Die Pfadintegraldarstellung in der Quantenmechanik

Transkript

1 Di Pfadintgraldarstllung in dr Quantnchani Martin-I. Trapp Boris Housa 1. März 006 Vortrag i Dzbr 004) 1

2 Inhaltsvrzichnis 1 Einlitung Dr Propagator dr Schrödingrglichung 4 Dfinition.1 Propagator ) Satz.1 Lösung dr Schrödingrglichung ) Satz. Propagator als Matrixlnt ) Satz. Kopositionsgstz für dn Propagator ) Di Pfadintgralforl von Fynan 7 La.1 Ipulsignfuntionn ) La. Bar-Capbll-Hausdorff - Forl ) Satz Satz. Intgraldarstllung ds Propagators ) Dfinition.1 Pfadintgral ) Satz. Pfadintgraldarstllung von Fynan ) Physialisch Intrprtation ds Pfadintgrals 15 Bdutung ds Propagators Physialisch Motivation für di Uforungn in Kapitl Intrprtation dr Pfadintgraldarstllung Anwndungn ds Pfadintgralforalisus an onrtn Bispiln 16 Satz 5.1 Das fri Tilchn ) Satz 5. Dr haronisch Oszillator ) Satz 5. Dr Aharonov-Boh-Efft ) Ausblic 4

3 1 Einlitung I Jahr 194 ntwiclt Richard P. Fynan dn Pfadintgralforalisus dr Quantnchani, dr sich durch sin Anschaulichit, insbsondr ggnübr dr Schrödingrthori, auszichnt. Das groß Intrss an d Fynan schn Foralisus rsultirt abr vilhr aus d britn Anwndungssptru dr Pfadintgral in vrschidnstn Brichn und dr wachsndn Bdutung nurischr Brchnungn. Fynans Grundid bi dr Entwiclung ds Pfadintgralforalisus war anzunhn, dass in Tilchn in dr Quantnchani nicht inn, durch das Prinzip dr stationärn Wirung ausgzichntn, lassischn Wg, sondrn vilhr all öglichn Wg Pfad) inschlagn ann, wlch abr untrschidlich star gwichtt wrdn. Di Su dr Biträg allr gwichttn Pfad zwischn zwi Ortn rgibt dann di Aplitud dr Gsatwahrschinlichit ds Ortsübrgangs Propagation) in inr vorggbnn Zit. Gnau dis Su dr Wahrschinlichitsaplitudn übr all Pfad, di i Grnzübrgang als Intgral dargstllt wrdn ann, wird übr das Fynan sch Pfadintgral brchnt. Als Gwicht wird jd Pfad in Phas zugordnt, wlch durch di Wirung ds Pfads gssn in dr quantnchanischn Einhit bstit ist. Dis führt zu inr stärrn Brücsichtigung von Pfadn nahzu glichr Wirung onstrutiv Intrfrnz bi stationärr Wirung bzw. Phas). Insbsondr bi dn arosopischn Systn dr Nwton schn Mchani führn di shr großn Wirungn gssn in ) dann dazu, dass pratisch nur in ausgzichntr Pfad biträgt - nälich dr lassisch Pfad. Das Pfadintgral ignt sich darübr hinaus shr gut für nurisch Brchnungn in dr Throdynai, Statisti, Quantnfldthori, tc. - i Ggnsatz zu dr Diffrntialglichung dr Schrödingrthori. Dr nichtrlativistisch Pfadintgralforalisus ist ltztlich zur Schrödingrthori äquivalnt. Di Vortil rgbn sich jdoch aus dr Intgraldarstllung. In dis Sript wrdn wir zunächst das Pfadintgral aus dr Schrödingrglichung ablitn und inig anschaulich Aspt disr Darstllung disutirn, wobi wir uns ausschlißlich auf dn nichtrlativistischn Fall bschränn. Danach wrdn wir dn Pfadintgralforalisus a Bispil ds frin Tilchns vorführn und in witr Vorghnswis zu Lösn von Pfadintgraln anhand ds quantnharonischn Oszillators sizzirn. Zu Schluss habn wir noch inal dn Aharonov-Boh-Efft it Hilf ds Pfadintgralforalisus dargstllt. Mit disr Auswahl an Bispiln ann natürlich nur in shr linr Brich dr zahlrichn Anwndungn ds Pfadintgrals bhandlt wrdn, di wir a End unsrs Sripts in in Ausblic zusanfassn.

4 Dr Propagator dr Schrödingrglichung Dfinition.1 Propagator) Wir btrachtn zunächst ganz allgin di zitabhängig Schrödingrglichung für in Zustandsfuntion ψ : R R C: i t H) ψx, t) 0. 1) Analog zur Grnsfuntion, di schon aus dr Eltrodynai-Vorlsung bannt ist, führn wir hir in Funtion darf i.a. abr auch in δ - Distribution sin ) K : R R R R C in, wlch übr di folgnd Diffrntialglichung dfinirt wird und dr Grnsfuntion dr Schrödingrglichung ntspricht Dis Funtion wird auch als Propagator dr Schrödingrglichung bzichnt ): i t H) Kx, t, x 0, ) i δ x x 0 )δ t ). Untr gigntn Vorausstzungn an K Diffrnzirbarit, Randbdingungn ), auf di wir hir nicht nähr inghn wolln, ist K zusan it dr Anfangsbdingung Kx,, x 0, ) δ x x 0 ) wohldfinirt. Anrung Für di obn dfinirt Funtion K sind auch δ-distributionn zulässig. Man siht auch brits an dr Anfangsbdingung, dass K i allginn in Distribution sin ann, da dis zuindst a Zitpunt schon al dr Fall ist. Satz.1 Lösung dr Schrödingrglichung) Ein Zustandsfuntion ψ : R R C, di in Lösung dr zitabhängign Schrödingrglichung 1) ist, lässt sich it d zughörign Propagator K : R R R R C, dr in Dfiniton.1 ingführt wurd, in dr For ψx, t) Kx, t, x 0, )ψx 0, )d x 0 ) R schribn, wobi ψx 0, ) in Zustandsfuntion zu in Anfangszitpunt ist. Bwis Es gilt: i t H) ψx, t) i t H) Kx, t, x 0, )ψx 0, )d x 0 R i δ x x 0 )δt )ψx 0, )d x 0 R i δt )ψx, ) 0, für t ) 4

