Musterlösung. 120 Minuten + 15 Minuten Lesezeit am Anfang! 42 (unterschiedlich gewichtet, total 58 Punkte)

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1 BSc - Sessionsprüfung Regelungstechnik I (5-59-) Guzzella, Nüesch, Ochsner Musterlösung Dauer der Prüfung: Anzahl der Fragen: Bewertung: 2 Minuten + 5 Minuten Lesezeit am Anfang! 42 (unterschiedlich gewichtet, total 58 Punkte) Um die Note 6 zu erlangen, müssen nicht alle Fragen richtig beantwortet werden. Bei jeder Frage ist die Punktezahl angegeben. Die angegebene Punktezahl kann nur erreicht werden, wenn die Lösung vollständig richtig ist, d.h. es gibt keine Teilpunkte für halbrichtige Lösungen. Nicht eindeutige Lösungen werden als falsch bewertet. Erlaubte Hilfsmittel: 2 A4-Blätter (4 Seiten) Taschenrechner (zur Verfügung gestellt) Die Assistenten dürfen keine Hilfe geben. Zur Beachtung: Die Lösungen sind nicht zu begründen. Es zählt ausschliessich das Endresultat. Geben Sie die Lösungen ausschliesslich auf den vorbereiteten Blättern an.

2 Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Thema: Signale und Systeme Wang Beschreibung: Abbildung zeigt das Blockschaltbild eines Systems Σ. Klassifizieren Sie die Subsysteme Σ : u y und Σ 2 : u y 2. b d dt x (t) x (t) c y (t) u(t) x 2 (t) y 2 (t) a(t) Abbildung : Blockschaltbild des Systems Σ. Alle Signale sind skalare Grössen. Die Parameter b und c sind konstant und a(t) und ist ein zeitabhängiger Parameter. F ( Punkt) Kreuzen Sie die Eigenschaft(en) an, welche das System Σ korrekt beschreiben. SISO Linear Zeitinvariant Dynamisch F2 ( Punkt) Kreuzen Sie die Eigenschaft(en) an, welche das System Σ 2 korrekt beschreiben. SISO Linear Zeitinvariant Dynamisch

3 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 3 Beschreibung: Ein Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindigkeit (v = km/h) auf der Autobahn. F3 ( Punkt) Der Fahrer benützt den Tempomaten um die Geschwindigkeit auf km/h zu halten. Kreuzen Sie die wichtigste Aufgabe an, welche der Tempomat in dieser Situation wahrnimmt. Stabilisierung einer instabilen Regelstrecke Folgeregelung (reference tracking) Störungsunterdrückung (disturbance rejection) F4 ( Punkt) Nun benützt der Fahrer den Tempomaten um das Fahrzeug auf 2 km/h zu beschleunigen. Kreuzen Sie dich wichtigste Aufgabe an, welche der Tempomat in dieser Situation wahrnimmt. Stabilisierung einer instabilen Regelstrecke Folgeregelung (reference tracking) Störungsunterdrückung (disturbance rejection) Lösung F F2 SISO Linear Zeitinvariant Dynamisch SISO Linear Zeitinvariant Dynamisch F3 In this case, the controller is used to maintain a constant speed and reject any disturbance. The plant is stable and the reference speed remains constant. Stabilisierung einer instabilen Regelstrecke Folgeregelung (reference tracking) Störungsunterdrückung (disturbance rejection)

4 Seite 4 Sessionsprüfung Regelungstechnik I F4 In this case, the controller is responsible for reaching the new set-point. Therefore, its main role is reference tracking. The plant is stable. If disturbances occur, disturbance rejection is an additional minor role of the cruise controller. Stabilisierung einer instabilen Regelstrecke Folgeregelung (reference tracking) Störungsunterdrückung (disturbance rejection)

