PHY102 Praktikum für das Nebenfach Physik

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1 PHY102 Praktikum für das Nebenfach Physik Frühjahrsemester 2016 Physik-Institut der Universität Zürich

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3 Inhaltsverzeichnis I Einführung 1 II Versuchsanleitungen 7 1. γ-absorption (Ab) 9 2. Experimente mit Kapazitäten (C) Geometrische Optik (GO) Interferenzen und Spektrometer (InSp) Kennlinien elektrischer Leiter (KL) Polarisation (P) Stösse (St) Spezifische Wärmen (SW) Wechselströme (WS) 99 iii

4 iv INHALTSVERZEICHNIS III Fehlerrechnung 107 IV Musterbericht 125 V Einheiten und Konstanten 135 VI Testatzettel 143

5 Teil I Einführung 1

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7 Einführung Allgemeines Das hier beschriebene Grundlagenraktikum PHY102 ist ein Bestandteil des Nebenfachs Physik (30 oder 60 ECTS Punkte). Das Physik-Praktikum soll Ihnen Erfahrungen vermitteln im Umgang mit klassischen und modernen Messeinrichtungen, im Planen, effizienten Durchführen und Auswerten von Experimenten und im Verfassen von prägnanten zusammenfassenden Berichten. Ein wichtiges Ziel des Praktikums ist es auch, Sie mit der Behandlung von Messfehlern und der Fehlerrechnung vertraut zu machen. Jede Messung ist fehlerbehaftet, und die Angabe eines Messresultats ohne die gleichzeitige Angabe der Messgenauigkeit ist vollkommen sinnlos. Zufällige Fehler, wie sie z.b. durch statistische Schwankungen einer Zählrate enstehen, können im allgemeinen recht zuverlässig abgeschätzt werden, indem man eine Messung unter identischen Bedingungen mehrmals wiederholt und die erzielten Ergebnisse miteinander vergleicht. Systematische Fehler enstehen durch eine unvollständige Kenntnis des Messaufbaus oder durch schlecht geeichte Messinstrumente (z.b. eine zu schnell laufende Uhr). Sie sind im allgemeinen deutlich schwieriger zu erkennen und abzuschätzen. Es benötigt viel experimentelle Erfahrung, um allfällige systematische Fehlerquellen zu identifizieren, sie wenn möglich zu eliminieren, und falls dies nicht möglich sein sollte, ihren Einfluss auf die Messgenauigkeit zu bestimmen. Die theoretischen Grundlagen der Fehlerrechnung werden in einer Vorlesung behandelt. Eine kurze Einführung in wesentliche Konzepte der Fehlerrechnung sowie eine kleine Sammlung relevanter Formeln finden Sie im Anhang zu dieser Praktikumsanleitung. Als eine erste und ganz einfache praktische Übung im Umgang mit Messfehlern und Fehlerrechnung dient der Einführungsversuch (EV). Versuchen Sie wo immer möglich, die zu erwartenden Messergebnisse mit gesundem Menschenverstand abzuschätzen. Dies wird Ihnen helfen, grobe Fehler frühzeitig zu erkennen und zu korrigieren. Organisatorisches Der Praktikumsbetrieb beginnt mit der Vorlesung zur Fehlerrechnung in der zweiten Semesterwoche. Danach folgt mit dem einfachen Einführungsversuch (Versuchsanleitung EV) eine praktische Arbeit zur Fehlerrechnung. Zu diesem Versuch brauchen Sie keinen Bericht anzufertigen. Im weiteren Verlauf des Semesters werden Sie in der Regel wöchentlich einen weiteren Versuch 3

8 4 ausführen. Zu jedem dieser Versuche muss jeder von Ihnen einen kurzen, eigenständigen Versuchsbericht anfertigen (Details siehe unten). Zusätzlich zum Einführungsversuch müssen Sie acht Versuche als Teil des Leistungsnachweises für das Modul PHY102 durchführen und erfolgreich abschliessen. Zur Durchführung jedes Versuchs stehen Ihnen 3 Stunden zur Verfügung. Sie werden die Versuche normalerweise in Zweiergruppen durchführen und dabei von einem Praktikumsassistenten betreut. Dieser ist während der gesamten Dauer des Versuchs anwesend und steht Ihnen für Fragen und Diskussionen zur Verfügung. Zur Anfertigung des Versuchsberichts haben Sie eine Woche Zeit. Der Bericht wird beim betreuenden Assistenten abgegeben und von diesem korrigiert. Etwa eine Woche später wird Ihnen der Bericht zur Überarbeitung zurückgegeben bzw. akzeptiert. Die Praktikumsräume befinden sich im Bau 11, Stockwerk G, einige Versuche sind in Stockwerk E. Die Reihenfolge der Versuche wird am Anfang des Semesters festgelegt und ein entsprechender Plan am Anschlagbrett vor den Praktikumsräumen (bei Büro 11-G-06) angeschlagen. Vorbereitung Machen Sie sich VOR dem Versuchsnachmittag anhand der Praktikumsanleitung mit dem theoretischen Hintergrund und dem Ziel des Versuches sowie mit den wesentlichen Schritten des Versuchsablaufs vertraut. Eine gründliche Vorbereitung an Hand dieser Praktikumsanleitung hilft Ihnen, die zur Durchführung der Versuche zur Verfügung stehende Zeit optimal zu nutzen. Die Vorlesungsskripten stellen dabei eine wertvolle Ergänzung dar, vor allem wenn der zum Versuch gehörende Stoff in der Vorlesung noch nicht behandelt wurde. Dies lässt sich leider nicht vermeiden, da aus organisatorischen Gründen (Anzahl Versuchsaufbauten, räumliche und finanzielle Einschränkungen) nicht alle Versuche für alle Studierenden gleichzeitig aufgebaut werden können. Notieren Sie allfällige Unklarheiten und diskutieren Sie diese mit dem Praktikumsassistenten. Spezielle Physikbücher sind zur Vorbereitung der Praktikumsversuche nicht erforderlich. Die folgenden Materialien sind von Ihnen mitzubringen: Die Praktikumsanleitung. Ein A4 Heft oder einen Ordner, in dem Sie die Messprotokolle und Versuchberichte eintragen bzw. ablegen. In dem Heft muss genügend Platz zum Aufzeichnen von Tabellen und graphischen Darstellungen vorhanden sein. Ein einfacher Taschenrechner wird für eine vorläufige Auswertung der Versuche benötigt. Ihr Testatzettel, in welchem der Praktikumsassistent die erfolgreiche Ausführung des Versuchs testiert (der Testatzettel befindet sich auf der letzten Seite dieser Anleitung). Millimeterpapier wird, falls benötigt, vom Praktikumsassistenten verteilt.

