Vorlesung Höhere Programmiersprachen, Teil 2: Formale Semantik. Denotationelle Semantik

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1 Vorlesung Höhere Programmiersprachen, WS 2003/04 Teil 2: Formale Semantik Denotationelle Semantik 1

2 Inhaltsübersicht - Grundlagen (1,2) - Konzepte imperativer Programmiersprachen (2,3) - Deklarative Programmiersprachen (4) - Objektorientierte Programmiersprachen (5,6) - Programmierung von Smart Cards: Java Card (7) - Wissenschaftliches Rechnen: Fortran (8) - Wirtschaftsanwendungen: Cobol (8, 9) - Skriptsprachen (9) - Formale Semantik - Operationale Semantik mit ASMs (10) - Operationale Semantik mit natürlicher Semantik und SOS (11) - Denotationelle Semantik (12, 13) - Axiomatische Semantik (14)

3 Übersicht Formale Semantik Konzepte in Programmiersprachen Was muß überhaupt spezifiziert werden Überblick verschiedene Formalismen Operationale Semantik Abstrakte Zustandsmaschinen (ASMs) Strukturell operationale Semantik (SOS) natürliche Semantik Denotationelle Semantik Axiomatische Semantik 3

4 Idee: Definiere Effekte Definiere die Effekte der Ausführung von Programmen Modellierung mit mathematischen Funktionen 1. Beispiel: Effekt einer Sequenz von Anweisungen: funktionale Komposition der Effekte der einzelnen Anweisungen 2. Beispiel: Effekt einer Zuweisung x:=a: Funktion, die Zustände in Zustände abbildet der neue Zustand ist identisch mit dem alten außer dass der Wert der Variablen auf der linken Seite gleich ist mit dem Wert des Ausdrucks auf der rechten Seite 4

5 Kleines Beispiel-Programm Programm: z:=x; x:=y; y:=z Semantik des Programms: Funktion S, die Zustände in Zustände transformiert Seien S«z:=x, S«x:=y, S«y:=z jeweils die Funktionen für die Einzelanweisungen, die den Zustand entsprechend modifizieren Dann ist die Funktion für die Anweisungssequenz: S«z:=x; x:=y; y:=z = S«y:=z S«x:=y S«z:=x Man beachte die umgekehrte Reihenfolge, die der üblichen Notation für Funktionsverkettung entspricht. 5

6 Effekt des Beispielprogramms Anfangszustand: x hat den Wert 5, y den Wert 7 und z den Wert 0 S«z:=x; x:=y; y:=z ([xa 5, ya 7, za 0]) = = (S«y:=z S«x:=y S«z:=x ) ([xa 5, ya 7, za 0]) = S«y:=z (S«x:=y (S«z:=x ([xa 5, ya 7, za 0]))) = S«y:=z (S«x:=y ([xa 5, ya 7, za 5])) = S«y:=z ([xa 7, ya 7, za 5]) = ([xa 7, ya 5, za 5]) 6

7 Kompositionalität 7 Die abstrakte Syntax spezifiziert syntaktische Sorten Basiselemente (=Blätter im Syntaxbaum) und zusammengesetzte Elemente (innere Knoten) zusammengesetzte Elemente haben eindeutige Dekomposition Semantik wird kompositional definiert: semantische Funktion für jedes Basiselement semantische Funktionen für innere Knoten zusammengesetzt aus semantischen Funktionen der direkten Nachfolger

8 Beispiele kompositionaler Definitionen Funktion A: Aexp states Z weist arithemtischen Ausdrücken Zahlen in Z zu A«n]s = N«n A«x]s = Lookup(s,x) A«a 1 +a 2 s = A«a 1 s + A«a 2 s A«a 1 -a 2 s = A«a 1 s - A«a 2 s A«a 1 * a 2 s = A«a 1 s * A«a 2 s Funktion B: Bexp states {tt, ff} analog 8

9 While-Sprache a ::= n x a 1 + a 2 a 1 * a 2 a 1 a 2 b ::= true false a 1 = a 2 a 1 a 1 b b 1 b 2 S ::= x:=a skip S_1 ; S_2 if b then S 1 else S 2 while b do S 9

