Geschichte der Mathematik. SS 2016, K. Baur
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- Herbert Braun
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1 Geschichte der Mathematik SS 2016, K. Baur
2 I. Elemente der Algebra im antiken Babylon II. Geometrische Algebra im antiken Griechenland III. Symbole und Variablen IV. Algebra im Mittelalter in Arabien und in Europa V. Erste Errungenschaften der Algebra in Europa VI. Algebra im 17. und 18. Jahrhundert VII. Die Theorie der algebraischen Gleichungen im 19. JH VIII. Themen der Zahlentheorie IX. Lineare und nicht kommutatie Algebra 148
3 VIII. Themen der Zahlentheorie und die Anfänge der kommutatien Algebra 149
4 Fermats letzter Satz (um 1640) Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est diidere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. Für n>2 kann man keine positien ganzen Zahlen finden, die die Gleichung x n + y n = z n erfüllen. Für n=1,2: unendlich iele Lösungen, n=4,3: ermutlich bereits on Fermat gelöst. Viele Ansätze über die Jahrhunderte. Lösung erst 1995 (A. Wiles, R. Taylor, etc.) 150
5 Eulers Ansatz Euler erwendete Ausdrücke a + b c, wobei a,b,c ganze Zahlen sind. Solchen Zahlen haben ähnliche Eigenschaften wie die ganzen Zahl. Fall n=3: zeige, dass x 3 + y 3 = z 3 nicht lösbar ist mit ganzen Zahlen. Euler nimmt an, es gäbe (pos.) ganzzahlige Lösungen, formt um, x 3 + y 3 = 2p(p 2 + 3q 2 ) = z 3, reduziert auf p und findet schliesslich kleinere 4 (p2 + 3q 2 3 ) = z 1 positie ganzzahlige Lösungen (Fermats Methode des unendlichen Abstiegs ) 151
6 Ideen aus Eulers Ansatz Den Ausdruck x λ + y λ (mit Primpotenz) in Linearfaktoren faktorisieren ( ζ λ =1, ζ 1) x λ + y λ = (x + y)(x +ζ y)!(x +ζ λ 1 y) Das Studium der Eigenschaften der ganzen Zahlen über einen erweiterten Zahlenkreis (etwa Zahlen der Gestalt m + n 3 (m,n ganze Zahlen). 152
7 Germain zu Fermats letztem Satz Sophie Germain ( ) bewies den Satz für weitere Primzahlen und entwickelte dazu Theorie. Gauss (1807):...when a woman, because of her sex, our customs and prejudices, encounters infinitely more obstacles than men in familiarising herself with [number theory s] knotty problems, yet oercomes these fetters and penetrates that which is most hidden, she doubtless has the most noble courage, extraordinary talent and superior genius... The scientific notes with which your letters are so richly filled hae gien me a thousand pleasures. I hae studied them with attention
8 Ganzalgebraische Zahlen Zahlen, die Lösungen on Gleichungen f (x) = a n x n + a n 1 x n 1 +!+ a 1 x + a 0 = 0 mit rationalen Koeffizienten sind, sind algebraische Zahlen, sonst transzendent. Jede rationale Zahl ist algebraisch. Sind die Koeffizienten ganzzahlig und ist das Polynom normiert, so heissen die Lösungen ganzalgebraische Zahlen. 154
9 Legendre-Symbol Das Legendre-Symbol gibt an, ob eine Zahl ein quadratischer Rest bzgl. einer Primzahl ist. =0 falls a ein Vielfaches on q ist. =1 falls der Rest on a modulo q eine Quadratzahl ist =-1 sonst ( a ) { 1, 0,1} q 155
10 Quadratisches Reziprozitätsgesetz Euler, Legendre, Gauss: ( p q )( q p 1)/2 ) = 1(q 1)/2( p 156
11 Gauss sche Zahlen a+ib mit a,b ganze Zahlen. Einheiten? Norm? Primelement? 157
12 Primelemente und Faktorisierungen Gauss zeigt, dass der Ring der ganzen Zahlen eindeutige Faktorisierungen hat. Primzahlen können als Gauss sche Zahlen faktorisierbar sein. Beispiele: 2=(1+i)(1-i) und 5=(2+i)(2-i) 158
13 Höhere Reziprozitäten n-tes Restsymbol ( a q 1 q ) = a n n modq Kubische, quartische reziprozitäten: dazu muss man mit komplexen Zahlen (a+ωb bzw. a+ib ) arbeiten 159
14 Aufgaben zu Kapitel VIII 1. Man berechne die Legendre-Symbole der Restklassen bezüglich 7 für a=1,2,3,...,6 (und ergleiche mit Eulers Aussage über die Anzahl der Reste/Nichtreste) 2. Man rechne nach, dass die ier Gauss schen 1,-1,i,-i Einheiten sind (man multipliziere sie mit einer geeigneten Gauss schen Zahl, so dass das Resultat 1 ist). 3. [K, S. 759, Aufgabe 7] 4. [K, S. 684, Aufgabe 20] 160
15 Literatur: I. Bashmakoa, G. Smirnoa, The Beginnings & Eolution of Algebra Dolciani Mathematical Expositions, 23, The Mathematical Association of America, 2000 V. J. Katz, A History of Mathematics. An Introduction, 3rd Edition, Addison- Wesley,
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