Aufgabe 1: Abweichungsrechnung

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1 Afgabe : Abweichngrechnng i P 99%: a) Volländige Meergebni für f (,,, ) Gegebene Gleichng für Volenro : π (.) Fehlerbehafee Einflgrößen:,, Urechnng de rcheer von P 95% af P 99%: allgeein: n; α / α α n; α / i n 0 folg: ;α / 9;0, 995 n ;α / 9;0, 975 n,5,6 ;99% 0,,5,6 0,7 00 ± 0,7 ; P 99% oder in SI-Baieinheien 0, ±,70 ; P 99% Gegebene Zeien nd in SI-Einhei rechnen: Gegeben: 7,67 µ ± n; P 99% nd 8,6 µ ± n; P 99%, ± 0-9 ; P 99% nd, ± 0-9 ; P 99%

2 Berechnng de volländigen Meergebnie der änge a der gegebenen Mereihe: Mielwer: 7, Sreng: 0,097 S Verraenbereich: / ; n n S α i: n 8 α 0,0 folg:, ;0, / ; n α 0,,99 8 0,097 7, ±0, ; P 99% oder in SI-Baieinheien 0,7 ±, 0 ; P 99% Berechnng de Mielwere : ( ) ( ) 0,0998,86 0, ,7 0, 0,7 0, - - π π Parielle Ableingen: 0,79597,,, π 0,086558,,, π,,, 7887, π

3 ,,, 75,6 π Verraenbereich : Einezen der oben berechneen Were liefer: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 75, , 0, 0, ,7 0, ,75 - Volländige Meergebni für Volenro : 99% P ; 0,75 0,0998 ±

4 Afgabe : χ -Te a) Überprüfng af Poion-Vereilng i λ af Signifikanzniva α 0,: E oll überprüf werden, ob die für ingea n 500 Schichen erielen Anzahlen von al Ach deklarieren Werkücken einer Poion-Vereilng genügen. er Paraeer λ der z Vergleich heranzziehenden Vereilng wrde anhand der beobacheen Vereilng i λ abgechäz. ie Überprüfng erfolg iel eine χ -Te. ie für den Te benöigen heoreichen Häfigkeien Ei ergeben ich a der Wahrcheinlichkeifnkion der Poion-Vereilng: P λ k λ k! λ ( X k) e er Wer k eh für die öglichen Ergebnie, alo die Anzahl der pro Schich erielen Acheile. Theoreich könne k dai alle Were a der Menge der naürlichen Zahlen annehen. I vorliegenden Fall werden zr Vereinfachng jedoch alle Ergebnie für die gil k 5 z einer geeinaen Klae zaengefa nd oi nich weier nerchieden. E gil alo: k { 0,,,,, 5} ie Anzahl n der ingea nerchen Schichen i aenaz beräg la Afgabenellng: n 500. ai ergeben ich die in folgender Tabelle eingeragenen heoreichen Wahrcheinlichkeien pi: k pi Ei npi 0 0,55 67,668 0,7067 5,6 0,7067 5,6 0,807 90, 0,090 5, 5 0,0565 6,6 Hinwei: ie kliere Wahrcheinlichkei für die Klaen i k 5 wird a einfachen dadrch bei, da die Se der Wahrcheinlichkeien für die Klaen 0 bi von der heoreichen Geawahrcheinlichkei von (enprechend 00%) brahier wird. U af die heoreichen abolen Häfigkeien z koen, werden die Wahrcheinlichkeien pi i der Anzahl der Verche liplizier. Al Verche werden hier die der beobacheen Vereilng zgrndeliegenden n 500 Schichen angeehen. E ergeben ich o die in obiger Tabelle eingeragenen heoreichen Häfigkeien Ei. Hinwei: E i hier nich innvoll, die heoreichen Häfigkeien af ganze Zahlen z rnden! ie in nachfolgender Tabelle vorgenoene Zaenellng von epiriche nd heoreiche Hiogra zeig, da eine Zaenlegng von Klaen nich erforderlich i, da alle Klaen eine Beezngzahl 5 afweien. In der Folge kann dann der χ0 -Wer direk a den angegebenen Bi nd Ei berechne werden.

