1 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

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1 1 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Es wird zunächst der Begriff der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion vorgestellt, die zur statistischen Beschreibung von zufälligen Prozessen oder zufälligen Signalen herangezogen werden kann. Beispielsweise tritt in elektronischen Schaltungen oder aber auch bei einer nachrichtentechnischen Übertragung als unerwünschter Nebeneffekt Rauschen auf. Bei Rauschen handelt es sich um ein Zufallssignal, bei dem man, ausgehend von einem aktuellen Signalwert, meist keine Prognose über den weiteren Signalverlauf anstellen kann. Die diesem Rauschprozess zugeordnete Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion kann man zu Hilfe nehmen, um die Wahrscheinlichkeit p() für das Auftreten eines bestimmten Amplitudenwerts in dem Signalverlauf anzugeben. Der Ausschnitt eines solchen Rauschsignals sowie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion sind im nachstehenden Bild dargestellt. Zeitlicher Signalverlauf und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion eines normalverteilten Zufallssignals H.G. Hirsch 1 CBM Praktikum-WS 005/06

2 Integriert man die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion über alle mögliche Amplitudenwerte, so muss sich dabei der Wert 1 ergeben, da man damit, anschaulich gesprochen, die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Amplitudenwerte zusammenfassend betrachtet: p ( ) d = 1 Für das zuvor genannte Beispiel erhält man eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Bei Prozessen, bei denen nur eine endliche Anzahl diskreter Zustände auftreten, erhält man eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die die Wahrscheinlichkeitswerte für jeden der diskreten Zustände beinhaltet. Ein Beispiel dafür ist das Würfeln, bei dem nur 6 Zustände auftreten. Ein Beispiel aus der Nachrichtenübertragungstechnik ist die Betrachtung der Übertragung eines binären Datenstroms über einen gestörten Kanal. Dabei interessiert den Nachrichtentechniker die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb eines Blocks von n übertragenen Bits durch die Störungen auf dem Kanal k Bits gestört werden und dabei ihren Wert von 0 nach 1 oder umgekehrt ändern. Die Kenntnis dieses Wahrscheinlichkeitswerts kann benutzt werden, um sich geeignete Sicherungsmaßnahmen zu überlegen, die eine Erkennung oder sogar eine Korrektur von Übertragungsfehlern ermöglichen. Die Wahrscheinlichkeit für eine Störung von k Bits innerhalb eines Blocks von n Bits lässt sich aus der sogenannten Binomialverteilung bestimmen: n k p k q ( n k ), wobei p die Wahrscheinlichkeit für die Störung eines einzelnen Bits beschreibt und q = 1 p die Wahrscheinlichkeit einer störungsfreien Übertragung eines einzelnen Bits beinhaltet. Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit p nimmt auf einem ISDN Kanal beispielsweise den sehr kleinen Wert von 10-7 an. Auf anderen Kanälen, z.b. im Mobilfunk, kann die Bitfehlerwahrscheinlichkeit sehr viel größere Werte annehmen. H.G. Hirsch CBM Praktikum-WS 005/06

3 Darstellung und Rechnung mit diskreter Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Die Wahrscheinlichkeitswerte einer Binomialverteilung sollen im folgenden mit Hilfe der bereits in Matlab vorhandenen Funktion binopdf bestimmt und graphisch dargestellt werden. Die Möglichkeiten des Aufrufs der Funktion können Sie mit help binopdf in Erfahrung bringen. Bestimmen Sie mit Hilfe der Funktion binopdf die Werte der Wahrscheinlichkeit für keinen, einen, zwei, bis hin zu 100 Bitfehlern in einem Block von 100 Bits. Nehmen Sie einen Wert von 0,1 (= 10%) für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit an. Zur graphischen Darstellung der Wahrscheinlichkeitswerte können Sie beispielsweise die Funktion stem verwenden (siehe help stem). Stellen Sie damit die Wahrscheinlichkeitswerte über der Anzahl von 0 bis 30 Bitfehlern graphisch dar. Im weiteren ist es sinnvoll, die Aufrufe der Matlab Funktionen nicht auf der Kommandozeile durchzuführen, sondern diese in einem Matlab Skript zusammenzustellen. Öffnen Sie dazu ein Editor Fenster, in dem Sie in der oberen Menüleiste File New M-file auswählen. In einem Matlab Skript können Sie die Aufrufe mehrerer Matlab Funktionen zeilenweise zusammenstellen und diese in einer Tetdatei unter einem von Ihnen gewählten Namen abspeichern, der die Dateierweiterung.m besitzen muss. Im Matlab Kommandofenster können Sie Ihr Skript dann unter dem von Ihnen gewählten Namen (ohne.m!) aufrufen. Die prinzipielle Vorgehensweise zur Erstellung eines Skripts mit Hilfe des Editors wird im nachstehenden Bild veranschaulicht. H.G. Hirsch 3 CBM Praktikum-WS 005/06