10 Direct Style Denotational Semantics Semantik der arithmetischen und Booleschen Ausdrücke: wie bei der operationalen Semantik Semantik der Zuweisung: S«x:=a s = s[xaa«a s] wenn S«x:=a = s, dann ist s x = A«a s und s y = s y für y x Semantik der Skip-Anweisung: S«skip = id id: Identitätsfunktion drückt aus, dass keine Zustandsänderung passiert S«skip s = s für alle Zustände s 10

11 Direct Style Denotational Semantics Semantik der bedingten Anweisung: S«if b then S 1 else S 2 = cond(b«b, S«S 1, S«S 2 ) Dabei ist cond folgendermaßen definiert: cond(p,g 1,g 2 ) s = g 1 s wenn p s = tt und g 1 s undef g 2 s wenn p s = ff und g 2 s undef undef sonst 11

12 Direct Style Denotational Semantics Semantik der Anweisungssequenz: S«S 1 ; S 2 = S«S 2 S«S 1 Dabei ist die Funktionsverkettung definiert als: (f g) s = f(g s) wenn g s undef und f(g s) undef undef sonst 12

13 Direct Style Denotational Semantics Semantik der While-Schleife: while b do S muß identisch sein mit der Semantik von 13 if b then (S; while b do S) else skip S«while b do S = cond(b«b, S«while b do S S«S, id) Problem: Definition ist nicht kompositional, drückt aber aus, dass Semantik der While-Schleife ein Fixpunkt des Funktionals F ist, wobei F definiert ist als: F g = cond(b«b, g S«S, id)

14 Direct Style Denotational Semantics Daraus ergibt sich eine kompositionale Definition der Semantik der While-Schleife: S«while b do S = FIX F where F g = cond(b«b, g S«S, id) Abbildungsverhalten der Hilfsfunktion FIX: FIX: ((states states) (states states)) (states states) 14 Argument ist ein Funktional Ergebnis ist eine Funktion

15 Eigenschaften von F und FIX S«while b do S ist ein Fixpunkt von F: S«while b do S = = S«if b then (S; while b do S) else skip = cond(b«b, S«S; while b do S, S«skip ) =cond((b«b, S«while b do S S«S, id) =F(S«while b do S ) 15

16 Denotationelle Semantik für While (Zusammenfassung direct style) S«x:=a s = s[xa A«a s] S«skip = id S«S 1 ; S 2 = S«S 2 S«S 1 S«if b then S 1 else S 2 = cond(b«b, S«S 1, S«S 2 ) S«while b do S = FIX F where F g = cond(b«b, g S«S, id) 16

17 Beispiel 1 (Übungsaufgabe) Semantik der While-Schleife while x 0 do x:=x-1 Aufgaben: 1) Bestimme Funktional F für diese Schleife. 2) Welche der folgenden Funktionen ist ein Fixpunkt dieses Funktionals F? g 1 s = undef für alle s Aufgabe vorgerechnet an der Tafel g 3 s = s[xa0] falls x 0 und g 3 s = s falls x<0 17 g_4 s = s[xa0] für alle s g 2 s = s[xa0] falls s x 0 und g_5 s = s für alle s g 2 s = undef falls s x < 0

18 Beispiel 2 (Übungsaufgabe) Gegeben sei folgendes Fragment der Fakultätsfunktion: while x 1 do (y:=y*x; x:=x-1) 1) Bestimme das Funktional dieser Schleife. 2) Gebe mindestens zwei Fixpunkte dieses Funktionals an. Aufgabe vorgerechnet an der Tafel 18

19 Probleme bei der Definition von F Es gibt Funktionale, die mehr als einen Fixpunkt haben Welchen suchen wir aus? Es gibt Funktionale, die gar keinen Fixpunkt haben (trifft auf F offensichtlich nicht zu) Beispiel: F 1 g = = g 1 wenn g=g 2 = g 2 sonst Ist g 1 g 2, dann gibt es keinen Fixpunkt. 19

20 Anforderungen an Fixpunkte Definiere Anforderungen, so dass höchstens ein solcher Fixpunkt existiert und dass alle Funktionale, die von While-Anweisungen stammen, auch tatsächlich einen Fixpunkt haben Motivation: Betrachte mögliche Ergebnisse von While-Schleifen A: Schleife terminiert B: Schleife terminiert lokal nicht (Konstrukt im Schleifenrumpf terminiert nicht) C: Schleife terminiert global nicht (äußeres While-Konstrukt terminiert nicht) 20