5 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 5 Thema: Systemmodellierung Wang Beschreibung: Abbildung 2 zeigt schematisch den Antriebsstrang eines Hybridfahrzeugs. Um die Fahrdynamik des Fahrzeugs zu modellieren, stehen drei Kandidaten für die relevante Zustandsvariable zur Verfügung: Das Drehmoment des Verbrennungsmotors T e (t), die Drehzahl des Verbrennungsmotors ω e (t), und das Drehmoment des Elektromotors T m (t). Die drei Dynamiken sind beschrieben durch die Zeitkonstanten.2s (T e ), 5s (ω e ), und.s (T m ). Getriebe Rad Elektromotor Verbrennungsmotor Abbildung 2: Schematische Darstellung des Antriebsstrangs eines Hybridfahrzeugs. F5 ( Punkt) Sie sollen nun den Antriebsstrang als System erster Ordnung modellieren. Kreuzen Sie die Zustandsvariable mit der relevanten Dynamik an. T e (t) ω e (t) T m (t) F6 (2 Punkte) Die gesamte Widerstandskraft, welche auf das Rad wirkt, sei proportional zur Geschwindigkeit des Fahrzeugs (F r (t) = k v(t), mit v(t) Fahrzeuggeschwindigkeit). Der Radius des Rades ist R und die Masse des Fahrzeugs beträgt m. Der Parameter γ beschreibt das Übersetzungsverhältnis (Dehrzahl des Verbrennungsmotors dividiert durch die Drehzahl des Rades). Die Drehmomente T e (t) und T m (t) sind bekannt. Alle Drehträgheiten können vernachlässigt werden. Leiten Sie die Differentialgleichung für die Fahrzeuggeschwindigkeit her. Antwort: dv(t) dt =

6 Seite 6 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: Abbildung3zeigt den Wert der Ableitung dx (t)/dt als Funktion der Zustandsvariablen x (t) und x 2 (t). Die Ableitung dx 2 (t)/dt ist gegeben als dx 2 (t)/dt = x 2. Das System hat keine Eingangsgrösse x x Abbildung 3: Ableitung dx (t)/dt als Funktion der Zustandsvariablen x (t) und x 2 (t). F7 ( Punkt) Bestimmen Sie die Anzahl Gleichgewichtspunkte des Systems und kreuzen Sie die entsprechende Antwort an. 2

7 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 7 Beschreibung: Abbildung 4 zeigt dx/dt als Funktion des Zustands x und des Eingangs u. Das System ist nichtlinear und erster Ordnung. Nun wird das System um den Gleichgewichtspunkt x =.5,u = linearisiert. 2 dx/dt 2 u=- u= u=.5.5 x Abbildung 4: Ableitung dx/dt als Funktion von x und u. F8 ( Punkt) Kreuzen Sie an, welche Differentialgleichung aus der Linearisierung resultiert. dδx/dt = δx 5δu dδx/dt = δx+5δu dδx/dt = δx 5δu dδx/dt = δx+5δu

8 Seite 8 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: Basierend auf dem normierten Modell einer Regelstrecke (normiert mit den Werten y und u ) haben Sie einen Regler ausgelegt. Nun möchten Sie diesen Regler in Simulink implementieren und mit dem originalen (nicht normierten) Modell der Strecke testen. Abbildung 5 zeigt 4 mögliche Implementationen für diesen Test. e n (t) Variante y (t) Normierter Regler u (t) u n (t) Modell y n (t) e n (t) Variante 2 y (t) Normierter Regler u (t) u n (t) Modell y n (t) e n (t) Variante 3 y (t) Normierter Regler u (t) u n (t) Modell y n (t) e n (t) Variante 4 y (t) Normierter Regler u (t) u n (t) Modell y n (t) Abbildung 5: Mögliche Implementationen mit dem normierten Regler und dem nicht normierten Modell der Regelstrecke. F9 ( Punkt) Kreuzen Sie die korrekte Implementation für diesen Test an. Variante Variante 2 Variante 3 Variante 4

9 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 9 Lösung F5 The objective of a cruise controller is to control the speed of the vehicle. Since the wheel of the vehicle is mechanically linked to the engine, the time constant of the vehicle speed is the same as the time constant of the engine speed. Therefore, the engine speed is the most relevant state variable. Both torques can be modeled as algebraic systems since they are considerably faster. T e (t) ω e (t) T m (t) F6 The speed of the vehicle can be modelled as: dv(t) dt = ( ) m Tm +T e γ k v(t) R F7 An equilibrium requires dx /dt = dx 2 /dt =. The values of dx (t)/dt and dx 2 (t)/dt as a function of x (t) and x 2 (t) have been plotted in Figure 6. The only equilibirum point is where the dashed line crosses the line of the contour plot. x dx /dt dx 2 /dt x Abbildung 6: Values of dx (t)/dt and dx 2 (t)/dt as a function of x (t) and x 2 (t). (solution) 2 F8 From Figure 4, it is easy to see that the slope at the equilibrium point is approximately. Furthermore, the distance between the curves shows that f/du is approximately -5.

