3. Die trigonometrische Form

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1 3. Di trigonomtrisch Form 3.0 Was wrdn wir lrnn? 3. Di trigonomtrisch Form 3.0 Was wrdn wir lrnn? Wozu in witr Darstllungsart für komplx Zahln? Nbn dr brits bhandltn Normalform inr komplxn Zahl, gibt s noch di trigonomtrisch Form und di Exponntialform. Dis bidn Formn wrdn bnötigt, wil sich dadurch Rchnvortil rgbn. Trigonomtrisch Form und Exponntialform wrdn oft untr dm Obrbgriff Polarform zusammngfaßt. Kapitl 3.1 Wir litn wir di trigonomtrisch Form hr. z z cos i sin Kapitl 3.2 Wir rklärn wir, was man untr dr cis-schribwis vrstht. Kapitl 3.3 Wir zign hir folgnds: Manchmal ligt di trigonomtrisch Form nicht vor, sondrn in ähnlich Form. Wir zign dri Tricks, mit dnn solch Ausdrück in di trigonomtrisch Form umgwandlt wrdn könnn. 42

2 3. Di trigonomtrisch Form 3.1 Hrlitung dr trigonomtrischn Form 3.1 Hrlitung dr trigonomtrischn Form. Hrlitung dr trigonomtrischn Form Ggbn si in komplx Zahl za+bi in dr Gausschn Zahlnbn Da in rchtwinkligs Drick vorligt, könnn wir di Dfinition ds Kosinus bzw. ds Sinus anwndn: Kosinus = Ankatht durch Hypotnus Sinus = Ggnkatht durch Hypotnus Wir stlln dis bidn Glichungn nach a bzw. nach b um In dr Normalform (z=a+bi) könnn wir jtzt a und b rstzn. Dadurch rhaltn wir di trigonomtrisch Form inr komplxn Zahl. Mist klammrt man abr noch z aus, wil dr Ausdruck kürzr wird. Umrchnungn zwischn Normalform und trigonomtrischr Form wrdn spätr in inm ignn Kapitl rläutrt. 43

3 3. Di trigonomtrisch Form 3.2 Di cis-bzichnung 3.2 Di cis-bzichnung Erklärung dr cis-schribwis In manchn Büchrn und Skriptn stößt man auf di Bzichnung cis-form. Di Buchstabn cis solln dabi für Cosinus, Imaginär Einhit und Sinus sthn: Bispil Frag: Was bdutt cis(40 )? Antwort: cis(40 ) cos(40 ) i sin(40 ) 44

4 3. Di trigonomtrisch Form 3.3 Tricks: Wnn di trigonomtrisch Form nicht vorligt 3.3 Tricks: Wnn di trigonomtrisch Form nicht vorligt Di dri Knnzichn dr trigonomtrischn Form 1. Di Winkl müssn glich sin (glichr Btrag und glichs Vorzichn). 2. Di cis-form muß vorlign. 3. Zwischn Kosinusfunktion und Sinusfunktion muß in Plus sthn (kin Minus). Oft fhln abr in odr mhrr disr dri Knnzichn, d.h. s ligt in Form vor, di so ähnlich wi di trigonomtrisch Form aussiht. Dann kann man mit dn dri folgndn Tricks vrsuchn, di trigonomtrisch Form hrzustlln. 1.Trick zur trigonomtrischn Form Wir zign, wi man di trigonomtrisch Form hrstllt, wnn di Winkl untrschidlich Vorzichn habn: Ggbn ist in Ausdruck, dr zwar so ähnlich aussiht, wi di trigonomtrisch Form, jdoch untrschidn sich di bidn Winkl in ihrm Vorzichn. Wir machn uns di Tatsach zu Nutz, dass di Kosinusfunktion in grad Funktion ist, d.h. s gilt f x f x bzw. cos( ) cos( ): cos cos i sin i sin Dahr dürfn wir das Vorzichn ds Winkls dr Kosinusfunktion fri wähln, und rstzn in unsrm Bispil cos( ) durch cos( ): 45

