Satz von PICK auf einem Quadratgitter

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1 atz von PICK auf einem Quadratgitter In Kap. von Mathematik ist schön ist eine einfache Möglichkeit beschrieben, wie man den Flächeninhalt von Vielecken berechnen werden kann, wenn die Koordinaten der Eckpunkte des Vielecks ganzzahlig sind, d. h., wenn sie Punkte eines Quadratgitters sind. er Entdecker dieses atzes war GEORG LEXNER PICK (geboren 859 in Wien, ermordet 94 im KZ Theresienstadt), von 888 bis 97 Professor für Mathematik an der Universität Prag. Flächeninhalt von Vielecken im Quadratgitter (atz von PICK) ind die Eckpunkte eines Vielecks Punkte eines Quadratgitters, dann lässt sich der Flächeninhalt des Vielecks berechnen aus der nzahl r derjenigen Randpunkte, die Gitterpunkte sind, und der nzahl i der innerhalb des Vielecks liegenden Gitterpunkte: = i + r abei wird in Vielfachen des Flächeninhalts eines Basis-Gitterqudrats gemessen. ieser atz gilt für alle Vielecke, die keine Löcher enthalten. Beispiele: r =, i = 5, = 5 + = 0 (links), r =, i = 4, = 4 + = 9 (Mitte), r = 8, i = 5, = = (rechts): tatt eines Quadratgitters kann man auch andere Gitter wählen: Eine Parkettierung der Ebene ist ebenfalls möglich durch gleichseitige reiecke oder durch regelmäßige echsecke. Wie im Folgenden gezeigt wird, findet man auch hier entsprechende Gesetzmäßigkeiten. Flächeninhalt von Vielecken im reieckgitter ind die Eckpunkte eines Vielecks Punkte eines reieckgitters, dann lässt sich der Flächeninhalt des Vielecks berechnen aus der nzahl r derjenigen Randpunkte, die Gitterpunkte sind, und der nzahl i der innerhalb des Vielecks liegenden Gitterpunkte: = i + r abei wird in Vielfachen des Flächeninhalts eines Gitterdreiecks gemessen. Um diese Regel zu entdecken, kann man die folgenden Beispiele anschauen: Für den nsatz = a i + b r c kann man an den ersten drei Beispielen ablesen, dass der Koeffizient b gleich sein muss (sofern eine solche Gesetzmäßigkeit besteht), und aus den Beispielen folgt auch, dass c =. ies wird durch die nächsten beiden Beispiele bestätigt. Heinz Klaus trick 09 eite / 6

2 r = (r = 4; r = 5) = a 0 + = ( =, = ) (r = 7) = a = 4 ( = 5) us den folgenden Beispielen kann man erschließen, dass der Koeffizient a gleich sein muss. i = = + 6 = 6 i = r = = + = i = r = 8 = + 8 = 0 i = r = 9 = + 9 = Heinz Klaus trick 09 eite / 6

3 i = 4 r = 0 = = 6 Während in den bisher betrachteten Beispielen alle Begrenzungslinien der Vielecke auf den Gitterlinien lagen, untersuchen wir im Folgenden auch Begrenzungslinien, bei denen Gitterpunkte miteinander verbunden werden, die nicht benachbart sind: r = (r = 4) = 0 + = ( = ) (halbes Parallelogramm mit = bzw. = 4) i = = + 6 = 6 (halbes Parallelogramm mit = ) i = r = 8 = + 8 = (halbes Parallelogramm mit = 4) Vielecke auf einem reieckgitter setzen sich aus Teilfiguren zusammen, bei denen die Eckpunkte entweder längs einer Gitterlinie miteinander verbunden werden oder diagonal wie in den letzten Beispielen. aher kann die o. a. Berechnungsformel als bestätigt angesehen werden. Beim nochmaligen Hinschauen fällt auf, dass die Formel für das Quadratgitter Q = i + r und die Formel für das reieckgitter = i + r sich nur um einen Faktor unterscheiden, nämlich um den Faktor : = i + r = ( i + r ) = Q. ies ist aber plausibel, denn wenn man statt eines Quadratgitters ein Rautengitter betrachtet, ändert sich nichts an der Flächeninhaltsformel, in der ja nur die Randpunkte und die inneren Punkte gezählt werden die gleiche Figur hat dann auf dem reieckraster einen doppelt so großen Flächeninhalt wie auf dem Quadrat- oder Rautenraster. Heinz Klaus trick 09 eite / 6

