Wirtschaftsmathematik - Übungen SS 2018

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1 Wirtschaftsmathematik - Übungen SS 208 Blatt : Mathematische Grundlagen. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke: (2x n ) 2 (3x n 3 ) 3 x : (xn+ ) 3 = x n b) 2x 3 5Ô x 4 Ô 4x = c) ˆ ˆ ı Ù a + b ı Ù (a b) 2 3 a 2 64a +64b = 2. P Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck: C 3b 3 D 3 2a (x y) : C (2 a b 3 ) 2 (x y) 4 : 9a 5 b 3 D (x + y) = 3. Bestimmen Sie jeweils die Definitionsmenge der folgenden Gleichungen, lösen Sie die Gleichungen nach der Variablen x auf und geben Sie die Lösungsmenge an: (3x 6) 2 (9 2x) 2 =35 b) (x 3) (x +) (x 2 )=0 c) 4 Ô 5x +=0 d) Ô x 2 x 3 64 Ô x2 + =0 4. P Bestimmen Sie jeweils die Definitionsmenge der folgenden Gleichungen, lösen Sie die Gleichungen nach der Variablen x auf und geben Sie die Lösungsmenge an. Welche Bedingungen muss die Konstante a erfüllen?: x + a + x a = a 2 b) Ô 3x +4 Ô 3x 8=2 WM Übungen Blatt 2 SS 208

2 5. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke: 6! 4!2! b) n! (n 3)! c) (2n)! (2n 2)!2! 6. Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen über R an: x 2 2x 3 < 0 x b) 5 x Æ 8 x 2 7. P Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung über R an: 3 ( x) x 5 Æ 9 8. Lösen Sie die folgende Betragsungleichung in R: x > 9. P Lösen Sie die folgende Betragsungleichung in R: 0. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke: log a (a log a (a2) )= A B e 3 b) ln = e+3 c) log 3 (9) + log 3 (27x) log 3 (9x) = 3 2x x +3 Ø 2. Bestimmen Sie die Definitionsmenge und lösen Sie folgende Gleichungen nach der Variablen x auf: 2 log 5 (3x + ) = log 5 (6x +0) b) x lnx+2 = e 3 2. P Bestimmen Sie die Definitionsmenge, lösen Sie die Gleichungen nach der Variablen x auf und geben Sie die Lösungsmenge an: 0 x 00 =0, 3x WM Übungen Blatt 2 2 SS 208

3 3. Berechnen Sie: 3ÿ i 2 i+ b) i=0 20 ÿ k= 5 4. P Berechnen bzw. vereinfachen Sie die folgenden Summen soweit möglich: ÿ0 0 0 i 2 ÿ ÿ + i (i ) 2 b) i= i= i= n ÿ nÿ x i x j i=0 j= 5. Berechnen Sie die folgende Doppelsumme: ÿ 3 ÿ k=0 i=0 i k + 6. P Berechnen Sie die folgende Doppelsumme: 4ÿ 4ÿ (i ) 3 j i=2 j= 7. Gegeben sind die Mengen A = {a, {, 2},b,c} und B = {a, b,, 2}. P(A) ist die Potenzmenge von A. Stimmen die folgenden Aussagen und wenn nicht, wie lautet eine mögliche wahre Aussage? {b} œa b) {, 2} µb c) {, 2} µa d) {a, b} œp(a) e) {a, b} œaflb 8. P Geben Sie eine beschreibende Darstellung der folgenden Menge an: ;, 3 4, 4 6, 5 8,... < b) Geben Sie sämtliche Teilmengen der Menge M = {0, {a}} an. c) Entscheiden Sie für die Menge A = Ó a - - -(a ist Primzahl) a 2 < 8 2Ô welche der folgenden Aussagen richtig sind. Begründen Sie Ihre Antwort! i. Jedes Element von A gehört zu Q. ii. a ist eine Konstante. iii. Die Mächtigkeit von A beträgt 4. iv. Die Menge {{2}} ist eine Teilmenge von A. WM Übungen Blatt 2 3 SS 208

4 9. Skizzieren Sie ein Diagramm mit drei Mengen sämtlich Teilmengen einer Grundmenge G im allgemeinsten Fall und schra eren Sie folgende Menge: (A fl (C\B)) fi (B\A) 20. Unter 90 Befragten waren 60 Personen, die gerne Ka ee trinken, 50 Personen, die gerne Tee trinken und 40 Personen, die gerne Milch trinken. Diese Zahlen schließen 35 Personen ein, die gerne Ka ee und Tee trinken, 25 Personen, die gerne Ka ee und Milch trinken und 20 Personen, die gerne Tee und Milch trinken. Diese Zahlen wiederum schließen 5 Personen ein, die gerne Ka ee, Tee und Milch trinken. Erstellen Sie ein Venn Diagramm des Sachverhaltes. b) Bestimmen Sie wie viele Personen keines der Getränke gern trinken! 2. P Eine Fussballtrainerin hat in ihrer Mannschaft 8 Spielerinnen. Davon sind 8 Verteidigerinnen und 6 Mittelfeldspielerinnen. Eine Spielerin kann nur als Torfrau eingesetzt werden. Drei Spielerinnen können sowohl in der Verteidigung, als auch im Mittelfeld als auch im Sturm spielen, fünf können im Mittelfeld und im Sturm spielen, und vier können im Mittelfeld und in der Verteidigung eingesetzt werden. Im Sturm und in der Verteidigung können drei Spielerinnen spielen. Wie viele reine Stürmerinnen gibt es? b) Wie viele reine Verteidigerinnen gibt es? 22. Gegeben sind die folgenden vier Mengen: M = {x œ R 0 <xæ 6} M 2 = {x œ N x 3 < 64} M 3 =[;7] M 4 = {, 5} Skizzieren Sie diese Mengen auf einer Zahlengeraden der reellen Zahlen 4 b) Bestimmen Sie den Durchschnitt M i aller vier Mengen! c) Bestimmen Sie die Vereinigung i= 4 i= M i aller vier Mengen! d) Bestimmen Sie das kartesische Produkt von M 2 und M 4! e) Bestimmen Sie die Komplementmenge von M bezüglich R! f) Bestimmen Sie die symmetrische Di erenz von M und M 3! g) Bestimmen Sie - falls möglich - die Potenzmenge der Menge M = M 4 fi{0}! WM Übungen Blatt 2 4 SS 208

5 23. Zeichnen bzw. schra eren Sie die folgenden Mengen in R R. Welche dieser Mengen sind konvex? (Hinweis: Eine Menge heißt konvex, wenn sie zu je zwei beliebigen Punkten auch deren ganze Verbindungsstrecke enthält.) A = {(x, y) 6x +3y =2 x>0} b) B = {(x, y) (y Æ 2 x) (x Ø 0) (y >0)} c) C = {(x, y) (x 5) 2 + y 2 Ø 25} 24. P Gegeben sind die Mengen A und B, die wie folgt definiert sind: A = {(x, y) œ R R y Ø x 2 +2} B = {(x, y) œ R R (y Ø 3 x ) (y <3)} 2 Skizzieren Sie die Mengen A und B in einem geeigneten Koordinatensystem. b) Kennzeichnen Sie die Menge A fl B. Ist diese Menge konvex? Die mit P gekennzeichneten Beispiele sind von den Studierenden vorzubereiten und nach Aufruf durch den/die Lehrveranstaltungsleiter/in an der Tafel zu präsentieren! WM Übungen Blatt 2 5 SS 208