VI.0 Vorbemerkungen S A. Bereitstellung von notwendigem Handwerkszeug:

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1 VI.0 Vorbemerkungen S A. Bereitstellung von notwendigem Handwerkszeug: Punktmenge P = {A, B, P, Q...}, Geradenmenge G = {a, b, g, h,...} P g (bedeutet P liegt auf g) Geraden der Anschauungsebene: g k, g m,b B. C. Kollinear, kopunktal

2 VI.1 Affine Ebenen: Definition und einfache Beispiele S A. Affine Ebene (P, G), festgelegt durch Axiome (AE 1) P, Q P, P Q, 1 g G : P, Q g. (Zwei verschiedene Punkte legen genau eine Gerade fest) (AE 2) P P, g G 1 h G : h = (P, g). (Euklidisches Parallelenaxiom) (AE 3) P enthält mindestens drei nichtkollineare Punkte. Parallelität in affinen Ebenen ist Äquivalenzrelation Beispiele: Anschauungsebene, Minimalmodell, 9 Punkte Modell g 2 g G (Satz 1.3) B. Fragen 1, 2, insbesondere 1 C. Was ist eine affine Ebene? Erkläre Minimalmodell, 9 Punkte Modell Beweise Satz 1.3 Antwort zu Fragen 1 a) c), 2.

3 VI.2 Sphärenmodell und Moultonebene S A. Weitere Beispiele für affine Ebenen: Sphärenmodell: Punkte liegen auf einer Kugeloberfläche ohne den Nordpol N, Geraden sind ebene Schnitte durch N (Satz 2.1) Moultonebene: Punkte wie in der Anschauungsebene R 2, Geraden der Anschauungsebene werden teilweise übernommen, teilweise geknickt (Satz 2.2) B. Fragen 3 6, insbesondere 5, 6 C. Erklären der beiden Beispiele Ähnliche Fragen wie 5, 6

4 VI.3 Isomorphie und Kollineationen S A. Was heißt isomorph? Allgemein: isomorph = bijektiv + strukturerhaltend Strukur in affinen Ebenen: Kollineare Lage von Punkten Bijektive Abbildungen, die kollineare Lage von Punkten erhalten, heißen Kollineationen Beispiele: Translation, Drehung, Spiegelung Kollineationen erhalten parallele Lage (Satz 3.2) Affine Ebenen sind isomorph, falls es (mindestens eine) Kollineation zwischen ihnen gibt Sphärenmodell und Anschauungsebene sind isomorph, Beweis durch stereographische Projektion (Satz 3.3) Moultonebene und Anschauungsebene sind nicht isomorph (Satz 3.4) B. Frage 7 C. Über (Nicht)isomorphie von Anschauungsebene, Sphärenmodell, Moultonebene Bescheid wissen Ähnliche Fragen wie 7

5 VI.4 Schließungssätze S A. Gelten nicht in jeder affinen Ebene Können zur Klassifizierung dienen Sätze von Pappus, Desargues, Scherensätze jeweils groß und klein Hängen teilweise voneinander ab: (P) (D) (S) (d) (p) (s) (D) (P), (d) (D) Interessante(?) Anwendung von (D) B. Fragen 8 11, insbesondere 10 C. Schließungssätze zeichnen können (auch in Moultonebene) Einfache Abhängigkeiten beweisen können (z.b. (d) (p))

6 VI.5 Dilatationen S A. Kollineationen, bei denen Gerade und Bildgerade stets parallel sind Beispiele: Translation, Streckung Dilatationen sind durch die Bilder zweier Punkte eindeutig festgelegt Dilatationen id haben höchstens einen Fixpunkt Einteilung der Dilatationen nach Anzahl der Fixpunkte Definition Fixgerade Für Profis: Zusammenhänge mit Schließungssätzen B. Fragen 12 21, insbesondere 12, 13, 21 C. Siehe Fragen Gegeben Punkt und Bildpunkt. Wo liegen Bilder von weiteren Punkten?

7 VI.6 Normale euklidische Ebenen S A. Kennzeichnung der Anschauungsebene gegenüber anderen affinen Ebenen (Vergleiche R: Vollständiger angeordneter Körper) Neue Begriffe: Strecken {A, B} P 2 mit Relation kongruent Kreise k A (B) = {X P {A, X} {A, B}} Mittelsenkrechte m A,B = {X P {A, X} {B, X}} Parallelogramme (A, B, C, D): AB CD BC AD Affine Ebene (P, G, ) heißt normal euklidisch: (KS) k A (B) AB = 2 {A, B} P 2 (PG) {A, B} {C, D} (A, B, C, D) Nicht normal: Moulton, Minimal, 9 Punkte Aber: Nicht jede normale Ebene ist isomorph zu R 2 Neue Begriffe: Tangente, innerer Punkt, Inneres eines Kreises, abgeschlossene Kreisscheibe (Def 6.4) (P, G, ) heißt vollständig euklidisch: Normal und zusätzlich (E) und (V) (Def. 6.5) B. Fragen 22,23 C. Was sind Strecken, Kreise, Mittelsenkrechte? Was ist eine normale Ebene? Was ist eine vollständige euklidische Ebene?