4 Im folgenden sollen Sie die Wahrscheinlichkeiten für 0 bis hin zu 30 Bitfehlern innerhalb eines Blocks von 100 Bits für Bitfehlerwahrscheinlichkeit von 0,05, 0,1 und 0,15 bestimmen und graphisch darstellen. Erweitern Sie dazu Ihr Matlab Skript und verwenden Sie die Funktion subplot, mit der sich ein Graphikfenster zur Darstellung mehrerer Graphiken unterteilen lässt. Überprüfen Sie, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten (für 0 bis 100 Bitfehler!) in den 3 Fällen gleich eins wird. Realisieren Sie die Summenbildung durch eine for Schleife. Zur Tetausgabe des Ergebnisses im Kommandofenster können Sie den Befehl fprintf verwenden. Bestimmen Sie für den Fall einer Bitfehlerwahrscheinlichkeit von 0,1 die a) Wahrscheinlichkeit des Auftretens von 0 bis einschließlich 10 Bitfehlern b) Wahrscheinlichkeit des Auftretens von 5 bis einschließlich 10 Bitfehlern in einem Block von 100 Bits. 3 Darstellung und Rechnung mit kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Als Beispiel einer kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wird die sogenannte Normaloder Gaußverteilung betrachtet. Bestimmen Sie in einem weiteren, neu zu erstellenden Matlab Skript mit Hilfe der Funktion normpdf die Werte der Normalverteilung mit einem Mittelwert von und einer Standardabweichung von,5 im Wertebereich von 5 bis +10 im Abstand von 0,01. Stellen Sie die Werte der Normalverteilung mit Hilfe der Funktion plot dar. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein normalverteiltes Zufallssignal einen Amplitudenwert kleiner gleich 1 annimmt bei Annahme des Mittelwerts von und der Standardabweichung von,5. Dazu muss eine Integration von - bis 1 über der Normalverteilung durchgeführt werden. Sie können dieses Integral durch eine numerische Integration mit Hilfe der Funktion quad bestimmen (Hinweis: Dazu müssen Sie die Funktion der Normalverteilung in einer separaten Matlab Funktion beschreiben, wie es in dem unter help quad angeführten Beispiel gezeigt wird!). Setzen Sie den Wert 0 (als Ersatz für -) als untere Integrationsgrenze ein. H.G. Hirsch 4 CBM Praktikum-WS 005/06

