ENZYKLOPÄDIE DER ELEMENTARMATHEMATIK

Transkript

1 I HOCHSCHULBÜCHER FÜR. MATHEMATIK HERAUSGEGEBEN VON H. GRELL, K. MARUHN UND W. RINOW \ BAND 11 ENZYKLOPÄDIE DER ELEMENTARMATHEMATIK REDAKTION: P.S. ALEXANDROFF A. I. MARKUSCHEWITSCH A. J. CHINTSCHIN BAND V GEOMETRIE Mit 565 Abbildungen I VEB DEUTSCHER VERLAG DER WISSENSCHAFTEN BERLIN 1971

2 INHALTS VE RZEICHNIS W. A. Rochlin Flächen- und Rauminhalt 1. Einleitung: Was ist Flächeninhalt? 1.1. Grundeigenschaften des Flächeninhalts Quadrierbare Figuren Axiomatische Definition des Flächeninhalts Das Problem der Existenz des Flächeninhalts Konstruktive Definitionen des Flächeninhalts Vergleich der Definition des Flächeninhalts mit der der elementaren Funktionen einer reellen Veränderlichen Zusammenfassung 9 2. Die Klasse der Vielecke 2.1. Innere Punkte, äußere Punkte und Randpunkte Offene und abgeschlossene Mengen Konvexe Vielecke Vieleckige Figuren Operationen in der Klasse der vieleckigen Figuren Der Flächeninhalt auf der Klasse der vieleckigen Figuren 3.1. Definition des Flächeninhalts Einfachste Folgerungen aus der Definition Berechnung des Inhalts eines Rechtecks Berechnung des Inhalts eines Dreiecks und eines Trapezes Berechnung des Inhalts einer beliebigen vieleckigen Figur Strenge Monotonie Beweis der Existenz und Einzigkeit des Flächeninhalts auf der Klasse der vieleckigen Figuren Transformation des Flächeninhalts bei Ähnlichkeitsabbildungen Transformation des Flächeninhalts bei Parallelprojektionen Transformation des Flächeninhalts bei affinen Abbildungen Die Klasse der quadrierbaren Figuren 4.1. Definition der quadrierbaren Figur Bemerkung zur Wahl der Figuren P und Q Nullmengen Ein Lemma über Begrenzungspunkte Ein Quadrierbarkeitskriterium ; Operationen in der Klasse der quadrierbaren Figuren 30

3 VI Inhaltsverzeichnis 4.7. Kurven Quadrierbarkeit klassischer Figuren Der Kreis Beispiele nicht quadrierbarer Mengen Der Flächeninhalt quadrierbarer Figuren 5.1. Definition des Flächeninhalts Einfache Folgerungen aus der Definition des Flächeninhalts Der Flächeninhalt als obere bzw. untere Grenze Der Flächeninhalt als Grenzwert Satz über die Existenz und Einzigkeit des Flächeninhalts auf der Klasse der quadrierbaren Figuren Nullmengen Vollständigkeit der Klasse der quadrierbaren Figuren Transformation des Flächeninhalts bei affinen Abbildungen Berechnung von Flächeninhalten Der Flächeninhalt auf der Klasse der quadrierbaren abgeschlossenen Bereiche Ein anderer Aufbau der Theorie des Flächeninhalts 6.1. Einleitung Der Flächeninhalt bezüglich eines Netzes Quadrierbarkeitskriterien Operationen in der Klasse der quadrierbaren Mengen Die Grundeigenschaften des Flächeninhalts Einzigkeitssatz Die Invarianz des Flächeninhalts Äquivalenz der beiden Definitionen des Flächeninhalts Rauminhalt 7.1. Einleitung ' Die Klasse der vieleckigen Körper Definition des Rauminhalts auf der Klasse der vieleckigen Körper Berechnung des Rauminhalts vieleckiger Körper Existenz und Einzigkeit des Rauminhalts auf der Klasse der vieleckigen Körper Transformation des Inhalts vieleckiger Körper bei geometrischen Abbildungen Die Klasse der quadrierbaren Körper Der Rauminhalt auf der Klasse der quadrierbaren Körper Der Rauminhalt von Zylinder und Kegel Der Rauminhalt der Kugel Der Rauminhalt eines Rotationskörpers Ein anderer Aufbau der Theorie des Rauminhalts 72 Anhang. Flächen- und Rauminhalt in der Ahnlichkeitsgeometrie 1. Metrische Geometrie und Ähnlichkeitsgeometrie Transformation des Flächen- und Rauminhalts bei Änderung der Einheitsstrecke 73