5 Das hißt für t rfüllt ) di Schrödingrglichung. Spzill für t gilt: Kx,, x 0, )ψx 0, )d x 0 R δ x x 0 )ψx 0, )d x 0 ψx, ) R 4) Dait ist di Bhauptung für all t gzigt. Satz. Dr Propagator als Matrixlnt) Si K dr obn dfinirt Propagator, Ut, ) : i Ĥt ) dr Zitntwiclungsoprator und x bzw. x 0 Ortsignfuntionn. Dann gilt: Kx, t, x 0, ) x Ut, ) x 0 Bwis Sin ϕ n : R C di Eignfuntionn ds Hailtonoprators Ĥ und E n R di zughörign Eignwrt. Dann lösn di Funtionn φ n : R R C, φ n x, t) : ϕ n x) i Ent 5) di zitabhängig Schrödingrglichung und bildn in vollständig orthonorirt Basis. Dr Propagator K ann bzüglich disr Basis dargstllt wrdn durch Kx, t, x 0, ) n a n x 0, )ϕ n x) i Ent 6) Dabi solln a n : R R C di ntsprchndn Koffizintn dr Darstllung sin. Di Anfangsbdingung lautt Kx,, x 0, ) n a n x 0, )ϕ n x) i En δ x x 0 ) 7) Hir rnnt an, dass di rcht Sit dr Glichung nicht von abhängt. Das bdutt s xistirt in Funtion b : R C, so dass a n x 0, ) b n x 0 ) i En rfüllt ist. Einstzn rgibt: δ x x 0 ) n b n x 0 )ϕ n x) 8) Dis Glichung wird durch b n x 0 ) ϕ nx 0 ) rfüllt Vollständigitsrlation ). Dait habn wir in Darstllung von K Kx, t, x 0, ) n n a n x 0, )ϕ n x) i Ent ϕ nx 0 )ϕ n x) i Ent ) 9) 5

6 wlch di Glichung ) sat Anfangsbdingung rfüllt. Nun braucht an nur noch witr uzuforn: Kx, t, x 0, ) n n n n ϕ nx 0 )ϕ n x) i Ent ) x E n E n x 0 i Ent ) x i Ent t0) E n E n x 0 x i Ĥt t0) E n E n x 0 x i Ĥt ) x 0 x Ut, ) x 0 10) Dait ist di Bhauptung gzigt. Satz. Kopositionsgstz für dn Propagator) Si K dr obn dfinirt Propagator, t ) N in blibig rll Folg it :, t +1 > t für 0,1...N-1 und t N : t also in Zitgittr ) sowi x N : x R und x 0 : x 0 R fst. Dann gilt: Bwis Kx, t, x 0, ) d x... R d x 1 R Kx, t, x 0, ) x Ut, ) x 0 Kx +1, t +1, x, t ) x i Ĥt ) x 0 11) Da [H,H]0 gilt, darf an di Funtionalglichung für di - Funtion folgndraßn anwndn : i Ĥt ) i Ĥt N ) i Ĥt N t )+...+t 1 )) i Ĥt N t )... i Ĥt 1 ) i Ĥt N t )... i Ĥt 1 ) i Ĥt +1 t ) 1) 6

7 Jtzt ann di Glichung 1) in di Glichung 11) ingstzt und anschlißnd di Vollständigitsrlation für di Ortsfuntionn N-1) - al ingschobn wrdn : Kx, t, x 0, ) x i Ĥt +1 t ) x 0 Dait ist di Bhauptung gzigt. d x... d x 1 x +1 i Ĥt +1 t ) x R R d x... d x 1 Kx +1, t +1, x, t ) 1) R R Di Pfadintgralforl von Fynan I folgndn soll das Ergbnis aus Satz. Kopositionsgstz ) witr ausgwrtt wrdn. Abr zurst btrachtn wir urz zur Widrholung di Ipulsignfuntionn ψ p : R C und di dazughörign Eignwrt p R in dr Ortsdarstllung, wlch di Eignwrtglichung ˆpψ p x) pψ p x) rfülln üssn: La.1 Ipulsignfuntionn) Mit dn obign Bzichnungn gilt ψ p x) h i p,x). Dabi ist.,.) : R R R das ulidisch Salarprodut. Bwis Dr Ipulsoprator lautt ˆp. Einstzn rgibt: i ˆpψ p x) pψ p x) i ψ px) pψ p x) ψ p x) A i p,x) 14) Dabi ist A C in Konstant, di sich z.b. aus dr Vollständigitsrlation rgibt: d pψpx)ψ p y) d pa A i p,x y)) R R h A d A π) i,x y)), it p Aus disr Bdingung rhält an A h Das ntspricht dr Bhauptung. R δ x y) 15) und dait ψ p x) x p h i p,x) 16) Nbn d obign La wrdn wir i folgndn auch noch in Forl bnötign, di auf Bar, Capbll und Hausdorff zurücght : 7

