Prof. Dr. Ing. habil. Thomas Meurer. Regelungstechnik I. Formelsammlung. c Lehrstuhl für Regelungstechnik Christian Albrechts Universität Kiel

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1 Prof Dr Ing habil Thomas Meurer Regelungstechnik I Formelsammlung c Lehrstuhl für Regelungstechnik Christian Albrechts Universität Kiel

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3 1 Kapitel Satz 1 (Lokale Existenz und Eindeutigkeit Es sei f(x, t stückweise stetig in t und erfülle die Lipschitz Bedingung f(x 1, t f(x, t L x 1 x, 0 < L < für alle x 1, x B := {x R n x x 0 r} für alle t [t 0, t 0 + τ] Dann existiert ein δ > 0 so, dass ẋ = f(x, t, t > t 0, x(t 0 = x 0 genau eine Lösung für t [t 0, t 0 + δ] besitzt Kapitel 3 Zustands und Ähnlichkeitstransformationen Sei A R n n eine reellwertige n n Matrix und seien n k und g k die algebraische und geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes λ k von A Fall n k = g k für alle k = 1,, m: Sind für alle Eigenwerte die algebraische und geometrische Vielfachheit identisch, so spannen die Eigenvektoren der Matrix A den Raum R n bzw C n auf und bilden eine Eigenbasis von A Jordansche Normalform: Λ 1 Ã = V 1 Λ AV = Λm k, Λ k = diag({λ k } j=1,,nk = λ λ k C n k n k mit V = [ V 1 V Vm ] V k = [ v k1, v k,, v kgk ] C n g k Transitionsmatrix des transformierten Systems: exp(λ 1 t exp(λ t Φ(t = mit exp(λ kt = diag ( {exp(λ k t} j=1,,nk exp(λmt Fall n k g k für mindestens ein k = 1,, m: Ist für einen Eigenwert λ k die geometrische Vielfachheit g k echt kleiner als die algebraische Vielfachheit n k, dann müssen zusätzlich zu den Eigenvektoren die entsprechenden Hauptvektoren berechnet werden Ein Vektor v heißt dabei Hauptvektor r ter Stufe, wenn gilt (A λe r v = 0 (A λe r 1 v 0

4 Jordansche Normalform: J 1 Ã = V 1 J AV = λ k λ k 0 0, J k = λ k E + N k = C n k n k 0 0 λ k 1 Jm λ k mit V = [ V 1 V ] V m [ ] V k = v k1, v ( k 1,, v (l1 k 1,, v kgk, v ( k gk,, v (lg k k gk C n n k, l k der Länge der Jordan Kette und N ( N ( N k = mit N (j = N (gk Transitionsmatrix des transformierten Systems: exp(j 1 t exp(j t Φ(t = exp(jmt mit exp( N (1 t exp(j k t = exp(λ k t 1 t t t exp ( N (gk t, exp ( N (j t! l j 1 (l j 1! = t Reelle Jordansche Normalform Satz 33 Sei A R n n mit r reellen und (m r/ konjugiert komplexen Eigenwerten Dann existiert eine Ähnlichkeitstransformation mit der Transformationsmatrix [ ( ( ( V = V 1 Vr R ( ( ( ] v(k+11, I v(k+11, R v (k+1, I v 1 (k+1, R n n 1 bestehend aus linear unabhängigen (komplexwertigen Eigen und Hauptvektoren mit [ ] V k = v k1, v ( k 1,, v (l1 k 1,, v kgk, v ( k gk,, v (lg k k gk R n n k so, dass die transformierte Matrix die Form J 1 Ã = V 1 J AV = Jl

5 3 annimmt Hierbei bezeichnen J k die Jordan Blöcke, deren Struktur für reelle Eigenwerte durch λ k λ k 0 0 J k = 0 0 λ k λ k bzw für konjugiert komplexe Eigenwerte λ k = α k + iβ k in der Form W E W 0 0 J k = 0 0 W E W mit W = gegeben ist [ ] αk β k, E β k α = k [ ] Es gilt zudem, dass [ ] e exp(w t = αt cos(βt e αt sin(βt e αt sin(βt e αt cos(βt

