Quantengraphen. Sebastian Haeseler Technische Universität Chemnitz. Abstrakte Versionen klassischer. Ungleichungen und Anwendungen auf

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1 Technische Universität Chemnitz

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4 Gliederung

5 Gliederung

6 Gliederung

7 Ein metrischer Graph X Γ besteht aus einer abzählbaren Menge V = {v i }, die Knoten einer abzählbaren Menge E = {e i }, die Kanten einer Abbildung l : E (0, ], die jeder Kante ihre Länge zuordnet einer Abbildung i : E V, die jeder Kante den Anfangspunkt zuordnet einer Abbildung j : E \ {e l(e) = } V, die jeder Kante (endlicher Länge) den Endpunkt zuordnet

8 Ein metrischer Graph X Γ besteht aus einer abzählbaren Menge V = {v i }, die Knoten einer abzählbaren Menge E = {e i }, die Kanten einer Abbildung l : E (0, ], die jeder Kante ihre Länge zuordnet einer Abbildung i : E V, die jeder Kante den Anfangspunkt zuordnet einer Abbildung j : E \ {e l(e) = } V, die jeder Kante (endlicher Länge) den Endpunkt zuordnet Um von einem metrischen Graphen sprechen zu können, fehlt nur noch eine Metrik.

9 Metrische Graphen Dazu benötigen wir die folgende Einschränkung an die Knotengrade: v V : d v := {e E v {i(e), j(e)}} <.

10 Metrische Graphen Dazu benötigen wir die folgende Einschränkung an die Knotengrade: v V : d v := {e E v {i(e), j(e)}} <. Eine Metrik kann damit als geodätischer Abstand definiert werden: d : X Γ X Γ [0, ), d(x, y) := inf p P L(p)

11 Metrische Graphen Dazu benötigen wir die folgende Einschränkung an die Knotengrade: v V : d v := {e E v {i(e), j(e)}} <. Eine Metrik kann damit als geodätischer Abstand definiert werden: d : X Γ X Γ [0, ), d(x, y) := inf p P L(p) Damit ist klar was unter der Stetigkeit von Funktionen auf X Γ zu verstehen ist.

12 Metrische Graphen Dazu benötigen wir die folgende Einschränkung an die Knotengrade: v V : d v := {e E v {i(e), j(e)}} <. Eine Metrik kann damit als geodätischer Abstand definiert werden: d : X Γ X Γ [0, ), d(x, y) := inf p P L(p) Damit ist klar was unter der Stetigkeit von Funktionen auf X Γ zu verstehen ist. Um eine Funktion auf X Γ integrieren zu können, integriert man diese kantenweise woraus sich sofort ergibt, dass L p (X Γ ) = e E L p (0, l(e)).

13 Ein Quantengraph ist ein metrischer Graph auf dem die folgende Form definiert ist: wobei D = D(E) = W 1,2 0 (X Γ ) := W 1,2 (X Γ ) C 0 (X Γ ), E : D D, E(u, v) := e E(u e v e) W 1,2 (X Γ ) := {u C(X Γ ) u 2 E := u E(u) < }.

14 Ein Quantengraph ist ein metrischer Graph auf dem die folgende Form definiert ist: wobei D = D(E) = W 1,2 0 (X Γ ) := W 1,2 (X Γ ) C 0 (X Γ ), E : D D, E(u, v) := e E(u e v e) W 1,2 (X Γ ) := {u C(X Γ ) u 2 E := u E(u) < }. Dies ist eine stark-lokale, reguläre Dirichletform mit dem Energiemaß dγ(u, v) = e E u e(π e (x)) v e(π e (x)) dm e (x).

15 Mit der Voraussetzung d v < kann damit die Gültigkeit folgender Ungleichung gezeigt werden.

16 Mit der Voraussetzung d v < kann damit die Gültigkeit folgender Ungleichung gezeigt werden. Satz Für alle u W 1,2 0 (X Γ ) gilt u c u E wobei c > 0 nur vom Durchmesser des Graphen anhängt. diam(x Γ ) := sup{d(x, y) x, y X Γ }

17 Beschränkte Geometrie Für die folgenden Resultate sind noch zwei Einschränkungen an den von nöten.

18 Beschränkte Geometrie Für die folgenden Resultate sind noch zwei Einschränkungen an den von nöten. Die Knotengrade sind gleichmäßig nach oben beschränkt, d.h. d Γ N v V : d v d Γ.

19 Beschränkte Geometrie Für die folgenden Resultate sind noch zwei Einschränkungen an den von nöten. Die Knotengrade sind gleichmäßig nach oben beschränkt, d.h. d Γ N v V : d v d Γ. Die Längen der Kanten sind gleichmäßig nach unten beschränkt, d.h. inf l(e) l Γ > 0. e E

20 Volume-Doubling Satz Das Tripel (X Γ, d, m) ist ein Raum homogenen Types, d.h. m hat die Volume-Doubling Eigenschaft 0 < m(b(x, 2r)) c 0 m(b(x, r)) < mit c d Γ 2 für alle x X Γ und 0 < r l Γ 4. Insbesondere gilt m(b(x, r)) 2m(B(x, s)) ( ) r ν s für 0 < s < r l Γ 2 und ν = log c 0 log 2.