5 Überprüfen Sie den mit Hilfe der Funktion quad bestimmten Wert durch eine alternative Bestimmung dieses Werts als Wert der Verteilungsfunktion (cumulative distribution function) mit Hilfe der Matlab Funktion normcdf. 4 Mittelwert, Leistung und Varianz eines Signals Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion kann zur Bestimmung des Mittelwerts und der Leistung eines Rauschsignals verwendet werden. Den Mittelwert bezeichnet man in der Elektrotechnik häufig als den Gleichanteil des Signals. Der Mittelwert eines Rauschsignals lässt sich aus dem zeitlichen Signalverlauf (t) berechnen zu µ 1 = lim T ( t) dt T 0 T Zur eakten Berechnung benötigt man einen möglichst langen zeitlichen Abschnitt des Signals. Besitzt man Kenntnis über die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Signals, so lässt sich der Mittelwert einfacher als der sogenannte Erwartungswert der Signalamplitude berechnen zu µ { } = = E p( d ) Man integriert dabei über den gesamten Amplitudenbereich, in dem dieses Signal Amplituden aufweist. Dabei wird durch die Betrachtung des Produktterms p( ) die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines speziellen Amplitudenwerts jeweils mit berücksichtigt. Erweitern Sie das Matlab Skript, mit dem die Darstellung der Normalverteilung und die Rechnung mit dieser Verteilung durchgeführt wurde, um die Berechnung des Mittelwerts als Erwartungswert der Signalamplitude. Die Integration können Sie wiederum mit Hilfe der Funktion quad durchführen. Setzen Sie dabei als Integrationsgrenzen die Werte 0 und +0 (als Ersatz für - und +) ein. Das Ergebnis der Berechnung können Sie entweder im Kommandofenster (z.b. mit fprintf) ausgeben oder aber mit Hilfe der Funktion tet in der Graphik darstellen. Analog zur Bestimmung des Gleichanteils eines Signals lässt sich auch die Leistung eines Signals aus dem zeitlichen Signalverlauf bestimmen zu P 1 = lim T T T 0 ( t) dt H.G. Hirsch 5 CBM Praktikum-WS 005/06

6 Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion berechnet sich die Leistung als Erwartungswert der quadrierten Signalamplitude zu P E{ } = = p( ) d Erweitern Sie das Matlab Skript um die Berechnung der Leistung. Eine weitere, häufig benutzte Beschreibungsgröße stellt die Varianz des Signalverlaufs dar, die sich berechnen lässt zu σ E ( µ ) { } = p( ) ( µ ) = d Elektrotechnisch kann man die Varianz als die Leistung des Wechselanteils ansehen. Die Wurzel σ bezeichnet man als die Streuung. Erweitern Sie das Matlab Skript um eine Bestimmung der Varianz und der Streuung. Um die Bestimmung der zuvor eingeführten Größen nochmals zu testen, können Sie bei der Normalverteilung die Werte für den Mittelwert und die Varianz ändern. Überlegen Sie sich dabei im vorhinein, welche Werte sich für die Leistungen ergeben sollten. 5 Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsdichte, des Mittelwerts und der Varianz für eine Würfelsumme Es wird das Würfeln mit 3 Würfeln betrachtet. Dabei sollen die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten einer bestimmten Augenzahlsumme (z.b. 1.Würfel zeigt,.würfel zeigt 6, 3.Würfel zeigt 3 Augenzahlsumme = +6+3=11) bestimmt werden. Wie groß ist die minimale Augenzahlsumme: Wie groß ist die maimale Augenzahlsumme: Schreiben Sie zunächst ein Matlab Skript, mit dem alle Kombinationsmöglichkeiten durchgespielt werden, die beim Würfeln mit 3 Würfeln auftreten. Für einen Würfel ließe sich das durch eine for Schleife realisieren, die für Werte von 1 bis 6 durchlaufen wird. Durch Verschachtelung weiterer for Schleifen lassen sich alle Kombinationsmöglichkeiten für, 3 und auch noch mehr Würfel durchspielen. Realisieren Sie dies in einem Matlab Skript für den Fall mit 3 Würfeln. Lassen Sie sich H.G. Hirsch 6 CBM Praktikum-WS 005/06

7 die Augenzahl jedes Würfels und die sich ergebende Summe für jede mögliche Kombination der Würfel anzeigen. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es insgesamt bei 3 Würfeln: Definieren Sie sich nun in dem Matlab Skript vor dem Durchlaufen der for Schleifen mit der Funktion zero ein entsprechendes Feld von Werten, das sie zum Zählen der Häufigkeit jeder möglichen Augenzahlsumme benutzen können. Benutzen Sie dieses Zähl feld, um beim Durchspielen aller Kombinationsmöglichkeiten die Häufigkeit jeder Augenzahlsumme zu bestimmen. Stellen Sie die Häufigkeiten über der zugehörigen Augenzahlsumme mit Hilfe der Funktion bar graphisch dar. Bestimmen Sie aus den Häufigkeiten die Werte der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Ermitteln Sie Mittelwert und Varianz mit Hilfe der entsprechenden Erwartungswerte. H.G. Hirsch 7 CBM Praktikum-WS 005/06