6 4 Kapitel 4 Realisierungsproblem und kanonische Formen Nachfolgend werden zwei kanonische Minimalrealisierungen der Übertragungsfunktion ĝ(s = ŷ(s û(s = ẑ(s ˆn(s = b 0 + b 1 s + + b n 1 s n 1 + b n s n a 0 + a 1 s + + a n 1 s n 1 + s n angegeben, wobei vorausgesetzt wird, dass ẑ(s und ˆn(s teilerfremd sind und das Nennerpolynom ˆn(s monisch ist, dh der Koeffizient der höchsten Potenz ist 1 1 Standardform oder Regelungsnormalform x x d dt x n 1 x n = x = a 0 a 1 a a n 1 = A x 1 x y = [ b0 b1 b ] n 1 = c T x n 1 x n = x mit b j = b j b n a j, j = 0, 1,, n 1 + b n = d x 1 x x n 1 x n = x u, t > 0, x(0 = x = b u, t 0 Standardform oder Beobachtungsnormalform x a 0 x 1 b0 d x a 1 x dt = + b1 u, t > 0, x(0 = x 0 x n a n x n 1 bn x n a n 1 x n bn 1 = x = A T = x = c x 1 y = [ ] x + b n u, t 0 = b T x n 1 = d x n = x mit b j = b j b n a j, j = 0, 1,, n 1

7 5 Kapitel 5 Routh Hurwitz Kriterium Satz 53 Ein Polynom der Form ˆn(s = n a j s j j=0 mit den reellen Koeffizienten a j, j = 0, 1,, n ist genau dann eine Hurwitz Polynom, wenn alle Elemente der Pivotspalte des nachfolgenden Routh Schemas s n a 0,1 = a n a 0, = a n a 0,3 = a n 4 s n 1 a 1,1 = a n 1 a 1, = a n 3 a 1,3 = a n 5 s n a,1 a, a,3 s n 3 a 3,1 a 3, a 3,3 s 1 a n 1,1 0 0 s 0 a n,1 mit a i,j = a i 1,1a i,j+1 a i,1 a i 1,j+1 a i 1,1 für i =, 3,, n, j = 1,, von Null verschieden sind und identisches Vorzeichen besitzen Michailov Kriterium Satz 54 Ein Polynom ˆn(s vom Grad n ist genau dann ein Hurwitz Polynom, wenn gilt arg(ˆn(iω = nπ Nyquist Kriterium r ĝ r (s ĝ(s y Abb 51: Regelkreis mit einem Freiheitsgrad Satz 55 Der geschlossene Regelkreis ˆt r,y (s nach Abbildung 51 mit der Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises ˆl(s ist genau dann eingangs ausgangs stabil, wenn die stetige Winkeländerung von 1 + ˆl(s die Bedingung erfüllt arg((1 + ˆl(iω = [ max { deg ẑˆl(s, deg ˆnˆl(s } N (ˆnˆl(s + N + (ˆnˆl(s ] π

