Klausur Wirtschaftsmathematik VO

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1 Klausur Wirtschaftsmathematik VO 17. Dezember 2018 Bitte leserlich in Druckbuchstaben ausfüllen! NACHNAME: VORNAME: MATRIKELNUMMER: ERLAUBT: nur die Formelsammlung des Instituts! VERBOTEN: Taschenrechner und Handys am Arbeitsplatz! Aufgabe max. Punkte erreichte Punkte Summe 60 Note:

2 1. a) (7 Punkte) Bestimmen Sie die Definitionsmenge und geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung an: Ô 2 3x Ô 5 2x =1 b) (5 Punkte) Gegeben ist die folgende Ungleichung mit b>1: Bestimmen Sie alle Lösungen x>0! Ausführung Beispiel 1: b 1 ln (x) ln b ln > 0 x 2

3 Ausführung Beispiel 1: Lösung: a) D = b) 0 <x< 1 b+1 È È Œ; 2 3 ; L = { 22}, x = 2 ist keine Lösung!

4 2. a) (3 Punkte) Geben Sie eine Matrix M der Dimension 4 4 mit folgenden Eigenschaften an: M ist eine Y ] untere Dreiecksmatrix mit [ obere Dreiecksmatrix mit det(m) = 24, wenn Ihre Matrikelnummer gerade ist det(m) = 12, wenn Ihre Matrikelnummer ungerade ist b) (9 Punkte) Auf einem Grazer Weihnachtsmarkt wird verschiedener Christbaumschmuck verkauft: Strohsterne werden um 1 Euro pro Stück verkauft, Kerzen kosten 2 Euro je Stück und der Verkaufspreis für Christbaumkugeln liegt bei 5 Euro pro Stück. Das Doppelte des Verkaufserlöses der Kerzen ist um 100 Euro größer als der dreifache Erlös der Christbaumkugeln. Der Verkaufserlös der Strohsterne ist genau so groß wie der dreifache Verkaufserlös der Kerzen. Berechnen Sie, wie viel Stück je Produkt verkauft wurden, wenn die gesamten Verkaufserlöse 900 Euro betragen. Stellen Sie aus diesen Angaben zunächst ein Gleichungssystem in Matrixform zur Bestimmung der Stückanzahl der drei Produkte auf und lösen Sie dieses anschließend unter Verwendung des Gauß-Algorithmus! Ausführung Beispiel 2:

5 Ausführung Beispiel 2: Lösung: Q R a) gerade Matrikelnummer: z.b. M = c d a b Q R ungerade Matrikelnummer: z.b. M = c d a b Q R Q R b) Gleichungssystem: A x = b mit A = c a1 6 0 d b und b = c a 0 d b Q R 600 Lösungsvektor: x = c a100 d b 20

6 3. Gegeben ist die Folge n a n =1. x +2 a) (4 Punkte) Setzen Sie nun x = 0 und untersuchen Sie a n auf Monotonie und Beschränktheit. Geben Sie wenn möglich eine obere und/oder eine untere Schranke an und begründen Sie Ihre Wahl! b) (4 Punkte) Setzen Sie wieder x = 0 und berechnen Sie die beiden Summen 4ÿ a n n=2 und Œÿ (1 a n ) n=1 c) (4 Punkte) Bestimmen Sie alle x œ R, für die die Folge a n den Grenzwert 1 besitzt! Ausführung Beispiel 3:

7 Ausführung Beispiel 3: Lösung: a) Die Folge a n ist für x =0streng monoton wachsend und es gilt 1 2 Æ a n < 1. b) Für x =0gilt 4ÿ n= n = = = und Œÿ Œÿ n (1 a n )= =1. 2 n=1 n=1 c) Die Folge a n hat genau dann den Grenzwert 1, wenn 1 - x +2 - < 1 Also für x< 3 oder x> 1.

8 4. Gegeben ist die Funktion 1 f(x) =x ln x x 2 a) (2 Punkte) Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge D R der Funktion f(x). b) (5 Punkte) Bestimmen Sie die Taylorentwicklung von f (x) um den Punkt x 0 = 1 (mit Gliedern bis einschließlich zweiter Ordnung)! c) (5 Punkte) Berechnen Sie ˆ Ausführung Beispiel 4: 1 x 2 ln x 32 dx

9 Ausführung Beispiel 4: Lösung: a) D = R \{0} b) p (x) =1+4 (x 1) 2 c) 1 3 x3 #ln! x 3" 1 $ + C

10 5. Gegeben ist die Funktion f(x, y) = 4x y 2 + y ln(x). a) (2 Punkte) Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich und den Funktionswert an der Stelle (1, 2). b) (3 Punkte) Bestimmen Sie den Gradienten an der Stelle (1, 2). c) (5 Punkte) Geben Sie die Hesse-Matrix an der Stelle (1, 2) an. d) (2 Punkte) Bestimmen Sie die normierte Richtungsableitung an der Stelle (1, 2) in Richtung (12, 5) und interpretieren Sie diese. Ausführung Beispiel 5:

11 Ausführung Beispiel 5: Lösung: a) D = R ++ R \{0}; f (1, 2) = 1 b) ( 1, 1) Q c) H(1, 2) = a 2 2 R 3b 2 2 d) Der Funktionswert ändert sich näherungsweise um Punkt (1, 2) eine Einheit in Richtung (12, 5) geht. Einheiten, wenn man ausgehend vom