 0 + C e A(t τ) Bu(τ) dτ 0 Lin. GLS: Unendl. vielen Gl. t [0, t 1 ] für n = dim x 0 Unbek. Lösbarkeitsbedingung: Rang der Koeffizientenmatrix = n (34) rank C CA CA 2. = rank C CA. CA n 1 = rank Q o = n (36) Das System (32) ist genau dann vollständig beobachtbar, wenn die Beobachtbarkeitsmatrix Q o vollen Rang hat. obsv, obsvf B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

38 Man zeige, dass für zwei Zustands-Darstellungen eines Systems, in denen die Variablen durch x = Rx verbunden sind, folgende Beziehungen gelten: Q o R = Q o, Q c = RQ c. (37) B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

39 Definition (Stabilität der Ruhelage) Die Ruhelage des autonomen nichtlinearen Systems ẋ(t) = f(x(t)), f(0) = 0 (38) heißt stabil (im Sinne von Lyapunov), wenn zu beliebig gegebener Zahl ɛ > 0 eine Zahl δ > 0 existiert, so dass aus x(0) < δ stets x(t) < ɛ folgt. Die Ruhelage des System (38) heißt asymptotisch stabil, wenn sie stabil ist und außerdem x(t) 0 strebt. Die Ruhelage des System (38) heißt global asymptotisch stabil, wenn die Lösung x(t) zu jedem Anfangswert x(0) = x 0 für alle t [0, ) existiert, stabil ist und x(t) 0 richtig ist. Durch die Transformation x(t) = x(t) x p (t) sind die Stabilitätsbegriffe auf eine Bewegung x p (t) des Systems (38) übertragbar. Es ist dann allerdings an Stelle von (38) ein zeitvariables System x(t) = f( x(t), t) zu betrachten! B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

40 LTI System Die Stabilitätsaussage bezieht sich auf das System (32) unter der Annahme u(t) 0. Warum ist ein asympt. stabiles lineares System immer global as.st.? Allgemeine Lösung des autonomen Systems x(t) = e At x 0 0 e At 0 (39) Sonderfall A Diagonalmatrix λ A = λ n e At = e λ 1t e λnt (40) Wenn A diagonalähnlich ist, so wird (39) wegen des Hinweises nach (34) genau dann erfüllt, wenn Re λ i < 0, i = 1,..., n gilt. B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

41 Charakteristische Gleichung Charakteristisches Polynom P(λ) = det(λi A) (41) Eigenwerte λ i, (Wurzel des charakteristischen Polynoms) P(λ i ) = det(λ i I A)! = 0, i = 1,..., n (42) Das LTI-System (32) ist genau dann asymptotisch stabil, wenn alle Eigenwerte von A negativen Realteil besitzen. Warum ist (41) ein Polynom und welchen Grad hat es? Wie kann man die Wurzeln eines Polynoms (numerisch) bestimmen? Wenn das System (32) asymptotisch stabil ist, dann reagiert es auf einen begrenzten Eingang u(t) mit einem begrenzten Ausgang x(t), es ist BIBO stabil. Man diskutiere die Stabilität [ von ] (32) im Grenzfall [ Re ] λ i = 0 für A = und A =! B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

42 Stabilitätskriterien Motivation Die Wurzeln des charakteristischen Polynoms sind nicht in geschlossener Form darstellbar. Man braucht weniger, nur die Lage der Wurzeln in Bezug auf die imaginäre Achse. Algebraische Kriterien Stabilitätsaussage nach endlich vielen arithmetischen Operationen (+ /) mit den Koeffizienten a i des charakteristischen Polynoms (41) P(λ) = a 0 λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n (43) Schema von ROUTH-HURWITZ Hat das Kriterium noch eine Bedeutung, wo man doch die Wurzeln eines Polynoms mit Hilfe von Computern (MATLAB) leicht berechnen kann? B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

43 ROUTH-Schema λ n : b 01 b 02 b 03 b λ n 1 : b 11 b 12 b 13 b λ n 2 : b 21 b 22 b 23 b λ n 3 : b 31 b 32 b 33 b :. λ 1 : b n 1,1 λ 0 : b n1 Initialisierung: b 0i = a 2i 2,. b 1i = a 2i 1.. (44) Berechnung: b ki = b k 1,1b k 2,i+1 b k 2,1 b k 1,i+1 b k 1,1 Kriterium: Beispiel: b 33 = b 21b 14 b 11 b 24 b 21 Alle Elemente der ersten Spalte (b k1 ) müssen dasselbe Vorzeichen haben B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

