Diskret drehende Bewegungsvorgänge

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1 Diskret drehende Bewegungsvorgänge Hans-Peter Schröcker Arbeitsbereich für Geometrie und CAD Universität Innsbruck Mathematisches Seminar der TU Dresden 21. April 2010

2 Drehende Bewegungsvorgänge und Krümmungslinien Unabhängige Krümmungslinientrajektorien Mehrdimensionale Konsistenz Diskrete Pseudosphären und ihre Bäcklundtransformationen

3 Drehung und Schraubung a ϕ ϕ R R

4 Drehende Bewegungsvorgänge Kontinuierlich Parametergebiet R d momentan reine Drehung in Parameterrichtungen Diskret Parametergebiet Z d reine Relativdrehung benachbarter Positionen

5 Das Quadrikenmodell der euklidischen Bewegungen Transformationsmatrix: α = [ ] 1 0 a A, A SO(3), a R 3 Punkt der Study-Quadrik: α S P 7 = P(R 8 ) diskret drehender Bewegungsvorgang = Vierecksnetz in der Study-Quadrik S

6 Gleitbewegung längs Krümmungslinien F(u, v) ist Parametrisierung nach Krümmungslinien = Bewegung des Dreibeins {F(u, v); x(u, v, w), y(u, v, w), n(u, v)} ist drehend

7 Kontinuierliche Krümmungslinien

8 Diskrete Krümmungslinien aus Berührelementen Principal contact element nets (Bobenko und Suris, 2007)

9 Lokale Geometrie der Berührnetze Bobenko, Pinkall (1996), Cieślińksi et al. (1997) Pottmann, Wallner (2008)

10 Lokale Geometrie der Berührnetze

11 Gleitbewegung längs diskreter Krümmungslinien

12 Unabhängige Krümmungslinientrajektorien

13 Drehvierseite ρ 23 α 3 α 2 ρ 30 ρ 12 α 0 α 1 ρ 01 Elementarvierseite eines diskret drehenden Bewegungsvorgangs Relativbewegungen ρ i,i+1 = α i+1 α 1 i sind reine Drehungen

14 Drehvierseite vier entsprechende Punkte auf Kreis vier entsprechende Ebenen tangential zu Drehkegel vier entsprechende Geraden auf Drehhyperboloid

15 Vier Positionen in der Ebene

16 Entsprechende Berührelemente M m R 30 R 23 N n R 12 R 01 Satz (m 0, M 0 ), (m 1, M 1 ), (m 2, M 2 ), (m 3, M 3 ) bilden Elementarvierseit eins Berührnetzes M trifft die vier relativen Drehachsen R 01, R 12, R 23, R 30 Sind zwei unabhängige Berührnetze bei einem diskret drehenden Bewegungsvorgang möglich?

17 Zwei unabhängige Berührelementtrajektorien

18 Vervollständigung von Drehvierseiten α 0 α 3 M R 34 N R 23 R 12 α 1 α 2 R 01 Satz Die Vervollständigung eines Drehvierseits aus M, N (Treffgeraden im bewegten System) und α 0, α 1, α 2 (drei Positionen in zulässiger Lage) ist eindeutig.

19 Zwei unabhängige Berührelementtrajektorien Zwei unabhängige Berührnetze bei einem diskret drehenden Bewegungsvorgang sind möglich.

20 Zwei unabhängige Berührelementtrajektorien Zwei unabhängige Berührnetze bei einem diskret drehenden Bewegungsvorgang sind möglich.

21 Zwei unabhängige Berührelementtrajektorien Zwei unabhängige Berührnetze bei einem diskret drehenden Bewegungsvorgang sind möglich.

22 Mehrdimensionale Konsistenz

23 α 100 α 010 Mehrdimensionale Konsistenz α 001 α 000

24 α 101 α 011 α 100 α 010 Mehrdimensionale Konsistenz α 001 α 000 α 110

25 Mehrdimensionale Konsistenz α 001 α 101 α 011 α 3 α 1 α 2 α 100 α 010 α 000 α 110

26 α 101 α 011 α 100 α 010 Mehrdimensionale Konsistenz α 001 α 111 α 000 α 110 Satz Diskrete drehende Bewegungsvorgänge mit vorgegebenen Treffgeraden M, N sind dreidimensional konsistent.