5 3. Di trigonomtrisch Form 3.3 Tricks: Wnn di trigonomtrisch Form nicht vorligt 2.Trick zur trigonomtrischn Form Wir zign, wi man di trigonomtrisch Form hrstllt, wnn Sinus und Kosinus auf vrtauschtn Plätzn sthn (s ligt dann nicht di cis-form sondrn di sic-form vor): Ggbn ist in Ausdruck, dr zwar so ähnlich aussiht, wi di trigonomtrisch Form, jdoch sthn Sinus und Kosinus auf vrtauschtn (falschn) Plätzn: sin i cos Wir nutzn nun folgnd Forml aus dr Trigonomtri: sin cos 2 Dn Bwis dr Forml findt man im Anhang. Zwitns nutzn in witr Forml aus dr Trigonomtri. Di Forml lautt: cos sin 2 2 cos i cos cos i sin Trick zur trigonomtrischn Form Wir zign, wi man di trigonomtrisch Form hrstllt, wnn in Minus zwischn Raltil und Imaginärtil stht: 46

6 3. Di trigonomtrisch Form 3.3 Tricks: Wnn di trigonomtrisch Form nicht vorligt Bispil in dm all dri Tricks angwndt wrdn müssn Im Bispil wrdn all dri Tricks bnutzt, um di trigonomtrisch Form hrzustlln : Ggbn ist in Ausdruck, dr zwar so ähnlich aussiht, wi di trigonomtrisch Form, jdoch habn di Winkl untrschidlich Vorzichn, s stht in "Minus" zwischn Sinus und Kosinus, obwohl dort in "Plus" sthn müßt, und Sinus und Kosinus sthn auf vrtauschtn Plätzn: Zunächst wndn wir Trick 1 an, und machn dadurch di Winkl glich. sin sin i cos i cos Jtzt wndn wir Trick 2 an, und wandln dn Sinus in dn Kosinus um, und dn Kosinus in dn Sinus: Jtzt wndn wir Trick 3 an. Dadurch wird das Rchnzichn zwischn Ral- und Imaginärtil zu "Plus". Zunächst wndn wir auf di Kosinusfunktion Trick 1 an, und machn dadurch di Winkl glich. Jtzt lösn wir di innrn Klammrn auf, indm wir folgnd Vorzichnrgl anwndn, di wir aus dr Schul knnn: Will man in Klammr auflösn, und stht in "Minus" vor dr Klammr, dann muß man all Vorzichn in dr Klammr umdrhn. cos i sin 2 2 cos i sin 2 2 cos i sin 2 2 cos i sin

7 3. Di trigonomtrisch Form 3.4 Raum für ign Ergänzungn 3.4 Raum für ign Ergänzungn 48

8 4.0 Was wrdn wir lrnn? 4.Di Exponntialform 4.0 Was wrdn wir lrnn? Kapitl 4.1 Hir lrnn wir di Eulrsch Forml knnn: i cos i sin Wir bwisn di Forml zwar im nächstn Untrkapitl, abr da dr Bwis inig Knntniss dr komplxn Rihnlhr rfordrt, di man rst spätr im Studium rlangt, sollt dr Bwis von Anfängrn übrgangn wrdn. Kapitl 4.2 Wir bwisn di Eulrsch Forml. Dr Bwis kann übrgangn wrdn. Kapitl 4.3 Hir lrnn wir di Exponntialform knnn, und in Umrchnungsforml, mit dr man zwischn trigonomtrischr Form und Exponntialform umrchnn kann: z z cos i sin z i z i und Kapitl 4.4 Übung zur Exponntialform Kapitl 4.5 Hir litn wir in Folgrung aus dr Eulrschn Forml knnn. iaib ia ib Kapitl 4.6 Wir litn Formln hr, mit dnn man di rll Sinus- bzw. Kosinusfunktion durch in komplx Exponntialfunktion ausdrückn kann. sin i 2i i cos i 2 i Kapitl 4.7 Wir litn di komplx Sinus- und Kosinusfunktion hr: iz iz sin z cos z 2i iz 2 iz 49