8 La. Bar-Capbll-Hausdorff - Forl) Für zwi linar Opratorn A und B sowi 0 ɛ R gilt ɛa+ɛb ɛa ɛb ɛx, wobi X 1 [B, A] ɛ 1 6 [B, [B, A]] 1 6 [[B, A], A] +...)...) in Oprator ist, dssn Taylorrihnntwiclung Koutatorn von A und B nthält. Bwis : Dr Bwis ann infach dirt gführt wrdn, ind an di ntsprchndn Taylorrihn dr auftrtndn - Funtionn bildt und ausultiplizirt. Wir führn dis hir bis zur Ordnung in ɛ vor Einn xatn Bwis findt an in [7] ). Di Entwiclung dr rchtn Sit dr Glichung lautt: ɛa+ɛb 1 + ɛa + B) + ɛ A + AB + BA + B ) ) Für di lin Sit gilt ntsprchnd: ɛa ɛb ɛx 1 + ɛa + ɛ! A +...)1 + ɛb + ɛ! B +...)1 + ɛ [B, A] +...) 1 + ɛa + ɛb + ɛ ɛ [B, A] +!! B + ɛ! A + ɛ AB ɛa + B) + ɛ! A + B + AB + [B, A]) ɛa + B) + ɛ! A + AB + BA + B ) ) Ein Vrglich dr Glichungn 17) und 18) lifrt di Bhauptung. Di Id dr witrn Vorghnswis ist, di Sätz. und. Propagator als Matrixlnt ds Zitntwiclungsoprators bzw. das Kopositionsgstz für dn Propagator) zu vrwndn, u inn Ausdruc für dn Propagator ablitn zu önnn. Dr folgnd Satz ist twas tchnisch - di Bdutung wird abr dann i witrn noch dutlich wrdn. Satz.1 Si K dr Propagator dr Schrödingrglichung it d Hailtonoprator Ĥ T +V und dn Opratorn T für di intisch Enrgi bzw. V für das Potntial, wobi T nur von d Ipulsoprator p und V nur von d Ortsoprator x abhängn soll, und di Mass ins Punttichns, dann gilt untr gigntn Vorausstzung an Ĥ T + V : Kx +1, t +1, x, t ) it ɛ t +1 t 0,. 1 π ) d p i p x +1 x ) i ɛ p +V x ) «) Oɛ ) 8

9 Anrung Wir habn di Forulirung, dass dr Satz untr gigntn Vorausstzungn an Ĥ T + V gilt, dshalb gwählt, wil zuindst uns ) nicht bannt ist, untr wlchn scharfn Vorausstzungn dr Satz gilt. Wir önnn allrdings rwähnn, dass di Fordrung, dass H nach untn bschränt ist, hinrichnd ist. Wir bringn jtzt inn athatisch saubrn Nachwis dafür, dass dis hinrichnd Bdingung wirlich gilt, sind abr dnnoch bstrbt dis zuindst zu otivirn. Dahr habn wir uns für di lidr twas unsaubr, abr rcht intuitiv ) Schribwis it Oɛ ) ntschidn. Ein shr gut athatisch Bgründung ds Pfadintgralforalisus findt an z.b. in in Habilitationsvortrag von M.Pflau [6] it d Titl Gibt s in dr Mathati in Pfadintgral?. Bwis Nach Satz. gilt U ist wi in Satz. dr Zitntwiclungsoprator ) Kx +1, t +1, x, t ) x +1 Ut +1, t ) x x +1 i Ĥɛ x x +1 i T ɛ i V ɛ x 19) Nun ist lidr i allginn [T, V ] 0, wswgn an di Funtionalglichung für di - Funtion nicht anwndn ann. Vilhr gilt nach La. i T +V )ɛ i T ɛ i V ɛ i Xɛ, 0) wobi X 1 [ i T, i V ] ɛ 1 6 [ i T, [ i T, i V ]] 1 6 [[ i T, i V ], i V ] +...)...) ist. Einstzn in Glichung 19) rgibt : Kx +1, t +1, x, t ) x +1 i Ĥɛ x x +1 i T ˆp)ɛ i V ˆx)ɛ i Xɛ x x +1 i T ˆp)ɛ i V ˆx)ɛ x Oɛ ) 1) Wi schon in dr obign Anrung bschribn wurd, arbitn wir hir nicht strng athatisch. Man ann sich abr - wi gsagt - für nach untn bschränt Opratorn übrlgn, dass an auch onsqunt arguntirn ann. I folgndn wird it Glichung 1) witrgrchnt, wobi di Vollständigitsrlation für di Ipulsignfuntionn sowi La.1 bnutzt wird : 9

10 Kx +1, t +1, x, t ) x +1 i T ˆp)ɛ i V ˆx)ɛ x Oɛ ) x +1 i ɛ T ˆp) x i ɛ V x ) Oɛ ) ) d p x +1 i ɛ ˆp p p x i ɛ V x ) Oɛ ) R d p x +1 p p x i ɛ p «) +V x ) Oɛ ) R d p h i p,x +1 ) h i p,x ) i ɛ p «) +V x ) Oɛ ) R 1 π ) d p i p x +1 x ) i ɛ p «) +V x ) Oɛ ) ) Dait ist di Bhauptung gzigt. Basirnd auf Satz.1 on wir zusan it d Kopositionsgstz für dn Propagator zu folgnd Satz: Satz. Intgraldarstllung ds Propagators) Si V : R R in ggbns Potntial. Witr si S : R R R R R, Sx, p,, t) : t dt [p, ẋ) Hx, p)] di lassisch Wirung für in Tilchn dr Mass i Potntial V, wobi H : R R R, Hx, p) : p + V x) di zughörig lassisch Hailtonfuntion ist. Wnn nun K dr Propagator jnr Schrödingrglichung ist, di obigs Tilchn i Potntial V quantnchanisch bschribt, dann gilt untr gigntn Vorausstzungn an V : Kx, t, x 0, ) li N 1 [ R d x ] ) li N [ R ] ) d p i π ) Sx,p,,t) Bwis Man bginn it d Kopostitionsgstz Satz.) ) und vrwnd anschlißnd dn Satz.1), u inn Ausdruc für dn Propagator K zu bon dabi wrdn 10