9 5 Durchführung des Versuchs Am Praktikumsnachmittag sollen Sie innerhalb der drei zur Verfügung stehenden Stunden den Versuch durchführen und eine vorläufige Auswertung vornehmen. Bevor Sie mit der Versuchsdurchführung beginnen, gibt der Praktikumsassistent eine kurze Einführung in die Funktionsweise und Bedienung der verwendeten Messgeräte. Aufgepasst: Die Versuchsaufbauten, insbesondere elektrische Schaltungen, müssen vor der Inbetriebnahme vom Assistenten kontrolliert werden. Gehen Sie sorgfältig mit den zum Teil teuren Geräten um. Verursachen Sie grob fahrlässig einen Schaden, können Sie verpflichtet werden, einen Beitrag zu den Reparaturkosten zu leisten. Führen Sie dann den Versuch gemäss der Versuchsanleitung aus. Stellen Sie alle genommenen Messwerte sowie allfällige am Versuchsplatz angegebene zusätzliche Grössen tabellarisch in einem Messprotokoll zusammen, welches Sie direkt in das mitgebrachte Heft schreiben. Ein während der Messung sauber geführtes Messprotokoll hilft Ihnen später beim Abfassen des Berichtes genau zu rekonstruieren, was Sie unter welchen Bedingungen gemessen haben. Jeder muss eine eigene Kopie des Messprotokols besitzen! Führen Sie schon während des Versuchs oder unmittelbar danach eine provisorische Auswertung durch, inklusive entsprechender grafischer Darstellungen. Dies gibt Ihnen die Möglichkeit, eventuell bei der Auswertung auftretende Fragen direkt mit dem Assistenten zu diskutieren sowie allfällige grobe Fehler zu erkennen und noch am Versuchsnachmittag zu korrigieren. Um sicher zu stellen, dass Sie alle für das Erstellen des Versuchsberichts notwendigen Daten aufgenommen haben und dass bei der Durchführung des Versuchs keine groben Fehler aufgetreten sind, muss das Messprotokoll mit den Namen der beteiligten Studierenden, dem Datum, den an den Messinstrumenten abgelesenen Messwerten (Einheiten!), den am Versuchsplatz angegebenen Grössen, Skizzen, Bemerkungen, vorläufiger Auswertung, Fehlerabschätzung etc. nach Abschluss des Experimentes vom betreuenden Assistenten kontrolliert und gegengezeichnet werden. Versuchsbericht Das Erstellen eines guten Versuchsberichts ist ein wesentlicher Teil der wissenschaftlichen Ausbildung! Der Bericht soll so kurz wie möglich und so ausführlich wie nötig abgefasst werden. Häufig wird er auf Englisch zu schreiben sein. Gestalten Sie den Bericht so, dass Sie selbst auch nach einem Jahr noch auf den ersten Blick erkennen können, worum es sich bei dem Versuch gehandelt hat und welches die wesentlichen Resultate waren. Sie werden dabei eine gewisse Routine entwickeln, die es Ihnen schliesslich erlauben sollte, einen Bericht in etwa drei bis vier Stunden zu erstellen. Im Anhang zu dieser Anleitung finden Sie einen kommentierten Musterbericht, anhand dessen Sie die wichtigsten Merkmale eines guten Berichtes erkennen können.

10 6 Eine Woche nach der Durchführung des Versuchs geben Sie den Versuchsbericht zusammen mit dem Messprotokoll bei dem Assistenten ab, der den Versuch betreut hat. Ist der betreffende Assistent nicht anwesend, können Sie die Berichte in einen für diesen Zweck zur Verfügung stehenden Briefkasten im Praktikumsgebäude 11-G einwerfen. Notieren Sie in jedem Fall den Namen des Assistenten und den Ihren deutlich auf dem Titelblatt. Der Assistent hat das Recht, die Annahme nicht fristgemäss abgegebener Berichte zu verweigern. In der Regel wird der Bericht von dem Assistenten korrigiert, der den Versuch auch betreut hat. Ist der Bericht in Ordnung, wird der Assistent Ihnen das Testat für den Versuch erteilen, ansonsten kann er das Testat verweigern und eine Nachbesserung des Berichts verlangen. Falls der Bericht auch in der nachgebesserten Version nicht akzeptabel ist oder wenn er nicht fristgerecht abgegeben wird, hat der Assistent das Recht, den Bericht zurückweisen und das Testat für den Versuch verweigern. Testat Ein Testatzettel ist auf der letzten Seite dieser Praktikumsanleitung eingeheftet. Auf diesem Zettel wird der Assistent Ihnen nach erfolgter Kontrolle des Messprotokolls zunächst die erfolgreiche Durchführung des Versuchs testieren. Sobald der Versuchsbericht vollständig und fehlerlos ist und akzeptiert wird, gibt er Ihnen dann das endgültige Testat für den Versuch. Bewahren Sie den ausgefüllten Testatzettel bis zum Ende des Semesters sorgfältigst auf. Er dient Ihrer eigenen Kontrolle und bei allfälligen Rückfragen. Fragen? Für allfällige Fragen zu den Versuchen stehen Ihnen die jeweiligen Assistenten an den Praktikumsnachmittagen zur Verfügung. Des weiteren stehen Ihnen der Vorlesungsdozent sowie die für das Praktikum Verantwortlichen nach vorheriger Anmeldung gern zur Beantwortung von Fragen, für Anliegen und für die Diskussion von Wünschen und Verbesserungsvorschlägen zur Verfügung. Für Kontaktinformationen konsultieren Sie bitte das Vorlesungsverzeichnis oder die Webseite zum Praktikum. Abwesenheit Sind sie krank oder müssen Sie einen Versuch aus anderen wichtigen Gründen verpassen, so informieren Sie die Praktikumsleiter bitte so frühzeitig wie möglich. Es wird dann ein Ersatztermin vereinbart.

11 Teil II Versuchsanleitungen 7

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13 Ab 1. γ-absorption 1.1 Einleitung Man weiss, dass starke γ-strahlung schädigende Wirkungen auf den menschlichen Organismus hat. Die Intensität der natürlichen Strahlung ist so klein, dass vermutlich keine Schädigungen auftreten. Wird dagegen mit stärkeren Quellen gearbeitet, so müssen die damit beschäftigten Personen vor Strahlenbelastungen geschützt werden. Um Abschirmungen richtig zu dimensionieren, müssen die Absorptionseigenschaften des Abschirmungsmaterials bekannt sein. In diesem Versuch sollen die Absorptionseigenschaften von Blei, Aluminium und Wasser bei γ- Energien von 0.66 MeV, resp und 1.33 MeV untersucht werden. Stichworte zu diesem Versuch sind: elektromagnetische Wellen Quantennatur der elektromagnetischen Strahlung Exponentialfunktion Absorption von γ-strahlung 1.2 Theoretischer Teil Quellen für γ-strahlung γ-strahlung ist elektromagnetische Strahlung von sehr kurzer Wellenlänge (λ < 10 2 nm), die von Atomkernen emittiert wird. Die Energie der Strahlung ist charakteristisch für einen bestimmten Kern. Sie liegt zwischen ca. 100 kev und mehreren MeV (ev = Elektronenvolt, 1 ev = Joule). Im Versuch werden eine 60 Co- und eine 137 Cs-Quelle verwendet. In beiden Quellen entsteht zuerst durch β -Zerfall (Emission eines Elektrons) ein Tochterkern: 60 Ni, resp. 137 Ba. Der Tochterkern befindet sich in einem angeregten (= höher energetischen) Zustand. Beim Übergang in einen tieferen Zustand wird die Energiedifferenz E als γ-quant emittiert (Abb. 1.1). Die γ-strahlung der 60 Co-Quelle enthält immer beide Energien. Im Experiment wird der Schwächungskoeffizient, bzw. die Halbwertsdicke der gemischten Strahlung bestimmt. 9

14 10 1. γ-absorption 60Co T 1/2 = 5.26 a β - (E max = MeV) 137 Cs T 1/2 = 30 a ΔE = MeV β - (E max = MeV) ΔE = MeV ΔE = 0.66 MeV 60 Ni (stabil) 137Ba (stabil) Abbildung 1.1: Zerfallsschemata für 60 Co. Abbildung 1.2: Zerfallsschemata für 137 Cs Absorptionsgesetz Die Quantentheorie lehrt, dass γ-strahlung nicht nur als elektromagnetische Welle sondern auch als Korpuskelstrahlung beschrieben werden kann (vergl. Vorlesung). Für Absorptionsprozesse eignet sich die Korpuskeldarstellung besser. Es sei die Schwächung der Strahlung in einer dünnen Schicht der Dicke dx betrachtet. Die verschiedenen Prozesse, die zur Abschwächung der γ-strahlung beitragen, sind im Anhang beschrieben. Die Intensität der Strahlung ist proportional zur Zahl N(x) der auftreffenden Quanten. N(x) N(x+dx) Die Anzahl der Quanten, die in der Schicht absorbiert oder gestreut werden, ist für dünne Schichten proportional zur Schichtdicke und zu N(x). dx dn = µ N(x) dx dn N = µ dx (1.1) x=0 x x+dx Abbildung 1.3: Zum Absorptionsgesetz. N(x) N 0 N /2 0 d 1/2 Abbildung 1.4: Absorptionskurve. x x Die Materialkonstante µ, der Schwächungskoeffizient, hängt von der γ-energie ab: µ = µ(γ). Das negative Vorzeichen deutet an, dass die Zahl der Quanten abnimmt. Die Integration von Gl. 1.1 ergibt: N(x) = N 0 e µx (1.2) wobei N 0 die Anzahl Quanten bei x = 0 ist. Gleichung 1.2 zeigt, dass die Intensität der γ- Strahlung nie ganz auf Null absinkt. In der Praxis wählt man die Absorberdicke so, dass die Intensität der durchtretenden Strahlung sicher unterhalb der Toleranzgrenze liegt. Die sogenannte Halbwertsdicke d 1/2 gibt an, nach welcher Schichtdicke die Intensität auf die Hälfte ihres ursprünglichen Wertes abgesunken ist (siehe auch Abbildung 1.4).