44 Beispiel 6. Übung Man bestimme mit Hilfe des Routh-Hurwitz-Schemas den Bereich von K, für den das rückgekoppelte System mit der offenen K Kette G 0 (s) = stabil ist! (1 + st 1 ) 3 Lösung P(λ) = K + (1 + λt 1 ) 3 = T 3 1 λ3 + 3T 2 1 λ2 + 3T 1 λ + K + 1 Potenz 1. Spalte 2. Spalte Bedingung λ 3 T 3 1 3T 1 T 1 > 0 λ 2 3T 2 1 K + 1 λ T 1 (3 K +1 3 ) 0 8 K > 0 1 K + 1 K > 1 T 1 > 0 und 1 < K < 8 Eine notwendige Bedingung für Stabilität ist, dass alle Koeffizienten des charakteristischen Polynoms gleiches Vorzeichen besitzen. B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

45 Stabilitätsgrad δ Wenn für ein δ > 0 alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung links von der Parallelen zur imaginären Achse λ = δ liegen, d.h. Re λ i < δ gilt, dann klingen alle Elementarbewegungen des zugehörigen Systems mindestens wie e δt ab Stabilitaetsgrad δ= B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

46 Übung 6a) Unter den Bedingungen der 6. Übung bestimme mit Hilfe des Routh-Hurwitz-Schemas den Bereich von K, für den das rückgekoppelte System mindestens den Stabilitätsgrad δ besitzt! Lösung Man ersetzt λ durch λ δ und rechnet wie zuvor. P 1 (λ) = P(λ δ) = K + [1 + (λ δ)t 1 ] 3 = T 3 1 (λ δ)3 + 3T 2 1 (λ δ)2 + 3T 1 (λ δ) K = T 3 1 λ3 + 3T 2 1 (1 δt 1)λ 2 + 3T 1 (1 δt 1 ) 2 λ + (1 δt 1 ) 3 + K Potenz 1. Spalte 2. Spalte Bedingung λ 3 T 3 1 3T 1 (1 δt 1 ) 2 T 1 > 0 λ 2 3T 2 1 (1 δt 1) (1 δt 1 ) 3 + K 1 δt 1 > 0 λ T 1 [8(1 δt 1 ) 3 K ] 3(1 δt 1 ) 0 8(1 δt 1 ) 3 K > 0 1 (1 δt 1 ) 3 + K K > (1 δt 1 ) 3 0 < δt 1 < 1 und (1 δt 1 ) 3 < K < 8(1 δt 1 ) 3 Zum Beispiel T 1 = 1, δ = < K < 1 B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

47 Argumentprinzip Idee Stabilitätsaussage direkt aus dem Frequenzgang Hintergrund Argumentprinzip der Funktionentheorie Wenn die komplexe Variable s eine einfache Kontur durchläuft, dann umfährt die Kurve H(s) den Ursprung N = Z P mal, wobei Z die Anzahl der Nullstellen und P die Anzahl der Polstellen von H(s) innerhalb der Kontur bedeutet Kontur in der s Ebene Nullstellen Pole Kontur in der H Ebene N = Z P = B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

48 Nyquist-Kriterium Spezielle Kontur Von unten nach oben durchlaufene imaginäre Achse im Unendlichen geschlossen = im Uhrzeigersinn durchlaufener Rand der rechten Halbebene Funktion G 0 (s) Übertragungsfunktion der offenen Kette 1 + G 0 = 0 charakteristische Gleichung Bedingung Kritischer Punkt = 1 + j0 : Z = 0 N = P P Anzahl der instabilen Pole von G 0 (s) NYQUIST-Kriterium Der Regelkreis ist stabil, wenn der Frequenzgang der offenen Kette den kritischen Punkt 1 + 0j so oft entgegen dem Uhrzeigersinn umläuft wie die Anzahl der instabilen Pole von G 0 (s) beträgt. NYQUIST-Kriterium für stabile offene Kette Der Regelkreis ist stabil, wenn der Frequenzgang der offenen Kette den kritischen Punkt 1 + 0j nicht umschließt. B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

49 Wie lassen sich der kritische Punkt und die Stabilitätsbedingung anschaulich erklären? 7. Übung Bestimmen Sie alle Verstärkungen, mit denen die stabile offene Kette mit dem abgebildeten Frequenzgang zurückgekoppelt werden darf, wenn ein asymptotisch stabiles System entstehen soll! 2 (halbe) Nyquist Ortskurve 1 0 j*im G(jω) Re G(jω) B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

50 Man löse die 7. Übung unter Verwendung des Bode-Diagramms! 20 Bode Diagram 0 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Welche Darstellung war besser geeignet? Wie erlären Sie den Start des Phasengangs bei 360? B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

51 Amplitudenrand, Phasenrand Abstand zum Rand des Stabilitätsgebiets 0.5 G(jω) Einheitskreis Amplitudenrand Phasenrand gm=1.5017, pm= B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

52 Amplitudenrand, Phasenrand im Bode-Diagramm B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

53 Darstellungen für LTI Systeme Warum verschiedene System-Darstellungen? Modellierung liefert verschiedene Prozess-Darstellungen Theoretische Modellbildung Experimentelle Modellbildung Systemeigenschaften unterschiedlich gut sichtbar Steuerbarkeit, Beobachtbarkeit Stabilität, Dynamik Entwurfsverfahren benutzen verschiedene Darstellungen Frequenzbereich oder Zeitbereich Steuern oder beobachten Numerische Aspekte B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

54 Diagonalform Zur Vereinfachung: Beschränkung auf SISO ẋ(t) = Ax(t) + bu(t), y(t) = c x(t) + du(t) (45) Transformation gemäß (12), (13) durch R λ x λ = x auf Diagonalform Kennzeichen: A λ = R 1 λ AR λ wird Diagonalmatrix λ b λ1 ẋ λ =..... x λ +. u (46) 0... λ n Vorteile: Nachteile: b λn Man hat n getrennte Teilsysteme 1. Ordnung Eigenschaften wie Steuerbarkeit, Beobachtbarkeit, Stabilität sind direkt ablesbar Die λ i, (i = 1,..., n) sind die Eigenwerte des Systems Alle Eigenwerte von A müssen einfach sein, nächst einfaches wäre Jordansche Normalform Eigenwerte müssen bestimmt werden, können komplex sein, Transformation aufwändig und nicht immer möglich B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

55 Regelungs-Normalform Kennzeichen: A c ist eine Frobenius-Matrix, b c ist Einheitsvektor a 1... a n 1 a n A c =......, b 0 c = (47) c c = [ ] b 1 b 2... b n, dc = 0 Vorteile: Einfach aus beliebiger Form erzeugbar, nur + / Einfacher Bezug zur Übertragungsfunktion G(s) = y(s) u(s) = b 1s n b n 1 s + b n s n + a 1 s n a n 1 s + a n Günstig für Reglerentwurf, speziell Polzuweisung Nachteile: System muss steuerbar sein Eigenschaften des Systems nicht sofort ablesbar Bemerkung: Wird bei tf2ss genommen B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

56 Beobachtungs-Normalform Kennzeichen: Duale Form zur Regelungs-Normalform a A o = A. c =..... a n , b o = c c = a n c o = b c = [ ], d o = 0 b 1. b n 1 b n (48) Vorteile: Einfach aus beliebiger Form erzeugbar, nur + / Einfacher Bezug zur Übertragungsfunktion Nachteile: G(s) = y(s) u(s) = b 1s n b n 1 s + b n s n + a 1 s n a n 1 s + a n Günstig für Beobachterentwurf, speziell Polzuweisung System muss beobachtbar sein Eigenschaften des Systems nicht sofort ablesbar B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

57 Übertragungsfunktion in Standardform tf Kennzeichen: Zähler und Nenner ausmultipliziert, a 0 = 1 Vorteile: G(s) = Einfach erzeugbar b 1s n b n 1 s + b n s n + a 1 s n a n 1 s + a n (49) G(s) = c (si A) 1 b + d Nachteile: Einfacher Bezug zur Zustandsraum-Darstellung, insbesondere zur Regelungs- und Beobachtungs-Normalform Eigenschaften des Systems nicht sofort ablesbar Empfindlich bezüglich Parameterungenauigkeiten B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

58 Pol-Nullstellen-Form zpk Kennzeichen: Zähler und Nenner in Linearfaktoren zerlegt G(s) = K (s z 1)(s z 2 ) (s z m ) (s p 1 )(s p 2 ) (s p n ) z i - Nullstellen, p i - Pole, m n Vorteile: Als Reihenschaltung elementarer Blöcke interpretierbar Die Kehrwerte der Pole und Nullstellen haben als Zeitkonstanten physikalische Bedeutung Dynamik, Grad der Stabilität direkt ablesbar Einfach in andere Darstellungsformen umzuwandeln Bezug zum Frequenzgang (Bode-Diagramm) Nachteile: Für die Erzeugung sind unter Umständen Wurzeln von Polynomen zu berechnen, z i, p i u.u. komplexwertig Bemerkung: Nicht existierende Nullstellen werden mitunter als Nullstellen bei z i = deklariert Welche stationäre Verstärkung hat (50)? (50) B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