21 Satz Für r l Γ 2, x 0 X Γ und u W 1,2 loc (X Γ) gilt ˆ ˆ u(x) u B 2 dm(x) c 1 r 2 B(x 0,r) B(x 0,r) dγ(u(x)) mit c 1 16dΓ 2, wobei mit u B := ffl u(x) dm(x) := 1 m(b) u(x) dm(x) der Mittelwert B B der Funktion u auf B = B(x 0, r) bezeichnet wird.

22 Aufgabenstellung Uns interessieren nun Eigenschaften von Minimierern u von E in offenen Teilmengen X 0 X Γ, d.h. Funktionen u W 1,2 loc (X 0) so dass für alle φ W 1,2 (X 0 ) mit supp φ X 0 ˆ ˆ dγ(u) dγ(u + φ) X 0 X 0 gilt. Dies ist dazu äquivalent, dass u eine schwache Lösung im Sinne der folgenden Definition ist:

23 Aufgabenstellung Definition Sei X 0 X Γ offen und u W 1,2 loc (X 0), u 0. Bezeichnen u als schwache Sub-, bzw. Superlösung falls für alle v W 1,2 0 (X 0 ), v 0 gilt, dass E(u, v) 0 bzw. E(u, v) 0 gilt. Als schwache Lösung wird u bezeichnet, falls u zugleich schwache Sub- und Superlösung ist.

24 Satz Sei u 0 ein schwache Lösung in B(x, 2r), wobei x X Γ und 0 < 2r < l Γ 4. Dann gilt sup u C inf u, B(x,r) B(x,r) wobei C nur vom Parameter d Γ abhängt.

25 Satz Sei u 0 ein schwache Lösung in B(x, 2r), wobei x X Γ und 0 < 2r < l Γ 4. Dann gilt sup u C inf u, B(x,r) B(x,r) wobei C nur vom Parameter d Γ abhängt. Insbesondere gilt, falls u schwache Lösung in X X Γ offen ist, dass für jede relativ kompakte und zusammenhängende Teilmenge X 0 X die sup u C inf u X 0 X 0 gilt, wobei diese Konstante C zusätzlich auch von X 0 abhängt.

26 Bemerkungen zum Beweis Der Beweis beruht auf der Gültigkeit der beiden Moserschen Abschätzungen

27 Bemerkungen zum Beweis Der Beweis beruht auf der Gültigkeit der beiden Moserschen Abschätzungen sup u C B(x,r) ( B(x, 5 4 r) u(x) p dm(x) ) 1 p gilt für schwache Sublösungen u, p > 1 und C hängt nur von d Γ und p ab;

28 Bemerkungen zum Beweis Der Beweis beruht auf der Gültigkeit der beiden Moserschen Abschätzungen sup u C B(x,r) ( B(x, 5 4 r) u(x) p dm(x) ) 1 p gilt für schwache Sublösungen u, p > 1 und C hängt nur von d Γ und p ab; ( B(x, 5 4 r) u(x) p dm(x) ) 1 p C inf u B(x,r) gilt für schwache Superlösungen u, p < nur von d Γ und p ab; ν ν 2 und C hängt

29 Bemerkungen zum Beweis Deren Beweis wiederum basiert auf der Moserschen Iterationstechnik, deren Herz folgende Iterationsungleichung darstellt Bs u 2ν ν 2 p dm ν 2 ν c γbr u p dm, mit 0 < s < r, die für schwache Sublösungen u 0 und p > 1, und für schwache Superlösungen u 0 und p < 1 gilt.

30 Ein kleiner Frage: Wann gilt die auf beliebig großen Kugeln?

31 Ein kleiner Frage: Wann gilt die auf beliebig großen Kugeln? Dies hätte folgende Liouville-Eigenschaft als Konsequenz

32 Ein kleiner Frage: Wann gilt die auf beliebig großen Kugeln? Dies hätte folgende Liouville-Eigenschaft als Konsequenz Satz Jede beschränkte schwache Lösung auf dem gesamten Graphen X Γ ist konstant.

33 Ein kleiner Frage: Wann gilt die auf beliebig großen Kugeln? Dies hätte folgende Liouville-Eigenschaft als Konsequenz Satz Jede beschränkte schwache Lösung auf dem gesamten Graphen X Γ ist konstant. Dazu müssten Volume-Doubling Eigenschaft und die ebenfalls auf beliebig großen Kugeln erfüllt sein. Allerdings sind die Voraussetzungen der gleichmäßigen oberen Schranke der Knotengrade und eine untere Schranke der Kantenlängen nicht ausreichend.

34 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit