Wintersemester Januar Prof. Dr. Schweigert Seminar über Algebra und Funktionentheorie: Funktionenkörper und geometrische Codes.

Transkript

1 Wintersemester Januar 202 Prof. Dr. Schweigert Seminar über Algebra und Funktionentheorie: Funktionenkörper und geometrische Codes Codes Fabian Thiele

2 Einleitung Im Jahre 837 ist es Samuel Morse, der den Morsetelegraphen erfindet und somit die Kommunikation über weite Strecken mittels elektrischer Signale ermöglicht. Mitte des 9. Jahrhunderts ist die Fernkommunikation mittels Sprache möglich. Die Vermittlung der Gesprächsteilnehmer erfolgt über eine Zwischenstelle und das manuelle Umstecken von Kabeln. Hierfür werden ausschließlich Männer eingesetzt. Hohe Widerstände in der Leitung und eine schlechte Verbindungsqualität bewirken den Wechsel zur Klingelfee. Durch die hohe Stimme sind Frauen als Vermittlungsstelle besser zu verstehen. Am 28. August 850 wird das erste Seekabel zwischen Dover und Cap Gris-Nez bei Calais verlegt. Es hält einen Tag, da ein Fischerboot es mit seinem Netz versehentlich zerstört. Noch im 9. Jahrhundert, genauer 866, wird die erste stabile Atlantikverbindung gelegt und in Betrieb genommen. Die sehr hohen Widerstände machen es erforderlich das ankommende Signal mit feinen Messgeräten abzulesen. Fehler in der Kommunikation sind demzufolge alltäglich. Die richtige Verbindung eines Telefonanbieters erhält eine unmittelbare Rückmeldung. Im Falle eines Fehlers beschwert sich der Kunde und die Fehlverbindung kann korrigiert werden. Ab 888 sind die ersten Selbstwähltelefone im Einsatz. Auch hier erhält der Telefonkunde entweder den richtigen oder falschen Gesprächspartner und somit die schnelle Erkenntnis ob die Verbindungsvermittlung erfolgreich war. Für das Versenden von geschriebenen Nachrichten gelten hier bereits andere Maßstäbe. Im besten Fall schleichen sich kleine Rechtschreibfehler in die Nachricht und können erkannt werden oder das Signal ist nicht lesbar und die Nachricht wird erneut angefordert. Im schlechtesten Fall wird durch falsche Zeichen der Inhalt der Nachricht geändert. Wenn in einem Kaufangebot eine zu einer 7 wird und der Empfänger diesen Fehler nicht bemerkt, hat der Kommunikationsweg die Nachricht in ihrem Inhalt massiv gestört. Solch einen Fehler aufzufinden ist oftmals nicht leicht. Richard W. Hamming veröffentlichte im internen Wissenschaftsjournal von Bell Labs im Jahre 950 seinen Artikel Error detecting and error correcting codes. Der Ansatz: Anstatt nur die Nachricht vom Sender zum Empfänger zu übertragen, wird sie in Blöcke aufgeteilt und mit Prüfzeichen versehen, um zu kontrollieren ob die Nachricht korrekt den Kanal passiert hat. Die Kodierungstheorie wurde geboren.. Beispiel Wir wiederholen jedes gesendete Zeichen sechs mal und einigen uns auf eine Blocklänge von sechs. Unsere Nachricht ist ein Buchstabe im Alphabet F 2, also erhalten wir: Nachricht Code Erhalten wir nun die Nachricht: so wissen wir, dass dies eher eine 0 als eine codieren soll. 2 Codes Wir betrachten den Vektorraum F n q über dem endlichen Körper F q mit q Elementen wobei q eine Primzahlpotenz ist. Definition. Für a = (a,..., a n ) und b = (b,..., b n ) F n q sei die Funktion d mit Werten in N, genannt Hamming-Distanz oder Hamming-Abstand auf F n q, definiert als d(a, b) := {i; a i b i }. Weiterhin sei das Hamming-Gewicht wt eines Elementes a F n q wt(a) := d(a, 0) = {i; a i 0}. Bemerkung 2. Die Hamming-Distanz ist eine Metrik auf F n q. Beweis. Wir weisen die drei Eigenschaften einer Metrik nach: (i) d(a, b) = 0 a = b definiert als d(a, b) = 0 {i; a i b i } = i {,..., n} : a i = b i a = b