59 Residuen-Form residue Kennzeichen: Zerlegung in Partialbrüche a) Einfache Pole G(s) = r 0 + r 1 + r r n (51) s p 1 s p 2 s p n b) Mehrfache Pole G(s) = r 0 + q n i i=1 k=1 r ik (s p i ) k (52) Vorteile: Als Parallelschaltung von PT1-Blöcken interpretierbar Einfach in andere Darstellungsformen umzuwandeln Nachteile: Für die Erzeugung sind i.a. Wurzeln von Polynomen zu berechnen und LGLS zu lösen Umständlich im Falle mehrfacher Wurzeln Bemerkung: Für nicht sprungfähige Systeme wird r 0 = 0 Welche stationären Verstärkungen haben (51), (52)? B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

60 Konvertierung von Systemdarstellungen An Hand einer Auswahl wird auf Möglichkeiten und Besonderheiten hingewiesen. Kritische Operationen werden markiert. Diagonalform aus allgemeiner Zustands-Darstellung 1 Eigenwertproblem det(si A) = 0 lösen, eig 2 Lösung von AR = RA λ für R Ist das Gleichungssystem für R eindeutig lösbar? 3 Berechnung der übrigen Matrizen nach (13), ss2ss Regelungs-NF aus allgemeiner Zustands-Darstellung 1 Bilde charakt. Polynom P(λ) = det(si A), poly 2 A c, B c gemäß (47), R c = Q c Q 1 c nach (37) bilden 3 Berechnung der übrigen Matrizen nach (13) Beobachtungs-NF aus allg. Zust.-Darst., 1. und 3. wie bei RNF 2 A o, C o gemäß (48), R o = Q 1 o Q o nach (37) bilden B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

61 Weitere Konvertierungen (2) Standardform der Übertragungsfunktion aus allg. Zustands-Darst. durch Eliminierung der (internen) Zustände ss2tf, tfdata G(s) = C(sI A) 1 B + D Pol-Nullstellen-Form aus Standardform tf2zpk 1 Berechnung der Pole und Nullstellen 2 Berechnung des Faktors K in (50) Residuen-Form aus Standardform, residue 1 Berechnung der Pole 2 Partialbruchzerlegung (51) bzw. (52) Standardform ist aus Pol-Nullstellen-Form oder Residuen-Form einfach durch Umformung der Ausdrücke in (50), (51) bzw. (52) erzeugbar B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

62 Weitere Konvertierungen (3) RNF und BNF aus Standard-Form tf2ss, ssdata Die Koeffizienten in (49) stimmen mit den gleichnamigen Elementen der Matrizen überein und werden in (47) bzw. (48) eingetragen Diagonalform aus Residuenform Im Falle einfacher Pole ist eine direkte Zuordnung zum Beispiel möglich durch A λ = p p n, b λ = r 1. r n, c λ = [ ] d λ = r 0 (53) Residuen-Form aus Diagonalform durch direkte Zuordnung p=diag(a), r=diag(diag(c)*diag(b)), r0=d Man beachte den unterschiedlichen Gebrauch von diag! B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

63 Konvertierung (4) 8. Übung Schreiben Sie ein Matlab Programm, das aus einer beliebig gegebenen Zustands-Darst. die RNF, BNF und die zugehörigen Transformationsmatrizen R c, R o erzeugt! Prüfen Sie das Ergebnis, indem Sie auch die BNF in die RNF überführen. Vergleichen Sie die Übertragungsfunktionen aller Zustands-Darstellungen. Was passiert im Fall [ 0 1 A = 1 2 ] [ 0, b = 1 ], c = [ 1 1 ], d = 0 (54) und welche Erklärung haben Sie dafür? Gibt es auch eine beobachtbare Zustands-Darst. mit derselben Übertragungsfunktion? 9. Übung Schreiben Sie ein Matlab Programm, das aus einer beliebig gegebenen Zustands-Darst. die Diagonalform und eine zugehörige Matrix R λ erzeugt! Aus der Diagonalform bilde man dann die Residuenform. Was passiert im Fall (54)? B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