15 1.2. THEORETISCHER TEIL 11 Es gilt: N 0 2 = N 0e µd 1/2 ln 2 = µd 1/2 d 1/2 = ln 2 µ (1.3) Die Halbwertsdicke d 1/2 hängt vom Absorbermaterial und von der Energie der γ-strahlung ab. In der folgenden Tabelle sind Halbwertsdicken (in cm) für verschiedene Materialien zusammengestellt: Energie Blei Aluminium Luft Wasser 0.l MeV 0.0l MeV l MeV MeV MeV Für die Abschirmung gegen Röntgenstrahlen wird oft die Zehntelswertdicke angegeben (durchgelassene Intensität = I 0 /10). In der folgenden Tabelle sind die Zehntelwertsdicken (in cm) für verschiedene Materialien zusammengestellt: Spannung Energie Wasser Beton Blei 50 kv 50 kev l00 kv l00 kev kv 300 kev 28 l0 0.4

16 12 1. γ-absorption 1.3 Experimenteller Teil Messung der Halbwertsdicke d 1/2 Um die Halbwertsdicke zu bestimmen, misst man die Intensität der γ-strahlung in Abhängigkeit der Absorberdicke. Die γ-quanten werden einzeln während eines vorgegebenen Zeitintervalls t mit einem Geiger-Müller-Rohr gezählt. Die Funktionsweise des Zählrohrs ist im Versuch RA beschrieben. N(x) N 0 log N(x) N 1 N /2 1 log N 1 log N 1 /2 d 1/2 x d 1/2 x Abbildung 1.5: Absorptionskurve. Abbildung 1.6: Logarithmierte Darstellung Halblogarithmische Darstellung Logarithmieren von Gleichung 1.2 ergibt log N = log N 0 µ x log e (1.4) Wird log N als Funktion von x dargestellt, so ergibt sich also eine Gerade mit der Steigung a = µ log e (siehe Abb. 1.6) 1. In den Abbildungen 1.5 und 1.6 ist illustriert, wie sich die Halbwertsdicke d 1/2 aus der graphischen Darstellung der Messpunkte N(x) bzw. derer Logarithmen log N(x) bestimmen lässt Versuchsaufbau Die radioaktive Quelle befindet sich in einer Metallkapsel, in der die β -Strahlung vollständig absorbiert wird (vergl. Abbildung 1.7). Diese trägt somit auch bei der Messung ohne Absorberplatten nicht zur Zählrate bei. Achtung: Um sicherzustellen, dass die Strahlung am Versuchsplatz unterhalb der erlaubten Toleranzdosis bleibt, befinden sich die radioaktiven Quellen in einem Bleiklotz. Die austretende Strahlendosis kann mit Hilfe eines am Versuchsplatz vorhandenen Messgeräts gemessen werden. 1 Der Einfachheit halber benützt man in Rechnungen den natürlichen Logarithmus ln N(x). Bei der Auftragung der Messdaten auf halblogarithmischem Papier erweist sich jedoch der dekadische Logarithmus als weitaus einfacher.

17 1.3. EXPERIMENTELLER TEIL 13 Zählrohr Pb-Abschirmungen Zähler Absorberplatten Quelle Abbildung 1.7: Versuchsaufbau Um den Untergrund (natürliche Radioaktivität, Höhenstrahlung, gestreute γ-quanten) möglichst klein zu halten, ist das Zählrohr ebenfalls mit Blei umgeben. In der Mitte zwischen Quelle und Zählrohr stehen die zu untersuchenden Absorberplatten. Die Plattendicken sind: Blei: Aluminium: Wasser: 4 mm / Platte 2 cm / Platte l0 cm Durchführung Lassen Sie sich vom Assistenten die Funktionsweise und die Bedienung des Zählrohrs erläutern. Wählen Sie ein vernünftiges Zeitintervall t. Die Messwerte sollen so gross sein, dass der Fehler klein genug ist! Stellen Sie die Quellen beiseite, und messen Sie den Untergrund während drei Zeitintervallen. Stellen Sie nun die Quelle auf. Messen Sie zuerst die Pulszahl ohne Absorber (x = 0). Stellen Sie für jedes weitere Messintervall eine zusätzliche Absorberplatte in die Halterung zwischen Quelle und Zählrohr. Führen Sie den Versuch für die beiden Quellen 137 Cs und 60 Co und für die Absorbermaterialien Blei (total l0 Platten) und Aluminium (total 5 Platten) durch. Stellen Sie zum Schluss anstelle der Absorberplatten das mit Wasser gefüllte Rohr auf, und messen Sie die Pulszahl. Achtung: da auch im Plexiglas γ-strahlung absorbiert wird, müssen Sie die Pulszahl zuerst mit dem leeren Rohr messen! Stellen Sie die Messwerte in einer übersichtlichen Tabelle zusammen.

18 14 1. γ-absorption Versuchsbericht Beschreiben Sie, wie man die Halbwertsdicke eines Materials experimentell bestimmt. Auswertung: Zeichnen Sie die Messresultate (Pulszahl in Funktion der Absorberdicke) auf halblogarithmisches Millimeterpapier auf. Vergessen Sie nicht, den Untergrund zu subtrahieren. Bestimmung Sie den Fehler auf den gemessenen Pulszahlen: für den Fehler m N einer gemessenen Pulszahl gilt (Herleitung im Anhang zum Versuch Ra): m N = N (1.5) und für die für den Untergrund korrigierte Pulszahl N (x) = N(x) U ist m N = m 2 N + M U 2 = N + U (1.6) Zeichnen Sie zu jedem Messpunkt den zugehörigen Fehler in das halblogarithmische Diagramm ein. Zeichnen Sie von Auge die beste Gerade durch die Messpunkte. Bestimmen Sie graphisch die Halbwertsbreite, wie in Abb. 1.8 gezeigt. Spielt es eine Rolle, wo auf der Geraden Sie diese graphische Konstruktion einzeichnen, d.h. für welche Werte N? Bestimmen Sie aus der Steigung dieser Geraden die Halbwertsdicke d 1/2 - beachten Sie dabei, dass es sich hier um einen halb-logarithmischen Graphen handelt! (vgl. Abb. 1.8). Zeichnen Sie ausser dieser Geraden auch die steilste und die flachste mit den Messfehlern verträglichen Geraden ein. Bestimmen Sie aus den Steigungen dieser Geraden eine Abschätzung für den Fehler von d 1/2. Beantworten Sie folgende Fragen: Aus dem Experiment kennen wir die Halbwertsdicke von Blei für γ-energien von 0.66 MeV, resp und 1.33 MeV. Wie dick muss eine Bleiplatte sein, wenn die durchgelassene Strahlungsintensität auf 1/10 abgeschwächt werden soll? (Verwenden Sie die graphische Darstellung.) Um welchen Faktor wurde die Strahlung durch 10 cm Wasser abgeschwächt? Wieviel Blei, resp. Aluminium wäre nötig für die gleiche Abschwächung? (Verwenden Sie die graphischen Darstellungen.) Zusatzaufgabe: Nach Gleichung 1.5 gilt für den Fehler der Pulszahl m N = N. Überprüfen Sie diesen Zusammenhang experimentell: Verwenden Sie die 137 Cs-Quelle und stellen Sie zwischen Quelle und Zählrohr eine Bleiabsorberplatte auf.