3 (ii) (iii) d(a, b) = d(b, a), da d(a, c) d(a, b) + d(b, c), da {i; a i b i } = {i; b i a i } k {i; a i c i } a k c k a k b k b k c k k {i; a i b i } k {i; b i c i }. Somit ist jedes Element aus {i; a i c i } auch in {i; a i b i } oder {i; b i c i } enthalten und damit jeder Index, der auf der linken Seite der Ungleichung gezählt wurde, auf jeden Fall auch in der rechten Seite der Ungleichung enthalten. Definition 3. Ein Code C (über dem Alphabet F q ) ist ein linearer Unterraum von F n q. Die Elemente von C heißen Codewörter. Wir nennen n die Länge von C und dim C (als F q -Vektorraum aufgefasst) die Dimension von C. Ein [n, k] Code ist ein Code mit Länge n und Dimension k. Wir definieren die Mindestdistanz eines Codes C 0 als d(c) := min{d(a, b); a, b C und a b} = min{wt(c); 0 c C}. Ein [n, k] Code mit Mindestdistanz d bezeichnen wir als [n, k, d] Code. Allgemeiner lässt sich ein Code als beliebige, nicht-leere Teilmenge eines nicht-leeren endlichen Körpers auffassen. Wenn C, wie hier, ein linearer Unterraum eines nicht-leeren endlichen Körpers F n q ist, heißt C dann genauer linearer Code. Da die meisten Codes in der Praxis von dieser Form sind, werden wir nur lineare Codes betrachten, ohne sie jedoch mit der Eigenschaft,,linear zu bezeichnen. Definition 4. Für einen Code C mit Mindestdistanz d = d(c) setzen wir [ ] d t :=, 2 wobei [x] den ganzzahligen Anteil von x bezeichnet d.h. x = [x] + ɛ, x Z, 0 ɛ <. Wir nennen dann C t-error correcting (englisch für: t Fehler korrigierend). Satz 5. Falls u F n q und d(u, c) t für ein c C und t Z wie oben, dann ist c das einzige Codewort mit d(u, c) t. Beweis. Es gilt für d := d(c), dass d nach Definition von d(c). d =, 2 Falls d = oder d = 2, so ist t = 0 und da es sich bei der Hamming-Distanz um eine Metrik handelt, welche insbesondere positiv ist, folgt aus d(u, c) 0, dass u = c und c ist somit das einzige Codewort mit d(u, c) 0. d 3 Sei nun d 3, so ist t nach Definition von t. Angenommen, es existiert c c C mit der Eigenschaft d(u, c ) t, so gilt d(c, c) d(c, u) + d(u, c) 2 }{{} t d < d da d jedoch die Mindestdistanz von Elementen in C ist, ist dies ein Widerspruch zur Definition von d und unsere Annahme ist falsch. Was bedeutet es also nun für unseren Code t-error correcting zu sein? Nach obigem Satz können wir folgende Aussage treffen: Wenn wir eine Nachricht codieren und bei der Übertragung Fehler auftreten, also die ankommende Nachricht sich von der versendeten Nachricht unterscheidet, so können wir, falls der Unterschied in weniger oder gleich t Indizes liegt, eindeutig bestimmen, welches Codewort eigentlich hätte ankommen sollen. Wir können also t Fehler korrigieren. Um einen Code eindeutig zu beschreiben reicht es, eine Basis von C (aufgefasst als Vektorraum über F q ) anzugeben: 2

4 Definition 6. Sei C ein [n, k] Code über F q. Eine Generatormatrix oder Erzeugermatrix von C ist eine k n Matrix, deren Zeilen eine Basis von C bilden. (Zur Erinnerung: Wir schreiben ein Element von F n q als Zeilen- und nicht als Spaltenvektor.) Definition 7. Wir definieren das kanonische innere Produkt auf F n q mit Werten in F q durch a, b := a i b i für a = (a,..., a n ) und b = (b,..., b n ) F n q. Bemerkung 8. Das kanonische innere Produkt aus Definition 7 ist eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform auf F n q. Beweis. Es gilt, : F n q F n q F q. Wir weisen die Eigenschaften einer Bilinearform nach: (i) (ii) (iii) a + c, b = a, b + c, b, da (a i + c i )b i = i= a, b + c = a, b + a, c, da a i (b i + c i ) = i= i= a i b i + c i b i = i= a i b i + a i c i = i= λ a, b = a, λ b = λ a, b, da (λ a i )b i = i= i= a i b i + i= a i b i + i= c i b i i= a i c i i= a i (λ b i ) = λ a i b i Da beide Argumente von, aus demselben Vektorraum stammen und a, b = b, a aufgrund von a i b i = b i a i gilt, ist, auch symmetrisch., ist nicht-ausgeartet, da F n q endlich-dimensional und es gilt i= i= i= a, b = 0, b F n q a = 0 da n i= a ib i = 0, b = (b,..., b n ) F n q nur dann gilt, wenn a i = 0, i {,..., n} und somit a = 0. Definition 9. Für C F n q Code, definieren wir C := {u F n q ; u, c = 0 für alle c C} als den dualen Code zu C. Ein Code C heißt selbst-dual falls C = C gilt. Bemerkung 0. Der duale Code eines [n, k] Codes ist ein [n, n k] Code und (C ) = C. Insbesondere besitzt ein selbst-dualer Code mit Länge n die Dimension n 2. Beweis. Da C Elemente von F n q enthält und es sich bei, um eine Bilinearform handelt, ist damit C ein Untervektorraum von F n q. Wir wollen nun zeigen dim Fq C + dim Fq C = n. Wir nehmen uns eine Basis {b,..., b l } von C und die zugehörige Matrix H = (b i ) i=,...,l. Dann wissen wir, dass gilt dim Fq C = rank H. Wie in Satz 2 gezeigt werden wird gilt C = {u F n q ; H u t = 0}. 3

