Multipath-Fading Pascal Dröge Matrikel-Nr.:

Transkript

1 Multipath-Fading Ausarbeitung der Übungsaufgabe Pascal Dröge Matrikel-Nr.: Pascal Dröge, Matr.-Nr.: Seite 1 von 5 Ausarbeitung: Multipath-Fading

2 1. Ziel In dieser Aufgabe soll untersucht werden, wie sich Reflektionen und dadurch resultierende Laufzeitunterschiede mehrerer Mobilfunksignale auf die Pegel der Übertragungsfunktionen von insgesamt 50 Empfangspositionen auswirken. Die Bandbreite der zu untersuchenden Signale beträgt 200 MHz, die Auflösung der Berechnungen liegt bei 100 khz. 2. Durchführung Alle Berechnungen werden mit MatLab 2017b durchgeführt. Hierfür werden im ersten Schritt die benötigten Variablen erzeugt. Dazu zählen: Lichtgeschwindigkeit Lauflängen Laufzeiten Min. und Max. Frequenz Anzahl der Ausbreitungswege Anzahl der Empfangspositionen Zusätzlich werden noch einige Hilfsvariablen zur Verarbeitung benötigt, die im folgenden Code- Ausschnitt bereits ergänzt wurden: % Variablen M=50; % Anzahl der Funktionen N=500; % Anzahl der Ausbreitungspfade L1=20; % Maximale, zufällige Lauflänge in m L2=10; % Fester Aufschlag für Lauflänge in m c0=3e8; % Lichtgeschwindigkeit fmin=-100e6; % Minimalfrequenz -100 MHz fmax=100e6; % Maximalfrequenz 100 MHz B=fmax-fmin; % Bandbreite df=100e3; % 100 khz Raster für Bandbreite f=fmin:df:fmax; % Frequenzenachse (1D-Vektor) H_BB_Ary=zeros(M,length(f));% Matrix für Schleife der Funktionen Nun wird zunächst ein Vektor für alle Amplituden angelegt, jedes Element ist jedoch mit dem Kehrwert der Anzahl der Ausbreitungspfade initialisiert, sodass im Späteren die Amplituden normiert dargestellt werden können. Danach werden dann zufällige, gleichverteilte Lauflängen von 0 bis 20 m erzeugt, die mit einer zusätzlichen Länge von 10 m beaufschlagt werden, sodass Lauflängen von 10 bis 30 m entstehen. Da die Lichtgeschwindigkeit bekannt ist, können die Laufzeiten der Ausbreitungspfade und aus diesen dann die Phasen ermittelt werden. Da insgesamt 50 Empfangspositionen analysiert werden sollen, muss eine Schleife genutzt werden. Für jede Position werden nun zunächst N zufällige, gleichverteilte Trägerphasen erzeugt. Danach wird aus den Trägerphasen und den laufzeitabhängigen Phasen eine jeweilige Gesamtphase ermittelt. Die Pascal Dröge, Matr.-Nr.: Seite 2 von 5 Ausarbeitung: Multipath-Fading

3 Summe der komplexen Signale wird dann an entsprechender Stelle in einer MxN Matrix gespeichert. Dieses Vorgehen wird im Folgenden beschrieben: % Berechnungen a_n=ones(n,1)/sqrt(n); % normierte Amplituden l_n=rand(n,1)*l1+l2; % Lauflängen (10m + Zufall von 0m bis 20m) tau_n=l_n/c0; % Laufzeiten (Sekunden) tau_p=2*pi*tau_n*f; % Phasen % Schleife für "M" Wiederholungen for m=1:m % Definierte Anzahl theta_n=rand(n,1)*2*pi; % Trägerphasen (zufällig, gleichverteilt) phase=repmat(theta_n,1,length(f))-tau_p; % Gesamtphase ermitteln H_BB=sum(repmat(a_n,1,length(f)).*exp(1j*phase),1); % Summe bilden H_BB_Ary(m,:)=H_BB; % Aktuelle Funktion in Matrix speichern end Zur besseren Darstellung der Ergebnisse werden die Betragsquadrate der Amplituden gebildet, zudem in Dezibel umgerechnet und auf der Y-Achse abgebildet. Die Frequenzachse f wird auf der X-Achse aufgetragen. Das Diagramm der Pegel der Übertragungsfunktionen (Abbildung 1) wird mit folgendem Code erzeugt: % Ausgabe in Plot figure('name','multipathfading','position',[ ]); set(axes,'fontsize',14); subplot(2,1,1); plot(f/1e6,10*log10(abs(h_bb_ary(1:min(m,m),:)).^2)) grid on; title('frequency Response'); xlabel('f in MHz'); ylabel(' H_{BB}(f) ^2 in db'); Abbildung 1: Pegel der Übertragungsfunktionen Pascal Dröge, Matr.-Nr.: Seite 3 von 5 Ausarbeitung: Multipath-Fading