8 6 Satz 56 (Generalisiertes Nyquist Kriterium Der geschlossene Regelkreis ˆt r,y (s nach Abbildung 51 mit der Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises ˆl(s ist genau dann eingangs ausgangs stabil, wenn (i 1 + ˆl(s 0, s N und (ii (1 + ˆl(s s N den Ursprung N + (ˆl(s fach im Gegenuhrzeigersinn umläuft, wobei N + (ˆl(s die Anzahl der (isolierten Polstellen des offenen Regelkreises ˆl(s in der rechten offenen komplexen Halbebene bezeichnet, dh ind(1 + ˆl(s = N + (ˆl(s mit den so genannten Nyquist Index ind(ĝ(s = 1 π lim [ arg(ĝ(iω ω N ω arg(ĝ( iω ω N ] Regelungsentwurf mit dem Frequenzkennlinienverfahren Satz 57 (Nyquist Kriterium im Frequenzkennliniendarstellung Es sei angenommen, dass sich die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises ˆl(s in der Form ˆl(s = V s ρ ẑˆl(s ˆnˆl(s e stt, ẑˆl(0 = ˆnˆl(0 = 1 mit den teilerfremden Polynomen ẑˆl(s und s ρˆnˆl(s darstellen lässt, wobei die folgenden Bedingungen erfüllt sind: (i der Verstärkungsfaktor V und die Totzeit T t sind positiv (ii es gilt deg(ˆnˆl(s + ρ > deg(ẑˆl(s, (iii das Polynom ˆnˆl(s ist ein Hurwitz Polynom und ρ {0, 1, }, (iv die Betragskennlinie von ˆl(iω weist genau einen Schnittpunkt mit der 0 db Linie (genau eine Durchtrittsfrequenz ω c auf bzw die Ortskurve ˆl(iω schneidet den Einheitskreis genau einmal und (v im Bereich ˆl(iω db 0 gelte 540 o < arg(ˆl(iω < 180 o, dh die Ortskurve des offenen Regelkreises ˆl(s kann vor ihrem Eintauchen in den Einheitskreis den Ursprung höchstens einmal vollständig umkreisen Unter diesen Voraussetzungen ist der Regelkreis aus Abbildung 51 mit der Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises ˆl(s genau dann eingangs ausgangs stabil, wenn der Abstand der Phase an der Durchtrittsfrequenz arg(ˆl(iω c zu π, die so genannte Phasenreserve φ, φ = arg(ˆl(iω c + π positiv ist

9 7 Vorgehen beim Entwurf mit dem Frequenzkennlinienverfahren 1 Für gegebene Streckenübertragungsfunktion ĝ(s müssen die Kenngrößen t r, M oder ü und e zur Charakterisierung des Einschwingverhaltens des geschlossenen Regelkreises spezifiziert werden Die Kenngrößen t r, M oder ü und e werden mit Hilfe der Näherungsbeziehungen in Vorgaben an den Frequenzgang des offenen Regelkreises ˆl(s übertragen 3 Der Regler ĝ r (s ist so auszulegen, dass der geschlossene Regelkreis eingangs ausgangs stabil ist und die Forderungen aus erfüllt sind Die Stabilitätsanalyse kann mittels Satz 57 durch Überprüfung der Phasenreserve φ erfolgen, wenn ˆl(s = ĝ r (sĝ(s die dort formulierten Voraussetzungen erfüllt, oder mittels des Nyquistkriteriums aus Satz 55 bzw 56 4 Zur Vermeidung eines kriechenden Einlaufens der Sprungantwort in den stationären Endwert soll der Regler ĝ r (s in 3 so entworfen werden, dass ca 1 Dekade um die Durchtrittsfrequenz ω c die Betragskennlinie von ˆl(s mit mindestens 0 db/dekade abfällt 5 Da der Entwurf auf empirischen Beziehungen basiert, ist die Qualität des Reglerentwurfs immer durch numerische Simulationen zu überprüfen Falls kein zufriedenstellendes Ergebnis erzielt wird, dann ist zu überprüfen, ob die in 1 spezifizieren Anforderungen überhaupt prinzipiell erfüllbar sind, oder ob die Verwendung eines anderen Reglers in 3 die Ergebnisse verbessern würde 6 Es ist zu beachten, dass eine Begrenzung der maximalen Stellgröße u(t, die bei jedem technischen Prozess vorhanden ist, im Rahmen dieses einfachen Entwurfsverfahrens nicht explizit berücksichtigt werden kann Eine diesbezügliche Analyse kann durch die numerische Simulation des geschlossenen Regelkreises erfolgen Bei Überschreiten der maximal zulässigen Stellgröße müssen die Anforderungen aus 1 entsprechend verändert werden, wobei insbesondere die Anstiegszeit t r zu vergrößern ist Zudem sollte im Rahmen einer Führungsregelung niemals eine Sprungfunktion sondern immer eine hinreichend glatte Referenztrajektorie r(t verwendet werden Lead Lag Reglerentwurf Die Übertragungsfunktion eines Lead Gliedes lautet ĝ(s = V 1 + T s, 0 < η < 1, T > T ηs Will man eine maximale Phasenanhebung von ϕ an der Stelle ω c erreichen, dann berechnen sich die Koeffizienten gemäß ( η = 1 + tan( ϕ tan( ϕ tan ( ϕ + 1 T = 1 ηωc Die Übertragungsfunktion eines Lag Gliedes lautet ĝ(s = V 1 + T s, η > 1, T > T ηs Will man eine Betragsabsenkung um A und eine Phasenabsenkung um ϕ an der Stelle ω c erreichen, dann berechnen sich die Koeffizienten gemäß T = A 1 + tan ( ϕ 1 ω c tan( ϕ ω c T tan( ϕ η = ω c T (1 + ω c T tan( ϕ

