UNVERGÄNGLICHE GEOMETRIE

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1 H.S.M. COXETER UNVERGÄNGLICHE GEOMETRIE Ins Deutsche übersetzt von J. J. Burckhardt 1963 BIRKHAUSER VERLAG BASEL UND STUTTGART

2 INHALTSVERZEICHNIS Teil I 1. Dreiecke 1.1 Euklid Grundbegriffe und Axiome Die Eselsbrücke Die Mittellinien und der Schwerpunkt Der Inkreis und der Umkreis Die Eulersche Gerade und der Höhenschnittpunkt Der Neunpunktekreis Zwei Extremalaufgaben Der Satz von Morley liegelmäßige Vielecke 2.1 Die Kreisteilung Die Winkeldreiteilung Die Bewegung Die Symmetrie Die Gruppen Das Produkt zweier Spiegelungen Das Kaleidoskop Die Sternpolygone Bewegungen in der Euklidischen Ebene 3.1 Eigentliche und uneigentliche Bewegungen Verschiebungen Gleitspiegelung Spiegelungen und Halbdrehungen Zusammenfassung der Ergebnisse über Bewegungen Der Satz von Hjemslev Streifenmuster Zweidimensionale Kristallographie 4.1 Gitter und ihre Dirichlet - Bereiche Die Symmetriegruppe des allgemeinen Gitters Die Kunst von M.C. Escher Sechs Muster aus Dominos Die Einschränkung der Kristallographie Regelmäßige Unterteilungen Die Aufgabe von Sylvester über kollineare Punkte Ähnlichkeit in der Euklidischen Ebene 5.1 Streckungen Ähnlichkeitszentrum Das Neunpunktezentrum Drehstreckung und Streckspiegelung Eigentliche Ähnlichkeit Uneigentliche Ähnlichkeit Kreise und Kugeln 6.1 Inversion an einem Kreis Orthogonale Kreise Inversion von Geraden und Kreisen Die konforme Ebene Koaxiale Kreise Der Kreis des Apollonius Kreiserhaltende Transformationen Inversion an einer Kugel Die elliptische Ebene

3 10 INHALTSVERZEICHNIS 7. Bewegung und Ähnlichkeit im Euklidischen Raum 7.1 Eigentliche und uneigentliche Bewegungen Die Punktspiegelung Drehung und Verschiebung Das Produkt von drei Spiegelungen Die Schraubung Die Drehstreckung Kugelerhaltende Transformationen 138 Teil II 8. Koordinaten 10. Die fünf Platonischen 8.1 Kartesische Koordinaten 139 Körper 8.2 Polarkoordinaten Pyramiden, Prismen 8.3 Der Kreis 146 und Antiprismen 8.4 Kegelschnitte Risse und Modelle Tangente, Bogenlänge 10.3 Die Formel von Euler und Fläche Radien und Winkel Hyperbolische Funktionen Reziproke Polyeder Die logarithmische Spirale Drei Dimensionen Goldener Schnitt und Phyllotaxis 9. Komplexe Zahlen 11.1 Die Teilung nach dem 9.1 Rationale Zahlen 172 Extremen und dem 9.2 Reelle Zahlen 174 Mittleren 9.3 Das Argand-Diagramm De divina proportione 9.4 Modul und Argument Die goldene Spirale Die Formel e 3» + 1 = Die Fibonacci Zahlen 9.6 Wurzeln von Gleichungen Phyllotaxis 9.7 Konforme Abbildungen Anordnungsgeometrie 12.1 Die Ausscheidung zweier verschiedener Geometrien aus Euklid Die Zwischenbeziehung Die Aufgabe von Sylvester über kollineare Punkte Ebenen und Hyperebenen Stetigkeit Parallelität Affine Geometrie 13.1 Das Parallelenaxiom und das Axiom von Desargues 233 Teil III 13.2 Streckungen Affine Koordinaten Die Fläche Zweidimensionale Gitter Vektoren und Schwerpunkte Baryzentrische Koordinaten Der affine Raum Dreidimensionale Gitter Projektive Geometrie 14.1 Die Axiome der allgemeinen projektiven Ebene Projektive Koordinaten Der Satz von Desargues 289

4 INHALTSVERZEICHNIS Viereck und harmonische Beziehung Projektivität Kollineationen und Korrelationen Der Kegelschnitt Der projektive Raum Der Euklidische Raum Absolute Geometrie 15.1 Kongruenz Parallelismus Bewegung Endliche Drehgruppen Endliche Gruppen von Bewegungen Geometrische Kristallographie Das Polyeder- Kaleidoskop Durch Inversionen erzeugte diskrete Gruppen Hyperbolische Geometrie 16.1 Euklidisches und hyperbolisches Parallelenaxiom Die Frage der Widerspruchsfreiheit Der Parallelenwinkel Die Endlichkeit der Dreiecke Fläche und Winkeldefekt Kreise, Horozykeln und äquidistante Kurven Poincare's «Halbebenen»- Modell Die Horosphäre und die Euklidische Ebene Differentialgeometrie der Kurven 17.1 Vektoren im Euklidischen Raum Vektorfunktionen und ihre Ableitungen Krümmung, Evoluten und Evolventen Die Kettenlinie Die Traktrix Die Raumkurven Die gemeine Schraubenlinie Die allgemeine Schraubenlinie Die Schneckenlinie Teil IV 19. Differentialgeometrie der Flächen 19.1 Die Verwendung zweier Parameter auf der Fläche Richtungen auf einer Fläche Normalkrümmung Die Hauptkrümmungen Hauptkrümmungsrichtungen und Krümmungslinien Nabelpunkte Die Sätze von Dupin und Liouville Die Indikatrix von Dupin Tensoren 18.1 Die duale Basis Der Fundamentaltensor Reziproke Gitter Das kritische Gitter einer Kugel Allgemeine Koordinaten Das alternierende Symbol Geodätische Linien 20.1 Theorema egregium Die Differentialgleichungen für die geodätischen Linien Die Gesamtkrümmung eines geodätischen Dreieckes 445

5 12 INHALTSVERZEICHNIS 20.4 Die Charakteristik von Euler-Poincare Flächen konstanter Krümmung Der Parallelenwinkel Die Pseudosphäre Topologie der Flächen 21.1 Orientierbare Flächen Nicht orientierbare Flächen Regelmäßige Karten 21.4 Das Vierfarbenproblem Der Sechsfarbensatz Hinreichende Anzahl von Farben für jede Fläche 21.7 Flächen, die die volle An zahl von Farben benöti gen Vierdimensionale Geometrie 22.1 Die einfachsten vierdimensionalen Figuren Eine notwendige Bedingung für {p, q, r} Konstruktion der regulären Polytope Dichte Packungen gleicher Kugeln Eine statistische Honigwabe 492 Tabellen 494 Literaturverzeichnis 496 Antworten zu den Übungen Register 541 TAFELN I Die Gruppe pg, erzeugt durch zwei parallele Gleitspiegelungen 81 II Die Gruppe cm, erzeugt durch eine Spiegelung und eine parallele Gleitspiegelung 82 III Ein Drahtmodell des regulären 120-Zells {5, 3, 3} 483 IV Dichte Kreispackungen in der Euklidischen Ebene 485