21 Fall A: Schleife terminiert Ausführung von while b do S ausgehend vom Zustand s 0 Es gibt Zustände s_1, s_2,, s_n,so dass B«b s i = tt wenn i<n und B«b s i = ff wenn i=n Sei g ein Fixpunkt von F. Dann gilt für i<n folgendes: g s i = (F g)s i = cond(b«b, g S«S, id) s i = g(s«s s i ) = g s i+1 Für i=n gilt: g s n = (F g)s n = cond(b«b, g S«S, id) s n = id s n = s n 21

22 Fall A: Schleife terminiert Wir haben keine besonderen Annahmen über den Fixpunkt g gemacht Das bedeutet, dass jeder Fixpunkt g von F die folgende Bedingung erfüllt: g_0 s_0 = s_n Wir bekommen also aus dem Fall A keine Extra-Anforderungen, die bei der Auswahl eines Fixpunkts helfen 22

23 Fall B: Schleife terminiert lokal nicht Ausführung von while b do S ausgehend vom Zustand s 0 Es gibt Zustände s_1, s_2,, s_n,so dass B«b s i = tt wenn i n und S«S s i = s i+1 für i<n und S«S s i = undef für i=n Sei g ein Fixpunkt von F. Dann gilt für i<n 23 g s i = g s i+1 Für i=n gilt: g s n = (F g)s n = cond(b«b, g S«S, id) s n = (g S«s )s n = undef

24 Fall B: Schleife terminiert lokal nicht Jeder Fixpunkt g von F erfüllt damit die Bedingung g 0 s 0 = undef Auch mit diesem Fall bekommen wir keine Hinweise, welche speziellen Anforderungen der auszusuchende Fixpunkt erfüllen soll 24

25 Fall C: Schleife terminiert global nicht Ausführung von while b do S ausgehend vom Zustand s 0 Es gibt Zustände s_1, s_2,, s_n,so dass B«b s i = tt und S«S s i = s i+1 für alle i Sei g ein Fixpunkt von F. Dann gilt für alle i g s i = g s i+1 25 Wir könnten im Prinzip jeden Fixpunkt wählen, aber unsere Erfahrung mit Programmen zeigt, dass die Schleife kein Ergebnis liefert, wenn sie nicht terminiert. Deswegen sollte in diesen Fällen das Ergebnis undef sein.

26 Fazit: Anforderungen an FIX Der gesuchte Fixpunkt sollte ein Fixpunkt des Funktionals F sein. Er sollte sowenig Funktionswerte definieren wie möglich. Der Fixpunkt sollte also nur die Resultate der Schleife festlegen, die tatsächlich bei der Ausführung der Schleife erzielt werden. Formal: Sei g_0 der angestrebte Fixpunkt und g ein beliebiger anderer Fixpunkt des Funktionals F. Dann gilt für alle Zustände s: F g 0 = g 0 Ist F g = g und g 0 s = s, dann ist g s = s. 26

27 Fixpunkt-Theorie Unser Programm im folgenden: Entwicklung einer Theorie, die die Existenz und Eindeutigkeit der angestrebten Fixpunkte garantiert 27 Partiell geordnete Mengen Im besonderen: Ordnung auf partiellen Funktionen Eindeutigkeit eines kleinsten Elements, falls es existiert, von partiell geordneten Mengen kleinstes Element der Funktionen, die von Zuständen in Zustände abbilden Formale Definition der Anforderungen an FIX F Vollständige partiell geordnete Mengen Ketten und ihre kleinsten oberen Schranken Ketten-vollständige partiell geordnete Mengen Monotone und stetige Funktionen: haben kleinste Fixpunkte

28 Partiell geordnete Mengen (D,v) Eine Menge D mit einer Ordnung v ist eine partielle Ordnung, wenn gilt: v ist reflexive: d v d für alle d D, v ist transitive: d 1 v d 2 und d 2 v d 3 impliziert d 1 v d 3 für alle d 1, d 2, d 3 D, und 28 v ist antisymmetrisch: aus d 1 v d 2 und d 2 v d 1 folgt d 1 = d 2. Theorem: Wenn eine partiell geordnete Menge (D, v) ein kleinstes Element hat, dann ist es eindeutig und wird mit bezeichnet.