10 8 Polvorgabe für den Regelkreis mit einem Freiheitsgrad r ĝ r (s ĝ(s y Abb 5: Regelkreis mit einem Freiheitsgrad Es gilt für die realisierbaren Übertragungsfunktionen von Strecke und Regler und ĝ(s = ẑ(s ˆn(s = b 0 + b 1 s + + b n 1 s n 1 + b n s n a 0 + a 1 s + + a n 1 s n 1 + a n s n, a n 0 ĝ r (s = ẑr(s ˆn r (s = d 0 + d 1 s + + d m 1 s m 1 + d m s m c 0 + c 1 s + + c m 1 s m 1 + c m s m, c m 0 mit den teilerfremden Polynomen (ẑ(s, ˆn(s und (ẑ r (s, ˆn r (s Satz 511 (Polvorgabe mit einem Freiheitsgrad Gegeben ist der Regelkreis mit einem Freiheitsgrad gemäß Abbildung 5 mit der strikt properen Streckenübertragungsfunktion der Ordnung n ĝ(s = ẑ(s ˆn(s, deg(ẑ(s < deg(ˆn(s = n und den teilerfremden Polynomen ẑ(s und ˆn(s Dann existiert zu jedem Polynom ˆf(s mit deg( ˆf(s = n 1 eine Lösung (ẑ r (s, ˆn r (s der Diophantischen Gleichung ẑ(sẑ r (s + ˆn(sˆn r (s = ˆf(s so, dass für die Übertragungsfunktion des Reglers ĝ r (s gilt ĝ r (s = ẑr(s ˆn r (s, deg(ẑ r(s deg(ˆn r (s = n 1 Sei ˆf(s ein Polynom vom Grad p, dh ˆf(s = f 0 + f 1 s + + f p 1 s p 1 + f p s p, f p 0 dann können die Koeffizienten des Reglers aus der Resultante R gemäß b 0 a d 0 f 0 b 1 a 1 b 0 a c 0 f 1 b n a n b n 1 a n 1 b 1 a d 1 f 1 c 1 = f 3 b n a n b a d n 1 f n b n a n = R c n 1 f n 1 bestimmt werden

11 9 Kapitel 6 Kalmansche Steuerbarkeitsmatrix S(A, B = [ B AB A B A n 1 B ] Kalmansche Beobachtbarkeitsmatrix O(C, A = C CA CA CA n 1 PBH Eigenvektortest Gegeben ist das System ẋ = Ax + Bu, t > 0, x(0 = x 0 y = Cx + Du, t 0 der Ordnung n Sei v T k j 0 T Linkseigenvektor von A zum Eigenwert λ k mit geometrischer Vielfachheit g k und sei v kj 0 Rechtseigenvektor von A zum Eigenwert λ k mit geometrischer Vielfachheit g k Das System bzw das Paar (A, B ist genau dann vollständig steuerbar, wenn für alle k aus der Bedingung (α 1 v T k1 + + α gk v T kgk B = 0 T folgt, dass α 1 = = α gk = 0 Das System bzw das Paar (C, A ist genau dann vollständig beobachtbar, wenn für alle k aus der Bedingung C ( α 1 v k1 + + α gk v kgk = 0 folgt, dass α 1 = = α gk = 0 PBH Rangtest Das System ẋ = Ax + Bu, t > 0, x(0 = x 0 y = Cx + Du, t 0 der Ordnung n ist genau dann