11 di Bzichnungn aus dn Sätzn.) und.1) witrvrwndt): Kx, t, x 0, ) d x... d x 1 Kx +1, t +1, x, t ) R R [ ] ) d x Kx +1, t +1, x, t ) 1 R [ ] ) ) d 1 x d p 1 R π ) i p x +1 x ) i ɛ p +V x ) «Oɛ ) [ ] ) [ ] d p i π ) p x +1 x ) i ɛ p «) ) +V x ) Oɛ ) d x R [ ] ) [ 1 d x R ) [ Oɛ ) 1 1 ) Oɛ ) 1 R R d x R [ R d x ] d i p π ) ] ) [ ] ) [» ) p p x +1 x ) ɛ +V x ) «Oɛ ) R R ] d» iɛ p π ) d p π ) ] ) P x p +1 x ) ɛ» iɛ x p +1 x ) ɛ p «) +V x ) «p +V x ) Bi dr ltztn Uforung wurd noch di Funtionalglichung für di - Funtion gnutzt, was natürlich öglich ist, da i Exponntn nur oplx Zahln sthn. Man bacht, dass wir das Zitgittr bzw. di Folg ɛ ) blibig gwählt hattn. Di inzig Bdingung an dis Folg war, dass ɛ t gltn soll. Es hindrt uns also nichts daran das Zitgittr blibig fin wrdn zu lassn - d.h. wir lassn di Finhit ɛ ax : ax{ɛ } ggn 0 ghn. Es soll nun bobachtt wrdn, was it dn inzlnn Trn in Glichung ) passirt, wnn an dn Grnzübrgang durchführt. Wir bginnn it d Ausdruc : li ɛ ax 0 Oɛ ) li ɛ P Oɛ ) P li ax 0 ɛ O ɛ ) ax 0 P li ɛ Oɛax ɛ) li ax 0 ɛ Oɛaxt )) ax 0 ) li ɛ ax 0 Oɛax) 1 4) Nun uss noch btrachtt wrdn, wi sich dr Exponnt ds Intgrandn in Glichung ) untr d Grnzprozss vrhält : li ɛ ax 0 iɛ [ )] x +1 x ) p p ɛ + V x ) 5) 11

12 Zunächst gilt nach d Mittlwrtsatz x +1 x ) li ẋ 6) ɛ ax 0 ɛ Außrd würdn wir grn di Dfinition ds Riannintgrals instzn - dann wird aus dr Su übr in Intgral übr t. Es blibt nur noch fraglich, ob wir glichzitig dn Grnzübrgang aus Glichung 6) und dn Grnzübrgang von dr Su zu Intgral achn dürfn. Aus dr Mathati ist bannt, dass dis übr opatn Intrvalln öglich ist - wir habn abr hir in opats Intrvall [, t], übr das wir intgrirn öchtn. Dahr gilt : li ɛ ax 0 iɛ [ )] x +1 x ) p p ɛ + V x ) i t dt [ )] p pẋ + V x) i S[x, p,, t] 7) Einstzn dr Glichung 4) und 7) in di Glichung ) rgibt [ ] ) [ ] ) Kx, t, x 0, ) li d d p x li i N R N π ) Sx,p,,t) 1 R 8) Wnn all Grnzwrt xistirn blibt zu hoffn, dass an das durch in rstzn ann. Wi brits witr obn rwähnt lässt sich für nach untn bschränt Hailtonopratorn zign, dass dis grchtfrtigt ist vgl. [6] ). Dait ist di Bhauptung gzigt. Bvor wir jtzt zur angstrbtn Pfadintgraldarstllung on, führn wir noch in shr sinnvoll Dfinition in, di zunächst zur übrsichtlichrn Darstllung dr ondn Forln dinn und spätr dann auch in anschaulich For dr Pfadintgraldarstllung lifrn wird, di di wsntlichn Tr hrvorhbt und in physialisch Intrprtation lichtr achn soll. Dfinition.1 Pfadintgral) Si L di Mng allr ndlichn Folgn it Elntn aus R, wobi ɛ ax : ax{ɛ } di Finhit inr solchn Folg ɛ ) sin soll und 0 < R. Witrhin si F : L L C in Funtion, so dass dr Grnzwrt d x li F x 0, x 1,..., x N ), ɛ 0,..., ɛ )) ɛ ax 0 R πiɛ ) 1

13 für all Folgn ɛ 0,..., ɛ ), it i1 ɛ t R, xistirt und indutig ist. Dann dfinirn wir x 0, ) x,t) Dx F : ) li ɛ ax 0 πiɛ 0 1 R d x ) πiɛ F Wir on nun ndlich zur Fynan schn Pfadintgralforl, di sich it dr obign Dfinition in inr lgantn For aufschribn lässt : Satz. Pfadintgraldarstllung von Fynan) Si V : R R in ggbns Potntial. Witr si S : R R R R R, Sx, ẋ,, t) : di lassisch Wirung für in Tilchn dr Mass i Potntial V, wobi t dt Lx, ẋ) 9) L : R R R, Lx, ẋ) : ẋ V x) di zughörig lassisch Lagrangfuntion ist. Wnn nun K dr Propagator jnr Schrödingrglichung ist, di obigs Tilchn i Potntial V quantnchanisch bschribt, dann gilt untr gigntn Vorausstzungn an V : Kx, t, x 0, ) Dx i Sx,ẋ,,t) 0) x 0, ) x,t) Anrung Man bacht, dass di Wirung S hir wirlich von x und ẋ abhängt und übr di Lagrangfuntion dfinirt ist - i vorign Satz war S allrdings noch von x und p abhängig. Bwis : Ausghnd von Satz. Intgraldarstllung ds Propagators ) solln di Intgrationn übr di p Bzichnungn wi in Satz. ) xplizit durchgführt wrdn : [ ] ) [ ] ) Kx, t, x 0, ) li d d p x li i N 1 R N R π ) Sx,p,,t) [ ] li d d p x ɛ ax 0 1 R R π )... d ««i P p 0 R π ) ɛ p p,ẋ ) +V x ) [ ] li ɛ ax 0 1 R d x d p R π )... d P p 0 R π ) iɛ p + iɛ ẋ,p ) iɛ V x ) 1) 1

