Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. Prozentrechnung und Mittelwerte Verschränkungen

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Anton Fiedler
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1 erschränkungen 1 erlauf lossar Prozentrechnung und Mittelwerte erschränkungen Dr. einrich chneider, Wien llustriert von hristoh rundmann, Darmstadt obias, ylvia und Ümit vergleichen die nzahlen der von ihnen am ortag über ihre marthones erhaltenen Mitteilungen. obias bekam 75, ylvia 60 und Ümit 45. ylvia stellt fest, dass ihr Wert genau in der Mitte der beiden anderen Werte liegt. Ümit behautet, dass seine nzahl 75 % von ylvias nzahl beträgt. Wer hat recht? Klasse: 7 9 (8) Dauer: nhalt: hr Plus: tunden erschränkungen bei Prozenten und Mittelwerten rundwert, Prozentanteil, Prozentsatz arithmetisches Mittel, geometrisches Mittel, harmonisches Mittel ermumformungen ü ein hochinteressanter mathematischer Zusammenhang ü geeignet für ertretungsstunden Zwischen Prozenten und Mittelwerten gibt es interessante erschränkungen. utzen ie diese, um z. B. in einer ertretungsstunde die tandardthemen Prozente, Mittelwerte und ermumformungen in motivierender Weise zu wiederholen. 83 bits Mathematik Juni 015

erschränkungen erlauf 1 lossar M 1 erschränkungen finden Motivation: obias, ylvia und Ümit vergleichen die nzahlen der von ihnen am ortag über ihre marthones erhaltenen Mitteilungen.

2 erschränkungen erlauf 1 lossar M 1 erschränkungen finden Motivation: obias, ylvia und Ümit vergleichen die nzahlen der von ihnen am ortag über ihre marthones erhaltenen Mitteilungen. obias bekam 75, ylvia 60 und Ümit 45. ylvia stellt fest, dass ihr Wert genau in der Mitte der beiden anderen Werte liegt. Ümit behautet, dass seine nzahl 75 % von ylvias nzahl beträgt. Wer hat recht? ntwort: beide, da und 45 0, ibt es noch weitere erschränkungen? Beisiele: 1. x + y x y; x, y. x y x y ; x 4, y Dies sind in beiden Fällen die einzigen ganzzahligen (ohne die ull). x+ y x y x 3y; x, y r, z. B. x 3, y 1 x+ y x+ y x y Bezeichnungen für die folgende ufgabe: obias, ylvia und Ümit mit ihren andies. rundwert ( %); % Prozentsatz; Prozentanteil (Prozentwert) 00 5 Beisiel: 5 % von 00 sind , 5; 10 Wir verwenden folgende drei Mittelwerte der zwei Zahlen a und b (a, b r): Bezeichnung Formel Beisiel: a 40; b 10 arithmetisches Mittel: geometrisches Mittel: m m a+ b a a m 5 a b m harmonisches Mittel: ab oder m a b m a b m ( + ) ufgabe Die drei Werte, und sollen ositive, ganze Zahlen sein. Jeweils eine davon soll der Mittelwert der beiden anderen sein. Da es zu jedem der drei Werte, und auch drei Mittelwerte gibt, sind insgesamt neun ufgabenstellungen möglich. Finde sie! 83 bits Mathematik Juni 015

3 erschränkungen erlauf lossar 1 und is zum Einsatz m Folgenden wird für jede dieser ufgabenstellungen versucht, zwei der rößen durch die dritte auszudrücken. Damit ist es durch geeignete Wahl dieser röße möglich, ositive ganzzahlige zu inden. 1. Der rundwert soll das arithmetische Mittel aus Prozentanteil und Prozentsatz sein: + nsatz: etzt man diesen Wert gleich dem Mittelwert, so folgt: wird nur dann eine ositive, ganze Zahl sein, wenn kleiner als 00 ist und (00 ) keinen Primfaktor enthält, der nicht auch in enthalten ist. Bemerkung: Die Bedingung ist nicht hinreichend, weil 7 nicht geeignet ist. Beisiel: % von 5 ist 10; m Ein uchrogramm ergibt folgende für möglichen Werte: 40, 75,, 10, 150, 160, 168, 175, 180, 184, 190, 19, 195, 196, 198, 199. Der rundwert soll das geometrische Mittel aus Prozentanteil und Prozentsatz sein: etzt man in den erm für aus dem Mittelwert ein, so ergibt sich: und nach Quadrieren: 3 83 bits Mathematik Juni , 0

4 erschränkungen erlauf lossar Fortsetzung von. Drückt man aus den rundwert aus und setzt für den obigen erm ein, so folgt: 3 Für die Wahl von bedeutet das, dass eine (ositive) underterzahl sein muss, damit 3 durch und durch teilbar ist. Bemerkung: Die Bedingung ist notwendig und hinreichend. Beisiel: % von 400 ist 800; m Der rundwert soll das harmonische Mittel aus Prozentanteil und Prozentsatz sein: + etzt man in den erm für aus dem Mittelwert ein, so ergibt sich: + 50 ( + ) 50 ( + ) Drückt man aus der letzten leichung aus, so folgt: st eine ositive Zehnerzahl größer als 50, dann (und nur dann) ergibt sich für eine ositive, ganze Zahl. Beisiel: % von 0 ist 1; m bits Mathematik Juni 015

5 erschränkungen erlauf lossar 3 4. Der Prozentanteil soll das arithmetische Mittel aus rundwert und Prozentsatz sein: + etzt man +, so ergibt sich: ( 50) ( 50) Beisiel: % von 300 ist 180; m Der obige Wert für ist relativ leicht zu erraten. Mit einem uchrogramm indet man, dass sich auch für 5,, 300 und 1300 ositive, ganze Zahlen für und ergeben. 5. Der Prozentanteil soll das geometrische Mittel aus rundwert und Prozentsatz sein: folgt: und daraus oder: us, d. h., jeder eiler von (und keine weitere Zahl!) liefert eine ositive, ganze Zahl für und den Prozentanteil. Beisiel: 00 50; % von 00 ist ; m 83 bits Mathematik Juni

( 00 ) Beisiel: 150 00 150 50 150 50 50 % von 150 ist 75; m 75 150 + 50 150 50 75 7.

6 erschränkungen erlauf lossar 4 6. Der Prozentanteil soll das harmonische Mittel aus rundwert und Prozentsatz sein: + us + bzw. 00. folgt: + 00 oder 00 Damit das Produkt durch teilbar ist, müssen und infolge davon auch ositive Zehnerzahlen sein. ( 00 ) Beisiel: % von 150 ist 75; m Der Prozentsatz soll das arithmetische Mittel aus rundwert und Prozentanteil sein: + us + folgt: und daraus: Diese Formel entsricht der in 1.) abgeleiteten. Daher sind jene dort für angegebenen Werte hier für brauchbar Beisiel: % von 40 ist m 5 83 bits Mathematik Juni 015

7 erschränkungen erlauf lossar 5 8. Der Prozentsatz soll das geometrische Mittel aus rundwert und Prozentanteil sein: us n eingesetzt, ergibt sich analog zu.) 3. folgt: 3 oder 3. Damit muss eine ositive underterzahl sein, um ositive, ganze Zahlen als zu erhalten. Beisiel: % von 00 ist 800. m Der Prozentsatz soll das harmonische Mittel aus rundwert und Prozentanteil sein: + us folgt: 50 ( + ) und daraus: + ( 50) 1 50 Diese Formel ist analog zu 3.). Das bedeutet, dass eine Zehnerzahl größer als 50 sein muss. Beisiel: % von 60 ist 1. m 83 bits Mathematik Juni

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