Signalanalyse. Signalanalyse leer

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1 Signalanalyse leer Inhalt 1 Differentiation Zweck des Verfahrens Steigung in einem Punkt Numerische Ableitungsfunktion Übung Integration Anwendungsbeispiele... Fehler! Textmarke nicht definiert. 2.2 Trapez-Verfahren... Fehler! Textmarke nicht definiert. 2.3 Basislinien-Korrektur... Fehler! Textmarke nicht definiert. 2.4 Übungen... Fehler! Textmarke nicht definiert. 3 Filtern Korrelation Faltung Fensterung (Windowing) Fourier-Transformation Wavelet-Transformation signalanalyse.docx W. Müller htttp:// Seite 1

2 1 Differentiation 1.1 Zweck des Verfahrens Signalanalyse Die Differentiation lässt sich geometrisch als Steigungsbestimmung beschreiben. Zu jeder Stelle auf der x-achse eines Linien-Diagramms soll die Steigung einer Kurve bestimmt werden. Die Differentiation wird auch Ableitung oder Derivation genannt. Viele physikalische Größen lassen sich durch Differentiation einer anderen physikalischen Größe ermitteln. Häufig ist die Zeit die zugehörige Variable. Dann spricht man von der Differentiation (oder Ableitung) nach der Zeit. Beispiele: Beschleunigung aus Geschwindigkeit(Zeit) Geschwindigkeit aus Weg(Zeit) Durchfluss aus Volumen(Zeit) Leistung aus Arbeit(Zeit) Temperaturkoeffizient aus Widerstand(Temperatur) Weitere Beispiele für die Anwendung der Differentiation aus dem Bereich der Chemie sind das Auffinden des Neutralisationspunktes bei einer potentiometrischen Titration oder die Zerlegung eines Gebirges aus überlagerten Peaks bei der Spektroskopie in Einzelpeaks (Derivationsspektroskopie). In der Computer-Messtechnik liegen die Daten in digitaler (numerischer) Form vor. Statt stetiger Funktionen ist die zu integrierende Funktion nur als begrenzte Anzahl von Abtastpunkten verfügbar. Daher wird die Differentiation hier nicht analytisch (mit Formeln für die Funktionen) behandelt, sondern numerisch, d.h. mit Zahlen oder Zahlenreihen und Regeln zur Berechnung dieser Zahlen. 1.2 Steigung in einem Punkt Das einfachste Verfahren, das Sehnenverfahren, berechnet die Steigung aus jeweils zwei Punkten, die dem gerade interessierenden Punkt benachbart sind, also der Vorgänger und der Nachfolger. Für die Randpunkte des Datensatzes müssen die Berechnungsformeln entsprechend abgeändert werden, da die erforderlichen Datenpunkte fehlen oder es wird an diesen Stellen keine Berechnung durchgeführt. Die Steigung an der Stelle x=4 beträgt damit m=-0,25. signalanalyse.docx W. Müller htttp:// Seite 2

3 Es gibt noch weitere Berechnungsmöglichkeiten für die Steigung in einem Punkt. Man kann weitere Nachbarpunkte in die Berechnung einbeziehen, eine Interpolations- oder Ausgleichfunktion dazu bestimmen und dann von dieser Funktion den Funktionswert an der Berechnungsstelle verwenden. Diese Rechenverfahren werden verwendet, wenn die Datenpunkte weit auseinander liegen und nur geringes Rauschen überlagert ist. Bei der Auswertung von Labordaten ist dies meist nicht erforderlich, wenn bei der Organisation der Messung bereits auf eine dichte Punktefolge und die Vermeidung von Rauschen geachtet wird. 1.3 Numerische Ableitungsfunktion Stellt man alle berechneten Steigungen über den zugehörigen x-werten grafisch dar, erhält man das Diagramm der Ableitungsfunktion. Beim Vergleich mit analytisch ermittelten Ableitungsfunktionen können sich wegen der Abtastung und dem gewählten Rechenverfahren Unterschiede ergeben. Dies gilt besonders in der Nähe von Unstetigkeitsstellen oder Stellen mit oszillatorischem (schwingendem) Verhalten. Abschnitte mit konstanter Steigung ergeben beim Differenzieren konstante Werte. Aus einem Dreiecksignal wird ein Rechtecksignal. Durch das Rechenverfahren, das über drei Punkte geht, werden allerdings die Übergänge verschmiert. Je dichter jedoch die Datenpunkte liegen (hohe Abtastrate), desto schärfer erscheinen auch die Übergänge. Das Rauschen (zufällige Schwankungen) im Signal wird bei der Differentiation noch verstärkt. Daher kann es sinnvoll sein, das Signal vor der Differentiation zu glätten. signalanalyse.docx W. Müller htttp:// Seite 3