29 Beispiel: Potenzmengen Sei S und die Potenzmenge P(S) = {K K S}. Es gilt: (P(S), ) ist eine partiell geordnete Menge. Beispiel: S = {a, b, c}. {a, b, c} größtes Element {a, b} {a, c} {b, c} {a} {b} {c} 29 Solche Diagramme nennt man Hasse-Diagramme. kleinstes Element

30 Partielle Ordnung auf Funktionen Sei State State = {f f: State State} die Menge aller (partiellen und totalen) Funktionen, die Zustände in Zustände abbilden. g 1 v g 2 gdw. g 1 s = s impliziert g 2 s = s für alle s,s Theorem: (State State, v) ist eine partiell geordnete Menge. Die partielle Funktion definiert durch s = undef für alle s ist das kleinste Element von State State. Beweis: Übungsaufgabe 30

31 Beispiel: Partiell geordnete Funktionen g 1 s = s für alle s g 2 s = s falls s x 0, g 2 s = undef sonst g 3 s = s falls s x = 0, g 3 s = undef sonst g 4 s = s falls s x 0, g 4 s = undef sonst Partielle Ordnung: g 1 g 2 g 4 31 g 3

32 Charakterisierung der partiellen Ordnung Sei State State = {f f: State State} die Menge aller (partiellen und totalen) Funktionen, die Zustände in Zustände abbilden. Definition: graph(g) = { (x,y) g(x)=y } Lemma: g 1 v g 2 genau dann, wenn graph(g 1 ) graph(g 2 ). 32

33 Obere Schranken Sei (D,v) eine partiell geordnete Menge und sei Y D. d ist eine obere Schranke (upper bound) von Y, wenn d v d für alle d Y gilt. d ist eine kleinste obere Schranke (least upper bound) von Y, wenn d eine obere Schranke von Y ist und wenn für alle anderen oberen Schranken d von Y gilt, dass d v d gilt. Die kleinste obere Schranke von Y wird mit ty bezeichnet. Lemma: Wenn Y eine kleinste obere Schranke hat, dann ist sie eindeutig. (Beweis: Übungsaufgabe) 33

34 Beispiele für obere Schranken {a, b} {a} {a, b, c} {a, c} {b} {c} {b, c} 34 Y 0 = {, {a}, {a,c} } Y 3 = { } Y 1 = {, {a}, {c}, {a,c} } Y 4 = { {a}, {b,c} } Y 2 = { } Übungsaufgabe: Bestimme jeweils die oberen Schranken

35 Vollständige Verbände 35 (D,v) ist ein vollständiger Verband, wenn jede Teilmenge von D eine kleinste obere Schranke hat. Übungsaufgabe: Zeige: Sei S eine Menge und P(S) ihre Potenzmenge. Dann ist (P(s), ) ein vollständiger Verband. (State State, v) ist kein vollständiger Verband. Beweis: Betrachte g mit g s = s[xa5] für alle s und f mit f s = s[xa1] für alle s. Sei Y = {f,g} State State. Y hat keine obere Schranke. Verband auf englisch: lattice, vollständiger Verband: complete lattice (Diese Folie ist nur Information, wird im weiteren nicht benötigt.)

36 Ketten-vollständige partiell geordnete Mengen Definition: Sei (D,v) eine partiell geordnete Menge. Eine Kette ist eine Teilmenge Y D, so dass für beliebige Elemente d 1, d 2 Y gilt: entweder d 1 v d 2 oder d 2 v d 1. (D,v) ist eine ketten-vollständige partiell geordnete Menge (ccpo = chain-complete partially ordered set), wenn jede Kette von D eine kleinste obere Schranke hat. 36

37 (State State, v) ist eine ccpo Theorem: (State State, v) ist eine kettenvollständige partiell geordnete Menge. Die kleinste obere Schranke ty einer Kette Y ist definiert durch: (ty) s = g s falls g s undef für ein g Y (ty) s = undef sonst 37

38 Beweis des Lemmas: 38 Drei Schritte zum Beweis: 1. Schritt: Definiere g 0 folgendermaßen: g 0 s = g s falls g s undef für ein g Y g 0 s = undef sonst und zeige, dass g 0 wohldefiniert ist. 2. Schritt: Zeige, dass g 0 eine obere Schranke von Y ist. 3. Schritt: Zeige, dass g 0 die kleinste obere Schranke von Y ist.