4 Es sind in Abbildung 1 die empfangenen Leistungen der einzelnen Empfangspositionen jeweils als Graph unterschiedlicher Farbe dargestellt. Es ist gut die Frequenzselektivität der verschiedenen Kanäle zu erkennen. Die Pegel sinken in Extremfällen auf knapp -50 db ab, bewegen sich jedoch in den meisten Fällen bei -10 bis +10 db. Zur Ermittlung der Leistungsperzentile (Unterschreitungswahrscheinlichkeit) wird die kumulierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (CDF) ermittelt. Dies kann mit einem Trick in MatLab erreicht werden. Hierzu werden zunächst wieder die Betragsquadrate gebildet, die im Anschluss aufsteigend sortiert und zusätzlich in Dezibel umgerechnet werden. Zur Bestimmung der normierten Wahrscheinlichkeitsachse wird nun ein Vektor mit der Anzahl der Betragsquadrate erzeugt, in dem zusätzlich jedes Element durch die Anzahl geteilt wird. Folgender Code-Ausschnitt zeigt, wie dies erreicht werden kann: % Leistungsperzentile x=abs(h_bb_ary(:)).^2; % Betragsquadrate bilden N=length(x); % Anzahl der Einträge zum normieren x_sort=sort(x); % Einträge sortieren x_sort_db=10*log10(x_sort); % Betragsquadrate in db P=(1:N)/N; % Wahrscheinlichkeitsachse Die Darstellung der Ergebnisse ist in Abbildung 2 zu sehen. Die Y-Achse wird logarithmisch skaliert, sodass durch die resultierende Gerade mit annähernd konstanter Steigung bis 0 db die exponentielle Verteilung der Wahrscheinlichkeiten deutlich zu erkennen ist. Die Ausgabe kann mit folgendem Code erzeugt werden: % Ausgabe in neuen Plot % -> Y-Achse logarithmisch skaliert mit semilogy subplot(2,1,2) semilogy(x_sort_db,p, 'r.','linewidth',2); % Ermittelte Werte hold on; grid on; title('probability of H_{BB}(f) ^2 less than x db'); xlabel('x in db'); ylabel('pr( H_{BB}(f) ^2 <= x)'); axis([ e-4 1 ]); Zusätzlich wird zum Vergleich die erwartete Rayleigh-Verteilung ermittelt und in dem Diagramm eingezeichnet: % Erwartete Werte (Rayleigh-Verteilung) x_theo=logspace(-4,1); % Logarithmisch verteilte Betragsquadrate x_theo_db=10*log10(x_theo); % Betragsquadrate in db P_theo=1-exp(-x_theo); % Wahrscheinlichkeitsachse semilogy(x_theo_db,p_theo, 'black','linewidth',1); % Erwartete Werte In dem erzeugten Diagramm (Abbildung 2) kann man gut ablesen, dass gerade bei sehr niedrigen Pegeln von -40 db die Wahrscheinlichkeit sehr gering ist, diese zu empfangen. Dies wird auch durch die Anzahl der Datenpunkte bestätigt, die so gering ist, dass keine zusammenhängende Linie mehr zu erkennen ist. Je höher also die Pegel sind, desto höher sind auch die Wahrscheinlichkeiten diese Pegel Pascal Dröge, Matr.-Nr.: Seite 4 von 5 Ausarbeitung: Multipath-Fading

5 zu empfangen. Da gut zu erkennen ist, dass die ermittelten Werte annähernd über dem Graphen der Rayleigh-Verteilung liegen, wird das Multipath-Fading auch Rayleigh-Fading genannt. Abbildung 2: Leistungsperzentile (Kumulierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, CDF) Pascal Dröge, Matr.-Nr.: Seite 5 von 5 Ausarbeitung: Multipath-Fading