10 Seite Sessionsprüfung Regelungstechnik I dδx/dt = δx 5δu dδx/dt = δx+5δu dδx/dt = δx 5δu dδx/dt = δx +5δu F9 The correct implementation is Variante 2. The control error e(t) is normalized by dividing through y, and the control output u(t) is again denormalized by multiplying with u. Variante Variante 2 Variante 3 Variante 4

11 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite Thema: Analyse linearer Systeme Zurbriggen Beschreibung: Für die folgenden zwei Fragen ist die RC-Schaltung aus Abbildung 7 gegeben. u(t) = U (t) R C y(t) = U C (t) Abbildung 7: RC-Schaltung als Tiefpassfilter. Die RC-Schaltung dient als Tiefpassfilter. Der Eingang u(t) ist die Quellspannung U (t). Der Ausgang y(t) ist die Spannung U c (t) über dem Kondensator. Die resultierende Differentialgleichung lautet: u(t) = R C dy(t) dt +y(t) () Der Widerstand wurde als R =.5Ω gemessen. Abbildung 8 zeigt die Systemantwort y(t) auf einen Input u(t) der folgenden Form: u(t) = a+b h(t) h(t) = { if t <, if t. (2) y(t) [V] t [s] Abbildung 8: Systemantwort.

12 Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik I F (2 Punkte) Wie gross ist die Kapazität C des Kondensators? Antwort: C = F F ( Punkt) Wie lauten die Werte der Parameter a und b des Eingangssignals in Gleichung (2)? Antwort: a = V b = V

13 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 3 Beschreibung: Betrachten Sie das folgende System 2. Ordnung, wobei: ẋ(t) = A x(t)+b u(t), (3) A = [ ], b = α [ ], α R. (4) F2 ( Punkt) Für welche Werte von α ist das System nach Lyapunov asymptotisch stabil? Antwort: α F3 ( Punkt) Kann das System, welches durch die Gleichungen (3) und (4) gegeben ist, als Antwort auf einen Impuls am Eingang schwingen? Kreuzen Sie nachfolgend an, welche Antwort zutrifft: Ja, unabhängig von α. Nein. Nur wenn α >. Nur wenn α <. F4 (2 Punkte) Nehmen Sie nun an, dass das Eingangssignal u(t) für die nachfolgende Aufgabe gleich null ist (u(t) = ). Weiter sei auch der Parameter α gleich null (α = ). Bestimmen Sie die Gleichgewichtslage(n) des Systems und kreuzen Sie nachfolgend die richtige Antwort an: [ ] γ x e = ǫ [ ] γ x e = ǫ [ ] γ x e = ǫ [ ] γ x e = ǫ [ ] γ x e = ǫ γ = ǫ = γ = ǫ R γ,ǫ {} γ R ǫ = γ,ǫ R

14 Seite 4 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: Betrachten Sie das System in Abbildung u - y Abbildung 9: Signalflussbild. F5 ( Punkt) Das System in Abbildung 9 soll auf Stabilität nach Lyapunov überprüft werden. Kreuzen Sie nachfolgend die richtige Aussage an: Lyapunov stabil Lyapunov asymptotisch stabil Lyapunov instabil Aufgrund der Nichtlinearität kann mit unseren Mitteln keine Aussage über Lyapunov Stabilität gemacht werden F6 ( Punkt) Weiter soll das System aus Abbildung 9 auf Steuerbarkeit, Beobachtbarkeit usw. überprüft werden. Kreuzen Sie nachfolgend an, welche Aussage(n) auf das System zutrifft/zutreffen: Das System ist komplett steuerbar Das System ist komplett beobachtbar Das System ist potentiell stabilisierbar Das System ist detektierbar

15 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 5 Beschreibung: Untersuchen Sie die Beobachtbarkeit und die Steuerbarkeit des Systems 2. Ordnung, welches mit den folgenden Zustandsraummatrizen beschrieben ist: [ ] [ ] 2 A =, b =, c = [ ], d =. (5) F7 ( Punkt) Kreuzen Sie nachfolgend an, welche Antwort zutrifft. Das System in Gleichung (5) ist... nur vollständig beobachtbar. nur vollständig steuerbar. sowohl vollständig beobachtbar als auch vollständig steuerbar. weder vollständig beobachtbar noch vollständig steuerbar.

