An der Stelle 8 ist die lokale Änderungsrate maximal, d. h. um 8 Uhr morgens ist der Temperaturanstieg mit ca. 2 C pro Stunde maximal.

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Jutta Hartmann
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1 Lösungen Der gewählte Lösungsansatz und weg muss nicht identisch mit dem in der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet. a Einsetzen liefert f ( 6), 8 ; f ( ),. Um 6 Uhr beträgt die Temperatur etwa, C, um Uhr, C. Gesucht ist das Maximum von f. Mit der notwendigen Bedingung f '( t) 0 folgt: ( 0,0t + 0,8) 0 t 0 t 6 0,0t + 0,8t 0 t. Da t 0 offensichtlich nicht die gesuchte Stelle ist, wird t 6 als Nullstelle von f ' mit f '' geprüft: f ''(6) 0,8 < 0, also ist t 6 die gesuchte Maximalstelle. Für das gesuchte Maximum gilt: f ( 6) 6, 8. Der Tageshöchstwert wird um 6 Uhr erreicht, er beträgt etwa 6, C, es handelt sich also um einen Sommertag. b f '( t) 0,0t + 0, 8t. Damit ergibt sich für die Steigung der Wendetangente f '(8),. An der Stelle 8 ist die lokale Änderungsrate maximal, d. h. um 8 Uhr morgens ist der Temperaturanstieg mit ca. C pro Stunde maximal. c Zeichnen der Geraden zu y 0 führt näherungsweise zu den Schnittstellen t 0 und t 0,. Da der Graph in diesem Bereich oberhalb der o. g. Geraden verläuft, liegt der gesuchte Zeitraum ungefähr zwischen 0 Uhr und 0.0 Uhr. Auf Grund der Angabe aus dem Aufgabentext ergibt sich t 0 als eine der gesuchten Lösungen der Gleichung. Mit Polynomdivision erhält man t t + 00 : t 0 t t. ( ) ( ) 0 Die Lösung der quadratischen Gleichung führt zu t 7 8 und t , 7. Für den gesuchten Zeitraum führen nur die Lösungen t und t zu sinnvollen Ergebnissen. Zwischen 0 Uhr und ungefähr 0. Uhr liegt die Temperatur bei mindestens 0 C. Summe:

2 a f '( x 6x + 8 f ''( x 6 f '() 0 f ''() < 0, f () f '() 0 f ''() > 0, f () 0 Damit ergeben sich der Hochpunkt H ( ) und der Tiefpunkt ( 0 ) b f ''( 0 x 6 0 x Wegen f '''( ist f '''() 0. Damit erhält man den Wendepunkt ( ) W. T. 8 c d Graph A hat an der Stelle eine positive Steigung, der Graph der Ableitungsfunktion müsste hier einen positiven Funktionswert haben. Graph A kommt daher nicht in Frage. Graph D hat an der Stelle einen Hochpunkt, der Graph der Ableitungsfunktion müsste hier eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von + nach haben. Graph D kommt daher nicht in Frage. Andere Begründungen sind denkbar. Bei den Graphen B und C kann es sich jeweils um einen passenden Graphen handeln. (Diese Angabe muss hier nicht explizit erfolgen.) Möglichkeit (Berechnung der Schnittstellen): ( x x + ) 8 0 x x 6 6 x x + 8x 0 x x Wegen f '( ) stimmt die Steigung des Graphen von f an der Stelle mit der Steigung der Geraden überein, es handelt sich also um eine Tangentengleichung. Möglichkeit (Berechnung der Stellen mit der Steigung ): x 6 x + 8 x x 7 t Wegen f ( ) ( ) stimmen auch die Funktionswerte von f und t an der Stelle überein, es handelt sich also um eine Tangentengleichung. 6 6 Summe:

3 a b Mit dem Mittelpunkt ( 0 0 ) k : x + y 0. D und r DC 0 ergibt sich Das Sehnendreieck ABC ist rechtwinklig, da die Steigungen m g von g und h B;C den Produktwert besitzen. ( A;C) Andere Möglichkeiten: m von ( ) h Da AB der Durchmesser des Kreises ist, ist ABC nach dem Satz des Thales ein rechtwinkliges Dreieck. Wegen a + b c ist ABC nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras ein rechtwinkliges Dreieck. Bestimmung der Mittelsenkrechten: M ( ( + ) ( + ) ) M ( ) b Die Steigung der Mittelsenkrechten m b ist. b Einsetzen der Koordinaten von M b ergibt mit + n n 0 die Gleichung y x der Mittelsenkrechten m b. Andere Möglichkeit: Die Koordinaten von M b und die Gleichung von m b werden zeichnerisch ermittelt. Die Ergebnisse werden anschließend rechnerisch bestätigt. Begründung zum Schnittpunkt D: Da D der Mittelpunkt von AB ist und damit auf der Mittelsenkrechten m c liegt und die Mittelsenkrechte m b eine Ursprungsgerade ist, schneiden sich m c und D 0 0. Da sich die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks in einem m b in ( ) Punkt schneiden, verläuft auch m a durch diesen Punkt. Andere Möglichkeit zur Begründung, dass m a durch D verläuft: Die Gleichung von m a wird bestimmt, auch m a ist eine Ursprungsgerade. m g

4 c k ist der Umkreis des Dreiecks DCM b. Der Umkreismittelpunkt E ist der Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten des Dreiecks. Die Gerade durch D und C hat die Steigung, die Steigung der Mittelsenk- rechten von DC beträgt daher. Da die Mittelsenkrechte durch den Mittelpunkt ( ) M DC von DC verläuft, gilt + n n. Die Gleichung dieser Mittelsenkrechten ist daher y x +. DM b die Glei- Analog erhält man für die Mittelsenkrechte der Dreiecksseite chung y x +. Für den x-wert des Kreismittelpunktes E gilt x + x + x, also ( ) E. Der Radius r ergibt sich aus r DE +. Damit gilt k : ( x ) + ( y ). Andere Möglichkeit zur Bestimmung des Kreismittelpunktes: Das Dreieck DCM b ist rechtwinklig bei M b. k ist der Thaleskreis dieses Dreiecks. Daher ist der Mittelpunkt E der Strecke DC der Mittelpunkt von k. d A(k) Wegen r r folgt A (k) A(k ). A(k ) Summe:

5 a b c d Berechnung des Datenschwerpunktes: 0,8+ 6,6+ 6, ,80 und 7, x y Also ist der Datenschwerpunkt ( 0,80 7,) D. Gerade durch die D ( 0,80 7,) und ( 6, ) S : 7, m 0,66 und n 0,66 6, 7, 6, 0,80 Es ergibt sich gerundet die Geradengleichung y 0,66x 7,. Bei der Methode der kleinsten Quadrate bildet man die Summe der Quadrate der vertikalen Abstände der Datenpunkte von der entsprechenden Gerade. Die Geradengleichung, für die diese Summe kleiner ist, beschreibt den Zusammenhang zwischen den quantitativen Daten (in diesem Fall zwischen Masse und Energiebedarf) besser. Die Regressionsgerade ist die Gerade, für die diese Summe minimal ist. Zur Veranschaulichung des Sachverhaltes siehe die Anlage zur Lösung von ). Man wählt zur Ermittlung des benötigten Energiebedarfs die Gleichung zur Regressionsgeraden aus Aufgabenteil b): y 7, , 067,6 Ermittlung der Bananenanzahl: 067,6 : 6 8, Der Affe benötigt etwa Bananen, um seinen täglichen Energiebedarf abzudecken. Berechnung der Funktionswerte beider Gleichungen: y 7,0 x + 8, y 86 x Maus 8 6 Katze 67 6 Kuh Elefant 6 0 Sowohl für sehr kleine x-werte (z.b. Masse der Maus) als auch für große x- Werte sind die Abweichungen der mithilfe der Gleichung der Regressionsgeraden berechneten Werte wesentlich größer als bei der Gleichung nach Kleiber. Beispielsweise beträgt die Abweichung beim Elefanten bei der Geradengleichung mehr als 70 %, wohingegen der Wert bei der Gleichung nach Kleiber nur um weniger als % abweicht. 0,7 8 6 Summe:

6 Anlage zur Lösung von Aufgabe Gerade g aus a) a Regressiongerade g R ( y g (x ) M R M ) ( y g (x ) M a M ) Die Veranschaulichung aller quadratischen Abweichungen zeigt ganz offensichtlich, dass die Summe der entsprechenden Flächenmaßzahlen für die Regressionsgerade kleiner ist. Bemerkung: Sollte im Unterricht keine Veranschaulichung der Methode mithilfe der eingezeichneten Quadrate erfolgt sein, so reicht es aus, in der Abbildung die vertikalen Abstände einzuzeichnen und das weitere Vorgehen zu beschreiben.

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