39 Definition: Monotone Funktionen (D,v) und (D,v ) seien ketten-vollständige partiell geordnete Mengen und f:d D eine (totale) Funktion. f ist monoton, wenn: d 1 v d 2 implies f d 1 v f d 2 39

40 Beispiel: Monotone Funktionen 40 Beispiele: f 1, f 2 : P({a,b,c}) P({d,e}) X {a,b,c} {a,b} {a,c} {b,c} {a} {b} {c} {} f 1 X {d,e} {d} {d,e} {d,e} {d} {d} {e} {} f 2 X {d} {d} {d} {e} {d} {e} {e} {e} Frage: Welche Funktion ist monoton, welche nicht? f_1 macht a und b zu d, c zu e. f 1 ist monoton. Gegenbeispiel: {b,c} {a,b,c}, aber (f 2 {b,c} f 2 {a,b,c}) f 2 ist nicht monoton.

41 Beispiel: Fakultätsprogramm S«y:=1; while x 1 do (y:=y*x; x:=x-1) s = (FIX F) (s[ya 1]) wobei (F g) s = g(s[ya (s y * s x)] [xa (s x) 1]) falls s x 1 und (F g) s = s falls s x = 1 Satz: F ist monoton. Beweisskizze: 41 Annahme: g 1 v g 2. Zeige dann: F g 1 v F g 2 Weitere Annahme: s ist ein beliebiger Zustand Zeige dann: (F g 1 ) s = s impliziert (F g 2 ) s = s (Wenn (F g 1 ) s = undef, dann gilt F g 1 v F g 2 sowieso)

42 Fortsetzung Beweis: Details der Fallunterscheidung Zu zeigen: (F g 1 ) s = s impliziert (F g 2 ) s = s Fall 1: s x = 1: (F g 1 ) s = s und (F g 2 ) s = s. Zu zeigende Aussage gilt. Fall 2: s x 1: 42 (F g 1 ) s = g 1 s([ ][ ]) 1. Möglichkeit: (F g 1 ) s = g 1 s([ ][ ]) = undef. Zu zeigende Aussage trivialerweise erfüllt. 2. Möglichkeit: (F g 1 ) s = g 1 s([ ][ ]) = s. Aus g 1 v g 2 folgt g 2 s([ ][ ])=(F g 2 ) s = s. Zu zeigende Aussage gilt.

43 Verkettung monotoner Funktionen Satz: (D,v), (D,v ) und (D,v ) seien kettenvollständige partiell geordnete Mengen und f:d D und f :D D seien monotone Funktionen. Dann ist auch f f: D D eine montone Funktion. Beweisidee: Annahme: d 1 v d 2 f d 1 v f d 2 (Monotonie von f) f (f d 1 ) v f (f d 2 ) (Monotonie von f ) 43

44 Eigenschaften monotoner Funktionen: Ketten und kleinste obere Schranken Satz: (D,v) und (D,v ) seien kettenvollständige partiell geordnete Mengen und f:d D eine monotone Funktion. Wenn Y eine Kette in D ist, dann ist {f d d Y} eine Kette in D. Außerdem gilt: t {f d d Y} v f(ty). Beweisidee: Fallunterscheidung Y= : Aussage folgt direkt aus v f Y : Zeige folgende Aussagen: {f d d Y} ist eine Kette und t {f d d Y} v f(ty). 44

45 Monotonie ist nicht genug Betrachte folgende Funktion: F: P(N {a}) P(N {a}) mit f X = X falls X endlich ist f X = X {a} falls X unendlich ist f ist eine monotone Funktion. Aber: t {f d d Y} = f (ty) gilt nicht immer. Sei Y = {{0,1,,,n} n 0}. Dann ist t{f X X Y} = ty = N, aber: f(ty) = f N = N {a} 45

46 Was wir brauchen: Wir brauchen Funktionen, die kleinste obere Schranken erhalten. Das bedeutet, dass man dasselbe Ergebnis erhält unabhängig davon, ob man die kleinste obere Schranke vor oder nach Anwendung der Funktion erhält. Funktionen mit dieser Eigenschaft heißen stetig (continuous). 46

47 Stetige Funktionen Definition: (D,v) und (D,v ) seien ketten-vollständige partiell geordnete Mengen und f:d D eine totale Funktion. f ist stetig, wenn f monoton ist und wenn t {f d d Y} = f(ty) für alle nicht-leeren Ketten Y von D. Übung: Zeige: (D,v) und (D,v ) seien ketten-vollständige partiell geordnete Mengen und f:d D eine totale Funktion mit t {f d d Y} = f(ty) für alle nicht-leeren Ketten Y von D. Dann ist f monoton. 47