16 Seite 6 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Lösung F Die Zeitkonstante kann in Abbildung 8 als τ = 2s abgelesen werden. Die Kapazität ist folglich: C = τ R = 4F F In Gleichung () ist ersichtlich, dass die statische Verstärkung des Filters ist. Daraus folgt: a = 3V b = 2V F2 Die Eigenwerte liegen bei λ = undλ = α. Wenn das System Lyapunov asympt. stabil sein soll, müssen alle Eigenwerte negativen Realteil haben. α < F3 Dieses System kann nicht schwingen, da die Eigenwerte nie komplex konjugiert sind. Ja, unabhängig von α. Nein. Nur wenn α >. Nur wenn α <. F4 Die Determinante der Matrix A ist null, darum werden alle Gleichgewichtslagen durch eine Gerade beschrieben: [ ] γ x e = ǫ [ ] γ x e = ǫ [ ] γ x e = ǫ [ ] γ x e = ǫ [ ] γ x e = ǫ γ = ǫ = γ = ǫ R γ,ǫ {} γ R ǫ = γ,ǫ R werden

17 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 7 F5 Es handelt sich um ein diagonalisiertes System. Die Pole können direkt abgelesen werden. Da ein Pol bei +4 liegt, ist das System Lyapunov instabil. Lyapunov stabil Lyapunov asymptotisch stabil Lyapunov instabil Aufgrund der Nichtlinearität kann mit unseren Mitteln keine Aussage über Lyapunov Stabilität gemacht werden werden F6 Die erste (von oben nach unten) Zustandsvariable ist nicht beobachtbar und die dritte nicht steuerbar. Diese beiden Zustandsvariablen sind aber stabil. Die einzig instabile Zustandsvariable ist steuer- und beobachtbar. Das System ist komplett steuerbar Das System ist komplett beobachtbar Das System ist potentiell stabilisierbar Das System ist detektierbar F7 Ein System ist vollständig beobachtbar, falls die Beobachtbarkeitsmatrix, O n = [ c T (c A) T (c A n ) T] T, vollen Rang hat. Ein System ist vollständig steuerbar, falls die Steuerbarkeitsmatrix, R n = [ b A b A 2 b... A n b ], vollen Rang hat. Für das gegebene System folgt [ ] [ ] 4 O 2 = und R 2 2 =, 2 6 womit das System vollständig beobachtbar und vollständig steuerbar ist. nur vollständig beobachtbar. nur vollständig steuerbar. sowohl vollständig beobachtbar als auch vollständig steuerbar. weder vollständig beobachtbar noch vollständig steuerbar.

18 Seite 8 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Thema: Laplace-Transformation Zurbriggen Beschreibung: Folgende Zustandsraumdarstellung {A, b, c, d} eines Systems ist gegeben: A = [ ] 2, b = [ ] 2, c = [.5.5 ], d =. (6) F8 ( Punkt) Die Lyapunov Stabilität soll geprüft werden. Kreuzen Sie nachfolgend an, welche Aussage auf das System mit der Zustandsraumdarstellung {A, b, c, d} aus Gleichung (6) zutrifft. Das System ist: Lyapunov stabil Lyapunov asymptotisch stabil Lyapunov instabil F9 (2 Punkte) Nun soll die BIBO Stabilität geprüft werden. Ist das System mit der Zustandsraumdarstellung {A, b, c, d} aus Gleichung (6) BIBO stabil oder nicht? BIBO stabil nicht BIBO stabil Beschreibung: Bei der nachfolgenden Aufgabe geht es um ein System 2. Ordnung mit den folgenden Zustandsraummatrizen: A = [ ], b = 2 [ ], c = [ ], d =. (7) F2 ( Punkt) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion des Systems. Antwort: Σ(s) =

19 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 9 Beschreibung: Gegeben ist ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Ordnung, welches die Dynamik einer Regelstrecke beschreibt. Sie wollen die Lösung dieser Differentialgleichungen im Zeitbereich bei bekanntem Eingangssignal u(t) berechnen. Tabelle zeigt verschiedene Transformationen und Berechnungen dazu. Tabelle : Transformationen und Berechnungen Label A B C c (s I A) b+d c e A t x()+ t c ea (t ρ) b u(ρ)dρ+d u(t) Controller Canonical Form aus Übertragungsfunktion Y(s) e s t ds D 2 π j E F Partialbruchzerlegung und Standardsignale Σ(s) U(s) F2 (2 Punkte) Kreuzen Sie nachfolgend an, mit welcher/welchen Abfolge(n) von Transformationen und Berechnungen Sie zum gewünschten Resultat kommen können C E A F E B F D B Beschreibung: Die Differentialgleichung eines Systems ist wie folgt gegeben: dy(t) dt = u(t) (8) 2 Das System ist ursprünglich in Ruhe (y() = ). Am Eingang wird ein Impuls δ(t) angelegt. F22 ( Punkt) Wie lautet der Ausgang des Systems im Zeitbereich? Antwort: y(t) =