5 k B i ' ' ( B E ) E i i ,668,8 5,6 0,7 9 5,6 0, , 0, ,,67 5 6,6 0,0 Σ,66 i E ' i χ, 66 0 Being der Zahl der Freiheigrade: Zahl der awerbaren Klaen: r* 6 Zahl der Paraeer der Vereilngfnkion: (der Paraeer λ wrde la Afgabenellng a der Sichprobe abgechäz) r* 6 Felegen der Irrwahrcheinlichkei: gegeben: α 0, Vergleichwer erieln: χ ; α χ;0,9 7,78 (a Tabelle) r * Te: χ? 0 > χ;0,9 hier:,66 > 7,78 ie Hypohee H0 wird nich abgelehn! Af eine Signifikanznivea von α 0, wird da beobachee Ergebni drch eine Poion-Vereilng i de Paraeer λ bechrieben!

6 Anwor-Wahl-Verfahren, Teil A (für 5 P Klar):. Bei eine Hereller von Kpplngdrckifen für Moorradanriebe wird i Rahen der aliäicherng der rcheer der zylinderförigen rckife überwach. Hierz wird a der lafenden Ferigng eine Sichprobe vo Ufang n ennoen nd der rcheer der rckife eriel. A der Sichprobe ergib ich ein Mielwer de rcheer von,98 nd eine Sreng von S 0,0. ie Sandardabweichng σ ei nbekann... a Konfidenzinervall de Erwarngwere de rckifdrcheer für eine Aagewahrcheinlichkei von P 98% beräg für dieen Fall gernde: a),98 ± 0,0089 ; P 98% b),98 ± 0,009 ; P 98% c),98 ± 0,00 ; P 98% d),98 ± 0,0 ; P 98% e),98 ± 0,06 ; P 98% (Frageyp Einfachwahl).. er inial erforderliche Sichprobenfang n, bei einer Aagewahrcheinlichkei von P 95% da Konfidenzinervall de Erwarngwere de rcheer af axial ± 0,006 abchäzen z können, beräg: a) n 6 b) n 7 c) n d) n e) n 6 (Frageyp Einfachwahl).. Gehen Sie davon a, da Mielwer nd Sreng obiger Sichprobe i de Erwarngwer nd der Sandardabweichng der Grndgeahei übereinien. Wie viel Prozen aller rckife weien dann ewa einen rcheer i Bereich,97 5,0 af? a),9% b) 5,5% c) 68,% d) 7,5% e) 98,% (Frageyp Einfachwahl)

7 . Sie öchen für zwei in Ihre Beiz befindliche PKW nerchiedlichen Typ überprüfen, ob deren Benzinverbrach die jeweilige Herellerangabe nach NEFZ einhäl. Hierz erieln Sie über jeweil n 0 Tankfüllngen den rchchniverbrach beider Fahrzege. ie o erielen Verbräche beider Fahrzege vergleichen Sie jeweil i de Norverbrach la Herellerangabe. Sie öchen für beide Fahrzege epara jeweil die Frage beanworen, ob der Verbrach i de Norverbrach übereini oder aber dieen übereig... Welcher aiiche Te i geeigne, die Frage z beanworen? a) lineare Regreion b) -Te für Erwarngwer c) -Te für den Vergleich zweier Erwarngwere bei nabhängigen Sichproben d) -Te für den Vergleich zweier Erwarngwere bei verbndenen Sichproben e) Chi-adra-Te (Frageyp Einfachwahl).. Welche Alernaivhypohee i für den Te z wählen? a) eineiige Alernaivhypohee b) zweieiige Alernaivhypohee (Frageyp Einfachwahl) 5. Anhand zweier nabhängiger Sichproben öchen Sie einen -Te für den Vergleich zweier Erwarngwere drchführen. A den Sichproben, die jeweil einen Ufang von n 0 afweien, haben Sie Mielwere nd Srengen der Größen x nd y eriel z x,0, Sx 0,7, y,98 nd Sy 0, ie Tegröße 0 beräg in diee Fall gernde: a) 0,66 b) 0,69 c) 0,978 d),786 (Frageyp Einfachwahl) 5.. er für die Being de kriichen Were benöige Freiheigrad beräg bei diee Te: a) 8 b) 9 c) 58 d) 59 (Frageyp Einfachwahl)