9 4.1 Di Eulrsch Forml und di Eulrsch Idntität 4.1 Di Eulrsch Forml und di Eulrsch Idntität Di Eulrsch Forml Es gibt im Komplxn in Forml, di in Vrbindung zwischn dn trigonomtrischn Funktionn und dr Exponntialfunktion hrstllt. Es ist di brühmt und wichtig Eulrsch Forml: i cos i sin Di Eulrsch Forml Dn Bwis findt man auf dr nächstn Sit. Dr Bwis sollt abr übrsprungn wrdn, da r zum Fachgbit Rihnlhr ghört, dass in inm Folgband bhandlt wird. Di Eulrsch Idntität Di Eulrsch Idntität wird von Mathmatikrn als bsondrs schön mpfundn, wil in ihr dri brühmt Konstantn vorkommn:, i und π i 1 Di Eulrsch Idntität Si ntstht, wnn man in dr Eulrschn Forml (für dn Winkl) di Zahl π instzt: Wir nhmn di Eulrsch Forml: i cos i sin Als Winkl φ wähl ich nun φ=π : i cos i sin Laut Taschnrchnr ist cos(π) = 1 und sin(π)=0. Dis lifrt uns di gwünscht Forml: i 1 50

10 4.2 Bwis dr Eulrschn Forml durch Rihn 4.2 Bwis dr Eulrschn Forml durch Rihn Dr Bwis Dr Bwis führ ich dirkt für komplx Argumnt z, und nicht nur für rll Winkl φ: Zunächst stlln wir di Rihnntwicklung für di komplx Exponntialfunktion auf. Wir ordnn di Trm nach gradn und ungradn Potnzn von z. Bacht: Di 1 ist in grad Potnz von z, dnn 1=1 z Auf all Zählr wndn wir das folgnd Potnzgstz an: n n n ab a b iz (iz) (iz) (iz) 1 iz 2! 3! 4! iz iz iz iz iz 1 iz 2! 4! 3! 5! iz i z i z i z i z 1 iz 2! 4! 3! 5! Aus dr zwitn Klammr klammrn wir i aus. Wir bachtn, dass 2 i 1 4 i 1 6 i 1 8 i 1 usw. Di rst Klammr stllt di Rihnntwicklung dr Kosinusfunktion dar, di zwit Klammr ntspricht dr Rihnntwicklung dr Sinusfunktion iz i z i z i z i z 1 i z 2! 4! 3! 5! iz z z z z 1 i z 2! 4! 3! 5! iz cos( z) i sin( z) 51

11 4.3 Di Exponntialform inr komplxn Zahl 4.3 Di Exponntialform inr komplxn Zahl Di Exponntialform inr komplxn Zahl Wir habn brits zwi Darstllungsformn für komplx Zahln knnnglrnt: Di algbraisch Form und di trigonomtrisch Form. Nun lrnn wir di dritt und ltzt Darstllungsform für komplx Zahln knnn: z i z Di Exponntialform inr komplxn Zahl Di Umrchnung zwischn trigonomtrischr Form und Exponntialform rfolgt dabi nach dr folgndn Forml: i z cos i sin z Forml für di Umrchnung zwischn trigonomtrischr Form und Exponntialform Wi man siht ist di Umrchnung zwischn trigonomtrischr Form und Exponntialform dnkbar infach, dnn s ist kin Rchnung nötig. Da di Umrchnung fast ohn Rchnn möglich ist, fasst man bid Darstllungsformn (trigonomtrisch Form und Exponntialform) auch untr dm Obrbgriff Polarform zusammn. Bwis dr Umrchnungsforml Als Ausgangsglichung nhmn wir di Eulrsch Forml: i cos i sin Wir multiplizirn bid Sitn mit z : i z z cos i sin Bispil: Trigonomtrisch Form in Exponntialform umrchnn 2i 42 cos 2 i sin 2 42 Bispil: Exponntialform in trigonomtrisch Form umrchnn 1 i cos i sin Umrchnung zwischn Normalform und Polarform Di Umrchnungn zwischn dr algbraischn Normalform und dr Polarform (trigonomtrisch Form und Exponntialform) sind komplizirt und aufwndig. Dahr habn dis Umrchnungn ign Kapitl rhaltn. 52