20 Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: Abbildung zeigt die Impulsantwort von vier verschiedenen Systemen 2. Ordnung. 2 System.8 System 2 y [-] t [s] System 3 y [-] t [s] System 4 y [-] y [-].5 5 t [s] t [s] Abbildung : Impulsantworten der Systeme 4. F23 (2 Punkte) Kreuzen Sie nachfolgend diejenigen Systeme aus Abbildung an, welche BIBO stabil sind: System System 2 System 3 System 4 F24 (2 Punkte) Ordnen Sie die Impulsantworten in Abbildung den Polpaaren A, B, C oder D in Abbildung zu Polpaar A, B, C oder D System System 2 System 3 System 4

21 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 2 A B.5.5 Im. Im Re. C Re. D.5.5 Im. Im Re Re. Abbildung : Pole der Systeme, deren Impulsantworten in Abbildung dargestellt sind. F25 (2 Punkte) Was kann man anhand von Impulsantworten über die Lyapunov Stabilität eines linearen Systems aussagen? Kreuzen Sie nachfolgend die korrekten Aussagen an. (Tipp: BIBO Stabilität beschreibt das I/O Verhalten, Lyapunov Stabilität hingegen ist eine Systemeigenschaft.) Über die Lyapunov Stabilität kann keine Aussage gemacht werden. Wenn der Ausgang für t nicht divergiert und nicht zu Null konvergiert, dann ist das System Lyapunov stabil. Wenn der Ausgang fürt divergiert, dannist das System Lyapunov instabil. WennderAusgangfürt zunullkonvergiert, dannistdassystemlyapunov asymptotisch stabil.

22 Seite 22 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Lösung F8 Bei der Lyapunov Stabilität geht es ausschliesslich um die Eigenwerte der Matrix A, also die Systemdynamik. Ein Pol hat einen positiven Realteil, dass heisst das System ist Lyapunov instabil. Lyapunov stabil Lyapunov asymptotisch stabil Lyapunov instabil F9 Bei BIBO geht es um das I/O Verhalten, d.h. nicht beobachtbare und nicht steuerbare Pole kürzen sich weg, was in diesem Beispiel der Fall ist und das System ist demzufolge BIBO stabil. Die Übertragungsfunktion des Systems lautet: Σ(s) = BIBO stabil BIBO instabil s (s+2) (s ) = s+2 (9) F2 Mithilfe der Formulierung Σ(s) = c (s I A) b erhält man für das System die folgende Übertragungsfunktion: Σ(s) = s s 2 +2s+ F2 Nachfolgend die richtigen Abfolgen C E A F E B F D B F22 Das System ist ein offener Integrator multipliziert mit.5. Somit ist die Antwort im Zeitbereich y(t) = 2 h(t) Alternativ kann z.b. auch das klassische Vorgehen angewendet werdet, wo zuerst die Laplace Transformation vom System gebildet wird, dann Multiplikation mit dem Impuls im Frequenzbereicht (U(s)=) und anschliessen die inverse Laplace Transformation. In diesem einfachen Beispiel kann auch die explizite Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich berechnet werden. F23 Ein System is BIBO stabil, wenn folgende Bedingung erfüllt ist σ(t) dt <

23 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 23 Die Systeme 3 konvergieren nicht zu Null, also ist das Integral nicht endlich. System System 2 System 3 System 4 F24 Die Pole D sind komplex konjugiert (und instabil), womit sie zu System gehören. Bei B gibt es einen offenen Integrator undeinen stabilen Pol. Ein Impuls auf einen offenen Integrator führt zu einem Sprung ausgangs Integrator, was nach dem stabilen Pole zu einer Sprungantwort eines Systems. Ordnung führt. Somit gehört System 2 zu B. Bei C ist ein Pol stabil und einer instabil. Nur System 3 ist instabil ohne zu schwingen und gehört somit zu den Polen C. Die Pole A sind beide stabil. System System 2 System 3 System 4 Polpaar A, B, C oder D D B C A F25 Über Lyapunov Stabilität kann man anhand des Ausganges aufgrund möglicher Pol- /Nullstellenkürzungen lediglich sagen, dass ein System Lyapunov instabil ist, falls der Ausgang für t ins Unendliche divergiert. Alle anderen Fälle sind nicht eindeutig. In diesem Fall ist mindestens ein Pol instabil. Über die Lyapunov Stabilität kann keine Aussage gemacht werden. Wenn der Ausgang für t nicht ins Unendliche divergiert, dann ist das System Lyapunov stabil. Wenn der Ausgang für t ins Unendliche divergiert, dann ist das System Lyapunov instabil. Wenn der Ausgang für t zurück zu null konvergiert, dann ist das System Lyapunov asymptotisch stabil.