14 U das Intgral d p R π )... d P p 0 R π ) iɛ p + iɛ ẋ,p ) iɛ V x ) zu brchnn, bnutzn wir di folgnd Forl für das Intgral π ) ax,x)+b,x)+c) d x b,b) a c, ) R a di für a, c C, b C und x R gilt. Durch suzssivs Anwndn von ) findt an: d p R π )... d P p 0 R π ) iɛ p + iɛ ẋ,p ) iɛ V x ) d p R π )... d p R π )... d P p 1 R π ) 1 d P p 1 R π ) 1 iɛ p + iɛ ẋ,p ) iɛ V x ) 1 π ) iɛ p + iɛ ẋ,p ) iɛ V x ) πiɛ... ) ) πiɛ 0 «i P ɛ ẋ V x ) Wnn an dis in Glichung 1) instzt, rhält an [ ] Kx, t, x 0, ) li ɛ ax 0 1 R d x πiɛ ) ) π iɛ 0 ɛ ) 0ẋ 0 4 iɛ iɛ 0 V x 0 ) 0 ) i ɛ ẋ «0 0 V x 0) ) «i P ɛ ẋ V x ) 4) Wi schon in Satz. Intgraldarstllung ds Propagators ) wird di Su i Exponntn ds Intgrandn i Grnzübrgang widr zu in Intgral. Dabi rgibt sich [ ] ) ) Kx, t, x 0, ) li d x i R t t dt ẋ 0 V x) ɛ ax 0 R πiɛ 1 ) li ɛ ax 0 πiɛ 0 x 0, ) x,t) Dait ist di Bhauptung gzigt. 1 Dx i Sx,ẋ,,t) R d x πiɛ ) i Sx,ẋ,,t) 5) 14

15 4 Physialisch Intrprtation ds Pfadintgrals Bdutung ds Propagators Dr in Dfinition.1 ingführt Propagator K lässt - wi in Satz.1 gzigt - di dirt Brchnung dr Lösung ψx, t) dr zitabhängign Schrödingrglichung zu, K propagirt dn Anfangszustand in dn Endzustand. Mit ψx, t) lassn sich dann natürlich wi gwohnt di Eignwrt blibigr Obsrvabln brchnn. Man bsitzt it Kx, t, x 0, ) und ψx 0, ) also all Inforationn übr das btrachtt Syst. Physialisch Motivation für di Uforungn in Kapitl In Satz. Kopositionsgstz ) führn wir in Zitgittr in. Wir disrtisirn also zurst di Zitachs, führn dann inig Brchnungn durch, di auf dis Wis infachr wrdn und achn schlißlich widr dn Grnzübrgang zu Zitontinuu. Dr zrlgt Propagator K wird auf ψx 0, ) angwandt, ind di durch di Zrlgung von K ntstandnn Intgral nachinandr ausgwrtt wrdn. Natürlich ann das Tilchn dn Wg zwischn zwi Zitpuntn und zwi fstn Ortn auf vrschidnst Art zurüclgn. Hir ist in anschaulichs Gdannxprint angbracht: Wird in Dopplspalt it Spaltn A und B von inr Einzlltronnqull bschossn, so wrdn di inzlnn Wahrschinlichitsaplitudn φ A, φ B, di durch bid Wg übr di Spaltn A und B charatrisirt sind, zur Gsatwahrschinlichitsaplitud φ φ A +φ B addirt. Stllt an dahintr inn witrn Dopplspalt auf, so rgbn sich vir Wg, also vir Wahrschinlichitsaplitudn, di zu addirn sind. Nun ann an so vil Dopplspalt aufstlln, wi an öcht. Anstatt dr Dopplspalt ann an sich jtzt in Gittr it N Spaltn vorstlln, und an ann sich sogar blibig vil Spalt in in Gittr vorstlln. Schlißlich ann an dn Grnzübrgang durchführn und an rhält in Intgral übr all Wg. Intrprtation dr Pfadintgraldarstllung Di Pfadintgraldarstllung ds Propagators in Glichung 0) ann als in solchs Intgral übr all Wg intrprtirt wrdn. Si lifrt dabi in anschaulich Vrbindung zwischn lassischr Mchani und Quantnchani. Entschidnd ist hirbi di Gwichtung dr inzlnn Wg durch dn Phasnfator i S[x,ẋ,t0,t] it dr lassischn Wirung i Exponntn. Für di lassisch Trajtori nit S[x, ẋ,, t] in Miniu an, di Funtionalablitung δs ist an disr Stll Null. Wg, di dr lassischn Bahn unittlbar bnachbart sind, δx tragn also in twa gnauso zu Pfadintgral bi wi di lassisch Bahn slbst. Btrachtt an di Gwichtungn dr andrn Wg, so wird di Wirung größr sin, als di ds lassischn Wgs. Für inn blibign disr Wg C 1 gibt s dann auch inn Wg C, dssn Wirung u π größr ist als di Wirung von C 1. Dait rhält an dann: i SC 1) i SC )+iπ i SC ). Dis bidn Biträg zu Pfadintgral hbn sich also auf, gnauso wi sich auch all witrn Biträg von Wgn nahzu) aufhbn, di dutlich von dr lassischn Bahn 15