64 Zusammengesetzte Systeme Kompliziertere Systeme werden aus einfachen Systemen zusammengesetzt. Man beachte, dass die Systeme als rückwirkungsfrei vorausgesetzt werden. Das ist bei realen (technischen) Systemen oft nicht gegeben. Die Systeme müssen dann als Ganzes modelliert werden. Anschließend können sie nach systemtheoretischen Gesichtspunkten neu strukturiert werden. 10. Übung Berechne die Übertragungsfunktion der Schaltung R 1 R 2 u C 1 C 2 y und vergleiche das Ergebnis mit Formel (56). 1 Lösung: G(s) = R 1 C 1 R 2 C 2 s 2 + (R 1 C 1 + R 2 C 2 + R 1 C 2 )s + 1 B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

65 Zusammenschaltung von Übertragungsfunktionen Gesucht: Gesamtübertragungsmatrix y = Gu Parallelschaltung u Reihenschaltung u G 1 G 1 G 2 y G = G 1 + G 1 (55) y 1 = u 2 G 2 y G = G 2 G 1 (56) Rückführschaltung u G 1 y G 2 G = (I + G 1 G 2 ) 1 G 1 (57) B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

66 Zusammenschaltung bei ZR-Darstellung Gesucht: Zustandsraum-Darstellungen (A, B, C, D) Parallelschaltung [ ] [ ] A1 0 B1 C = [ ] C 1 C 2 A =, B =, (58) 0 A 2 B 2 D = D 1 + D 2 Reihenschaltung [ A1 0 A = B 2 C 1 A 2 ] [ B1, B = 0 Rückführschaltung [ A1 B A = 1 C 2 B 2 C 1 A 2 ], C = [ D 2 C 1 C 2 ] D = D 2 D 1 (59) ] [ B1 B, B = 1 D 2 B 2 D 1 C = [ C 1 D 1 C 2 ], D = D1 D 1 D 2 Diskutieren Sie den Fall D 1 D 2 0! ] (60) B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

67 Gewichtsfunktion zusammengesetzter Systeme Gesucht: Gewichtsfunktion y(t) = g(t) u(t) = t 0 g(t τ)u(τ) dτ Parallelschaltung g(t) = g 1 (t) + g 2 (t) Reihenschaltung g(t) = g 1 (t) g 2 (t) = t 0 g 1 (t τ)g 2 (τ) dτ (61) B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

68 Inhalt 1 Einführung 2 Analyse dynamischer Systeme 3 Reglerentwurf Elementarer Regelkreis Entwurfsziele Klassische Reglerstrukturen Reglereinstellung Frequenzbereichsverfahren Mehrschleifige Regelungen 4 Zustandsregelung 5 Digitale Regelung B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

69 Regelerentwurf Aufgabe des Ingenieurs in der Regelungstechnik ist es oft, ein gegebenes Ensemble von Elementen zu ergänzen und zu einem funktionsfähigen System zusammenzubauen. Wenn der Wirkungskreislauf geschlossen ist, bezeichnet man die noch festzulegenden Bestandteile als Regler und ihre Bestimmung als Reglerentwurf. Im vorangegangenen Abschnitt sollten Eigenschaften eines gegebenen Systems festgestellt werden (Analyse). Beim Entwurf sollen bestimmte Eigenschaften durch noch festzulegende Bestandteile garantiert werden (Synthese). Es handelt sich um eine inverse Aufgabe. Kerngeschäft des Regelungstechnikers Grundzüge kennenlernen Nutzung von MATLAB für erste Schritte B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

70 Einschleifiger Regelkreis r v e Regler u Prozess w y n y Regelgröße u Stellgröße r Referenzgröße v Eingangsstörung w Ausgangsstörung n Messtörung e Regelfehler Ideales Ziel: y(t)! = r(t) unabhängig von v(t), w(t) (n(t)?) Wichtige Sonderfälle LTI Prozess und LTI Regler v(t) = w(t) = n(t) = 0 : Folgeregelung (Servo) r(t) = const. (Sollwert) : Störausregelung (Regulator) B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

71 11. Übung: Es werde ein LTI Prozess mit der Übertragungsfunktion G(s) und ein LTI Regler mit der Übertragungsfunktion C(s) angenommen. Man berechne die sinnvollen Übertragungsfunktionen des elementaren Regelkreises! Lösung G r = y r = CG 1 + CG G w = y w = CG G ur = u r = C 1 + CG G uw = u w = C 1 + CG G v = y v = G 1 + CG G n = y n = CG 1 + CG G uv = u v = CG 1 + CG G un = u n = C 1 + CG (62) Man überlege sich, welche idealen Übertragungsfunktionen anzustreben wären und diskutiere Widersprüche, zum Beispiel die Forderungen G r = 1 und G n = 0! B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