24 Seite 24 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Thema: Frequenzantworten Zurbriggen Beschreibung: Abbildung 2 zeigt den Frequenzgang der komplementären Sensitivität T(s) eines Regelkreises. 4 Bode Diagram 2 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s) Abbildung 2: Frequenzgang von T(s). F26 ( Punkt) Der Sollwert ist ein periodisches Signal von der Form r(t) = m cos(ω t+φ). Bis zu welcher Frequenz ω max gilt für die Phase ϕ zwischen Regelgrösse y(t) und Sollwert r(t) ϕ > 9? Antwort: ω max = F27 ( Punkt) Ab welcher Frequenz ω min wird der Einfluss des Rauschens n(t) auf die Regelgrösse y(t) um mindestens 9% reduziert? ω min =

25 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 25 Beschreibung: Abbildung 3 zeigt den Frequenzgang einer Regelstrecke. Sie wollen die Parameter des Modells der Regelstrecke identifizieren, wobei Sie für die Übertragungsfunktion folgende Form annehmen: Σ(s) = k s ζ s π () 2 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s) Abbildung 3: Frequenzgang der zu identifizierenden Strecke. F28 (2 Punkte) Welche Werte haben die Parameter k, ζ und π in Gleichung ()? Antwort: k = ζ = π =

26 Seite 26 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: Abbildung 4 zeigt den Frequenzgang der Strecke P(s). 8 Bode Diagram 6 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s) Abbildung 4: Frequenzgang der Strecke P(s). F29 ( Punkt) Welchen Wert hat P(j ω) bei der Frequenz ω = 4 rad /s? Antwort: P(j 4) =

27 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 27 Beschreibung: Abbildung 5 zeigt die Sprungantwort einer beliebigen Regelstrecke. 6 Step Response 5 4 Amplitude Time (seconds) Abbildung 5: Sprungantwort einer Regelstrecke. F3 ( Punkt) Was ist die minimale Ordnung n des Systems, dessen Sprungantwort in Abbildung 5 dargestellt ist? Antwort: n F3 (2 Punkte) Was ist der relative Grad r des Systems, dessen Sprungantwort in Abbildung 5 dargestellt ist? Kreuzen Sie die richtige Antwort an. -2 -

28 Seite 28 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Lösung F26 Die Phase von T(s) ist bis zur Frequenz 3rad/s als 9 ω max = 3 rad /s F27 Eine Reduktion von 9% entspricht -2 db, somit ist die minimale Frequenz rad/s: ω min = rad/s F28 Pol- und Nullstelle müssen bei der selben Frequenz sein, damit die Amplitude immer ist. Da die Phase um um 8 ansteigt, je 9 durch Pol- und Nullstelle, muss der Pol instabil sein. Die Übertragungsfunktion bei ω = kann aus dem Bode Diagramm als P(j ) = abgelesen werden, wodurch der Parameter k = ist. k = ζ =.7 π = +.7 F29 Aus dem Bode Diagramm können Amplitude und Phase abgelesen werden. Σ(j ω) = e 3 4 π j = (cos( 3 4 π)+j sin( 3 4 π)) = j =... F3 Da das System schwingt, muss es mindestens zweiter Ordnung sein: n 2 F3 Der relative Grad kann nicht negativ sein, da das System sonst nicht realisierbar wäre, sprich, man kann es auch nicht simulieren. Bei relativem Grad hätte das System einen Feedthrough und die Sprungantwort würde zum Zeitpunkt t = direkt auf eine Wert springen. -2 -

29 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 29

30 Seite 3 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Thema: Analyse und Spezifikationen geschlossener Regelkreise Wang Beschreibung: Abbildung 6 zeigt die Nyquistdiagramme der Kreisverstärkung von drei unterschiedlichen linearen Systemen (A, B und C). Abbildung 7 zeigt drei Verläufe des Regelfehlers e(t) (I, II und III) des geschlossenen Regelkreises als Antwort auf einen Einheitssprung des Sollwerts (r(t) = h(t)). Imaginary Axis A - - Real Axis Imaginary Axis B - - Real Axis Imaginary Axis C - - Real Axis Abbildung 6: Nyquistdiagramme der Kreisverstärkung der Systeme A, B und C. I II III e [-].5 e [-].5 e [-] t [s] 5 5 t [s] 5 5 t [s] Abbildung 7: Verläufe (I, II, III) des Regelfehlers e(t) als Antwort auf einen Sprung des Sollwerts. F32 (2 Punkte) Ordnen Sie den Systemen A, B und C die korrekten Regelfehlerverläufe I, II und III zu. A B C