48 Beispiel: Fakultätsprogramm S«y:=1; while x 1 do (y:=y*x; x:=x-1) s = (FIX F) (s[ya 1]) wobei (F g) s = g(s[ya (s y * s x)] [xa (s x) 1]) falls s x 1 und (F g) s = s falls s x = 1 Satz: F ist stetig. Beweis: Sei Y eine nicht-leere Kette in State State. Zu zeigen: t{f g g Y} = F(tY). Da F eine monotone Funktion ist, gilt t{f g g Y} v F(tY). (vgl. vorangegangene Folie) Noch zu zeigen: t{f g g Y} w F(tY). Dazu zeigen wir: graph(t{f g g Y}) graph(f(ty)). 48

49 Fortsetzung Beweis I Noch zu zeigen: graph(t{f g g Y}) graph(f(ty)) Annahme: Sei s ein beliebiger Zustand mit F(tY) s = s. Bestimme ein g Y mit (F g) s = s. Daraus folgt dann: t{f g g Y}) s = s und damit graph(t{f g g Y}) graph(f(ty)). Also: Bestimme ein g Y mit (F g) s = s. 49

50 Fortsetzung Beweis II: Fallunterscheidung 50 Fall 1: s x = 1 Daraus folgt: F(tY) s = s = s Für alle Funktionen g, also insbesondere für g Y, gilt: (F g) s = s falls s x = 1 Da Y, gibt es solch ein g. Fall 2: s x 1 Dann gilt: F(tY) s = ty(s[ ][ ]) = s Daraus folgt: Es gibt g Y mit g(s[ ][ ]) = s Daraus folgt: Fürdieses g gilt (F g) s = g(s[ ][ ]) = s Damit ist der Beweis abgeschlossen.

51 Fixpunkt-Satz Sei f: D D eine stetige Funktion auf der ccpo (D,v) mit kleinstem Element. Dann definiert FIX f = t{f n n 0} ein Element aus D, und dieses Element ist der kleinste Fixpunkt von f. Notation: f 0 = id, f n+1 = f f n für n>0 51 Beweis in drei Schritten: 1) Zeige: FIX f ist wohldefiniert. 2) Zeige: FIX f ist ein Fixpunkt von f. 3) Zeige: FIX f ist der kleinste Fixpunkt von f.

52 Beweis Fixpunktsatz I Beweis, dass FIX f wohldefiniert ist: Zeige mit Induktion über n, dass gilt: f n v f n d für alle d D Folgt aus der Monotonie von f Daraus folgt: f n v f m für n m f m ist ein d D Daher ist {f n n 0} eine nicht-leere Kette in D und Fix f existiert, weil D eine ccpo ist. 52

53 Beweis Fixpunktsatz II Beweis, dass FIX f ein Fixpunkt von f ist: zu zeigen: f (FIX f) = FIX f. f (FIX f) = = f (t{f n n 0}) (def. of FIX f) = t{f(f n ) n 0} (f stetig) = t{f n n 1} = t({f n n 1} { }) (weil t(y { })=ty für alle Ketten Y) = t{f n n 0} ( f 0 = ) = FIX f (def. of FIX f) 53

54 Beweis Fixpunktsatz III Beweis, dass FIX f der kleinste Fixpunkt v. f ist: Annahme: Es gibt einen weiteren Fixpunkt d. Es gilt: v d Da f monoton ist, gilt: f n v f n d für n 0. Da d ein Fixpunkt ist, gilt: f n v d für n 0. Also ist d ein Fixpunkt der Kette {f n n 0}. FIX f ist der kleinste Fixpunkt dieser Kette, also gilt: FIX f v d. Damit ist der Beweis des Fixpunktsatzes fertig. 54

55 Zusammenfassung Fixpunkttheorie Wir beschränken uns auf kettenvollständige partielle Ordnungen (ccpo s). Wir beschränken uns auf stetige Funktionen auf ccpo s. Wir zeigen, dass stetige Funktionen auf ccpo s immer eindeutige kleinste Fixpunkte haben. 55

