Vorlesung. Versuchsplanung und Stichproben. Prof. Dr. Helmut Küchenhoff WS 2005/06. Teil 2: Versuchsplanung

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1 Institut für Statistik Ludwig Maximilians Universität Ludwigstr München 1 Vorlesung Versuchsplanung und Stichproben Prof. Dr. Helmut Küchenhoff WS 2005/06 Teil 2: Versuchsplanung

2 INHALTSVERZEICHNIS 2 Inhaltsverzeichnis 1 Vergleich zweier Behandlungen t-test für unabhängige Stichproben Darstellung als lineares Modell Umgang mit Abweichungen von Annahmen Bestimmung des nötigen Gruppenumfangs Design mit einem Faktor (einfaktorielle ANOVA) Modell der Varianzanalyse Die Auswertung erfolgt mit der Theorie des linearen Modells Der Overall-Test Bestimmung des geeigneten Gruppenumfangs für die ANOVA Einzelne Mittelwertsvergleiche Spezielle Kontraste Tests für Kontraste Multiples Testproblem Bonferroni Scheffe Tukey studentized Range Dunnetts-Test für Vergleich von Behandlungen gegen Kontrolle Abschlussprozeduren Das Holm-Prinzip Das Verfahren nach Ryan-Einot-Gabriel-Welsch Allgemeine Überlegungen Empfehlungen Abweichungen von den Modellannahmen Strategie zur Prüfung von Modellannahmen

3 INHALTSVERZEICHNIS Plots Test auf Varianzgleichheit Empfehlungen Andere Methoden Zufällige Faktoren Schätzung eines Modells Erwartungswerte der Quadratsummen Test des Effekts Modell der zweifaktoriellen Varianzanalyse Modell mit einfachen Effekten Testen und Schätzen im Zwei-Faktor-Modell Tafel der Varianzanalyse Balanciertes Design Modell mit Interaktion Tafel der Varianzanalyse Schätzer im balancierten Design Effekte als schätzbare Funktionen bzw. Kontraste Interaktionseffekte Das zweifaktorielle Modell mit zufälligen Effekten Erwartungswerte der Residuen-Quadratsummen Tests k - Design Randomisierte Blockdesigns Vollständig randomisiertes Block-Design Modell und Auswertung Designs mit 2 Blockeffekten Unvollständige Blockdesigns

4 INHALTSVERZEICHNIS Unverbundenes unvollständiges Blockdesigns Das balancierte unvollständige Blockdesigns Das partiell balancierte unvollständige Blockdesign Zyklisches Block-Design Bemerkungen Design mit wiederholten Messungen Multivariater Ansatz Traditionelle (alte) Repeated Measures Analyse Mixed Models

5 1 VERGLEICH ZWEIER BEHANDLUNGEN 5 1 Vergleich zweier Behandlungen Modell: y ij = µ i + ε ij i = 1, 2 Anzahl an Gruppen j = 1,... n i Beobachtungen in den Gruppen ε ij i.i.d. N(0, σ 2 ) (1) H 0 : µ 1 = µ t-test für unabhängige Stichproben H 0 : µ 1 = µ 2 Teststatistik: T = ȳ1. ȳ 2. ˆσ mit ȳ i. = 1 n i n i Varianzschätzung: ˆσ 2 = 1 n n 2 j=1 y ij 1 n 1 + n 2 2 Verteilung der Teststatistik: T H 0 t(n 1 + n 2 2) H 0 ablehnen, falls: 2 n i (y ij ȳ i.) 2 i=1 T > t 1 α 2 (n 1 + n 2 2) j=1 1.2 Darstellung als lineares Modell Quadratsummenzerlegung Allgemein: (Y Ȳ ) (Y Ȳ ) = (Y Ŷ ) (Y Ŷ ) + (Ŷ Ȳ ) (Ŷ Ȳ ) SST = SSE + SSM Gesamt-Streuung = Fehler-Quadratsumme + Modell-Quadratsumme Total Error Model hier: 2 n i (y ij ȳ..) 2 = i=1 j=1 2 n i (y ij ȳ i.) 2 + i=1 j=1 2 n i (ȳ i. ȳ..) 2 i=1 j=1