19 1.3. EXPERIMENTELLER TEIL Pulszahl N' Steigung: Δy = ln N' 1 - ln N' 2 Δx graphisch: d 1/ Absorberdicke x 8 10 Abbildung 1.8: Halblogarithmische Darstellung mit Fehlerbalken und Konstruktion zur Bestimmung der Geradensteigung und der graphischen Bestimmung der Halbwertsbreite. Messen Sie 50 die Pulszahl während 1 s. Bestimmen Sie Mittelwert und Fehler der Pulszahl und vergleichen Sie das Resultat mit m N = N.

20 16 1. γ-absorption 1.4 Anhang Wechselwirkunq der γ-strahlung mit Materie An der Abschwächung der γ-strahlung beim Durchgang durch Materie sind folgende Prozesse beteiligt: Photoeffekt (Absorption), Paarbildung (Absorption) und Comptoneffekt (Streuung). a) Photoeffekt Trifft ein γ-quant auf ein Atom des Absorbermaterials, so kann es seine Energie an die Hüllenelektronen abgeben. Ein Elektron kann dabei in einen gebundenen Zustand höherer Energie übergehen (Anregung), oder es wird, wenn die Energie des Photons grösser ist als die Bindungsenergie des Elektrons, aus der Elektronenhülle herausgeschlagen (Ionisation). Die Wahrscheinlichkeit für die Absorption des γ-quants steigt dann sprungartig an. Man spricht von K-, L-, M-Kanten der Absorptionskurve (Abb. 1.9). Das Elektron verlässt in diesem Fall das Atom mit der kinetischen Energie: mv 2 = hν E B (1.7) 2 Dabei ist: hν = Energie des Quants ν = Frequenz der γ-strahlung h = Plancksche Konstante = Js E B = Bindungsenergie des Elektrons m = Ruhemasse des Elektrons µ ph Der Schwächungskoeffizient µ ph für Photoeffekt ist proportional zu Z 5 (hν) 3 (1.8) M L K hν Der Photoeffekt ist wichtig bei kleinen γ- Energien und Absorbermaterialien mit hoher Ladungszahl Z. Abbildung 1.9: Schwächungskoeffizient µ ph für Photoeffekt.

21 1.4. ANHANG 17 b) Paarbildung Für γ-energien 1 MeV können in der Nähe eines Atomkerns aus dem γ-quant ein Elektron und ein Positron entstehen. µp 1 MeV hν Abbildung 1.10: Schwächungskoeffizient µ p Paarbildung. für Der Schwächungskoeffizient µ p für Paarbildung ist proportional zu ( Z 2 ln 2 hν ) m 0 c 2 (1.9) In dieser Gleichung ist m 0 die Ruhemasse des Elektrons bzw. Positrons. c) Comptoneffekt hν e - hν' ϕ 2 ϕ 1 e- p e- Ein Quant der Energie hν trifft auf ein Elektron des Absorbermaterials. Nach dem Stoss fliegt das Elektron unter dem Winkel φ 1 und ein Quant der Energie hν < hν unter dem Winkel φ 2 weg (Abb. 1.11). Abbildung 1.11: Compton-Streuung. µ c hν Der Schwächungskoeffizient µ p für den Comptoneffekt ist wie in der Abbildung (1.12) gezeigt von der Energie abhängig. Der Schwächungskoeffizient µ c pro Atom ist proportional zu Z. Abbildung 1.12: Energieabhängigkeit vom Schwächungskoeffizienten µ p. d) Totaler Schwächungskoeffizient Der totale Schwächungskoeffizient setzt sich aus den oben erwähnten Beiträgen zusammen. In der Abbildung 1.13 sind die einzelnen Beiträge und der totale Schwächungskoeffizient für Blei als Funktion der γ-energie dargestellt.

22 18 1. γ-absorption µ µ tot µ P µ Ph µ C 1 MeV ca.8 MeV hν Abbildung 1.13: Totaler Schwächungskoeffizient Absorption von α- und β-strahlung a) α-strahlung α-teilchen verlieren ihre Energie bei Stössen mit Elektronen des Absorbermaterials. Ihre Reichweite hat, bis auf kleine Unsicherheiten, einen festen Wert, der von der Teilchenenergie und vom Absorbermaterial abhängt. N E α1 < E α2 N 0 N 0 2 Als Beispiel für eine Energie von 5 MeV: Luft: R = 4 cm Wasser, Gewebe: R = cm R 1 R 2 r N = N(r) bezeichnet die Anzahl α-teilchen nach der Absorberdicke r Abbildung 1.14: Reichweite von α-teilchen. b) β-strahlung β-teilchen (Elektronen) geben ihre Energie ebenfalls bei Stössen mit Elektronen des Absorbermaterials ab. Sie werden aber ausserdem bei elastischen Stössen mit den Kernen praktisch ohne Energieverlust abgelenkt, sodass die Reichweite keineswegs der wirklichen Bahnlänge im Absorber entspricht. Dies hat zur Folge, dass die Reichweiten für Elektronen einer bestimmten Energie grosse Streuungen aufweisen (Abb. 1.15). Jede β-aktive Quelle emittiert Elektronen mit einer kontinuierlichen Energieverteilung (Abb 1.16).

23 1.4. ANHANG 19 N N 0 R r Abbildung 1.15: Reichweite von β-teilchen. N = N(r) bezeichnet die Anzahl Elektronen nach der Absorberdicke r N 0 ist die Anzahl Elektronen vor dem Absorber R ist die sogenannte Reichweite der Strahlung. Man erhält sie aus dem Schnittpunkt der Tangente im Wendepunkt mit der r- Achse. Die maximale Energie E max ist charakteristisch für den zerfallenden Kern. Betrachtet man die Intensität der β-strahlung einer solchen Quelle in Funktion der Absorberdicke, so erhält man einen annähernd exponentiellen Verlauf (Abb. 1.16). N N E max E Rmax r Abbildung 1.16: Energieverteilung und Reichweite für die emittierten Elektronen. R max ist die Reichweite R für die β-teilchen mit der Energie Emax. In der folgenden Tabelle sind die Reichweiten R max für einige ausgewählte β-quellen in verschiedenen Absorbern zusammengestellt: β-quelle E βmax in Luft in Wasser in Aluminium Blei (MeV) (mm) Gewebe (mm) Glas (mm) (mm) 3 H C S Hg I P Oft wird die Reichweite in g/cm 2 oder mg/cm 2 angegeben. Beispiele: Wasser: 1 g/cm 2 entspricht 1 cm Dicke Blei: 1 g/cm 2 entspricht cm Dicke Aluminium: 1 g/cm 2 entspricht 0.37 cm Dicke Luft: 1 g/cm 2 entspricht 775 cm Dicke

24 20 1. γ-absorption Absorption von Protonen und Ionen Bei Protonen und Ionen ist der Energieverlust zum Ende der Reichweite hin konzentriert. Das erlaubt die gezielte Behandlung von im Körper liegenden Tumoren bei mässiger Strahlenbelastung des umliegenden Gewebes, dies im Gegensatz zur Behandlung mit Röntgenstrahlung. Abbildung 1.17: Ionisationsprofil von 12 C Ionen in Wasser. Abbildung 1.18: Protonentherapie am PSI in Villigen.