4 Inhaltsverzeichnis VII 3. Übergang zur Ähnlichkeitsgeometrie Maßeinheiten für Länge, Flächen- und Bauminhalt 76 Literatur 77 W. G. Boltjanski Die Länge von Kurven und der Inhalt gekrümmter Flächen 1. Die Länge von Polygonzügen 1.1. Die Grundeigenschaften der Länge Die Streckenlänge Polygonzüge und deren Länge Die Strecken als kürzeste Polygonzüge Die Abweichung beschränkter Mengen Die Halbstetigkeit der Länge Einfache Bögen 2.1. Einige Eigenschaften der einfachen Bögen Der Abstand zwischen einfachen Bögen Beweis der Eigenschaft (a) Beweis der Eigenschaften (b), (c), (d), (e) Beweis der Eigenschaft (f) Beweis der Eigenschaft (g) Beweis der Eigenschaften (h) und (i) Rektifizierbare Kurven 3.1. Einbeschriebene StreSekenzüge Definition der rektifizierbaren einfachen Bögen Rektifizierbarkeit und einbeschriebene Polygonzüge" Die Rektifizierbarkeit zusammengesetzter Bögen Funktionen von beschränkter Variation Zusammenhang mit der Theorie des Flächeninhalts Einfache geschlossene Kurven Die Länge rektifizierbarer Kurven 4.1. Axiomatische Definition der Länge Beweis des Existenzsatzes Beweis des Einzigkeitssatzes Grundeigenschaften der Länge Andere Definitionen der Bogenlänge Der Begriff des Inhalts für gekrümmte Flächen 5.1. Die Grundeigenschaften des Inhalts gekrümmter Flächen Einfache Flächen Halbstetigkeit des Flächeninhalts 122

5 VIII Inhaltsverzeichnis 5.4. Definition der quadrierbaren einfachen Flächen Einbeschriebene Polyeder" " Die axiomatische Definition des Inhalts gekrümmter Flächen Die Quadrierbarkeit der glatten einfachen Flächen und die Berechnung ihres Fläc heninhalts mittels Integralen Schlußbemerkung 128 Literatur 129 W. G. Boltjanski Zerlegungsgleichheit von Vielecken und Vielflachen 1. Einführung 1.1. Die Axiome des Flächeninhalts Der Flächeninhalt eines Rechtecks (die Exhaustionsmethode) Die Zerlegungs- und die Ergänzungsmethode Ein Vergleich der verschiedenen Methoden zur Berechnung von Flächeninhalten Die Berechnung des Rauminhalts von Vielflachen. Das dritte HiLBBRTsche Problem Die Zerlegungsgleichheit von Vielecken 2.1. Der Satz von BOLYAI und GERWIEN Der Satz von HADWIGER und GLTJR Die Zerlegungsgleichheit von Vielecken und Gruppen von Bewegungen Die Zerlegungsgleichheit von Vielflachen 3.1. Der Satz von HADWIGER Der Satz von DEHN Ein Beweis des Satzes von HADWIGER Die Unabhängigkeit der Axiome («) bis (<5) für den Flächen- bzw. für den Rauminhalt 166 Literatur 170 W. Gr. Boltjanski und I. M. Jaglom Konvexe Figuren und Körper 1. Definition und Grundeigenschaften der konvexen Figuren und Körper 1.1. Definitionen und Beispiele Der Rand einer konvexen Figur Stützgeraden und Stützebenen 178