5 Es handelt sich bei H u t = 0 um ein homogenes lineares Gleichungssystem. Die Dimension des Lösungsraumes (also dim C) ist, wie aus der Linearen Algebra bekannt, n rank H und somit gilt dim Fq C = n rank H = n dim Fq C und wir haben unsere Dimensionsformel bewiesen. Eingesetzt erhalten wir dann dim Fq C = n k wie behauptet. Betrachten wir nun die Elemente u F n q für die gilt < u, b >= 0, b C so sind dies genau die Elemente aus C nach Konstruktion von C. Dass nun ein selbst-dualer Code mit Länge n die Dimension n 2 besitzt ist offensichtlich, da C = C gilt und aus der Forderung dim C + dim C = n folgt dim C = dim C = n 2. Definition. Eine Generatormatrix von C heißt eine Kontrollmatrix für C. Offensichtlich ist nach Bemerkung 0 die Kontrollmatrix H eines [n, k] Codes C eine (n k) n Matrix von vollem Rang. Satz 2. Sei H eine Kontrollmatrix von C. Dann gilt C = {u F n q ; H u t = 0}. Beweis. Sei H Kontrollmatrix für C und von der Form H = (H j ) j {,...,(n k)} wobei H j F n q die Zeilenvektoren von H bezeichnen. Es ergibt sich dann aus H u t für u = (u,..., u n ): H u H, u.. =. =! 0 H n k u n H n k, u Wir wissen nach Wahl von H, dass B := {H,..., H n k } eine Basis von C bildet. Es gilt also für ein u F n q : H u t = 0 b B : b, u = 0 c C : c, u = 0 u (C ) u C Wir können nun also die Aussagen treffen, dass eine Kontrollmatrix,,kontrolliert, ob ein Vektor u F n q ein Codewort aus C ist oder nicht. Um Codewörter möglichst gut zu unterscheiden ist es in der Kodierungstheorie ein wichtiges Ziel, Codes zu finden mit einer möglichst großen Mindestdistanz im Vergleich zu seiner Länge. Gleichzeitig wollen wir möglichst viele Wörter codieren können, benötigen also auch eine große Dimension im Vergleich zur Länge. Der beste Code wäre also in seiner Länge möglichst klein und hätte eine große Dimension und einen großen Mindestabstand. Es gibt jedoch eine Abhängigkeit des Mindestabstands zur Dimension. Einfach gesagt ergibt eine große Dimension im Vergleich zur Länge einen kleinen Mindestabstand. Der folgende Satz stammt von Richard Collom Singleton, von dem er auch seinen Namen erhielt: Satz 3. (Singleton-Schranke) Für einen [n, k, d] Code C gilt: () k + d n + Beweis. Wir betrachten den Untervektorraum E F n q mit E := {(a,..., a n ) F n q ; a i = 0 für alle i d}. Für jedes a E gilt offensichtlich wt(a) d, da maximal die ersten d Komponenten ungleich Null sind. Daher gilt für alle a E, dass d(c) > wt(a) und somit muss E C = 0 gelten. Weiterhin gilt dim Fq E = d und wir erhalten k + (d ) = dim Fq C + dim Fq E = dim Fq (C E) + dim Fq (C E) = dim Fq (C E) n }{{} =0 4