4 Geht man bei einem echseckraster analog vor wie oben, dann findet man bei einfachen Figuren: Flächeninhalt von Vielecken im echseckgitter (vorläufig) ind die Eckpunkte eines Vielecks Punkte eines echseckgitters, dann lässt sich der Flächeninhalt des Vielecks berechnen aus der nzahl r derjenigen Randpunkte, die Gitterpunkte sind, und der nzahl i der innerhalb des Vielecks liegenden Gitterpunkte: = r i + 4 abei wird in Vielfachen des Flächeninhalts eines Basis-Gittersechsecks gemessen. Für den nsatz = a i + b r c kann man an den ersten drei Beispielen ablesen, dass der Koeffizient b gleich ¼ sein muss (da mit jedem hinzugekommenen echseck jeweils die nzahl der Randpunkte um 4 steigt sofern eine solche Gesetzmäßigkeit besteht), und aus den nächsten Beispielen folgt auch, dass c = ½ ist. ies wird durch die nächsten beiden Beispiele bestätigt. us den danach folgenden Beispielen ergibt sich für den Koeffizienten a, dass a = ½ sein muss (sofern eine Gesetzmäßigkeit besteht. Beispiele: (r = 0; r = 4) = a 6 = ( = ; = ) i = (I = ) 0 4 r = (r = 4) = a = ( = 4) 4 Hieraus ergibt sich a = ½. i = = 6 = 4 5 i = r = 0 = 0 = 4 5 ie Berechnungsformel gilt auch für Vielecke, bei denen ein Punkt mit einem gegenüberliegenden Eckpunkt verbunden wird, außerdem auch zu bestimmten Punkten in benachbarten echsecken: r = 4 = = Heinz Klaus trick 09 eite 4 / 6

5 = 0 6 = 4 r = 8 = = = 0 6 = 4 ie Berechnungsformel gilt aber offensichtlich nicht für Vielecke, bei denen ein Punkt mit einem übernächsten Punkt desselben echsecks verbunden wird: ; r = ; = 0 + = 4 4 tatsächlich gilt hier: = 6 Eine Lösung des Problems könnte darin bestehen, dass das echseckraster durch gleichseitige reiecke ergänzt wird: Betrachtet man nun einfache Figuren auf dem so ergänzten echseckraster, dann müssen zusätzliche innere Punkte berücksichtigt werden (Bezeichnung: i ), die durch das ergänzte reiecksraster hinzukommen, sowie zusätzliche Randpunkte (Bezeichnung: r ):, i = (, i = ), r = 0 ( r = 0, r = 0 ) ( i + i ) + ( r + r ) = + 6 = 6, = = = 6 ( ( i + i ) + ( r + r ) = =, = = = 6 ) Heinz Klaus trick 09 eite 5 / 6

6 i =, i = r =, r = 0 = ( i + i ) + ( r + r ) = 8 + = 8 ; = = 6, r = 4, r = = ( i + i ) + ( r + r ) = =, =, i =, r = 0 ( i + i ) + ( r + r ) = + 6 = 6, = = i =, r = 8, r = = ( i + i ) + ( r + r ) = + 9 = 9, =, r =, r = 0 = ( i + i ) + ( r + r ) = 0 + =, = 6 ie zunächst vermutete Formel ist also nicht allgemein verwendbar. Vielmehr muss man das darunterliegende reieckraster berücksichtigen: Flächeninhalt von Vielecken im echseckgitter ind die Eckpunkte eines Vielecks Punkte eines echseckgitters, dann lässt sich der Flächeninhalt des Vielecks berechnen aus der nzahl r derjenigen Randpunkte, die Gitterpunkte sind, und der nzahl i der innerhalb des Vielecks liegenden Gitterpunkte des echseckgitters, sowie der nzahl r der Randpunkte und der nzahl i der inneren Punkte, die sich aus dem darunterliegenden reieckraster ergeben: ( i + i ) + ( r + r ) = 6 abei wird in Vielfachen des Flächeninhalts eines Basis-Gittersechsecks gemessen. Eine Frage zum chluss: Wer kann erklären, warum beim echseckgitter in manchen Fällen die Gleichung = i + r 4 richtig ist, obwohl die Koeffizienten doch so sehr von = ) ( i + i ) + 6 ( r + r abweichen? Heinz Klaus trick 09 eite 6 / 6