16 abwichn. I lassischn Grnzfall lifrt also auch nur dr lassisch Wg inn Bitrag zu Pfadintgral. Insofrn ann an auch ughrt arguntirn, dass sich das lassisch Hailtonsch Prinzip dr linstn Wirung aus d Pfadintgralforalisus als Grnzfall ablitn lässt. Bi quantnchanischn Systn, drn Wirungn i Brich von π lign, spiln di Biträg dr Wg aus dr Ugbung dr lassischn Bahn allrdings in ntschidnd Roll. 5 Anwndungn ds Pfadintgralforalisus an onrtn Bispiln Satz 5.1 Das fri Tilchn) Si 0 < R di Mass ins Tilchns i Potntial V 0 - di Lagrangfuntion ist dann also durch L ẋ ggbn. Wnn t 0, t R und x 0, x R ist, dann gilt für dn Propagator ds frin Tilchns ) i x x 0 ) Kx, t, x 0, ) t πi t ) Bwis : Wnn an di Lagrangfuntion für das fri Tilchn in Satz. instzt, bot an : Kx, t, x 0, ) Dx i R t t dt ẋ 0 6) x 0, ) x,t) U diss Intgral auszuwrtn bnötigt an zunächst in rll Folg ɛ ), di di Bdingung ɛ t rfüllt. Mit inr solchn Folg findt an dann zusan it dr Dfinition.1 durch Einstzn : ) d x Kx, t, x 0, ) li ɛ ax 0 πiɛ 0 ) i R t t dt ẋ 0 ) li ɛ ax 0 πiɛ R R πiɛ d x ) πiɛ i P ɛ x+1 x ɛ 7) I ltztn Uforungsschritt wurd das Intgral i Exponntn widr als Su gschribn, wobi i Prinzip di Uforungsschritt aus dn Glichungn 4) und 5) aus dr Hrlitung ds Pfadintgrals widr rücgängig gacht wurdn. Man ann nun di auftrtndn Intgral it d Prinzip dr vollständign Indution nach N brchnn. Dazu dfinirt an in Funtionnfolg I N : R R R R ; I N : für N {n N n }. 1 R d x πiɛ ) i P ɛ x+1 x ɛ 16

17 Indutionsbhauptung : Es gilt I N ɛ ɛ 0 )! 1 P i ɛ x N x 0 ) Indutionsanfang: N Für N gilt nach dr obign Dfinition von I : I ) d x 1 i ɛ 0 x 1 x 0 ) + i ɛ 1 x x 1 ) 8) πiɛ 1 R Zur Auswrtung ann widr di Forl ) gnutzt wrdn : I ) πiɛ 1 πiɛ 1 πiɛ 1 πiɛ 1 πiɛ 1 ɛ0 + ɛ 1 ɛ 0 ) R d x 1 i ) R ) d x 1 π i ɛ 0 + i ɛ 1 ) πɛ 0 ɛ 1 i ɛ 0 + ɛ 1 ) ) πɛ 0 ɛ 1 i ɛ 0 + ɛ 1 ) x 1 x 1,x 0 )+x 0 ) ɛ 0 + i x x,x 1 )+x 1 ) ɛ 1» i x ɛ 0 ɛ 1 1 x0 + x x x ɛ 0 ɛ 1 + «0 1 ɛ0 + x ɛ1 )» i x0 ɛ0 + x 1 1+ ɛ1 + 1 x «0 ɛ 0 ɛ 1 ɛ0 + x ɛ1 )» i x 0 ɛ 1 ɛ 0 ɛ 1 x 0 x ɛ 0 x + ɛ 1 ɛ 0 +ɛ 1 )x 0 +ɛ 0 ɛ 0 +ɛ 1 )x ) ɛ 0 ɛ 1 ɛ 0 +ɛ 1 ) ɛ 0 ɛ 1 ɛ 0 +ɛ 1 ) ) i ɛ 0 +ɛ 1 ) x x 0 ) ) i ɛ 0 +ɛ 1 ) x x 0 ) 9) Dait ist dr Indutionsanfang gzigt. Di Bhauptung glt nun auch für N. Dann folgt: 17

18 Indutionsbwis Nach dr Dfinition dr Funtionnfolg I N ) zusan it dr Indutionsvorausstzung rgibt sich I N+1 ) d x N I N i x ɛ N+1 x N ) N πiɛ N R ) πiɛ N πiɛ N ɛ πiɛ N d x N R ) ɛ ɛ 0 ) 1 ɛ0 ) ɛ ɛ 0 R d x N ) R d x N 0 i 6@ 4! 1 P i ɛ x N x 0 ) + i x ɛ N+1 x N ) N! 1 i 4 P ɛ x N x N x 0 +x 0)+ x N+1 x N+1 x N +x N 5 ɛ N ! 1 1 P ɛ + 1 Ax ɛ N N x 0 + xn+1 C P ɛ N A x x N + B + x N+1 C7 P ɛ N A5 ɛ ɛ 40) Analog zur Intgralauswrtung bi Indutionsanfang vrwndn wir widr Forl ). I N+1 ɛ πiɛ N ɛ0 ) 1 1 ɛ N ɛ N ɛ ɛ 0 ) ɛ N ) ɛ i NP i i π ɛ ) ɛ N! 1 NP ɛ x N+1 x 0 ) ) 0 1 x 0 x B + P ɛ N C 0 1 A ɛ i x! 1 + B + x N+1 C P ɛ + ɛ 1 P ɛ N A ɛ 6 N ɛ! 1 x N+1 x 0 ) 41) 18

19 Dait ist dr Indutionsbwis vollbracht. Durch Einstzn dr nun bwisnn Indutionsbhauptung in Glichung 7) rhaltn wir : Kx, t, x 0, ) ) li IN ɛ ax 0 πiɛ 0 ) li ɛ ax 0 πiɛ 0 πi li ɛ ɛ ax 0 ɛ ɛ 0 )! 1 P i ɛ x N x 0 )! 1 P i li ɛ ɛax 0 x x 0) 4) Wir nutzn jtzt di Bdingung ɛ t und rhaltn: Kx, t, x 0, ) πi t ) ) i x x 0 ) t 4) Dait ist di Bhauptung gzigt. Anrung I Exponntn dr - Funtion findt sich di lassisch Wirung Sx, x 0, t, ) t t v dt x x0 t ) dt x x 0 ) t widr. Wir öchtn an disr Stll ohn Bwis anrn, dass K für in Lagrangfuntion, di in Polyno. Ordnung in x und ẋ ist, ir von dr For Kx, t, x 0, ) At, ) i R t Lx,ẋ)dt ist, wobi di Funtion A : R R C nicht hr von x, x 0 abhängt. Dis ist auch i folgndn Abschnitt a Bispil ds haronischn Oszillators zu shn. 19