25 C 2. Experimente mit Kapazitäten 2.1 Einleitung In Physik, Chemie und auch in der Biologie sind häufig Vorgänge zu beobachten, bei welchen die Änderung einer Grösse proportional zum momentanen Wert der Grösse selbst ist: Die Anzahl zerfallender Kerne in einem radioaktiven Präparat ist proportional zur Anzahl der vorhandenen aktiven Kerne. Während einer einfachen chemischen Reaktion ist die Konzentrationsabnahme einer Substanz proportional zur Konzentration selbst. Die Wachstumsrate einer Population ist proportional zur Anzahl der lebenden Individuen. Bewegt sich ein Körper langsam in einer Flüssigkeit, so ist die Reibungskraft und damit die Beschleunigung proportional zur Geschwindigkeit. Entlädt sich ein Kondensator über einen Widerstand, so ist der Strom proportional zur Ladung eines Kondensators. All diese Vorgänge lassen sich quantitativ mit Hilfe von Exponentialfunktionen beschreiben. Die charakteristischen Eigenschaften der Exponentialfunktion werden in diesem Versuch am Beispiel des Ladens und Entladens eines Kondensators gezeigt. Stichworte zu diesem Versuch sind: charakteristische Eigenschaften der Exponentialfunktion, elektrische Stromkreise, Kirchhoffsche Regeln, Laden und Entladen von Kondensatoren, sowie Messen von Spannung und Strom. 21

26 22 2. Experimente mit Kapazitäten 2.2 Theoretischer Teil Laden und Entladen eines Kondensators Mit der Schaltung in Abbildung 2.1 wird der Kondensator mit der Kapazität C über den Widerstand mit dem Widerstandswert R aufgeladen, wenn der Schalter in Stellung 1 ist. In der Stellung 2 kann der Kondensator über den Widerstand entladen werden. 1 R S 2 V 0 + _ C I + _ V C Abbildung 2.1: Schaltung. Laden Eine Gleichspannungsquelle mit der Spannung V 0 werde mit einem Widerstand (R) und einem Kondensator (C) in Serie geschaltet. Zur Zeit t = 0 werde der Schalter (S) in Stellung 1 gebracht (Abbildung 2.1); der Kondensator wird über den Widerstand (R) aufgeladen. Wir suchen den Strom I und die Spannung V C am Kondensator als Funktionen der Zeit. Entladen Der Kondensator (C) sei auf die Spannung V 0 aufgeladen. Zur Zeit t = 0 werde der Schalter S in Stellung 2 gebracht (Abbildung 2.1). Der Kondensator entlädt sich über den Widerstand (R). Wir interessieren uns für den zeitlichen Verlauf des Stromes I und der Spannung V C. Zur Zeit t = 0 gilt folgende Anfangsbedingung: Q(0) = 0 Q(0) = Q 0 = V 0 C Mit der Maschenregel nach Kirchhoff gilt für die beiden Fälle: V 0 = I R + Q C 0 = I R + Q C Setzen wir für den Strom I = dq/dt in die Gleichungen ein, dann folgt: V 0 = dq dt R + Q C (2.1) 0 = dq dt R + Q C (2.2)

27 2.2. THEORETISCHER TEIL 23 Das heisst, die Ladungsänderung ist proportional zur Ladung auf dem Kondensator. Die Lösung der inhomogenen Gleichung (2.1) setzt sich aus der Lösung der homogenen Gleichung und einer partikulären Lösung zusammen. Nach sehr langer Zeit wird die Ladung auf dem Kondensator Q 0 = V 0 C: Q(t = ) = Q 0 = V 0 C Somit lautet die allgemeine Lösung von (2.1): Q(t) = A e t RC + Q0 Die Lösung der homogenen Gleichung (2.2) finden wir durch Separation der Variablen Q und t: dq Q = dt RC Diese Gleichung wird integriert: ln Q = t RC + ln A Mit der Integrationskonstanten ln A Q(t) = A e t RC (2.3) Bestimmung der Integrationskonstanten aus den Anfangsbedingungen: Q(0) = A + Q 0 = 0 A = Q 0 Q(t) = Q 0 (1 e t RC ) = V 0 C (1 e t RC ) Q(0) = Q 0 = A Q(t) = Q 0 e t RC = V0 C e t RC Bestimmung des Stromes I = dq/dt: I(t) = V 0 R e t RC (2.4) I(t) = V 0 R e t RC (2.5) I(t) I(t) V 0 R t t V 0 R Abbildung 2.2: Strom beim Laden und Entladen eines Kondensators. Bestimmung der Spannung V C = Q/C: V C (t) = V 0 (1 e t RC ) (2.6) VC (t) = V 0 e t RC (2.7)

28 24 2. Experimente mit Kapazitäten V C (t) V 0 V C (t) V 0 t t Abbildung 2.3: Spannung beim Laden und Entladen eines Kondensators. Oft gibt man auch die Zeit t 0.9 (Anstiegszeit) an, die benötigt wird, um die Spannung V C = 0.9 V 0 zu erreichen: V C V 0 0.9V 0 V C (t 0.9 ) = 0.9 V 0 = V 0 (1 e t 0.9 RC ) t 0.9 t Abbildung 2.4: Zur Definition von t 0.9. Frage 1: Bestimmen Sie t 0.9, wenn R und C vorgegeben sind. Wie muss man R und (oder) C ändern, um eine kürzere Anstiegszeit t 0.9 zu bekommen? Eigenschaften der Exponentialfunktion Die Exponentialfunktion f(t) = A e αt hat folgende charakteristischen Eigenschaften: Die Steigung df/dt ist in jedem Punkt proportional zum Funktionswert f(t): df dt = α A e αt = αf(t) Das negative Vorzeichen deutet an, dass es sich um eine Abnahme von f(t) handelt. In gleichen Zeitintervallen t ändert sich der Funktionswert f(t) jeweils um den konstanten Faktor α t e Am einfachsten ist dies aus der grafischen Darstellung der Funktion ersichtlich (Abbildung 2.5). Die Funktion f(t) = A e αt geht asymptotisch gegen 0. Deshalb gibt man für Vorgänge, die sich mit einer Exponentialfunktion beschreiben lassen, die Halbwertszeit T 1/2 oder die Zeitkonstante τ an.

29 2.2. THEORETISCHER TEIL 25 f(t) A A 9 A 3 A 27 Δt 2Δt 3Δt t Abbildung 2.5: Exponentialfunktion. Halbwertszeit: Nach der Halbwertszeit T 1/2 ist f(t) auf die Hälfte des Anfangwertes gefallen. f(0) = A f(t) A f(t 1/2 ) = A 2 = A e αt 1/2 ln 1 2 = α T 1/2 T 1/2 = ln 2 α A e α 2 α 1 <α 2 Abbildung 2.6: Illustration zur Halbwertszeit. (T 1/2 ) 2 (T 1/2 ) 1 t Zeitkonstante: Nach der Zeitkonstante τ ist f(t) auf den e-ten Teil des Anfangwertes abgesunken. f(0) = A f(τ) = A e = A e 1 = A e ατ τα = 1 τ = 1 α Abbildung 2.7: Illustration zur Zeitkonstante. f(t) A A e α 2 α 1 <α 2 e = /e = τ 2 τ 1 t

30 26 2. Experimente mit Kapazitäten Beispiel: Entladen eines Kondensators Nach Gleichung (2.6) gilt: V C = V 0 e t RC α = 1 RC also: τ = RC (2.8) T 1/2 = RC ln 2 (2.9) V C V 0 V 0 2 V 0 e Abbildung 2.8: Entladen eines Kondensators. T 1/2 τ t