4 1.4 Tabellenblätter diffbeispiele.xlsx Mehrere vorgegebene Kurvenverläufe können differenziert werden. Teilweise lassen sich Parameter oder Rauschanteile ändern. Bei einer potentiometrischen Titration zeigen sich die Äquivalenzpunkte durch Spitzen (Peaks) in der Ableitungsfunktion signalanalyse.docx W. Müller htttp:// Seite 4

5 1.5 Übung Signalanalyse Ermitteln Sie die Stellen mit der Steigung null und näherungsweise den höchsten und den niedrigsten Wert der Steigung. Zeichnen Sie den Verlauf der Steigungsfunktion ins jeweilige Diagramm. Welche Funktion ergibt nach der Differenzierung die im vierten Diagramm dargestellte Parabel? signalanalyse.docx W. Müller htttp:// Seite 5

6 y-werte 2 Integration 2.1 Zweck des Verfahrens Signalanalyse Die Integration lässt sich geometrisch als Flächenbestimmung beschreiben. Manchmal, wenn das Ergebnis ein numerischer Wert ist, wird die Integration daher auch Quadratur genannt. Wegen der Anschaulichkeit werden hier die Begriffe aus der Geometrie verwendet (z.b. Fläche statt Integral). Zwischen zwei Grenzen a und b auf der x-achse eines Linien-xy-Diagramms soll die Fläche zwischen der Kurve und der x-achse bestimmt werden. Viele physikalische Größen lassen sich durch Integration über den Verlauf einer anderen physikalischen Größe ermitteln. Beispiele: Geschwindigkeit aus Beschleunigung(Zeit) Weg aus Geschwindigkeit(Zeit) Volumen aus Durchfluss(Zeit) Arbeit aus Leistung(Zeit) Leistung aus Intensität(Wellenlänge) Wahrscheinlichkeit aus Dichte (beliebige Größe) In der Computer-Messtechnik liegen die Daten in digitaler Form vor. Statt stetiger Funktionen ist die zu integrierende Funktion nur als begrenzte Anzahl von Abtastpunkten verfügbar. Daher wird die Integration hier nicht analytisch (mit Formeln für die Funktionen) behandelt, sondern numerisch, d.h. mit Zahlen oder Zahlenreihen und Regeln zur Berechnung dieser Zahlen. 2.2 Trapez-Verfahren Da es bei den digitalisierten Daten keine Information über Zwischenwerte zwischen den Abtastpunkten gibt, muss man Annahmen über den Signalverlauf zwischen den Abtastpunkten machen (Interpolation). Da bei verschiedenen Signalen verschiedene Annahmen sinnvoll sein können, gibt es eine Vielzahl verschiedener Integrationsverfahren. Im allgemeinen werden aber die Unterschiede zwischen den Verfahren umso kleiner, je dichter die Abtastpunkte beieinander liegen. Ein einfacher Ansatz, der in den meisten Programmen zur Auswertung von Messdaten eingesetzt wird, interpoliert linear. Damit lässt sich die Fläche in einem Abtastintervall als Trapez beschreiben (Trapez-Verfahren). Bei der Integration ist normalerweise a kleiner als b. Flächen unterhalb der x-achse zählen dann negativ. Beim Vertauschen der Grenzen ändert sich das Vorzeichen des Ergebnisses. Die Rechenverfahren vereinfachen sich, wenn die Abtaststellen äquidistant (mit gleichem Abstand) sind. Dies ist im Folgenden ohne Beschränkung der Allgemeinheit vorausgesetzt. Trapezverfahren x-werte signalanalyse.docx W. Müller htttp:// Seite 6