20 Satz 5. Dr haronisch Oszillator) Si 0 < R di Mass ins Tilchns i Potntial V : R R, V x) ω x, ω R + - di Lagrangfuntion ist dann also durch L ẋ ggbn. Wnn t 0, t R und x 0, x R ist, dann gilt für dn Propagator ds Tilchns i haronischn Oszillator : ω Kx, t, x 0, ) πi sin [ωt )] ) i ω x ω sin[ωt )][x +x 0 )cos[ωt )] xx 0] Bwissizz Nach Satz. gilt für dn gsuchtn Propagator Kx, t, x 0, ) Dx i R t t Lx,ẋ)dt 0 Dx i x 0, ) x,t) x 0, ) x,t) R t ẋ ω x dt 44) U das Intgral zu lösn achn wir dn folgndn Ansatz : Wir dfinirn y : R R durch yt) : xt) x l t), wobi x l : R R di lassisch Trajtori sin soll. Dait gilt zunächst x x l +y und soit Dx Dy. Durch Einstzn in Glichung 44) und Anwndn ds Transforationssatzs für Intgral rhält an Kx, t, x 0, ) x 0, ) x,t) Dy» i R t t dt ẋ l ω x «l + R «t 0 t dt ẏ 0 ω y + R t t dt ẋ l ẏ ω x l y) 0 Durch partill Intgration ds ltztn Intgrals i Exponntn findt an t dt ẋ l ẏ ω x l y) [ẋ l y] t t dt ẍ l y + ω x l y) [ẋ l y] t 46) Di ltzt Uforung gilt wgn dr lassischn Bwgungsglichung ẍ l + ω x l 0. Witrhin ann an noch [ẋ l y] t 0 nutzn, wil nach dr Dfinition von y grad yt) y ) 0 gilt. Das hißt t dt ẋ l ẏ ω x l y) 0 und dait Kx, t, x 0, ) i S lx l,ẋ l ) x 0, ) x,t) «R i t t dt Dy ẏ 0 ω y, 47) wobi S l x l, ẋ l ) di lassisch Wirung dr lassischn Trajtori ist. Wir öchtn hir di lassisch Wirung für das Tilchn i haronischn Potntial nicht hrlitn, sondrn stzn das Ergbnis S l x l, ẋ l ) ω [ ] x + x sin [ωt )] 0)cos [ωt )] xx 0 48) 45) 0

21 als bannt voraus. U das noch vrblibnd Pfadintgral übr Dy auszuwrtn bnutzt an in tricrich Uforung. Man zrlgt yt) in in Fourirrih yτ) ) nπτ a n sin 49) t t n 0 Dabi soll a n ) in rll Folg sin di Entwiclungsoffizintn ). Man ann zign, dass it disr Zrlgung t dτẏ τ) t n ) nπ a n und t t dτy τ) t n a n gilt. Dis Rlationn önnn in Glichung 47) ingstzt wrdn. Danach ann das Intgral analog zu dr Brchnung ds Propagators ds frin Tilchns ausgwrtt wrdn, wobi an widr di Glichung ) nutzt. Das ist in längr Rchnung und bringt in nun Aspt, wnn an das fri Tilchn schon btrachtt hat. Dahr gbn wir dirt das Ergbnis an x 0, ) x,t) «R i t t dt Dy ẏ 0 ω y ω πi sinωt )) Wnn an di Glichung 50) zusan it Glichung 48) in di Glichung 47) instzt, rhält an ω Kx, t, x 0, ) πi sin [ωt )] ) i ) 1 ω sin[ωt )][x +x 0 )cos[ωt )] xx 0] 50) Dait ist sizzirt, wi an di Bhauptung bwisn ann. Anrung U das Ergbnis für dn Propagator ds haronischn Oszillators zu übrprüfn, ann an z.b. di Enrgiignwrt aus d Propagator ablitn. Dazu btracht an noch inal di Glichung 9) und Satz. Propagator als Matrixlnt): Kx, t, x 0, ) n ϕ nx 0 )ϕ n x) i Ent ) 51) Di in disr Fourirdarstllung von K auftrtndn Enrgiignfuntionn ϕ n önnn durch Uhrung dr Fourirtransforation gwonnn wrdn. Dasslb gilt für di Eignwrt E n ω n + ). Wir öchtn dis hir allrdings nicht vorführn, da di Rchnung rcht aufwndig ist. 1

22 Satz 5. Dr Aharonov-Boh-Efft) Ggbn si in Dopplspalt it Spaltn 1 und, zwischn dnn sich in Magntfld B A R it zughörig Vtorpotntial A bfindt, in das in Tilchn it Mass, wlchs sich in dis Vrsuchsaufbau bfindt, nicht indringn ann. Si x R di Position ins Dttors hintr d Dopplspalt und x 0 R in Punt vor d Dopplspalt, an d sich das Tilchn zu Zitpunt bfindt. Si frnr S i) l : R R R, i {1, } di lassisch Wirung für in Tilchn auf dr lassischn Trajtori, falls dr Spalt j i gschlossn und das Magntfld ingschaltt ist. Dann xistirn zwi Funtionn A i : R R C, i {1, }, so dass für dn Propagator Kx, t, x 0, ) ds Vrsuchsaufbaus bi ingschaltt Magntfld B it zughörig Fluss Φ B R und göffntn Spaltn gilt. Kx, t, x 0, ) i S1) l ) A 1 t, ) + A t, ) i Φ B Anrung Di Funtionn A 1 und A binhaltn di Gotri ds Vrsuchsaufbaus Abstand und Brit dr Spalt). Di gnau Lag ds B-Flds zwischn dn Spaltn ght jdoch nicht in dis Funtionn in. Mit Hilf dr Pfadintgralforl lassn sich di Funtionn A 1 und A prinzipill bstin. Bwis Si L : R R R di Wirung ins frin Tilchns dr Mass, dann ist di Lagrangfuntion L : R R R für das Tilchn in d Vtorpotntial A R ggbn durch vgl. []) L ẋ, x) ẋ + c Ax)ẋ Lẋ, x) + Ax)ẋ 5) c Dait brchnt sich di lassisch Wirung S l : R R R zu S l ẋ, x) t t Lẋ, x)dt + Lẋ, x)dt + t Γ c Ax)ẋdt Ads 5) c Bi dr ltztn Uforung wurd di Dfinition ds Kurvnintgrals vrwndt. Di Kurv Γ wird durch xt) paratrisirt. Für B const. ist A höchstns linar in x und dait ist di Lagrangfuntion L aus Glichung 5) in Polyno.Grads in x und ẋ. Also önnn wir nach dr Anrung zu Satz 5.1 jdn Propagator, dr in Tilchn it dr Lagrangfuntion L bschribt, in dr For At, ) i Slẋ,x) darstlln, wobi A : R R C in Funtion ist, di nicht von x odr ẋ abhängt. Insbsondr xistirt dait - wi i Satz vrlangt - auch in Funtion A 1, so dass dr Propagator K 1, dr in Tilchn in unsr Vrsuchsaufbau bschribt, wnn Spalt gschlossn und das Magntfld ingschaltt ist, in dr For K 1 x, t, x 0, ) A 1 t, ) i S1) l