31 2.3. EXPERIMENTELLER TEIL Experimenteller Teil Aufgabenstellung Ein Kondensator wird über einen Widerstand R aufgeladen und entladen. Strom und Spannung werden als Funktionen der Zeit gemessen. Der Versuch wird für zwei verschiedene Zeitkonstanten durchgeführt: τ 1 10s und τ 2 15s Versuchsaufbau 1 R V 0 S 2 I C 1 C 2 C 3 C i V C Abbildung 2.9: Schema des Versuchsaufbaus. Das Netzgerät und die Messinstrumente werden an den dafür vorgesehenen Buchsen angeschlossen. Mit den Schaltern Ein-Aus kann die Anzahl der parallel geschalteten Kondensatoren verändert werden. Die Kapazitäten parallel geschalteter Kondensatoren addieren sich zu: C tot = C i Der Widerstand R wird auf die entsprechenden Buchsen gesteckt. Wählen Sie eine RC-Kombination, deren Zeitkonstante (nach Gleichung (2.8)) ungefähr l0 s bzw. 15 s ist. Innenwiderstand des Voltmeters Jedes Voltmeter hat einen endlichen Innenwiderstand R V. Berücksichtigt man diesen, so erhält man folgende Schaltung: Aufbauen der Schaltung Schliessen Sie das Netzgerät und die Messinstrumente an Wählen Sie die Zeitkonstanten und die zugehörige RC-Kombination Stecken Sie den Widerstand R auf

32 28 2. Experimente mit Kapazitäten Schalten Sie die nötigen Kapazitäten ein Stellen Sie die Spannung des Netzgerätes auf 15 V ein Durchführung der Messung Laden des Kondensators (Schalterstellung 1): Lesen Sie nach dem Schliessen des Schalters (t = 0) im Abstand von 5 Sekunden die Spannung V C auf dem Voltmeter ab. Messen Sie die Zeit mit der Stoppuhr. Entladen Sie die Kondensatoren. Lesen Sie bei einem zweiten Durchgang alle 5 Sekunden den Strom auf dem Ampèremeter ab. Achten Sie besonders auf den Strom zur Zeit t = 0. Frage 2: Weshalb steigt die Spannung am Kondensator nicht bis auf V 0? Entladen des Kondensators (Schalterstellung 2): Laden Sie den Kondensator zunächst auf die Spannung V auf. Legen Sie den Schalter in Stellung 2 und messen Sie Strom und Spannung als Funktionen der Zeit wie beim Laden des Kondensators Versuchsbericht Beantworten Sie die im Text gestellten Fragen. Stellen Sie das Ziel und die Durchführung des Versuchs unter besonderer Berücksichtigung folgender Punkte kurz dar: Charakteristische Eigenschaften der Exponentialfunktion Bedeutung von Halbwertszeit und Zeitkonstante τ V 0 R C I V C R V Das im Versuch verwendete Voltmeter hat einen Innenwiderstand von 10 7 Ω. Es ist also R V R, d.h. durch das Voltmeter fliesst also ein sehr kleiner Strom. Abbildung 2.10: Innenwiderstand vom Voltmeter.

33 2.3. EXPERIMENTELLER TEIL 29 Auswertung: Zeichnen Sie V C (t) und I(t) auf Millimeterpapier auf. Tragen Sie die abfallenden Funktionen (Strom für Laden und Entladen, Spannung für Entladen) ausserdem auf halblogarithmischem Papier auf. Lesen Sie aus den grafischen Darstellungen die Zeitkonstanten ab (siehe unten) und vergleichen Sie sie mit den berechneten Werten. Hinweis: Wenn Sie halblogarithmisches Papier verwenden, dann müssen Sie zur Bestimmung der Steigung aus dem Steigungsdreieck nicht die jeweiligen Werte der y-achse sondern deren Logarithmen verwenden, wie in Abb dargestellt. Steht kein halblogarithmisches Papier zur Verfügung, dann können ln V (t) und ln I(t) auf gewöhnliches Millimeterpapier aufgezeichnet werden. Bestimmung der Zeitkonstanten aus den graphischen Darstellungen Aus der linearen Darstellung der Exponentialfunktion: I V 0 R Die Zeitkonstante kann, wie in der Abbildung links gezeigt, direkt aus der Exponentialfunktion herausgelesen werden. V 0 R e τ t Abbildung 2.11: Bestimmung der Zeitkonstanten τ aus der linearen Darstellung. Aus der logarithmischen Darstellung der Exponentialfunktion: Logarithmieren von ergibt I = V 0 R e t RC ln RI = t V 0 RC Bemerkung: Es können nur dimensionslose Grössen logarithmiert werden. Will man obige Gleichung logarithmieren, so müssen die Einheiten herausgekürzt werden. Nach dem herauskürzen der Einheiten kann man die Gleichung umschreiben ln I + ln R = t V 0 RC (2.10) In 10er-Logarithmen gilt entsprechend log IR V 0 = t RC log e und nach dem herauskürzen der Einheiten log I + log R V 0 = t log e RC (2.11)

34 30 2. Experimente mit Kapazitäten Die Gleichungen (2.10) und (2.11) stellen Geraden dar. Für deren Steigungen gilt: (ln I) = 1 t RC RC = t (ln I) (log I) = log e t RC RC = log e t (log I) ln ln I V 0 R log I log V 0 R Δ (lni) Δt Δ (log I) Δt t t Abbildung 2.12: Steigung der Geraden in Darstellung mittels natürlichem (links) und dekadischem (rechts) Logarithmus.

35 2.4. ANHANG Anhang Erzeugen von Kippschwingungen mit einer Glimmlampe Eine Glimmlampe besteht aus einem gasgefüllten Glaskolben, in welchem sich zwei Elektroden befinden. Scheibe und Ring als Elektroden I Zwei Drähte als Elektroden V L V Z V Abbildung 2.13: Glimmlampen. Abbildung 2.14: Kennlinie einer Glimmlampe. V Z ist die Zündspannung und V L die Löschspannung. An die Elektroden wird eine Spannung angelegt. Im elektrischen Feld zwischen den Elektroden werden die im Gas vorhandenen freien Elektronen beschleunigt. Ist das Feld resp. die angelegte Spannung genügend gross, so können die beschleunigten Ladungen weitere Atome ionisieren. Die Zahl der Ladungsträger im Gas wächst lawinenartig an, es fliesst ein grosser Strom, der Innenwiderstand R i der Lampe sinkt stark, d.h. die Lampe zündet bei einer charakteristischen Zündspannung V Z. Schaltung zur Erzeugung von Kippschwingungen V 0 R S C GL KO Abbildung 2.15: Schaltung zur Erzeugung von Kippschwingungen. Parallel zur Glimmlampe (GL) wird ein Kondensator C geschaltet. Der Widerstand R soll gross sein gegen den Innenwiderstand der gezündeten Lampe. Solange in der Lampe ein sehr kleiner Strom fliesst, d.h. V C < V Z, lädt sich der Kondensator über den Widerstand R auf. Sobald die Spannung V C die Zündspannung der Glimmlampe erreicht hat, zündet diese und die auf C gespeicherte Ladung fliesst sehr rasch über den Innenwiderstand R i der Lampe ab. Ist R R i, kann die Batterie nur einen kleinen Teil der notwendigen Ladung nachliefern, sodass die Spannung V C absinkt und zwar bis auf den Wert der Löschspannung V L. Dann beginnt sich der

36 32 2. Experimente mit Kapazitäten Kondensator von neuem aufzuladen etc. Die Spannung V C wird mit dem Kathodenstrahloszillographen (KO) gemessen. Die Spannung am Kondensator hat also folgenden Verlauf (vgl. Abbildung 2.5): V C V 0 V Z V L T B = Brenndauer T 2 T 1 = Zeit, um den Kondensator von V L auf V Z aufzuladen. T 1 T 2 T B t Abbildung 2.16: Verlauf der Spannung. Berechnung der Frequenz der Kippschwingungen Aufladen des Kondensators (nach Gleichung (2.6)): V L = V 0 (1 e T 1 RC ) V 0 V L V Z = V 0 (1 e T 2 RC ) V 0 V Z V 0 = e V 0 = e T 1 RC t 2 RC Division ergibt und nach Logarithmieren folgt V 0 V L V 0 V Z = e 1 RC (T 1 T 2 ) ln V 0 V L V 0 V Z = 1 RC (T 1 T 2 ) T 2 T 1 = RC ln V 0 V L V 0 V Z Ist R R i, sokann die Brenndauer T B gegen T 2 T 1 vernachlässigt werden, und die Frequenz ν der Kippschwingungen ist ν 1 = 1 T 1 T 2 RC 1 1 RC V 0 V Z ln V 0 V L Demonstration Der Assistent wird die Kippschwingungen auf dem Kathodenstrahloszillographen demonstrieren, wobei er verschiedene Widerstände und Kondensatoren verwendet. Beobachten Sie die Änderungen der Frequenz und der Brenndauer.

