Lineare Temporale Logik

Transkript

1 nach Principles of Model Checking von Christel Baier und Joost-Pieter Katoen 19.Dezember 2013

2 Wiederholung (1) Ein Transitionssystem TS ist ein Tupel (S,Act,,I,AP,L) mit: S - Menge von Zuständen Act - Menge von Aktionen S Act S - Übergangsrelation I - Menge von Anfangszuständen AP - Menge von atomaren Aussagen L: S Pot(AP) - Beschriftungsfunktion Unendliches Pfadfragment π ist Zustandsfolge s 0 s 1 s 2..., sodass i > 0 : s i Post(s i 1 ) trace(π) = L(s 0 )L(s 1 )L(s 2 )...

3 Grundlegendes Spezikationsformalismus für LT Eigenschaften Lineares Zeitmodell, d.h. jeder Moment hat einen einzigen Nachfolgemoment Betrachtet wird nur die relative Ordnung von Ereignissen LTL kombiniert Aussagenlogik mit den temporalen Modalitäten X (Next) und U (Until): Xϕ gilt, wenn ϕ im nächsten Schritt gilt ϕ 1 Uϕ 2 gilt, wenn ein Schritt existiert in dem ϕ 2 gilt und bis zu diesem Zeitpunkt ϕ 1 gilt

4 Syntax AP: eine Menge von atomaren Aussagen LTL Formeln ϕ gegeben durch: wobei a AP. ϕ ::= true a ϕ ϕ 1 ϕ 2 Xϕ ϕ 1 Uϕ 2 U ist rechtsassoziativ, d.h. ϕ 1 Uϕ 2 Uϕ 3 steht für ϕ 1 U(ϕ 2 Uϕ 3 ) Operatorpräzendenz:,X binden stärker als U bindet stärker als

5 Semantik über Wörter ϕ - LTL Formel; Die von ϕ induzierte LT Eigenschaft ist: Words(ϕ) = {σ = A 0 A 1 A 2... Pot(AP) ω σ = ϕ} wobei = die kleinste Relation mit den folgenden Eigenschaften ist: σ = true σ = a a A 0 σ = ϕ σ = ϕ σ = ϕ 1 ϕ 2 σ = ϕ 1 and σ = ϕ 2 σ = Xϕ σ[1...] = ϕ σ = ϕ 1 Uϕ 2 j 0 : σ[j...] = ϕ 2 und i,0 i < j : σ[i...] = ϕ 1

6 Weitere Modalitäten Mittels U weitere Modalitäten: F (Finally) und G (Globally) Fϕ := true Uϕ gilt, wenn ϕ irgendwann in der Zukunft gilt Gϕ := F ϕ gilt, wenn ab dem momentanen Schritt immer ϕ gilt Durch Kombination dieser Modalitäten erhält man: GFϕ "unendlich oft ϕ FGϕ "fast immer ϕ

7 Semantik der abgeleiteten Modalitäten Für die abgeleiteten Operatoren gilt: σ = Fϕ j 0 : σ[j...] = ϕ σ = Gϕ j 0 : σ[j...] = ϕ σ = GFϕ i 0 j i : σ[j...] = ϕ σ = FGϕ i 0 j i : σ[j...] = ϕ

8 Beispiel 1 Es sei AP = {blau, grün, rot, weiß, schwarz, rund, quadtratisch, karo} Einige geltende Eigenschaften: rund rot X blau F grün rund U quadratisch F(rot U grün) Einige nicht geltende Eigenschaften: G(grün rund) rot U weiß rot U G blau quadratisch G(rund quadratisch)

9 Beispiel 2 1. Wird der Einschaltknopf des Druckers betätigt, so ist er irgendwann bereit und bleibt es danach auch. 2. Ist der Drucker bereit und erhält einen Auftrag, so beginnt er sofort danach zu drucken und druckt weiter, bis er keinen Auftrag oder kein Papier mehr hat.

10 Wiederholung (2) TS = (S,Act,,I,AP,L) - Transitionssystem ; s S. Paths(s) = {π = s 0 s 1 s 2... s 0 = s} Paths(TS) = s IPaths(s) trace(π) = {trace(π) π Π} Traces(s) = trace(paths(s)) Traces(TS) = s ITraces(s)

11 Semantik über Pfade und Zustände TS = (S,Act,,I,AP,L) - Transitionssystem ϕ - LTL Formel s S π - unendliches Pfadfragment von TS. Dann ist deniert: π = ϕ trace(π) = ϕ s = ϕ π Paths(s) : π = ϕ TS = ϕ Traces(TS) Words(ϕ) s I : s = ϕ

12 Äquivalenz Zwei LTL Formeln ϕ 1,ϕ 2 sind äquivalent, geschr. ϕ 1 ϕ 2, wenn Words(ϕ 1 ) = Words(ϕ 2 ). Einige Äquivalenzen: Dualitätsgesetz Distributivgesetz Idempotenzgesetz Xϕ Fϕ Gϕ X ϕ G ϕ F ϕ Absorptionsgesetz FGFϕ GFGϕ GFϕ FGϕ X(ϕUψ) (Xϕ)U(Xψ) F(ϕ ψ) Fϕ Fψ G(ϕ ψ) Gϕ Gψ Expansionsgesetz ϕuψ ψ (ϕ X(ϕUψ)) Fϕ ϕ XFϕ Gϕ ϕ XGϕ FFϕ GGϕ ϕu(ϕuψ) (ϕuψ)uψ Fϕ Gϕ ϕuψ ϕuψ

13 Until ist die kleinste Lösung des Expansionsgesetzes Theorem Für LTL Formeln ϕ und ψ ist Words(ϕ Uψ) die kleinste LT Eigenschaft P Pot(AP) ω, sodass: Words(ψ) {A 0 A 1 A 2... Words(ϕ) A 1 A 2... P} P ( ) Kleinste LT Eigenschaft die (*) erfüllt, bedeutet: (1) P = Words(ϕUψ) erfüllt (*) (2) Words(ϕUψ) P für alle P die (*) erfüllen

14 Weak-Until Für LTL Formeln ϕ und ψ ist der W Operator wie folgt definiert: ϕwψ def = (ϕuψ) Gϕ Dualität: (ϕuψ) (ϕ ψ)w( ϕ ψ) (ϕwψ) (ϕ ψ)u( ϕ ψ) Andere Zusammenhänge: Gϕ ϕwfalse ϕuψ (ϕwψ) G ψ Expansionsgesetz: ϕwψ ψ (ϕ X(ϕWψ))

15 Positive Normal Form (Weak-Until) Menge der LTL Formeln in Weak-Until PNF über die folgende Grammatik gegeben: ϕ ::= true false a a ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 ϕ 2 Xϕ ϕ 1 Uϕ 2 ϕ 1 Wϕ 2 wobei a AP ABER: Durch (ϕuψ) (ϕ ψ)w( ϕ ψ) exponentielles Wachstum der Formellänge möglich

16 Release Für LTL Formeln ϕ und ψ ist der R Operator wie folgt definiert: ϕrψ def = ( ϕu ψ) Dualität: (ϕuψ) ϕr ψ (ϕrψ) ϕu ψ Andere Zusammenhänge: Gϕ false R ϕ ϕwψ ( ϕ ψ)r(ϕ ψ) Expansionsgesetz: ϕrψ ψ (ϕ X(ϕRψ))

17 Positive Normal Form (Release) Menge der LTL Formeln in Release PNF über die folgende Grammatik gegeben: ϕ ::= true false a a ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 ϕ 2 Xϕ ϕ 1 Uϕ 2 ϕ 1 Rϕ 2 wobei a AP Transformationsregeln: true false (ϕ ψ) ϕ ψ (ϕuψ) ϕr ψ Fϕ G ϕ ϕ ϕ (ϕ ψ) ϕ ψ Xϕ X ϕ Gϕ F ϕ

18 Zusammenfassung Syntax Semantik Positive Normalform