8 6. Sie öchen iel eine -Te für den Vergleich zweier Erwarngwere die Wirkakei zweier Nahrngergänzngiel A nd B z Mkelafba vergleichen. er Sichprobenfang beräg n 0. Ihre Nllhypohee lae, da die Wirkng der Nahrngergänzngiel ich nich nercheide ( x µy). Sie wählen eine zweieiige Alernaivhypohee ( x µy). Sie wählen ein Signifikanznivea von 0,05. ie von Ihnen berechnee Tegröße beräg 0, Geben Sie an, ob die Nllhypohee abgelehn oder nich abgelehn werden! a) Nllhypohee wird nich abgelehn b) Nllhypohee wird abgelehn (Frageyp Einfachwahl) 6.. Angenoen, die Nllhypohee würde nich abgelehn. Welche Aage in Bezg af die Wirkakei der nerchen Nahrngergänzngiel A nd B wäre dann a zreffenden? ie Wirkng der Nahrngergänzngiel A nd B a) nercheide ich wahrcheinlich. b) nercheide ich definiiv. c) nercheide ich wahrcheinlich nich. d) nercheide ich definiiv nich. (Frageyp Einfachwahl)

9 Anwor-Wahl-Verfahren, Teil B (für 5 P Klar): 7. Geben Sie an, bei welchen der folgenden Zandgrößen e ich inenive Größen handel! a) Teperar b) Wärekapaziä c) Molare Mae d) elekriche Spannng e) Volen f) rck g) Soffenge h) Enropie (Frageyp Mehrfachwahl) 8. Geben Sie an, welche der folgenden Gleichngen korrek ind! a) 0 - kg 0 6 µg g b) pf 0 nf c) 99 c d) 0 A 00 µa,0 0 - A e) ³/ 00 c³/,0 ³/ (Frageyp Mehrfachwahl) 9. Geben Sie an, von welcher Ar da nachfolgend abgebildee Signal hinichlich eine Verhalen in Zei- owie in Aplidenrichng i! a) aplidenkoninierlich nd zeikoninierlich b) aplidendikre nd zeikoninierlich c) aplidenkoninierlich nd zeidikre d) aplidendikre nd zeidikre (Frageyp Einfachwahl)

10 0. Ein lineare Sye. Ordnng i der Zeikonanen T nd de Überragngfakor K werde z Zeipnk 0 i einer prngförigen Änderng der Eingangpannng von 0 V af 0 V beafchlag. Welche Spannng wird nach der Zeidaer T a Agang ewa anliegen? a) 5 V b) 6, V c) 0 V d),6 V e) 8 V (Frageyp Einfachwahl). Eine noralvereile, dienionloe Größe werde i 0 Wiederholngen geeen. a Konfidenzinervall de Erwarngwere wird z μ 0 bei P 95% bei. ie Sandardabweichng σ ei bekann. Geben Sie an, wie viele Wiederholngengen drchgeführ werden üen, da Konfidenzinervall bei nveränderer Aageicherhei af 8 μ z redzieren! a) 0 b) 90 c) 00 d) 60 e) 00 (Frageyp Einfachwahl). Af de Wochenark nz ein Geüehändler eine Balkenwaage z Wiegen der Ware. abei wirken ich zwei Söreinflüe af die Meng a. Charakeriieren Sie jeweil die zwei nachfolgend bechriebenen Söreinflüe!.. a die Waage a Rand der Überdachng de Sande afgeba i, wird bei Sonnenchein eine Seie de Mebalken ärker erwär al die andere. a) perponierender äßerer Söreinfl b) deforierender äßerer Söreinfl c) innerer Söreinfl (Frageyp Einfachwahl).. a die Waage a Rand der Überdachng de Sande afgeba i, ael ich bei Regen ewa Waer in einer der Waagchalen. a) perponierender äßerer Söreinfl b) deforierender äßerer Söreinfl c) innerer Söreinfl (Frageyp Einfachwahl)