31 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 3 Beschreibungn: Abbildung 8 zeigt den Betragsverlauf des Bodediagramms einer Kreisverstärkung L(s). Abbildung 9 zeigt drei mögliche Ausgangssignale y(t) der komplementären Sensitivität T(s) des selben Systems auf eine periodische Anregung am Sollwert (r(t) = sin(.2 t)). 2 Magnitude [db] 2 2 Frequency [rad/s] Abbildung 8: Betragsverlauf des Bodediagramms einer Kreisverstärkung L(s). y(t) [-] 2 a b c t [s] Abbildung 9: Zeitbereichsantwort des zugehörigen geschlossenen Regelkreises T(s). F33 ( Punkt) Kreuzen Sie an, welche Systemantwort Sie erwarten. a b c keine der gezeigten

32 Seite 32 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: Abbildung 2 zeigt das Bodediagramm der komplementären Sensitivität T(s), der Kreisverstärkung L(s), und der Sensitivität S(s) eines Regelsystems. Phase [deg] Magnitude [db] T(s) L(s) S(s) Frequency [rad/s] Abbildung 2: Bodediagramm von T(s), L(s) und S(s). F34 ( Punkt) Bestimmen Sie die Verstärkungsreserve des Regelsystems in Abbildung 2. Antwort: γ =

33 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 33 F35 ( Punkt) Bestimmen Sie die Phasenreserve des Regelsystems in Abbildung 2. Antwort: ϕ = F36 ( Punkt) Bestimmen Sie die minimale Kreisverstärkungsdifferenz (minimum return difference) des Regelsystems in Abbildung 2. Antwort: µ min =

34 Seite 34 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: Eine Regelstrecke besitzt einen instabilen Pol, sowie einen Pol im Ursprung. Abbildung 2 zeigt das Nyquistdiagramm dieser Regelstrecke. Sie möchten die Regelstrecke mit einem proportionalen (P) Regler stabilisieren. Imaginary Axis Nyquist Diagram.5.5 Real Axis Abbildung 2: Nyquistdiagramm der instabilen Regelstrecke für ω [, ). F37 (2 Punkte) Geben Sie den Bereich für die Verstärkung des Reglers k p an, welcher zu einem stabilen geschlossenen Regelkreis führt. Antwort: k p

35 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 35 Beschreibung: Abbildung 22 zeigt das Nyquistdiagramm der Kreisverstärkung eines Regelsystems. Die Kreisverstärkung hat einen Pol im Ursprung aber keinen instabilen Pol. Die Modellunsicherheitsschranke ist gegeben als W 2 (jω) =, ω [, ). Imaginary Axis Nyquist Diagram.5.5 Real Axis Abbildung 22: Nyquistdiagramm der Kreisverstärkung für ω [, ). F38 ( Punkt) Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussage(n) korrekt ist (sind). Das nominale geschlossene Regelsystem ist stabil Das mit Unsicherheit behaftete Regelsystem ist stabil Keine der Aussagen ist korrekt Lösung F32 Figure 6 shows that the system A is a first-order system, the system B is a second-order system, and the system C has an integrator. Therefore, their corresponding time-domain response are: A B C II III I F33 From Figure 8, it is clear that the frequency of the reference signal is significantly lower than the cross-over frequency of the system. Therefore, a good tracking can be expected.

36 Seite 36 Sessionsprüfung Regelungstechnik I a b c keine der gezeigten F34 The gain margin of the control system is γ = 8.5 db (7 db db) or ( ) F35 The phase margin of the system is ϕ = 7 (6 8 ) F36 The minimum return difference of the system equals / S(s) max, that is, µ min = 5 db (-6 db -4 db) or (.52.63) F37 To stabilize the plant, a negative gain is necessary to flip the Nyquist plot with respect to the origin. The magnitude of the gain has to be at least 2 in order to obtain the needed.5 encirclements. k p (, 2) ((, 2.5) (,.67)) F38 Figure 22 shows that the critical point - is encircled.5 times in counterclockwise direction. Therefore, the nominal system is stable. To determine whether the system with uncertainty is stable, the robust Nyquist theorem has to be applied. According to the theorem, the radius of the uncertainty circle is defined at all frequencies as L(jω) W 2 (jω). In our case, since W 2 (jω) =, the radius becomes L(jω), i.e. every uncertainty circle passes through the origin. To maintain the.5 encirclements of the point -, we have to make sure that no uncertainty circle contains the point -. With W 2 (jω) = this is the case if the real part of L(jω) is always larger than -.5. Because this is true, the system with uncertainty is stable as well. Das nominale geschlossene Regelsystem ist stabil Das mit Unsicherheit behaftete Regelsystem ist stabil Keine der Aussagen ist korrekt