37 2.4. ANHANG 33 R Auf dem Oszillographen ist V C (t) dargestellt. V 0 C GL KO Abbildung 2.17: Schaltung für die Demonstration. Die Polarität der Glimmlampe ist wichtig! Einige wichtige Anwendungen der Exponentialfunktion a) Radioaktiver Zerfall N (t) N 0 N 0 2 T 1/2 N (t) = N 0 e -α t N 0 = Anzahl radioaktiver Kerne zur Zeit t = 0 N(t) = Anzahl radioaktiver Kerne zur Zeit t Zur Zeit T 1/2 ist die Hälfte der Kerne noch nicht zerfallen. t Abbildung 2.18: Radioaktiver Zerfall. Die Halbwertszeiten von Kernen liegen zwischen Sekunden und mehreren tausend Jahren. b) Absorbtion von Licht in Materie (gilt auch für γ-strahlung) I (x) I 0 I (x) = I 0 e -μx Licht I(x) I 0 I 0 2 x=0 x x d 1/2 x Abbildung 2.19: Absorbtion von elektromagnetischer Strahlung. I 0 ist die Intensität bei x = 0. I(x) ist die Intensität, nachdem das Licht durch eine Schicht der Dicke x gegangen ist. d 1/2 ist die Schichtdicke, nach der die Intensität auf die Hälfte abgesunken ist. Bemerkung: Die Intensität von γ Strahlung sinkt also auch bei dicker Abschirmung nie exakt auf Null.

38 34 2. Experimente mit Kapazitäten c) Bewegung in viskoser Flüssigkeit Bei viskoser Reibung ist die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit und ihr entgegengesetzt. Die Bewegungsgleichung bei viskose Reibung lautet damit: m d2 x dt 2 = m dv x dt = β v x + F 0 v(t) v 0 v(t) = v 0 (1- e -b / m t ) F 0 = konstante Kraft, z.b. Schwerkraft, elekromagnetische Kraft βv x = viskose Reibung, proportional zur Geschwindigkeit v 0 = stationäre Geschwindigkeit t Abbildung 2.20: Bewegung in viskoser Flüssigkeit. d) In der Biologie Bei biologischen Vorgängen, z.b. bei Abbau- und Ausscheidungsvorgängen, sind häufig mehrere Exponentialfunktionen in komplizierter Weise überlagert.

39 GO 3. Geometrische Optik 3.1 Einleitung Die Ausbreitung des sichtbaren Lichtes (λ = nm) in verschiedenen Medien ist ein wichtiger Aspekt für die praktische Optik. Da man bei der Suche nach einer allgemeinen Lösung dieses Problems rasch auf grosse mathematische Schwierigkeiten stösst, betrachtet man zwei Grenzfälle: Wellenoptik: Die Grösse der im Problem vorkommenden Objekte ist vergleichbar mit der Wellenlänge des Lichtes. In diesem Fall stehen die Wellennatur und die damit verbundenen Erscheinungen wie Interferenz und Beugung im Vordergrund (vgl. Versuch In/Sp). Geometrische Optik: Sämtliche im Problem vorkommenden geometrischen Abmessungen sind gross gegenüber der Wellenlänge. Unter dieser Voraussetzung kann die Lichtausbreitung durch Lichtstrahlen beschrieben werden. Es gelten die beiden Grundgesetze der geometrischen Optik, das Reflexions- und das Brechungsgesetz. In diesem Versuch beschäftigen wir uns ausschliesslich mit geometrischer Optik. Die geometrische Optik ist die Grundlage für das Verständnis zahlreicher Apparate und Vorrichtungen wie Brillen, Mikroskope, Fernrohre oder Fotoapparate, welche wir im täglichen Leben zum Sehen im weitesten Sinne verwenden. Ein faszinierendes Beispiel eines erstaunlich vielseitigen optischen Apparates ist das Auge: es besitzt nicht nur einen variablen Fokus, eine automatische Blende, ein automatisches Reinigungssystem und einen automatischen Verschluss, sondern geht auch bei der Bildauflösung sowie bei der Empfindlichkeit an die Grenzen des überhaupt Möglichen. Jedes optische Gerät, sei es eine einfache Lupe, eine Brille oder ein Mikroskop, besteht aus einer oder mehreren Linsen (ev. auch Spiegeln). In diesem Versuch werden die wesentlichen Eigenschaften einfacher Linsen untersucht. Stichworte zu diesem Versuch sind: Bedeutung der Brennweite, Unterschiede zwischen Sammel- und Streulinsen, Abbildung durch eine dünne Sammellinse, und Abbildung mit einem Modell-Auge (Beispiel aus der Biologie). 35

40 36 3. Geometrische Optik 3.2 Theoretischer Teil Brennpunkte, Brennweite Fallen Lichtstrahlen schief auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien mit verschiedenen Brechungsindizes n 1 und n 2, so werden sie an dieser Grenzfläche gebrochen: n 1 n 2 P α β Optische Achse Abbildung 3.1: Brechung eines Lichtstrahls an einer sphärischen Grenzläche. Nach dem Brechungsgesetz gilt für den Einfallswinkel α und den Austrittswinkel β: sin α sin β = n 2 n 1 (3.1) Fallen Strahlen parallel zur optischen Achse auf eine sphärische Grenzfläche, so schneiden sich die gebrochenen Strahlen im bildseitigen Brennpunkt F 2. Gehen die Lichtstrahlen vom objektseitigen Brennpunkt F 1 aus, so verlaufen sie nach der Brechung an der sphärischen Grenzfläche achsenparallel: n 1 n 2 n 1 n 2 F 1 F 2 F 1 F 2 Abbildung 3.2: Parallel zur optischen Achse einfallende Lichtstrahlen. Abbildung 3.3: Vom Brennpunkt F 1 ausgehende Lichtstrahlen. Eine Linse besteht aus zwei sphärischen Grenzflächen. Auch dieses System von Grenzflächen hat einen objektseitigen und einen bildseitigen Brennpunkt (Abbildungen 3.4 und 3.5). f 2 f 1 F 1 F 2 F 1 F 2 Linsenebene (LE) Abbildung 3.4: Parallel zur optischen Achse einfallende Lichtstrahlen. Linsenebene (LE) Abbildung 3.5: Vom Brennpunkt F 1 ausgehende Lichtstrahlen.