6 Codes, die die Ungleichung () mit Gleichheit erfüllen, sind optimal und heißen MDS-Codes. Ausgeschrieben: Maximum-Distanz-Codes (engl. für maximum distance seperable codes). Die Bedeutung von solchen Schranken liegt auf der Hand: Während wir einen hohen Mindestabstand erreichen wollen, müssen wir damit eine Vergrößerung jedes einzelnen Codewortes in Kauf nehmen. Die Möglichkeit viele Fehler zu korrigieren, korrelliert also mit der Notwendigkeit, mehr Daten zu versenden als dies für die eigentliche Nachricht notwendig wäre. Hier liegt auch der Nachteil im Einsatz von Codes. In nahezu allen gängigen Kommunikationsmitteln, in denen Störungen der Nachricht auftreten, werden aber mittlerweile Codes eingesetzt. In die Singleton-Schranke fließen jedoch keine Informationen über die Größe von F q ein. Es existieren andere Schranken, die dies berücksichtigen.[2](abschnitt 8.4) Im Allgemeinen ist es jedoch schwieriger anstatt oberer Schranken für die Mindestdistanz untere Schranken anzugeben. Eine Klasse von Codes in der dies möglich ist heißt BCH-Codes, die aufgrund dessen in den vergangenen 50 Jahren sehr gut untersucht worden sind. 3 Beispiel: Hamming-Code Abschließend lässt sich gut ein Beispiel für einen [7, 4]-Code über F 2 angeben. Dieser wurde 950 von Hamming entwickelt und ist in der Lage, aufgrund einer Mindestdistanz d = 3 einzelne Fehlerbits zu korrigieren. Wir geben, um ihn zu definieren, wie oben bereits beschrieben, für diesen Code seine Generatormatrix an: G = F Wollen wir nun eine als Nachricht den Vierer-Block v = ( 0 ) F 4 2 versenden, so codieren wir diese zuerst indem wir berechnen v G = ( 0 ) = ( ) =: x Der Empfänger dieser Nachricht kann nun mittels der Kontrollmatrix H herausfinden, ob die Nachricht korrekt übermittelt wurde, und bei einem Fehler von -Bit sogar diesen korrigieren: H = H x t = = und somit ist der Code korrekt übermittelt worden. 5

7 Literatur [] BCH code [online]. In: Wikipedia. Online im Internet: code Stand: 7. Oktober 20 2:2 Uhr [2] Bosch, Siegfried: Lineare Algebra. Berlin : Springer, 2008, 2. Auflage. S [3] Fischer, Gerd: Lineare Algebra : Eine Einführung für Studienanfänger. Wiesbaden : Vieweg+Teubner, 200, 7. Auflage. [4] Generator matrix [online]. In: Wikipedia. Online im Internet: matrix Stand: 06. Oktober 20 3:58 Uhr [5] Hamming, R.W.: Error Detecting and Error Correcting Codes [online]. In: The Bell System Technical Journal Bd.-Nr. 29 (950), Nr. 2. Online im Internet: gil/redesii/hamming.pdf Stand: 28. September 20 2:37 Uhr [6] Høholdt, Tom ; Pellikaan, Ruud: On the decoding of algebraic-geometric codes [online]. In: IEEE Trans. Inform. Theory (995). Online im Internet: Stand: 04. Oktober 20 2:25 Uhr [7] Huffman, William Carry ; Pless, Vera: Fundamentals of Error-Correcting Codes [online]. Cambridge : Cambridge University Press, 2003, S. -. Online im Internet: Stand: 28. September 20 2:45 Uhr [8] MacWilliams, F.J. ; Sloane, N.J.A: The Theory of Error-Correcting Codes [online]. Amsterdam : North-Holland Publishing Company, 98, 3. Auflage. S. -5. Online im Internet: F.J., Sloane N.J.A. The theory of error correcting codes (no TOC)(NHML06, NH, 98)(ISBN )(T)(O)(77s) CsIn.djvu Stand: 28. September 20 2:45 Uhr [9] MDS code [online]. In: Wikipedia. Online im Internet: Stand: 04. Oktober 20 :59 Uhr [0] Seekabel [online]. In: Wikipedia. Online im Internet: Stand: 05. Oktober 20 3:07 Uhr [] Singleton-Schranke [online]. In: Wikipedia. Online im Internet: Stand: 04. Oktober 20 2:00 Uhr [2] Stichtenoth, Henning: Algebraic Function Fields and Codes. Heidelberg : Springer, 2008, 2. Auflage. S [3] Telefon [online]. In: Wikipedia. Online im Internet: Stand: 05. Oktober 20 3:0 Uhr 6