12 10 vollständig steuerbar, wenn rang [ se A B ] = n für alle s C vollständig beobachtbar, wenn [ ] se A rang = n für alle s C C Satz von Cayley Hamilton Satz 61 Jede quadratische (n n Matrix A erfüllt ihr charakteristisches Polynom Sei p(λ = det(a λe = λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0, dann gilt p(a = A n + a n 1 A n a 1 A + a 0 E = O mit O der (n n Nullmatrix Regelungsentwurf in Regelungsnormalform Satz 614 (Ackermann Formel im Eingrößenfall Gegeben ist das System ẋ = Ax + bu, t > 0, x(0 = x 0 y = c T x + du, t 0 Die Eigenwerte der Dynamikmatrix A g = A bk T des geschlossenen Regelkreises ẋ = ( A bk T = A g x + bhr, t > 0, x(0 = x 0 y = ( c T dk T x + dhr, t 0 können genau dann durch eine Zustandsrückführung u = k T x + hr beliebig platziert werden, wenn das Paar (A, b vollständig steuerbar ist In diesem Fall berechnet sich der Rückführvektor nach der Formel k T = w T ( p 0 E + p 1 A + + p n 1 A n 1 + A n, w T = [ ] S 1 (A, b (6 mit p j, j = 0, 1,, n 1, den Koeffizienten des gewünschten charakteristischen Polynoms der Matrix A g Um zu erreichen, dass gilt lim y r = y r = 0 t mit r, dem stationären Wert der Führungsgröße, ist der Vorfilterfaktor h gemäß h = zu wählen 1 d ( c T dk T ( A bk T 1 b

13 11 Beobachterentwurf in Beobachtungsnormalform Satz 616 (Ackermann Formel für den Zustandsbeobachterentwurf im Eingrößenfall Gegeben ist das System ẋ = Ax + bu, t > 0, x(0 = x 0 y = c T x + du, t 0 Die Eigenwerte der Dynamikmatrix A b = A lc T der Beobachterfehlerdynamik x = ( A lc T = A b x, x(0 = x 0 = x 0 ˆx 0 eines vollständigen Luenberger Beobachters der Form ˆx = Aˆx + bu + l(y ŷ, ˆx(0 = ˆx 0 ŷ = c T ˆx + du können genau dann durch l beliebig platziert werden, wenn das Paar (c T, A vollständig beobachterbar ist In diesem Fall berechnet sich der Beobachterkorrekturvektor nach der Formel 0 l = (ˆp 0 E + ˆp 1 A + + ˆp n 1 A n 1 + A n ŵ, ŵ = O 1 (c T, A ( mit ˆp j, j = 0, 1,, n 1, den Koeffizienten des gewünschten charakteristischen Polynoms ˆp (λ = ˆp 0 + ˆp 1 λ + + ˆp n 1 λ n 1 + λ n = n ( λ ˆλ j=1 j (64 der Matrix A b Vorsteuerungsentwurf in Regelungsnormalform Satz 618 Gegeben ist das System ẋ = Ax + bu, t > 0, x(0 = x 0 y = c T x + du, t 0 Sei das Paar (A, b vollständig steuerbar und sei ζ (t C n (R Dann ist x(t = x (t mit und x = W 1 W = w T w T A w T A n 1 ζ d dt ζ d n 1 dt n 1 ζ, wt = [ ] S 1 (A, b