7 2.3 Rechenverfahren für das bestimmte Integral Von einem bestimmten Integral spricht man, wenn man durch Einsetzen von zugehörigen Zahlenwerten auch einen Zahlenwert als Ergebnis erhält (beim Einsetzen von Variablen bzw. beim unbestimmten Integral erhält man eine Funktion). Beim bestimmten Integral sind neben den Abtast-Funktionswerten auch die unter Grenze a und die obere Grenze b festgelegt. Sie sollen bei den hier betrachteten Verfahren mit Abtaststellen (Stützstellen) zusammenfallen. Das Ergebnis der Integration ist ein einzelner Zahlenwert. Er stellt entweder den Integralwert über ein Abtastintervall dar oder ist durch Summation entstanden. Die Integrationskonstante (ein Anfangswert für die Fläche) ist hier immer Null. Die Verfahren können auch bei unterschiedlich großen Teilintervallen angewendet werden. Verwendet man jedoch Intervalle einheitlicher Breite x, lassen sich einfachere Formeln angeben. Die Integration lässt sich leicht in einer Tabellenkalkulation realisieren. Es lassen sich die Teilintegrale in einer Formel berechnen und aufsummieren. Man erhält so bereits die Stützwerte der (numerischen) Stammfunktion. Eine Funktionsgleichung der Stammfunktion lässt sich normalerweise nicht angeben. Bei der "Trapez-Regel" wird angenommen, dass zwischen den Abtastpunkten linear interpoliert werden kann (geradlinige Verbindung). Zwischen je zwei Abtastpunkten ist dann eine Trapezfläche zu berechnen. Alle diese Teilergebnisse müssen schrittweise zum Gesamtwert addiert werden. Formel für die i-te Trapez-Teilfläche bei Intervallbreite x= x i x i-1 ( ) ( ) für i=0; 1; 2;... (n-1); Integrationskonstante A 0 =0 Wenn alle einzelnen Trapezflächen berechnet sind, kann man sie zur Gesamtfläche, dem Integral aufsummieren. Für viele Anwendungen ist es aber interessant, zu sehen, wie sich der Integralwert verändert, wenn man Schritt für Schritt die einzelnen Trapezflächen addiert. Man erhält dabei wieder eine Funktion, die hier beim numerischen Rechnen Summenfunktion genannt wird (beim symbolischen Rechnen erhält man eine Stammfunktion). Anschaulich kann man dies dadurch beschreiben, dass man das Schaubild im zudeckt und langsam von der unteren Grenze bis zur oberen Grenze wieder aufdeckt. Man sieht immer mehr von der Fläche. Die Summenfunktion beschreibt diese sichtbare Flächenänderung. Zu beachten ist noch, dass Flächen unterhalb der x-achse bei positiver Integrationsrichtung negativ zählen (im Gegensatz zur Geometrie). Vertauscht man die Integrationsgrenzen wechseln die Vorzeichen der Flächen. Andere Berechnungsformeln Statt durch eine Lineare Interpolation die Punkte zu verbinden (wie beim Trapezverfahren) können auch andere Funktionen (bevorzugt Polynome) für eine bessere Anpassung verwendet werden. Simpson-Regel Integral über je zwei Intervalle (Teilfläche y): ( ) Simpsonsche 3/8-Regel Integral über je drei Intervalle (Teilfläche y): ( ) Bode-Regel Integral über je vier Intervalle (Teilfläche y): ( ) ) signalanalyse.docx W. Müller htttp:// Seite 7

8 Aus der Summenkurve lässt sich ablesen, dass die Fläche des ersten Peaks einen Wert von 5,01 erreicht. Nach dem zweiten Peak hat die Summenkurve einen Wert von 7,52. Der zweite Peak hat also eine Fläche von 2,51. Flächenvergleiche müssen häufig bei der Auswertung von Spektrogrammen und Chromatogrammen durchgeführt werden. 2.4 Beispiele Die Cosinusfunktion ergibt bei der Integration eine Sinusfunktion. signalanalyse.docx W. Müller htttp:// Seite 8