6 Inhaltsverzeichnis IX 2. Die einfachsten metrischen Eigenschaften konvexer Figuren 2.1. Der Durchmesser einer konvexen Figur Die Breite einer konvexen Figur. Figuren konstanter Breite Umkreis und Inkreis Der Abstand zwischen konvexen Figuren Konvexe Vielecke und Vielflache 3.1. Der Durchschnitt konvexer Figuren Konvexe Vielseite und Vielflache Die konvexe Hülle einer Menge Konvexe Vielecke und Vielspitze Konstruktion der konvexen Hülle Umfang, Flächeninhalt und Rauminhalt 4.1. Die Addition konvexer Figuren Die Abweichung konvexer Figuren Konvergente Folgen konvexer Figuren Der Auswahlsatz von BLASCHKE Umfang, Flächeninhalt und Rauminhalt Der Umfang und der Flächeninhalt einer Summe konvexer Figuren Konvexe Körper in Räumen höherer Dimension 5.1. Grundeigenschaften Konvexe Vielflache Konvexe Vielspitze Die Konstruktion der konvexen Hülle Rauminhalte Einige Aufgaben der kombinatorischen Geometrie 6.1. Der Satz von HEIXY Die TscHEBYSCHEWsche Approximation Der Satz von MINKOWSKI Der Satz von BLIOHFELDT Einige Zerlegungsaufgaben für konvexe Figuren 253 Literatur 257 W. G. Boltjanski und I. M. Jaglom Geometrische Extremwertaufgaben 1. Größter und kleinster Wert einer Funktion 1.1. Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen Beispiele Reelle Funktionen von mehreren reellen Veränderlichen 268

7 X Inhaltsverzeichnis 1.4. Maxima und Minima mit Nebenbedingungen Beispiele Die Methode von LAGRANGE Funktionen von Geraden ^^ Beispiele Einige berühmte geometrische Aufgaben 2.1. Der ToRRiCEmsche Punkt Eine Variante der Aufgabe über den ToRRiCELLischen Punkt Einige allgemeine Bemerkungen zum Aufsuchen größter und kleinster Werte geometrischer Größen Das ScHWABZsche Dreieck Ein einbeschriebenes Viereck mit kleinstem Umfang Einbeschriebene und umbeschriebene Vielecke Die isoperimetrische Aufgabe für Vielecke Extremwertaufgaben für konvexe Figuren 3.1. Die isoperimetrische Aufgabe für beliebige Figuren Die Sätze von JUNG und BLASCHKE Abhängigkeiten zwischen den grundlegenden charakteristischen Größen konvexer Figuren 333 Literatur 335 B. A. Rosenfeld und I. M. Jaglom Mehrdimensionale Bäume 1. Definition des mehrdimensionalen Raumes 1.1. Axiomatische Definition Die historische Entstehung des Begriffs des mehrdimensionalen Raumes Geraden und Ebenen 2.1. Definition der Geraden und Ebenen. Parallelität und Orthogonalität Der Durchschnitt und die Verbindung zweier Ebenen. Die GRASSMANNSche Formel Anwendung rechteckiger Matrizen Der Abstand zweier Ebenen Winkel zwischen Ebenen Kugeln und Sphären 3.1. Definitionen und grundlegende Eigenschaften Die Potenz eines Punktes bezüglich einer Sphäre und die Inversion an einer Sphäre Das Volumen einer Kugel und die Oberfläche einer Sphäre 368