14 1 Lösung der Zustandsdifferenzialgleichung ẋ = Ax + bu, x(0 = x (0 für die Eingangsgröße u(t = u (t mit u = w T A n x + dn dt n ζ Für die Ausgangsgröße gilt in diesem Fall y(t = y (t mit y = c T x + du Folgeregelungsentwurf in Regelungsnormalform Satz 619 Gegeben ist das System ẋ = Ax + bu, t > 0, x(0 = x 0 y = c T x + du, t 0 Sei das Paar (A, b vollständig steuerbar und sei ζ (t C n (R Ferner bezeichne ζ (t den Vektor ζ = ζ d dt ζ d n 1 dt n 1 ζ Dann können die Eigenwerte des Folgefehlersystems ė = e, e(0 = e p 0 p 1 p p n 1 = A e im Zustand w T x w T Ax e = ζ w T A n 1 x mit der Zustandsrückführung u = k T x + p T ζ + dn dt n ζ beliebig platziert werden In diesem Fall berechnet sich der Rückführvektor nach der Formel k T = w T ( p 0 E + p 1 A + + p n 1 A n 1 + A n, w T = [ ] S 1 (A, b mit dem Vektor p T = [ p 0 p 1 p n 1 ], der die Koeffizienten p j, j = 0, 1,, n 1, des gewünschten charakteristischen Polynoms zusammenfasst

15 13 Appendix Eigenschaften und Rechenregeln der Laplace Transformation Laplace Integral L (f(t = ˆf(s = f(te st dt (R{s} = σ > γ Umkehr Integral L 1( ˆf(s = f(t t>0 = 1 πi 0 r+i r i ˆf(se st ds (r > γ Linearität L (k 1 f 1 (t + k f (t = k 1 L (f 1 (t ( + k L (f (t, ( (k 1, beliebig L (k 1 1 ˆf1 (s + k ˆf (s = k 1 L 1 ˆf1 (s + k L 1 ˆf (s Maßstabsänderung L (f(at = 1 a ˆf ( s a (a R + Zeitverschiebung L (σ(t bf(t b = e bs ˆf(s (b R + Frequenzverschiebung ( L 1 ˆf(s ± c = e ct f(t (c C Integration ( t t L f(τdτ n = s ˆf(s n Gewöhnliche Differentiation 1 Differentiation der Bildfunktion Faltungsintegral ( L f (n (t = s n ˆf(s s n 1 f(0+ f (n 1 (0+ ( L 1 ˆf (n (s = ( 1 n t n f(t ( L 1 ˆf1 (s ˆf t (s = f 1 (t τf (τdτ = f 1 (t f (t 0 Grenzwertsätze Anfangswert Satz 1 lim s ˆf(s = lim f(t σ t 0+ Endwert-Satz, Voraussetzung: f(t lim s 0 s ˆf(s = lim t f(t

16 14 Korrespondenzen der Laplace Transformation Nr f(t = 1 r+i πj r i ˆf(se st ds, t > 0, r γ ˆf(s = 0 f(te st dt, R{s} = σ > γ 1 δ(t 1 1 σ(t und 1 s 3 t n n!, n = 1,, 3, s n+1 4 t n e at n! (s + a n+1 s 5 cos ω 0 t s + ω0 6 sin ω 0 t 7 e at cos ω 0 t ω 0 s + ω0 s + a (s + a + ω0 8 e at sin ω 0 t (s + a + ω0 s ω0 9 t cos ω 0 t (s + ω0 ω 0 s 10 t sin ω 0 t (s + ω e at a s(s + a 1 e at a + at 1 s (s + a ω 0 Einige trigonometrische Beziehungen sin(0 = 0 cos(0 = 1 tan(0 = 0 ( π ( 3 1 sin = 1 4 sin = 1 6 sin = 4 3 sin = 3 ( 5π sin = 1 sin ( = 1 cos ( π ( cos = cos = 6 cos = 4 cos = 1 3 ( 5π ( 3 1 cos = 1 4 tan = tan = 6 3 tan = 1 4 tan = 3 3 ( 5π tan = = 0 tan =