9 Die Sinus-Funktion ist von einem Rauschsignal überlagert. Die Integration wird bei periodischen (harmonischen) Signalen auch zum Glätten verwendet. Aus einem periodischen Rechtecksignal wird durch die Integration ein Dreieckssignal. 2.5 Tabellenblätter intbeispiele.xlsx Mehrere vorgegebene Kurvenverläufe können integriert werden. Teilweise lassen sich Parameter oder Rauschanteile ändern. internerstandard.xlsx Ein Chromatogramm besitzt in der Regel eine von Null verschiedene Basislinie, die vor der Integration eliminiert werden muss. Ein Verfahren bei der Chromatografie zur Bestimmung der Anteile von Komponenten ist die Verwendung eines internen Standards. signalanalyse.docx W. Müller htttp:// Seite 9

10 2.6 Grafische Aufgabe Signalanalyse Bestimmen Sie jeweils (Bild 1-3) den Verlauf der Integralfunktion. Bestimmen Sie aus der Integral-Kurve (Bild 4) das Verhältnis der Flächen von Peak 1 zu Peak 2. signalanalyse.docx W. Müller htttp:// Seite 10

11 3 Filtern Aufgaben eines Filters Bei der Filterung werden bestimmte Signaleigenschaften verstärkt oder abgeschwächt. Meist wird die Zusammensetzung eines Signals bezüglich seiner Frequenzanteile verändert. Jedes Signal kann man sich zusammengesetzt denken aus Sinus- und Cosinusschwingungen verschiedener Frequenzen. Daher ist der Wechsel zwischen Zeit- und Frequenzbereich (auch Zeit- und Frequenzdomäne) durch die Fourier-Transformation bei der Beschreibung von Filtern wichtig. Typische Filterfunktionen (Linearfilter) aus der Signaltechnik sind: Hochpass, Highpass (Unterdrückung tiefer Frequenzen, hohe Frequenzen "passieren" das Filter) Tiefpass, Lowpass (Unterdrückung hoher Frequenzen, tiefe Frequenzen "passieren" das Filter) Bandpass (Durchlass eines zweiseitig begrenzten Frequenzbereichs) Bandsperre, Bandstopp (Unterdrückung eines zweiseitig begrenzten Frequenzbereichs) Allpass (Beeinflussung der Phasen, keine Beeinflussung der Amplituden im Spektrum, Amplituden im Signal können sich ändern) Arbeitsweise eines Digitalfilters Digitale Signale lassen sich als Folge von Abtastwerten (in einem festen Takt) beschreiben. Dies sind die im Bild angezeigten Eingangswerte. Das Digitalfilter berechnet nach einer festgelegten Vorschrift aus mehreren Eingangswerten und aus bereits berechneten Ausgangswerten jeweils einen neuen Ausgangswert. Anschließend wird das Digitalfilter bildlich um eine Position nach unten verschoben um einen neuen Ausgangswert zu berechnen. Jeder Eingangswert wird mit dem zugehörigen Filter-Koeffizienten b i und jeder Ausgangswert wird mit dem zugehörigen Filter-Koeffizienten a i multipliziert. Die Summe aller dieser Produkte ergibt den neuen gefilterten Ausgangswert. Durch die Wahl geeigneter Filter-Koeffizienten lassen sich sehr unterschiedliche Filtereigenschaften erzeugen. Die charakteristischen Frequenzen (z.b. Grenzfrequenz) werden in Bruchteilen der Abtastfrequenz angegeben. Sind alle Koeffizienten a i =0, handelt es sich um ein FIR-Filter (Finite Impulse Response). Sind alle Koeffizienten b i =0, handelt es sich um ein IIR-Filter (Infinite Impulse Response). Anwendungen: Wendet man die Filterung auf akustische Signale an, kann man Höhen, Tiefen oder Mittenfrequenzen abschwächen oder anheben. In der Messtechnik kann damit das 100Hz-Brummen der Versorgungswechselspannung unterdrückt werden. Bei Stereo-Signalen lässt sich die Basis verbreitern, so dass man den Eindruck hat, die Lautsprecher stünden weiter auseinander. signalanalyse.docx W. Müller htttp:// Seite 11