23 gschribn wrdn ann. Analog xistirt auch in Funtion A it alln vrlangtn Vorausstzungn, so dass dr Propagator K, dr in Tilchn in unsr Vrsuchsaufbau bschribt, wnn Spalt 1 gschlossn und das Magntfld ingschaltt ist, in dr For K x, t, x 0, ) A t, ) i S) l gschribn wrdn ann. Wgn dr Linarität ds Pfadintgrals aus Satz. rgibt sich für dn gsuchtn Propagator Kx, t, x 0, ) K 1 x, t, x 0, ) + K x, t, x 0, ) A 1 t, ) i S1) l i S1) l i S1) l + A t, ) i S) l S ) l S1) l ) A 1 t, ) + A t, ) i R ) A 1 t, ) + A t, ) i Γ c Ads R Γ 1 c Ads 54) Bi dr ltztn Uforung wurd Glichung 5) ingstzt. Di Kurvn Γ 1 und Γ bzichnn di lassischn Trajtorin ins Tilchns, das von x 0 nach x durch Spalt 1 bzw. fligt. Da Γ 1 Γ in gschlossn Kurv darstllt, in drn Innrn das Magntfld B ligt, rgibt sich Γ c Ads Einstzn in Glichung 54) rgibt Kx, t, x 0, ) i S1) l Γ 1 c Ads c Γ 1 Γ Ads c Φ B ) A 1 t, ) + A t, ) i c Φ B. 55) Dait ist di Bhauptung gzigt. Anrung Aus d obign Satz zu Aharonov-Boh-Efft ann an di xplizit Abhängigit ds dort ingführtn Propagators vo agntischn Fluss Φ B ablsn, dr schlißlich auch in di Wllnfuntion it inght und hintr d Dopplspalt gssn wrdn ann. Ein Disussion disr Abhängigit dr Mssrgbniss hintr d Dopplspalt von d Magntfld zwischn dn Spaltn rfolgt zu Bispil in d Sript von Jascha Zapp und Christoph Langnbruch vgl. [] ).

24 6 Ausblic Wir onntn in dis Sript lidr nur inn shr linn Til dr Anwndungn ds Pfadintgrals disutirn und habn uns auch nur it nichtrlativistischn Probln bschäftigt. An Bispiln, di it d Pfadintgralforalisus rcht licht nachgrchnt wrdn önnn, wärn noch divrs Vrsuchsaufbautn bzw. Gdannxprint it Spaltn, Dopplspaltn und ähnlich zu nnnn, di z.b. auch Fynan in sin Buch vgl. [1] ) bhandlt. Zu dn nichtrlativistischn Anwndungn ds Pfadintgralforalisus ist zu sagn, dass rst in jüngrr Zit all Probl, di it dr Schrödingrglichung analytisch glöst wrdn önnn, auch it d Pfadintgralforalisus xplizit vrifizirt wrdn onntn vgl. [4] ). Das xplizit Lösn dr Pfadintgral ist allrdings ist twas ühslig, dafür sint dr Aufwand bi nurischn Brchnungn. Di Mont-Carlo-Mthod ist bispilswis in wichtigs nurischs Vrfahrn it d Pfadintgral bhandlt wrdn önnn. Dr Foralisus ann rlativistisch vrallginrt wrdn an ann z.b. it d Propagator dr Klin-Gordon-Glichung bginnn... ) und vor all auch für Quantnfldr forulirt wrdn. Dabi führt an ganz analog zu dr Su übr all öglichn Pfad di Su übr all Fldonfigurationn in. Dait röffnt sich in großr Anwndungsbrich ds Pfadintgralforalisus in dr Quantnfldthori. Ein witrr Anwndungsbrich ligt in dr statistischn Mchani und Throdynai, was voraussichtlich i nächstn Sinarvortrag disutirt wrdn wird. Litratur [1] Fynan and Hibbs, Quantu Mchanics and Path Intgrals, McGraw-Hill [] U.Mosl, Path Intgrals in Fild Thory, Springr, 004 [] Sript von Jascha Zapp und Christoph Langnbruch, Dr Aharonov-Boh-Efft [4] Grosch, C., Stinr, F.: How to Solv Path Intgrals in Quantu Mchanics. J. Math. Phys. 6, 54-85, 1995 Spcial Issu on Functional Intgration) [5] vanhs/faq-pdf/pfadintgral.pdf [6] pflau/publiationn/pflhabilvortrag.ps Titl : Gibt s in dr Mathati in Pfadintgral? ) [7] dpw/lie/bch.ps 4