11 . Sie führen ein Zfallexperien drch, bei welche Sie a eine i roen nd grünen Kgeln gefüllen Gefäß zfällig n Kgeln nacheinander ennehen, wobei Sie jede Kgel ofor nach ihrer Ennahe wieder in da Gefäß zrücklegen. rch welche aiiche Vereilng lä ich die Wahrcheinlichkei bechreiben, i der bei diee Verch eine beie Anzahl roer Kgeln gezogen wird? a) Binoialvereilng b) Noralvereilng c) Gleichvereilng d) Poionvereilng e) Hypergeoeriche Vereilng (Frageyp Einfachwahl). Geben Sie an, welche der folgenden Aagen über aiiche Te korrek ind! a) Eine Mereihe, die zr Bildng einer Hypohee verwende wrde, darf nich für einen Te dieer Hypohee genz werden. b) Al Fehlencheidng. Ar bezeichne an den Fall, da al Ergebni eine aiichen Te die Nllhypohee H0 nich abgelehn wird, obwohl H0 aächlich nich zriff. c) Wird für einen aiichen Te ein Signifikanznivea von % gewähl, bedee die, da i einer Wahrcheinlichkei von % eine Fehlencheidng. Ar afri. d) In experienellen Wienchafen können aiiche Te daz genz werden, Hypoheen abzichern oder begründe z verwerfen. e) ie Güe eine aiichen Te lä ich drch Vergrößerng de zgrnde gelegen Sichprobenfang erhöhen. (Frageyp Mehrfachwahl) 5. Geben Sie an, welche der folgenden Aagen hinichlich Handeieln zreffend ind! a) er Mechieber i anfällig für da Afreen de Abbefehler, da bei ih Ana- nd Melinie nich flchen. b) er Noni eine Mechieber dien daz, bei der Ableng der Skala da Afreen eine Parallaxenfehler z vereiden. c) Bei der Bügelechrabe ell in der Regel eine Rchkpplng eine bei allen Mengen gleiche Anakraf icher. d) Bei der Mehr wird die Alenkng de Mebolzen über ein Präziiongeriebe in eine Zeigerdrehng gewandel. e) Bei der ängeneng iel eine Maßabe handel e ich eine direke Meehode i weieren Sinne. (Frageyp Mehrfachwahl)

12 6. Geben Sie an, welche der folgenden Aagen über die nachfolgend abgebildee Schalng zreffend ind! a) Bei der Schalng handel e ich eine Srofehler- chalng zr indireken Widerandeng. b) ie indireke Widerandeng baier af der Anwendng de Ohchen Geeze. c) ie Schalng i für die Meng großer Widerände beer geeigne al für die Meng kleiner Widerände. d) ie yeaiche Meabweichng der Schalng würde z Nll werden, wenn da verwendee Spannngegerä einen nendlich hohen Innenwiderand afweien würde. e) Bei bekannen Innenwideränden von Sro- nd Spannng- egerä kann der korreke Widerandwer von R iel einer Korrekrforel eriel werden. (Frageyp Mehrfachwahl) 7. Ein analoge Spannngignal i Bereich von 0 V bi 0 V oll o digialiier werden, da der axiale aniierngfehler μv beräg. Geben Sie an, i wie viel Bi der A/-Uezer indeen arbeien! a) Bi b) 0 Bi c) Bi d) 5 Bi (Frageyp Einfachwahl)