12 4 Korrelation Bei der Korrelation entsteht aus den Abtastsignalen x (der Länge n) und y (der Länge m) ein neues Abtastsignal h=x*y der Länge n+m-1. Für jede Verschiebungsposition der beiden Signale gegeneinander werden jeweils die entsprechenden Werte miteinander multipliziert und die Produkte zu einem Wert aufsummiert. Als Faltungssignal erhält man die Folge der einzelnen Faltungswerte in Abhängigkeit von der Verschiebeposition. Anschaulich kann man sich vorstellen, dass der Block y schrittweise am Block x vorbei geschoben wird. An jeder Position wird ein neuer Ausgangswert berechnet. Werden zwei verschiedene Signale miteinander korreliert, spricht man von der Kreuzkorrelation, wird ein Signal mit sich selbst korreliert von der Autokorrelation. Sind die Muster spiegelbildlich zur Zeitachse, werden die Korrelationswerte negativ. In der Statistik werden ebenfalls Korrelationswerte bestimmt. Beim Pearsonschen Korrelationskoeffizienten ergibt sich nur ein einzelner Wert. Die Datenreihen werden so verschoben, dass ihre Mittelwerte übereinander liegen. Anwendungen: Mit der Kreuzkorrelation kann man feststellen, ob zwei Signale gleiche oder ähnliche Signalabschnitte habe und wo diese dann zu finden sind. So lassen sich beliebige Muster im Signalverlauf finden. Mit der Autokorrelation lässt sich feststellen, ob ein Signal ein Muster mehrfach enthält. Das Muster selbst muss dabei nicht bekannt sein. So lassen sich auch periodische Anteile im Signal feststellen. Als Beispiel kann die Arbeitslosenzahl im Verlauf mehrerer Jahre betrachtet werden. Bei einer Verschiebung um ein oder mehrere Jahre ergibt sich ein ähnlicher Verlauf. Die Daten zeigen eine positive Korrelation. Rechnet man diese wieder heraus, erhält man den saisonbereinigten Verlauf. signalanalyse.docx W. Müller htttp:// Seite 12

13 5 Faltung Die Faltung wird genau so wie die Korrelation ausgeführt, allerdings wird vorher eines der Signale in der Reihenfolge umgedreht. Bei der Faltung (Convolution) entsteht aus den Abtastsignalen x (der Länge n) und y (der Länge m) ein neues Abtastsignal h=x*y der Länge n+m-1. Für jede Verschiebungsposition der beiden Signale gegeneinander werden jeweils die entsprechenden Werte miteinander multipliziert und die Produkte zu einem Wert aufsummiert. Als Faltungssignal erhält man die Folge der einzelnen Faltungswerte in Abhängigkeit von der Verschiebeposition. Anschaulich kann man sich vorstellen, dass der Block y zuerst in der Reihenfolge umgedreht (gespiegelt) und dann schrittweise am Block x vorbei geschoben. Um den ersten Wert x*y(0) zu berechnen wird der gedrehte Block y so verschoben, dass sein jetzt letzter Wert unter dem ersten Wert von Block x steht. Dann werden alle übereinander stehenden Werte paarweise miteinander multipliziert und aufsummiert. Für fehlende Werte wird Null eingesetzt. Dann wird Block y um eine Position nach rechts verschoben und nach derselben Regel der Wert x*y(1) berechnet. Der letzte Wert ist x*y(n+m-2). Die Filterung mit einem Linearfilter ist eine verkürzte Form der Faltung. Anwendungen: Wenn von einem sog. Linearen System die Impulsantwort, also das Ausgangssignal bei einem Pulsförmigen Eingangssignal, bekannt ist, dann kann mit Hilfe der Faltung für jedes beliebige Eingangssignal berechnet werden, welches Ausgangssignal es erzeugt. signalanalyse.docx W. Müller htttp:// Seite 13

14 6 Fensterung (Windowing) Aufgaben einer Fensterung Signalanalyse Manche Rechenvorschriften (Algorithmus) gehen von unendlich langen Signalen aus. Reale Signale haben aber eine endliche Länge. Der Algorithmus geht dann davon aus, dass das vorhandene Signal in beide Richtungen unendlich oft wieder angesetzt wird. An den Ansatzstellen können sich dadurch aber Sprünge ergeben. Diese entsprechen hohen Frequenzen und stören das Ergebnis oft beträchtlich. Eine Fensterfunktion ist so lang wie das ursprüngliche Signal. Es hat in der Mitte den Wert 1 und flacht an den Rändern ab (meist bis zum Wert 0). Wird das Signalmit dem Fenster multipliziert, sind die Übergangsstellen mit den Sprüngen stark abgeschwächt (abgeschmirgelt). Die Sprünge stören nicht mehr. Die Störungen, die durch die Fensterung entstehen sind meist geringer als die Störungen durch die Sprünge. Für verschiedene Anwendungen sind unterschiedliche Fensterfunktionen entwickelt worden. Typische Fensterfunktionen sind: Hanning Hamming Blackmann-Harris Kaiser-Bessel Gaußsches Fenster Exponetialfenster signalanalyse.docx W. Müller htttp:// Seite 14