56 Beispiel: Fakultätsprogramm S«y:=1; while x 1 do (y:=y*x; x:=x-1) s = (FIX F) (s[ya 1]) wobei (F g) s = g(s[ya (s y * s x)] [xa (s x) 1]) falls s x 1 und (F g) s = s falls s x = 1 Wir müssen sicherstellen, dass (State State, v) eine ccpo ist und dass F eine stetige Funktion ist (haben wir schon gemacht) Dann folgt aus dem Fixpunktsatz, dass FIX F wohldefiniert und der kleinste Fixpunkt von F ist. 56

57 Beispiel: Fakultätsprogramm (F 0 ) s = undef (F 1 ) s = undef falls s x 1 und (F 1 ) s = s falls s x = 1 (F 2 ) s = undef falls s x 1 und s x 2 und (F 2 ) s = s[y a (s y)*2] [x a 1] falls s x = 2 und (F 2 ) s = s falls s x = 1 (F n ) s = undef falls s x < 1 oder s x > n und (F n ) s = s[ya (s y)*j*l*2*1] [x a 1] falls s x = j und1 j n (FIX F) s = undef falls s x < 1 und (FIX F) s = s[ya (s y)*n*l*2*1] [x a 1] falls s x = n und 1 n 57

58 Existenz der denotationellen Semantik Dazu müssen wir nachweisen, dass Funktion S existiert und wohldefiniert ist: S«x:=a s = s[xa A«a s] S«skip = id S«S 1 ; S 2 = S«S 2 S«S 1 S«if b then S 1 else S 2 = cond(b«b, S«S 1, S«S 2 ) S«while b do S = FIX F 58 where F g = cond(b«b, g S«S, id)

59 Beweis der Existenz der denotationellen Semantik I 59 Beweis durch strukturelle Induktion über den Aufbau von Programmen: Zuweisung x:=a: Zustand s wird abgebildet auf s[xa A«a s]. Diese Abbildung ist wohldefiniert. skip: Identitätsabbildung ist wohldefiniert. S 1 ; S 2 : Verkettung von Funktionen, die nach Induktionsvoraussetzung wohldefiniert sind, ist wohldefiniert. if: Funktion cond ist wohldefiniert, wenn Argumentfunktionen wohldefiniert sind (gilt nach Ind.vor.)

60 Beweis der Existenz der denotationellen Semantik II While-Schleife: Ind.Vor.: S«Rumpf ist wohldefiniert. Die Funktionen F 1 und F 2 mit F 1 g = cond(b«b, g, id) und F 2 g = g S«Rumpf müssen als stetig nachgewiesen werden: Nachweis für F 1 : Übungsaufgabe Nachweis für F 2 erfolgt analog zum Nachweis der Stetigkeit von F bei der Fakultätsfunktion Beide Beweise: Nachlesen bei Nielson/Nielson 60

61 Zusammenfassung des Beweises für die Semantik der While-Schleife: Die Menge der Funktionen f: State State, die Zustände in Zustände abbilden, zusammen mit einer passenden Ordnung v ist eine ccpo (ketten-vollständige partielle Ordnung). Bestimmte Funktionen F: (State State) (State State) sind stetig. Bei der Definition der denotationellen Semantik wenden wir den Fixpunktoperator nur auf stetige Funktionen an. 61

62 Zusammenfassung denotationelle Semantik Definition der direct-style denotationellen Semantik Diskussion der Frage, ob Fixpunkte existieren und eindeutig sind Diskussion, welche Anforderungen man an den gewünschten Fixpunkt hat Fixpunkttheorie: Fixpunktsatz Anwendung auf denotationelle Semantik: Nachweis der Wohldefiniertheit 62

63 Bewertung denotationelle Semantik Mathematisches Konzept. Für einfache Programmiersprachen (wie z.b. die While-Sprache) einfach zu verstehen. Komplexität nimmt im Vgl. zur Komplexität der Sprachkonstrukte überproportional zu. Deshalb sind denotationelle Semantiken oft weniger handlich als operationale Semantiken, wenn es um imperative oder objekt-orientierte Programmiersprachen mit komplexen Zuständen geht. 63

64 Tips zum Nacharbeiten, Prüfungsvorbereiten oder falls man den Stoff mal wieder braucht: Daran denken: Ist nicht so schwer, wie es aussehen mag! Nachlesen im Lehrbuch: Hanne Riis Nielson und Flemming Nielson: Semantics with Applications: A Formal Introduction. sehr gutes Lehrbuch ist im Netz frei verfügbar, Adresse: dort gibt es auch weitere Beispiele und Übungsaufgaben 64