27 Mehrdimensionale Konsistenz α 0010 α 0110 α 1010 α 0011 α 0111 α 1110 α 1011 α 1001 α 0000 α 0001 α 1111 α 0101 α 1101 α 0100 α 1000 α 1100

28 Mehrdimensionale Konsistenz α 0010 α 0110 α 1010 α 0011 α 0111 α 1110 α 1011 α 1001 α 0000 α 0001 α 1111 α 0101 α 1101 α 0100 α 1000 α 1100

29 Mehrdimensionale Konsistenz α 0010 α 0110 α 1010 α 0011 α 0111 α 1110 α 1011 α 1001 α 0000 α 0001 α 1111 α 0101 α 1101 α 0100 α 1000 α 1100

30 Mehrdimensionale Konsistenz α 0010 α 0110 α 1010 α 0011 α 0111 α 1110 α 1011 α 1001 α 0000 α 0001 α 1111 α 0101 α 1101 α 0100 α 1000 α 1100

31 Mehrdimensionale Konsistenz α 0010 α 0110 α 1010 α 0011 α 0111 α 1110 α 1011 α 1001 α 0000 α 0001 α 1111 α 0101 α 1101 α 0100 α 1000 α 1100

32 Mehrdimensionale Konsistenz α 0010 α 0110 α 1010 α 0011 α 0111 α 1110 α 1011 α 1001 α 0000 α 0001 α 1101 α 1111 α 0101 α 0100 α 1000 α 1100 Satz Diskrete drehende Bewegungsvorgänge mit vorgegebenen Treffgeraden M, N sind d-dimensional konsistent.

33 Mehrdimensionale Konsistenz α 0010 α 0110 α 1010 α 0011 α 0111 α 1110 α 1011 α 1001 α 0000 α 0001 α 1101 α 1111 α 0101 α 0100 α 1000 α 1100 Zwei unabhängige Berührnetztrajektorien bei einem diskret drehenden d-dimensionalen Bewegungsvorgang sind möglich.

34 Diskrete Pseudosphären und ihre Bäcklundtransformationen

35 Die geometrische Bäcklundtransformation N M R 30 R 23 gleicher Abstand entsprechender Punkte gleicher Winkel entsprechender Normalen Verbindungsgeraden entsprechender Punkte orthogonal zu beiden Normalen R 12 R 01

36 Die Gaußsche Krümmung Flächeninhalt A Flächeninhalt A 0 Gaußsche Krümmung K A 0 A

37 Die Gaußsche Krümmung der Elementarvierseite Flächeninhalt A Flächeninhalt A 0 Gaußsche Krümmung K = A 0 A

38 Die Bahnflächen Satz Die Gaußsche Krümmung des Elementarvierseits (m 0, M 0 ), (m 1, M 1 ), (m 2, M 2 ), (m 3, M 3 ) ist K = sin2 ϕ a 2. M N R 30 R 23 Korollar Die Bahnflächen (m i, M i ) und (n i, N i ) besitzen konstante negative Gaußsche Krümmung (»Pseudosphären«). ϕ m n a R 12 R 01 Korollar Die Berührelementtrajektorien sind lineare Weingartenflächen (Folgerung aus Bobenko, Pottmann, Wallner 2010).

39 Bäcklundtransformation der Drehtraktrix

40 Konstruktion der Bäcklundtransformation N M R 30 R 23 R 12 R 01

41 Zusammenfassung und offene Fragen Resultate diskrete drehende Bewegungsvorgänge mit unabhängigen Berührnetzen als Trajektorien Bäcklundtransformation für pseudosphärische Berührnetze Offene Fragen Permutation von Bäcklund Transformationen analytische Beschreibung der Bäcklund Transformation (à la Schief 2003) Untersuchung allgemeiner (diskret) drehender Bewegungsvorgänge Anwendungen in Maschinenbau/Robotik

42 Indikatrix der Schraubparameter extremaler Schraubparameter momentane Drehung