15 7 Fourier-Transformation Aufgaben einer Fourier-Transformation Mit der Fourier-Transformation lässt sich ein beliebiges Zeit-Signal eindeutig in Sinus- und Cosinus- Anteile verschiedener Frequenzen zerlegen. Stellt man die Anteile der verschiedenen Frequenzen dar, erhält man das Spektrum des Signals. Aus dem Spektrum lässt sich umgekehrt wieder vollständig das ursprüngliche Signal rekonstruieren. Bei endlich langen Signalen ist die Eindeutigkeit nur erfüllt, wenn bei der Fortsetzung keine Sprünge auftreten, weshalb hier die Fensterung oft angewendet werden muss. Berechnung Die Sinus- und Cosinus-Anteile entsprechen den Imaginär- und Realteilen von komplexen Zahlen. Diese lassen sich auch als Kombination von Betrag und Phase darstellen. Dabei treten positive und negative Frequenzen auf. In manchen Anwendungen spielt nur das Betrags-Spektrum für positive Frequenzen eine größere Rolle. Zur Berechnung müssen jedoch komplexe Zahlen angewendet werden. Es gibt ein Rechenverfahren (FFT-Algorithmus, Fast Fourier Transformation), das besonders schnell ist, aber nur auf Signale angewendet werden kann, bei denen die Daten-Anzahl eine Zweierpotenz ist (z.b =1024). Fehlende Daten können durch Nullen am Anfang und Ende des Datensatzes angefügt werden. Die positiven Frequenzen reichen bis zur Hälfte der Abtastfrequenz mit halb so viel Werten wie der Datensatz. Um ausreichend hohe Frequenzen im Spektrum zu erhalten, muss also mit hoher Taktfrequenz abgetastet werden. Um eine ausreichend gute Frequenzauflösung zu erhalten, muss der Datensatz viele Daten (lange Aufnahmedauer) enthalten. Anwendungen: Akustische Analyse (Raumakustik, Terz- oder Oktav-Analyse) Ordnungsanalyse von Maschinen (Schwingungsverhalten bei verschiedenen Drehfrequenzen) Strukturanalyse (Schwingungsverhalten von Bauteilen) Erdbebenanalyse, Bodenerkundung Verhalten elektronischer Bauteile und Schaltungen Infrarot-Spektroskopie Kernspinresonanztomografie signalanalyse.docx W. Müller htttp:// Seite 15

16 8 Wavelet-Transformation Signalanalyse Bei der Fourier-Transformation erhält man für die einzelnen Frequenzkomponenten jeweils nur den Mittelwert über die gesamte Signaldauer. Dies kommt daher, dass Sinus- und Cosinusfunktionen unendlich lang sind. Man kann nicht erkennen, ob sich das Spektrum im zeitlichen Verlauf ändert. Wavelets sind Basisfunktionen mit dem Mittelwert Null, deren Werte nur in einem Intervall von Null verschieden sind (endliche Länge). Durch Stauchung und Verschiebung des Mother-Wavelets lässt sich eine ortho-normale Basis von Wavelet-Funktionen erzeugen. Damit ist eine ein-eindeutige Zerlegung eines Abtastsignals möglich (das Original lässt sich durch eine Rücktransformation wieder synthetisieren). Die Grobstruktur des zeitlichen Signalverlaufs bleibt erhalten, wenn bei der Rücktransformation hochfrequente Anteile ignoriert werden. Anwendungen: Datenreduktion MP3-Codierung (Sound) MP4-Codierung (Video) PNG-Codierung (Bild) Sprachanalyse Erkennung von Strukturen in Bildern signalanalyse.docx W. Müller htttp:// Seite 16