72 Stationäres Verhalten des Regelkreises Verhalten nach Abklingen der Übergangsvorgänge Berechnung durch Anwendung des Grenzwertsatzes für Signale lim x(t) = lim sx(s) (63) t s 0+ oder der stationäre Verstärkung V von Systemen mit der Übertragungsfunktion G(s) V = G(0) (64) 12. Übung: Man diskutiere an Hand der Übertragungsfunktionen (60) das stationäre Verhalten unter den Annahmen P-Strecke, I-Strecke und P-Regler, I-Regler! Wann ist die Forderung e( ) = 0 erfüllt? Was kann man zur Regelbarkeit von D-Strecken sagen? Wie wirkt sich hohe Verstärkung aus? B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

73 Entwurfsziele Kompromisse Stabilität, Robustheit Dynamik, Regelgüte ruhige Stellbewegung hohe Genauigkeit geringe Betriebskosten geringe Investition Einfachheit komplexe Anforderungen (Störung, Führung) Modularität, Systemkompatibilität, Bedienbarkeit, Sicherheit,... Regelungstechnische Aspekte sollten von Anfang an beim Systementwurf berücksichtigt werden! Beispiele Mischer, Reaktoren, Flugzeuge, Motoren,... Elektronik, Festplatte, Roboter,... biologische Prozesse (beim Menschen),... soziale und wirtschaftliche Prozesse,... B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

74 Lineare kontinuierliche Regler: PID Überlagerung (Addition) von 3 Reaktionen auf Regelabweichungen Proportional: Integral: Differenzierend: u P (t) = K P e(t) t u I (t) = K I e(τ) dτ 0 u D (t) = K D de(t) dt 13. Übung: Überlegen Sie sich die Wirkungsweise der drei Anteile des PID-Reglers an Hand der Reaktion auf e(t) = 1(t)! 14. Übung: Stellen Sie die Übertragungsfunktion des (idealen) PID-Reglers auf! Erzeugen Sie verschiedene Darstellungsformen der Übertragungsfunktion, so dass die Befehle tf, zpk, residue benutzbar werden und versuchen Sie die Systemeingabe in MATLAB! B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

75 Idealer PID-Regler u(t) = K R ( e(t) + 1 T n t C(s) = u(s) e(s) = K R 0 ) de(t) e(τ) dτ + T v dt ( ) + st v st n (65) (66) Für T v = 0 ergibt sich ein PI-Regler. 15. Übung Skizzieren Sie die Reaktion des Reglers (65) auf eine sprungförmige und eine rampenförmige Regelabweichung. Wie lassen sich die Parameter Nachstellzeit T n und Vorhaltzeit T v interpretieren? Wirkung der Anteile im geschlossenen Regelkreis 16. Übung An Hand der Übertragungsfunktion des geschlossenen 1 Regelkreises mit der Strecke G(s) = überlege man sich die 1 + st 1 Wirkung der einzelnen Anteile des Regler (66)! B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

76 Realer PID-Regler Der D-Anteil des idealen PID-Reglers ist improper, d.h. nicht realisierbar für hohe Frequenzen (schnelle Vorgänge). Deshalb muss er mindestens einfach verzögert werden: C(s) = u(s) e(s) = K R ( st n + st ) v 1 + st v α Man wählt etwa α [0.05, 0.4]. Wie wirken sich zu kleine und wie zu große α aus? Multiplikative (Reihen-) Darstellung des realen PID-Reglers (67) C(s) = K R s2 T n T v (1 + α) + s(t n + αt v ) + 1 st n (1 + st v α) (68) Der Regler besitzt 2 reelle Pole und 2 (komplexe) Nullstellen. Man zeige, dass für T n (4 + 2α)T v die Nullstellen reell sind! B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

77 Realer PID-Regler, Kennfunktionen 9 Sprungantwort eines realen PID Reglers K=1.5, Tn=4, Tv=2, α=0.2 u t/sec Wie sind die Reglerparameter aus den Kennfunktionen bestimmbar? B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

78 Sonderfall PI-Regler, Kennfunktionen 3.5 Sprungantwort eines PI Reglers K=1.5, Tn=4 2 u t/sec Wie sind die Reglerparameter aus den Kennfunktionen bestimmbar? B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

79 Modifizierte PID-Regler Modifikationen des Reglers können die Regelung verbessern Seichte Sollwertaufschaltung Idee Damit Sollwert-Sprünge nicht sehr große Stellreaktionen auslösen, wird der Sollwert nur über den I-Anteil gegeben Anwendung Hauptsächlich sollen Störungen ausgeregelt werden, Sollwerte werden nur gelegentlich geändert Einordnung Vorstufe der Regelung mit 2 Freiheitsgraden (2DOF) u(t) = K R [ y(t) + 1 T n t [ e(s) u(s) = C(s) y(s) [ mit C(s) = K R ] 0 ] dy(t) e(τ) dτ T v dt 1 st n 1 + stv 1+sT v α ] (69) (70) B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