37 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 37 Thema: Reglerauslegung Wang Beschreibung: Wir haben fünf unterschiedliche Regler (A bis E) für eine Regelstrecke getestet. Abbildung 23 zeigt wie die Regler implementiert wurden und Tabelle 2 listet die Parameterwerte der Regler auf. Abbildung 24 zeigt die Sprungantworten (r(t) = h(t)) des Regelkreises mit allen fünf Reglern. r k p T i s u p u i u P(s) d y T d s u d Abbildung 23: Blockschaltbild des Regelkreises. Tabelle 2: Reglerparameter Controller k p T i T d A 6 B 4 C 6 5 D 6 2 E 6 2.3

38 Seite 38 Sessionsprüfung Regelungstechnik I.4.2 y(t)[ ] t [s] Abbildung 24: Sprungantworten des geschlossenen Regelkreises. I II III IV V F39 (2 Punkte) Ordnen Sie die Sprungantworten (I bis V) den Reglern (A bis E) zu. A B C D E

39 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 39 Beschreibung: Eine unbekannte Regelstrecke wird mit einem proportionalen Regler(C(s) = 7.5) geregelt. Da dieser Regler nicht gut funktioniert möchten Sie einen neuen Regler auslegen. Ihr Assistent hat die Frequenzantwort der Regelstrecke ausgemessen und für Sie Abbildung 25 erstellt. Magnitude [db] Phase [deg] Frequency [rad/s] Abbildung 25: Frequenzantwort der unbekannten Regelstrecke. F4 (2 Punkte) Bestimmen Sie mithilfe der Frequenzantwort der Regelstrecke und der ÜbertragungsfunktiondesReglers(C(s) = 7.5)diet 9 ZeitunddasrelativeÜberschiessen ˆǫ des geschlossenen Regelkreises. Tipp: Faustregeln benützen. Antwort: t 9 = ˆǫ =

40 Seite 4 Sessionsprüfung Regelungstechnik I F4 (2 Punkte) In einem ersten Versuch möchten Sie mit der Zieger-Nichols Methode einen PID-Regler auslegen. Leider können Sie im Moment keine neuen Messungen machen und müssen deshalb die kritischen Parameter aus Abblidung 25 entnehmen. Bestimmen Sie die kritische Verstärkung k p und die Periode der kritischen Schwingung T der Regelstrecke. Antwort: k p = T = Beschreibung: Sie erhalten von Ihrer Kollegin ein Modell für eine Regelstrecke: P(s) = (s+2). Nun möchten Sie einen Regler mithilfe einer Streckeninversion (plant inversion) auslegen. Die Kreisverstärkung des Regelkreises soll eine Durchtrittsfrequenz von rad/s, einen Betragsabfall von 2 db/dek (über allen Frequenzen) und keinen statischen Nachlauffehler aufweisen. F42 (2 Punkte) Geben Sie die Übertragungsfunktion des Regler C(s) an, die zur gewünschten Kreisverstärkung führt. Antwort: C(s) = Lösung F39 The controllers A and B are P-controllers. Therefore, they lead to steady state errors. Moreover, a controller with larger proportional gain oscillates more. Based on these considerations, we can determine that controller A corresponds to the time response I and the controller B corresponds to the time response IV. The controllers C, D and E have integrators. Therefore, their time responses have no steady-state error. However, the controller C has a larger integrator time constant. Hence, it reaches the steady state the slowest. Obviously, the controller C then corresponds to the time response V. The main difference between the remaining two controllers is that controller E is a PID controller. A D-part leads to a faster initial response and less oscillative (due to the damping effect), i.e., E corresponds to III and D corresponds to II. A B C D E I IV V II III

41 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 4 F4 To consider the effect of the P-controller, we need to shift the magnitude plot of the Bode diagram upwards by 7.5 db. It is easy to find that ω c = 2 rad/s and ϕ = 3. Applying the equations t 9 =.7/ω c and ˆǫ = (7 ϕ)/7 gives: t 9 =.85 s (.77 s.94 s) ˆǫ =.35 (.22.48) F4 From the Bode diagram, it is easy to read out that the phase reaches 8 at about 2.5 rad/s, and the corresponding plant gain is about -2 db. Therefore, we can derive that: k p = (8 2.6) T = 2 π 2.5 = 2.5 s (2.2 s 2.8 s) F42 From the criteria (-2 db/dec roll-off and no steady-state error) it is clear that the loop gain must be of the form L(s) = k/s. Therefore, the controller must be of the form C(s) = k (s+2)/s. To determine the precise value of the controller gain k, we need to use the additional information about the desired cross-over frequency. C(s) = s+2 s