12 4.4 Übung: Exponntialform ablsn 4.4 Übung: Exponntialform ablsn Aufgab Wi lautt di Exponntialform dr komplxn Zahl, di im Bild zu shn ist? Lösung Dr Btrag dr komplxn Zahl z bträgt 3. i Di Exponntialform lautt also: z 3 4 Dr Winkl dr komplxn Zahl z bträgt 45, also / 4. 53

13 4.5 Folgrung: Eignschaft dr Exponntialfunktion 4.5 Folgrung: Eignschaft dr Exponntialfunktion Wir wolln nun in wichtig Folgrung aus dr Eulrschn Forml bwisn, nämlich in Gstz für di Exponntialfunktion mit rin-imaginärn Exponntn. Wir wrdn dis Forml bald bnötign, z.b. im Kapitl Multiplikation in Polarform. Wnn wir im nächstn Band di komplx Exponntialfunktion inführn wrdn, wrdn wir shn, dass diss Gstz nicht nur für imaginär Exponntn gilt, sondrn auch für komplx Exponntn. Satz Für di imaginärn Exponntn ia und ib gilt dr folgnd Satz: iaib ia ib Wichtigr Satz übr di -Funktion Wnn wir im nächstn Band di komplx Exponntialfunktion inführn, wrdn wir lrnn, dass das Gstz nicht nur für imaginär Exponntn gilt, sondrn auch für komplx Exponntn. Vorbmrkung zum Bwis Für dn Bwis bnötign wir (nbn dr Eulrschn Forml) noch di rlln Additionsthorm für dn Sinus und Kosinus, di wir aus dr Schulmathmatik knnn. Zur Erinnrung schrib ich di rlln Additionsthorm nochmals auf: sin( a b) sin a cos b cos a sin b cos( a b) cos a cos b sin a sin b Anmrkung: Es gibt übrigns auch noch komplx Additionsthorm. Dis wrdn wir am End ds Buchs knnnlrnn (in dr komplxn Trigonomtri). Jtzt könnn wir mit dm Bwis bginnn (bitt umblättrn): 54

14 4.5 Folgrung: Eignschaft dr Exponntialfunktion Bwis Wir klammrn i aus: iab iaib Zunächst wndn wir di Eulrsch Forml an: iab cos a b i sin a b Nun wndn ich di rlln Additionsthorm für Kosinus und Sinus an: iab cos a cos b sin a sin b i sin a cos b cos a sin b Eckig Klammr ausmultiplizrn: iab cos a cos b sin a sin b i sin a cos b i cos a sin b Wir habn vir Summandn. Im 1. und 3.Summandn klammrn wir cos(b) aus, im 2. und 4.Summandn klammrn wir sin(b) aus iab cos b cos a i sin a sin b i cos a sin a Wir vrsuchn nun, di 2. ckig Klammr in di Eulrsch Forml umzuformn: Dazu rstzn wir in dr zwitn ckign Klammr das Minus durch i 2 : iab 2 cos b cos a i sin a sin b i cos a i sin a Zwit ckig Klammr: Ein i ausklammrn. iab cos b cos a i sin a i sin b cos a i sin a Di ckig Klammr slbst widr ausklammrn: iab cos a i sin a cos b i sin b Auf bid Klammrn jwils di Eulrsch Forml anwndn: iab ia ib Klammr ausmultiplizirn rgibt di gwünscht Forml: iaib ia ib 55