8 VI.7 Bewegungen Teil 1: Punktspiegelungen S A. Ab jetzt nur noch normale euklidische Ebenen mit vernünftiger Abstandsmessung Bewegungen sind distanztreue Kollineationen Punktspiegelung ϕ M (Def 7.2) Jede Punktspiegelung ϕ M ist eine Bewegung, genauer eine involutorische Streckung mit einzigem Fixpunkt M (Satz 7.1) Wichtige Folgerungen: A, B P 1 ϕ M : A B M(s.o.) heißt Mitte der Strecke {A, B} ϕ A ϕ B ist eine Translation Jede Translation ist Verkettung zweier Punktspiegelungen ϕ A ϕ B ϕ C ist wieder eine Punktspiegelung ϕ D A, B, C (s.o.) nicht kollinear (A, B, C, D) Parallelogramm B. Fragen 24 29, insbesondere 24, 29 C. Definition Punktspiegelung Finde im R 2 Abbildungsvorschrift ϕ M ((x, y)) bei gegebenem M Finde Punktspiegelungen zu gegebener Translation (und umgekehrt) Suche D mit ϕ D = ϕ A ϕ B ϕ C

9 VI.8 Orthogonalität S A. Definition orthogonal ohne Winkelbegriff (Def 8.1) Orthogonal in Anschauungsebene: g m,b g 1 m,c für m 0, g k g 0,b Bewegungen erhalten Zusammenhänge zwischen und Fällen von Loten (Satz 8.4) Umkreis eines Dreiecks (Satz 8.5) Höhenschnittpunkt im Dreieck (Satz 8.6) Thaleskreis (Definition und Eigenschaft) B. Fragen 30 34, insbesondere 31, 32 C. Definition orthogonal Konstruktion Lot (Uni und Schule) Beweise Satz 8.5, 8.6 Definition Thaleskreis

10 VI.9 Bewegungen Teil 2: Spiegelungen und Drehungen S A. Geradenspiegelung g: g(x) := ϕ FX (X) (Def 9.1) Eigenschaften von g u.a.: Involutorische Bewegung, hat g als Fixpunktgerade, Menge aller Fixgeraden ist {g} {h G h g} Jede Bewegung mit 2 Fixpunkten ist g oder id Jede Bewegung mit einem Fixpunkt ist Drehung Verkettung von Geradenspiegelungen g h ist Translation (g h) oder Drehung (g h) Verkettung von drei Geradenspiegelungen ist Geradenspiegelung (Geraden im Büschel) oder Gleitspiegelung (sonst) Charakterisierung aller Bewegungen durch Geradenspiegelungen (Satz 9.8); eigentliche und uneigentliche Bewegungen B. Fragen 35 38, insbesondere 36, 37, 38 C. Bestimmung einer gegebenen Bewegung Untersuche gegebene Kollineation auf Fixpunkte und Fixgeraden Finde Geradenspiegelungen zu gegebener Translation oder Drehung Erklärung der Klassifikation gemäß Satz 9.8

11 VI.10 Winkel S A. Definition Winkel in normalen euklidischen Ebenen als geordnetes Geradenpaar (Def 10.1) Spezialfälle Nullwinkel, rechter Winkel Konforme Winkel (Winkelvergleich, Def 10.2) Wichtige Eigenschaften: Abtragbarkeit (Satz 10.2) Schenkelaustauschsatz (Satz 10.3) Gleich bzw. gegensinnige Winkeltreue bei eigentlichen bzw. uneigentlichen Bewegungen Winkelhalbierende Berührkreise eines Dreiecks (Satz 10.7) Kreiswinkelsätze B. Fragen C. Erklärung Winkel, Bedeutung konform Abtragbarkeit an konkreten Beispielen durchführen Erklärung Schenkelaustauschsatz Eigenschaften und Definition der Berührkreise

12 VI.11 Eulergerade und Feuerbachkreis in der Anschauungsebene S A. Vorteil der Anschauungsebene: Rechnen mit Koordinaten Seitenhalbierende, Schwerpunkt Kollineare Lage von Schwerpunkt, Höhenschnittpunkt, Mittelsenkrechtenschnittpunkt führt zur Eulergeraden (Def 11.2) Umkreis des Seitenmittendreiecks heißt Feuerbachkreis (Def 11.3) oder 9 Punkte Kreis (Sätze 11.4, 11.5) Zusammenhang Eulergerade und Feuerbachkreis (Satz 11.6) B. Fragen 46 51, insbesondere 47, 49 C. Definition Feuerbachkreis, Eulergerade Welches sind die 9 Punkte (s.o.)? Untersuchung von Spezialfällen, bei denen einige der 9 Punkte zusammenfallen