8 Inhaltsverzeichnis XI 4. Vielflache 4.1. Parallelepipede Simplexe Einige Simplexeigenschaften Vielflache und der Satz von EULER Regelmäßige Vielflache 378 Literatur 383 B. A. Rosenfeld und I. M. J agioin Nichteuklidische Geometrie 1. Der Weg zur nichteuklidischen Geometrie LOBATSCHEWSKIS 1.1. Beweisversuche für das Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie Die Untersuchungen LEGENDRES Die nichteuklidische Geometrie LOBATSCHEWSKIS und die absolute Geometrie Die nichteuklidische Geometrie RIEMANNS 2.1. Die sphärische Geometrie und die nichteuklidische RiEMANNsche Geometrie Die Grundbegriffe der RiEMANNschen nichteuklidischen Geometrie. Das Dualitätsprinzip Beispiele für Sätze der RiEMANNschen Geometrie. Der Flächeninhalt von Dreiecken und Vielecken Die dreidimensionale nichteuklidische RiEMANNsche Geometrie Pseudoeuklidische Geometrie 3.1. Die pseudoeuklidische Ebene Pseudoeuklidische Bewegungen. Beispiele für Sätze der pseudoeuklidischen Geometrie Der dreidimensionale pseudoeuklidische Raum Die geometrischen Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie Die LoBATSCHEwsKische nichteuklidische Geometrie 4.1. Die Beziehungen der pseudoeuklidischen Geometrie zur Planimetrie von LOBATSCHEWSKI Beispiele für Sätze der LoBATSCHEwsKischen Geometrie Bewegungen und Zyklen Die dreidimensionale LoBATSCHEwsKische Geometrie Die GALiLEische nichteuklidische Geometrie 5.1. Die Galileische Geometrie der Ebene Beispiele für Sätze der GAUCLEischen Geometrie 448

9 XII Inhaltsverzeichnis 6. Nichteuklidische Geometrien und Transformationsgruppen 6.1. Projektive Modelle für die LoBATSCHEWSKische und die RiEMAUNSche Geometrie Die allgemeinen" CAYLEY-KLEiNschen Geometrien Die PoiNCAEEschen Modelle der ebenen nichteuklidischen Geometrien Einige andere geometrische Systeme 7.1. Die MraKOWSKi-BANACHsche Geometrie Die Zahl n in der MlKKOWSKi-BANACHschen Geometrie Die innere Geometrie einer Eläche und die allgemeine RiEMANNsche Geometrie ' Über die Geometrie der Realität 467 Literatur 469 Einleitung W. A. Efremowitscb. Grundbegriffe der Topologie 0.1. Metrische und qualitative Eigenschaften geometrischer Figuren Topologische Abbildungen, Homöomorphismen Zusammenhang Topologische Invarianten Innere und äußere Eigenschaften. Isotopie Kurven und Flächen 1.1. Kurven, Lineare Komplexe Die Zusammenhangszahl Die topologische Invarianz der EtrLERSchen Charakteristik eines linearen Komplexes Zweidimensionale Komplexe Geschlossene Flächen BeraAdete Flächen Der EuLEBsche Satz. Die EirLEBsche Charakteristik eines zweidimensionalen Komplexes Die EuLEBsche Charakteristik einer Fläche Baryzentrische Unterteilungen Die zu einer Zerlegung einer geschlossenen Fläche duale Zerlegung Orientierung Die projektive Ebene Einufrige und zweiufrige Schnitte Einfache Flächen, Die topologische Klassifikation der geschlossenen Flächen,.,":..,. 506

10 Inhaltsverzeichnis XIII 2. Mannigfaltigkeiten 2.1. Einleitung Dreidimensionale Zellen Dreidimensionale Komplexe Die baryzentrisohe Unterteilung eines dreidimensionalen Komplexes Dreidimensionale Mannigfaltigkeiten Beispiele für geschlossene Mannigfaltigkeiten Die zu einer Zellenzerlegung einer Mannigfaltigkeit duale Zerlegung Berandete Mannigfaltigkeiten Die EuLEEsche Charakteristik einer berandeten Mannigfaltigkeit Orientierbare und nichtorientierbare Mannigfaltigkeiten Der Satz von HEEGAARD Ketten. Homologie 528, 3. Die Grundbegriffe der allgemeinen Topologie 3.1. Der Begriff des metrischen Raumes Der Begriff des topologischen Raumes Zusammenhang. Komponenten Stetige Abbildungen Der Begriff des Nachbarschaftsraumes Gleichmäßig stetige Abbildungen Der Begriff der Dimension Das Lemma von SPERNER Der Satz über die minimale Ordnung einer Überdeckung Schlußbemerkungen 548 Literatur 550 Namenverzeichnis 551 Sachverzeichnis 553