41 3.2. THEORETISCHER TEIL 37 Auch hier gilt, dass sich parallel zur optischen Achse einfallende Lichtstrahlen im bildseitigen Brennpunkt F 2 schneiden, und dass Strahlen, welche vom objektseitigen Brennpunkt F 1 ausgehen, nach der Linse parallel zur optischen Achse verlaufen. Als Brennweite bezeichnet man bei dünnen Linsen die Distanz zwischen der Linsenebene und den Brennpunkten. Für dünne Linsen ist dabei immer f 1 = f 2 = f. Die Brennweite einer Linse hängt von den beiden Krümmungsradien r 1, r 2 und von den Brechungsindizes n 1 (Umgebung) und n 2 (Linsenmaterial) ab. Es ist: 1 f = n 2 n 1 n 1 ( 1 r 1 1 r 2 ) (3.2) Dabei gilt die folgende Vorzeichenregel: liegt der Mittelpunkt M i rechts von der Trennfläche i, so ist der Krümmungsradius r i > 0; liegt der Mittelpunkt M i links von der Trennfläche i, so ist r i < 0. n 1 n 2 n 1 n 2 r 2 r1 M 2 r 1 M 1 M 1 M 2 Linsenebene (LE) Abbildung 3.6: Sammellinse mit r 2 < 0 und r 1 > 0. Linsenebene (LE) Abbildung 3.7: Streulinse mit r 1 < 0 und r 2 > 0. Für Sammellinsen (Abbildungen 3.4, 3.5 und 3.6) sind die Brennweiten positiv und die Lichtstrahlen laufen zusammen. Bei einer Streulinse (Abbildungen 3.7, 3.8 und 3.9) laufen die Lichtstrahlen auseinander. Der Mittelpunkt M 1 liegt auf der linken Seite der Trennfläche und M 2 auf der rechten Seite. Damit kehren sich die Vorzeichen der Krümmungsradien r 1 und r 2 um und die Brennweiten f 1 und f 2 werden negativ. Hier laufen die Lichtstrahlen nicht mehr durch die Brennpunkte. Zeichnet man aber deren Verlängerungen ein, so schneiden sich diese virtuellen Strahlen wiederum im Brennpunkt. F 2 F1 F2 F 1 Abbildung 3.8: Parallel zur optischen Achse einfallende Lichtstrahlen. Abbildung 3.9: Parallel zur optischen Achse ausfallende Lichtstrahlen.

42 38 3. Geometrische Optik Abbildung durch eine dünne Sammellinse Bei einer optischen Abbildung durch eine dünne Sammellinse werden die von einem Gegenstandspunkt P ausgehenden Strahlen durch das abbildende System in genau einem Bildpunkt P vereinigt. Jedem Objektpunkt wird genau ein Bildpunkt zugeordnet. P G S 1 S3 F 1 S 2 M F 2 B P' S 1= Parallelstrahl S 2= Brennstrahl S 3= Hauptstrahl Abbildung 3.10: Abbildung und Bildkonstruktion bei einer dünnen Sammellinse. Zur geometrischen Konstruktion des Bildpunktes sind zwei Strahlen notwendig. Man benutzt gewöhnlich zwei der drei ausgezeichneten Strahlen S 1, S 2 und S 3 (Abbildung 3.10): - Parallelstrahl (S1): einfallender Lichtstrahl verläuft parallel zur optischen Achse - Brennstrahl (S2): einfallender Lichtstrahl läuft durch den Brennpunkt - Hauptstrahl (S3): Lichtstrahl läuft durch die Linsenmitte (wird nicht abgelenkt) Linsengleichung, Vergrösserung Aus der Ähnlichkeit der schraffierten Dreiecke (Abbildung 3.11) lässt sich ein Zusammenhang g C S 1 S 3 G A F 1 S 2 f M f b F 2 E D B g = Gegenstandsweite b = Bildweite f = Brennweite Abbildung 3.11: Gegenstandsweite, Bildweite und Brennweite. zwischen der Gegenstandsweite g, der Bildweite b und der Brennweite f finden. Es gilt: f G = b f B und G g f = B f Multiplikation dieser beiden Gleichungen ergibt: f g f = b f f gb = bf + gf

43 3.2. THEORETISCHER TEIL 39 Daraus erhält man die sogenannte Linsen- oder Abbildungsgleichung, welche die Gegenstandsweite g und die Bildweite b mit der Brennweite f verbindet: 1 g + 1 b = 1 f (3.3) Der Abbildungsmassstab bzw. die Vergrösserung m = B/G ergibt sich aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ACM und DEM (Abbildung 3.11) zu m = B G = b g (3.4) Ist m negativ, so steht das Bild auf dem Kopf. Ist m positiv, so steht das Bild aufrecht. Frage 1: Wo muss man den Schirm aufstellen, wenn man mit einer Sammellinse der Brennweite f = 20 cm einen Gegenstand, der 25 cm von der Linse entfernt steht, scharf auf dem Schirm abbilden will? Wie stark ist die Vergrösserung m? Die Sammellinse als Lupe Setzt man den Gegenstand zwischen Brennpunkt und Linse, d.h. g < f, so entsteht kein wirkliches, reelles Bild, da sich nicht die gebrochenen Strahlen, sondern nur ihre rückwärtigen Verlängerungen in einem Punkt schneiden (Abbildung 3.12). Das Bild ist virtuell und aufrecht, die Vergrösserung m > 1 und die Bildweite b ist negativ (Gleichung 3.3). S3 S 1 S 2 B F 1 G b g' (etwa 25 cm) F 2 f g Abbildung 3.12: Bildkonstruktion bei einer Lupe. Das Bild kann nicht auf einem Schirm abgebildet werden. Betrachtet man es jedoch mit dem Auge, dann werden im Linsensystem des Auges die einfallenden, divergenten Strahlen gebrochen, so dass sie auf der Netzhaut wieder in einem Punkt zusammentreffen. Die virtuellen Bildpunkte werden dort reell abgebildet (man denke in diesem Zusammenhang auch an den Spiegel). Das virtuelle Bild wird zum Gegenstand für das Auge, welches auf eine Distanz von etwa 25 cm bequem fokussieren kann.

44 40 3. Geometrische Optik Abbildung durch eine dünne Streulinse Zur geometrischen Konstruktion des Bildpunktes sind wieder mindestens zwei der drei ausgezeichneten Strahlen S 1, S 2 und S 3 notwendig. g G S3 S 1 S 2 B F 2 F 1 f b Abbildung 3.13: Bildkonstruktion bei einer Streulinse. Das Bild ist immer virtuell und aufrecht, die Bildweite immer negativ, die Vergrösserung m Vorzeichenregeln Bei der Anwendung der Abbildungsgleichung (3.3) sind folgende Regeln zu beachten: Das Licht fällt von links her ein. Gegenstandsweiten sind positiv, wenn der Gegenstand links der Linse sitzt. Bildweiten sind positiv, wenn das Bild rechts der Linse liegt. Frage 2: Kennen Sie andere abbildende Systeme ausser Linsen? Welche? Skizzieren Sie sie. Bei Brillen wird nicht die Brennweite der Gläser, sondern deren Brechkraft P = 1/f angegeben, wobei f in Metern einzusetzen ist. Der so berechneten Brechkraft wird die Einheit Dioptrie (dpt.) zugeordnet. Zum Beispiel: P = 2 dpt. f = 50 cm

45 3.2. THEORETISCHER TEIL Das Auge Aufbau des menschlichen Auges vordere Augenkammer Hornhaut Pupille Iris Glaskörper gelber Fleck Linse Netzhaut Lederhaut Aderhaut Sehnerv Ringmuskel blinder Fleck Abbildung 3.14: Aufbau des menschlichen Auges. Die gesamte Brechkraft des entspannten Auges beträgt 58.9 dpt. Das entspricht einer Brennweite von f 17 mm (vergl. Tabelle 3.1). Die an die Luft angrenzende Hornhaut liefert den grössten Teil (43 dpt.), die Linse ermöglicht durch Änderung ihrer Krümmung die Scharfeinstellung auf verschiedene Entfernungen. Die Form des Auges wird durch den Augeninnendruck aufrechterhalten. Luft: n = 1 n' = Netzhaut Hornhaut Linse: n = Abbildung 3.15: Schematischer Aufbau des menschlichen Auges. Tabelle 3.1: Werte für das menschliche Auge. Dicke der Hornhaut (Cornea) 0,8 mm Krümmungsradius r der Hornhaut 7,83 mm Brechzahl Kammerwasser und Glaskörper n 1,3365 Brechzahl Augenlinse n L 1,358 Durchmesser Augenpupille 2 bis 8 mm Vordere Brennweite f bei entspanntem Auge 17,055 mm Hintere Brennweite f bei entspanntem Auge 22,8 mm Nahpunktentfernung in mittlerem Lebensalter 25 cm