15 4.6 Rllr Sinus/Kosinus und komplx -Funktion 4.6 Rllr Sinus/Kosinus und komplx -Funktion Worum ght s? Als Anwndung dr Eulrschn Forml litn wir in Forml hr, mit dr man di rll Sinus- bzw. Kosinusfunktion durch di komplx Exponntialfunktion ausdrückn kann. Dis nu Dfinition ist in viln Brichn dr höhrn Mathmatik shr nützlich, z.b. wnn man di Laplac-Transformirt trigonomtrischr Funktionn (Sinusund Kosinusfunktion) brchnn will (sih Buch Laplac-Transformation). Di Formln Di Umrchnungsformln für dn rlln Sinus und Kosinus lautn: sin i 2i i Dr rll Sinus, ausgdrückt durch di komplx -Funktion cos i 2 i Dr rll Kosinus, ausgdrückt durch di komplx -Funktion Dr Bwis folgt auf dr nächstn Sit. 56

16 4.6 Rllr Sinus/Kosinus und komplx -Funktion Bwis dr Formln für dn Sinus bzw. Kosinus Wir bginnn mit dr Eulrschn Forml: i cos i sin (1) Wir rstzn dn Winkl φ durch φ: i cos i sin (2) Nun machn wir uns di Tatsach zunutz, dass di Kosinusfunktion in grad Funktion ist, d.h. s gilt cos( φ) = cos(φ), und dass di Sinusfunktion in ungrad Funktion ist, d.h. s gilt sin( φ) = sin(φ): i (3) cos i sin Nun nhmn wir (1) und subtrahirn Glichung (3): i i (4) 2i sin Wir dividirn bid Sitn durch 2i und rhaltn di gwünscht Forml für sin(φ): sin i 2i i Di rll Sinusfunktion ausgdrückt durch di komplx Exponntialfunktion Wnn wir Glichung (1) und (3) nicht subtrahirn sondrn addirn, dann rhaltn wir: i i 2 cos (6) Wir dividirn bid Sitn durch 2 und rhaltn di gwünscht Forml für cos(φ): cos i 2 i Di rll Kosinusfunktion ausgdrückt durch di komplx Exponntialfunktion 57

17 4.7 Dfinition dr komplxn Sinus und Kosinusfunktion 4.7 Dfinition dr komplxn Sinus und Kosinusfunktion Vorbmrkung zu dn Dfinitionn Im vorign Untrkapitl habn wir in Forml hrglitt, um di rll Sinus- bzw. Kosinusfunktion durch di komplx Exponntialfunktion auszudrückn. Da wir grad bim Thma Sinus/Kosinus sind, dfinirn wir di komplx Sinus- und Kosinusfunktion. Spätr wrdn wir uns ausführlich (in ignn Kapitln) mit ihnn bschäftign. Dfinition dr komplxn Sinus- und Kosinusfunktion Di komplx Sinus- bzw. Kosinusfunktion wird gnauso dfinirt, wi di rll Sinusbzw. Kosinusfunktion, di wir grad mit Hilf dr Eulrschn Forml bwisn habn: sin z iz 2i iz Dfinition dr komplxn Sinusfunktion cos z iz 2 iz Dfinition dr komplxn Kosinusfunktion Anmrkung zur Dfinition Intrssant ist di Frag, warum wir di komplx Sinus- bzw. Kosinusfunktion gnauso dfinirn, wi di rll Sinus- bzw. Kosinusfunktion. Btrachtn wir als Bispil dn komplxn Sinus. Nhmn wir an, rllr und komplxr Sinus wärn untrschidlich dfinirt. Dann würdn wir für dn rlln Sinus inr bstimmtn Zahl zwi abwichnd Ergbniss rhaltn, dnn dr rll Sinus könnt mit bidn Forml brchnt wrdn: 1. Dr rll Sinus könnt mit dr Forml für dn rlln Sinus brchnt wrdn. 2. Dr rll Sinus könnt abr auch mit dr Forml für dn komplxn Sinus brchnt wrdn, dnn rll Zahln sind in Sondrfall dr komplxn Zahln. Wärn nun bid Forml untrschidlich dfinirt, so würd man bim Einstzn von rlln Zahln untrschidlich Funktionswrt rhaltn. Es ist also logisch, dn komplxn Sinus (bzw. Kosinus) gnauso zu dfinirn, wi dn rlln Sinus (bzw. Kosinus). 58

18 4.8 Raum für ign Ergänzungn 4.8 Raum für ign Ergänzungn 59