Gaudi Aisina Roger B. Nelsen. Bezaubernde Beweise. Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Aus dem Englischen übersetzt von Thomas Filk

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1 Gaudi Aisina Roger B. Nelsen Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik Aus dem Englischen übersetzt von Thomas Filk Springer Spektrum

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort VII Einleitung XV Der Garten der natürlichen Zahlen Figurierte Zahlen Summen von Quadratzahlen, Dreieckszahlen und dritten Potenzen Es gibt unendlich viele Primzahlen Fibonacci-Zahlen Der Satz von Fermat Der Satz von Wilson Vollkommene Zahlen Aufgaben 20 Besondere Zahlen Die Irrationalität von ~Jl Die Irrationalität von ~Jk. für nicht-quadratische k Der Goldene Schnitt n und der Kreis Die Irrationalität von n Comte de Buffon und seine Nadel e als Grenzwert Eine unendliche Reihe für e Die Irrationalität von e Steiners Aufgabe zur Euler'schen Zahl e Die Euler-Mascheroni-Zahl Rationale und irrationale Exponenten Aufgaben 42

3 XII J Punkte in der Ebene Der Satz von Pick Kreise und Summen von zwei Quadratzahlen Der Satz von Sylvester und Gallai Exakte Aufteilung von Punkten Tauben und Taubenschläge Zuordnung von Zahlen zu Punkten in der Ebene Aufgaben 58 4 Spielwiese der Vielecke Kombinatorik von Vielecken Konstruktion eines n-ecks mit vorgegebenen Seitenlängen Die Sätze von Maekawa und Kawasaki Die Quadratur von Vielecken Die Sterne auf dem polygonalen Spielplatz Museumswächter Triangulation konvexer Vielecke Zykloiden, Zyklogone und polygonale Zykloiden Aufgaben 82 Eine Schatzkiste voller Dreieckssätze Der Satz des Pythagoras Pythagoreische Verwandte Der Inkreisradius eines rechtwinkligen Dreiecks Die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras durch Pappus Der Inkreis und die Formel von Heron Der Umkreis und Eulers Dreiecksungleichung Das Höhenfußdreieck Die Ungleichung von Erdös und Mordell Der Satz von Steiner und Lehmus Die Seitenhalbierenden in einem Dreieck Sind die meisten Dreiecke stumpfwinklig? Aufgaben 104 Der Zauber des gleichseitigen Dreiecks Sätze von der Art des Pythagoras Der Fermat'sche Punkteines Dreiecks Der Satz von Viviani Eine Dreiecksparkettierung der Ebene und die Ungleichung von Weitzenböck Der Satz von Napoleon Morleys Wunder" 116

4 Inhaltsverzeichnis XIII 6.7 Der Satz von van Schooten Das gleichseitige Dreieck und der Goldene Schnitt Aufgaben 120 Das Reich der Vierecke Mittelpunkte in Vierecken Sehnenvierecke Gleichungen und Ungleichungen zu Vierecken Tangentenviereck und bizentrische Vierecke Die Sätze von Anne und Newton Der Satz des Pythagoras mit einem Parallelogramm und gleichseitigen Dreiecken Aufgaben 138 Überall Quadrate Ein-Quadrat-Sätze Zwei-Quadrate-Sätze Drei-Quadrate-Sätze Vier und mehr Quadrate Quadrate in der Unterhaltungsmathematik Aufgaben 156 Aufregende Kurven Quadraturen von Sichelformen Die verblüffende archimedische Spirale Die Quadratrix des Hippias Das Schustermesser und das Salzfässchen Kegelschnitte ä la Quetelet und Dandelin Archimedische Dreiecke Helices Aufgaben 179 Abenteuer mit Parkettierungen und Färbungen Ebene Parkettierungen und Mosaike Parkettierungen mit Dreiecken und Vierecken Unendlich viele Beweise für den Satz des Pythagoras Der springende Frosch Die sieben Friese Farbenfrohe Beweise Dodekaeder und Hamilton-Kreise Aufgaben 213

5 XIV Geometrie in drei Dimensionen Der Satz des Pythagoras in drei Dimensionen Die Unterteilung des Raums mit Ebenen Zwei Dreiecke auf drei Geraden Ein Kegel zur Winkeldreiteilung Die Schnittpunkte von drei Kugeln Der vierte Kreis Die Fläche eines sphärischen Dreiecks Die Euler'sche Polyederformel Flächen und Vertices in Eulers Formel Weshalb sich manche Arten von Flächen in Polyedern wiederholen Eulerund Descartesä la Pölya Die Quadratur von Quadraten und die Würfelung" von Würfeln Aufgaben Weitere Sätze, Aufgaben und Beweise Abzählbare und überabzählbare Mengen Der Satz von Cantor, Schröder und Bernstein Die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung Die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel Zwei Origamiperlen Wie zeichnet man eine Gerade? Einige Schmuckstücke an Funktionalgleichungen Funktionalungleichungen Die Euler-Reihe für TI 2 / Das Wallis-Produkt Die Stirling'sche Näherung für n! Aufgaben 268 Lösungen zu den Aufgaben 271 Literaturverzeichnis 309 Sachverzeichnis 319