80 Anti-Reset-Windup Reset-Windup bezeichnet das übermäßige Hochlaufen des Integrators bei wirksamen Stellbegrenzungen Ursache Nach der Ausregelung wirkt nur der I-Anteil, der also einen bestimmten Wert annehmen muss. Die Aufladung erfolgt entsprechend der Regelfläche, die bei zu langsamer Ausregelung größer wird. Durch negative Abweichungen (Überschwingen) wird der Integrator auf den erforderlichen Endwert zurückgeführt. Gegenmaßnahme Der (grenzstabile) Integrator wird als rückgekoppeltes (stabiles) Verzögerungsglied realisiert e K R R sat u 1 + st n st n = 1 1 R 1 R = 1 + st n B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

81 Modifizierte PID-Regler Weitere Modifikationen Nichtlineare Gewichtung Es wird z.b. anstelle des Fehlers e(t) das Signal e 2 (t) aufintegriert, um den Integrator bei großen Abweichungen schneller aufzuladen. Dem linearen Regler folgt eine Lose, um Stellbewegungen zu reduzieren Vorfilterung der Messwerte Stark verrauschte Messwerte y(t) werden durch einen vorgeschalteten Tiefpass gefiltert Digitalisierung Die digitalen Varianten des PID-Reglers erlauben die einfache (programmtechnische) Realisierung von Modifikationen B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

82 Nichtlineare Regler: Zweipunkt-Regler Idee (Volle) Gegenreaktion bei Abweichung Realisierung Gesteuerter Schalter, oft Sensor=Aktor (Relais, Thyristor, Bimetall, Glocke,... ) Wirkung Einstellung Idealisierte Kennlinie eines Relais mit Hysterese, gilt nur bei voller Aussteuerung u 0 Schalthöhe ε halbe { Hysteresebreite u0 für u > ε, u < 0 u = u 0 für u < ε, u > 0 im Regelkreis bei stabilen Strecken: Schwingungen um den Sollwert u u 0 ε u 0 u 0 abhängig vom Sollwert-Bereich, ε beeinflusst Umschaltfrequenz und -amplitude (ebenso u 0 und Prozess) e B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

83 Beispiel zur Zweipunkt-Regelung 17. Übung Für die Erwärmung eines Bügeleisens werde das einfache Modell G(s) = K 1+10s e 4s mit K = 1.5 C/V angenommen. Der Bimetall werde durch ein Relais mit u M = 220V, u m = 0V und ε = 10V beschrieben. Man skizziere den Aufheizvorgang von Raumtemperatur 20 C auf Solltemperatur 180 C. Durch welche konstruktiven Veränderungen ließe sich die Regelgüte verbessern? Spannung Temperatur Erwärmung Bügeleisen u/10, y Zeit/sek B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

84 Modifikationen des ZPR Asymmetrische Kennlinie, z.b. u [0, u 0 ] Vorsteuerung mit Gleichanteil verringert Schwingungsamplitude Dreipunkt-Regler aus 2 ZPR, besonders bei I-Strecken Intelligentere Ansteuerung, z.b. zeitoptimales Bang-Bang B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

85 Reglereinstellung Nach Auswahl der Struktur werden die freien Parameter eingestellt. Das passiert mitunter vor Ort unter Stress! PID: K R, T n, T v Grobeinstellung Wenige (ungefährliche) Experimente stabile Regelung, Regelgüte i.a. gering Feineinstellung Verbesserung der Regelgüte durch Probieren, Erfahrung,... Verfahren Große Palette, angepasst an Bedingungen und Erfordernisse der verschiedenen Gebiete (Antriebstechnik, Verfahrenstechnik, Bewegungssteuerung,... ) Selbsteinstellung Spezielle Variante der adaptiven Regelungen, auch bei stochastischen Störungen mit unbekanntem Störspektrum B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

86 Grobe Einstellregeln für PID-Regler y Regelalgorithmus u(t) = K R [ė(t) + 1 ] e(t) + T v ë(t) T n (71) Transient Response L Totzeit R Anstieg (= V /T a ) Prozess-Modell G(s) = R e sl s Führungsverhalten a) aperiodisch b) 20% Überschwingen L=3.6 R=0.15 Step Response Time/sec B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