13 Krzfragen (für 5 P Klar): 8. Geben Sie an, ob die Aage ie Menicherhei kann beliebig klein geach werden, wenn an areichend viele Wiederholngen der Meng drchführ zreffend i! Begründen Sie Ihre Aage! Nein, denn der yeaiche Abweichnganeil kann drch wiederhole Meng nich redzier werden. 9. Erläern Sie, wa darner z verehen i, da e ich bei de Abaheore nach Shannon eine hinreichende, aber nich nowendige Bedingng handel! Hinreichende Bedingng: Wenn da Abaheore eingehalen wird, wird berei alleine dadrch eine verlfreie Rekonrkion de Urprngignal eröglich. Nich nowendige Bedingng: Ach wenn da Abaheore nich eingehalen wird, i prinzipiell noch eine verlfreie Rekonrkion de Urprngignal öglich, beipielweie ner Einbeziehng von Zazinforaionen. 0. Ein Recheckignal i einer Periodendaer von 5 werde i einer Abarae von khz digialiier. Geben Sie an, ob in diee Fall da Abaheore nach Shannon erfüll i! Begründen Sie Ihre Anwor! Ein Recheckignal i nich bandbegrenz, da Abaheore kann daher nich eingehalen werden, da die Abarae nendlich hoch ein üe.. Geben Sie an, wie groß die Fläche ner der Vereilngdichefnkion einer n k Binoialvereilng P(X k) p k q n i de Paraeer p 0, i! k (enprechend 00% wie bei allen anderen Vereilngen ach). Geben Sie an, welcher Pnk bei der linearen Regreion e af der berechneen Geraden lieg! x, y der zgrnde liegenden Pnke. er Schwerpnk ( ). Skizzieren Sie den Afba eine Theroeleen nd erläern Sie deen Wirkngweie! Bei Theroeleenen werden zwei nerchiedliche Mealldrähe A nd B verbnden nd die Verbindngelle i de Meobjek in Konak gebrach (Teperar T). ie offenen Enden werden an die Meleingen (ei Kpfer) angechloen nd liegen af der Referenzeperar T0. Eine Teperardifferenz zwichen T0 nd T bewirk drch den Seebeck-Effek eine elekriche Spannng. C A U T 0 T C B

14 . Geben Sie an, welche beiden grndlegenden Typen von echanichen Taern an in der Koordinaeneechnik nercheide! Erläern Sie deren Unerchied hinichlich der über den Anavorgang gelieferen Inforaion! Man nercheide chalende nd eende Taer. Ein chalender Taer liefer nr die Inforaion, da da Meobjek angeae wrde, während ein eender Taer ach Inforaionen zr Anakraf nd Anarichng liefern kann. 5. Geben Sie an, wie viele Take ein A/-Uezer nach de Zählverfahren axial für die igialiierng einer Megröße i 6 Bi Aflöng benöig! Af einer zkünfigen Mariion oll den Aronaen eine Waage igegeben werden, vor Or die Mae von für den Tranpor zr Erde beien Geeinproben erieln z können. I Afrag der ESA ollen Sie analyieren, welche Grndprinzipien von Waagen für dieen Zweck einezbar ind. Ihre Großer chläg vor, hierfür eine Balkenwaage nd einen Saz kalibrierer Maeücke einzezen, wie ie die noch a ihrer Jgend vo Wochenark kenn. a) Geben Sie an, ob eine derarige Wägeanordnng af de Mar bei achgeäßer Verwendng eine präzie Maebeing erwaren lä! Begründen Sie Ihre Anwor! Eine Balkenwaage nd ein Saz kalibrierer Maeücke ind ach für die Meng af de Mar geeigne, da e ich ein Kopenaioneverfahren handel nd owohl da Wägeg al ach die Maeücke von der herrchenden Schwerkraf (die ich von der af der Erde nercheide) beroffen ind.