87 Einstellregeln nach Chien, Hrones, Reswick Variante Typ \ Par. K R T n T v P a) PI PID P b) PI PID 0.3 RL 0.35 RL 0.6 RL 0.7 RL 0.6 RL 0.95 RL 1.2L L 0.5L L 1.35L 0.47L B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

88 Einstellregeln nach Ziegler-Nichols-Takahashi Regelalgorithmus (Seichte Sollwert-Aufschaltung) Methoden a) Ultimative Sensitivity u(t) = K I [r(t) y(t)] K P ẏ(t) K D ÿ(t) (72) K u kritische Verstärkung (P-Regler) T u Periodendauer bei K u b) Transient Response L Totzeit R Anstieg (= V /T a ) Prozess-Modell G(s) = R e sl s B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

89 Einstellregeln nach Ziegler-Nichols-Takahashi Variante Typ \ Par. K P K I K D P 0.5K u 0 0 a) PI 0.45K u K I 2 PID 0.6K u K I K u T u K u T u 3 40 K ut u P b) PI PID 1 RL 0.9 RL K I RL K I RL RL 2 R B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

90 Bemerkungen zu den groben Einstellregeln Die Einstellregeln beziehen sich auf verschiedene PID-Algorithmen und Parameter unterschiedlicher Dimension. Die Parameter K R, T n, T v sind aus der analogen Regelungstechnik bekannt und haben anschauliche Bedeutung, sollten deshalb bei der Einstellung (vor Ort) benutzt werden. Es gibt einfache Zuordnungen für digitale Regelalgorithmen bei schneller Abtastung (quasi-kontinuierlicher Betrieb). Für die Programmierung der Algorithmen und die Abschätzung der numerischen Probleme sind die Parameter K P, K I, K D geeignet. Die beiden Algorithmen (71), (72) lassen sich auch in den jeweils anderen Parametern darstellen. 17. Übung Man berechne die entsprechenden Einstellungen, so dass die beiden letzten Tabellen vergleichbar werden. B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

91 Umkehrung der Analyseverfahren Die Analyseverfahren von Seite 45 und 51, 52 zur Bestimmung von Stabilitätsgrad Amplituden- und Phasenrand lassen sich für den Entwurf nutzen, indem einige Parameter als unbekannt angenommen werden. Sie sind dann im Sinne eines gewünschten Stabilitätsgrads bzw. Amplituden- und Phasenrands festzulegen. Hierbei ist zu beachten, dass die Freiheitsgrade für die Wahl des Reglers begrenzt sind. Zum Beispiel sind beim Entwurf mittels Bode-Diagramm und Verwendung von PI(D)-Reglern die prinzipiellen Verläufe der Seiten 77, 78 vorgegeben. 18. Übung: Man überlege sich die Wirkung von Methode a) auf Seite 88 an Hand eines möglichen Bode-Diagramms. B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

92 Relation Zeitverhalten : Frequenzverhalten Das geforderte Verhalten des Regelkreises kann im Zeitbereich oder im Frequenzbereich formuliert werden. Indem man sich auf das dominierende Polpaar beschränkt, kann das zugehörige Zeitverhalten (in Form der Übergangsfunktion) betrachtet werden. Stabilitätsgrad Re s 1 = Ausregelzeit ts, t S 4.6 Re s 1 Überschwingen over = α = arctan Im s 1 Re s 1, over ( 1 cos α ) % Zeitcharakteristiken y(t) over 20% ts Bereich für zulässige Pole 1 2 y j*im s t/sec Re s B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130

93 Wurzelortskurve (root locus) Definition Zu gegebenem G 0 (s) ist die Wurzelortskurve die Menge aller Wurzeln der Gleichung 1 + KG 0 (s) = 0, 0 K <. (73) Regelkreis Wenn G 0 (s) die Übertragungsfunktion der offenen Kette ist, dann zeigt die Wurzelortskurve die Menge aller möglichen Pole des geschlossenen Regelkreises bei irgendwelchen Verstärkungen K. Man erkennt auf einen Blick, wie sich die Verstärkung auswirken kann. Anwendung Aus den (Zeit-)Forderungen an den Regelkreis wird ein Gebiet P in der s Ebene festgelegt, in das alle Pole des Regelkreises fallen müssen. Das erreicht man durch gezielte Einführung von Nullstellen und (wegen der Realisierbarkeit) Polen (des Reglers). Hierbei hilft die Kenntnis von Regeln sowie der Einsatz von Tools. B.P. Lampe (IAT, Uni Rostock) Grundlagen der Regelungstechnik Rostock, 22. Januar / 130