6 1 VERGLEICH ZWEIER BEHANDLUNGEN 6 (1) kann als lineares Regressionsmodell angesehen werden. F-Test der Overall-Hypothese µ 1 = µ 2 im Rahmen des linearen Modells H 0 : µ 1 = µ 2 Teststatistik: F = MSM MSE = = SSM/1 SSE/(n 1 + n 2 2) 2 i=1 ni j=1 (ȳ i. ȳ..) 2 ˆσ 2 = n 1(ȳ 1. ȳ..) 2 + n 2 (ȳ 2. ȳ..) 2 ˆσ 2 Verteilung der Teststatistik: F H 0 F (1, n 1 + n 2 2) H 0 ablehnen, falls: F > F 1 α (1, n 1 + n 2 2) Äquivalent zum t-test: F = T Umgang mit Abweichungen von Annahmen Überprüfung und Darstellung mit Box-Plot Variante des t-tests für ungleiche Varianzen (siehe z.b. Fahrmeir et al., oder SPSS) t-test bleibt für große Stichproben auch ohne NV-Annahme gültig Alternative : Wilcoxon-Rangsummentest bei Daten mit Ausreißern Transformationen sollten genutzt werden, falls die entsprechenden Skalen interpretierbar sind Randomisierungstest

7 1 VERGLEICH ZWEIER BEHANDLUNGEN Bestimmung des nötigen Gruppenumfangs Vorgaben: Signifikanzniveau α Fehler 2. Art β minimaler zu entdeckender Effekt δ = µ 1 µ 2 Varianz σ 2 (Annahme bzw. Schätzung) Allgemein gilt unter Modell (1): T t(nc, n 1 + n 2 2) mit Nichtzentralitätsparameter nc = µ 1 µ 2 q σ n 1 n 2 H 0 ablehnen, falls T > t 1 α 2 (0, n 1 + n 2 2) Gütefunktion P ( T t 1 α ) = G(nc) = G δ 2 σ Bei gegebenen δ, σ wähle n 1, n 2 so dass gilt 1 n n 2 = G(δ, σ, n 1, n 2 ) G(δ, σ, n 1, n 2 ) 1 β (2) Da die Gütefunktion monoton in n 1 und n 2 ist, kann man eine minimale Lösung für (2) finden. 1 Bei konstanter Summe n 1 + n 2 : n n 2 minimal für n 1 = n 2 Optimale Aufteilung für n 1 = n 2. Konkrete Berechnung Nötiger Gruppenumfang bei n 1 = n 2 = n, damit minimale Lösung von G(δ, σ, n, n) 1 β Beachte: t 1 α (0, 2n 2) ebenfalls vom Stichprobenumfang abhängig. 2 Insgesamt ist folgende Integralgleichung zu lösen: ( ) t1 α (0,2n 2) 2 µ 1 µ 2 f(x)dx β, f : Dichte der t σ 2/n, 2n 2 Verteilung t α 2 (0,2n 2) Der nötige Gruppenumfang fn ist also eine Funktion von α, β, δ, σ: Bezeichnung: fn(α, β, δ, σ) Aufgrund der Monotonieeigenschaften ist die Existenz gesichert.

8 1 VERGLEICH ZWEIER BEHANDLUNGEN 8 Eigenschaften der Funktion fn a) fn(α, β, δ 1, σ 1 ) = fn(α, β, δ 2, σ 2 ), falls δ 1 σ 1 = δ 2 σ 2 fn hängt also nur von der Effektstärke δ σ ab. b) fn ist monoton fallend in δ/σ c) fn ist monoton fallend in β und α. Die konkrete Berechnung erfolgt mit Tabellen oder entsprechenden Computerprogrammen. Bock (1998): Bestimmung des Stichprobenumfangs. Oldenbourg-Verlag. Ackermann: Bias ( Russ Lenth: rlenth/power/ Bemerkungen Berechnungen möglich für konstantes Verhältnis n 2 = λn 1 Berechnung ebenfalls möglich für ungleiche Varianzen Annahmen zur Varianz nötig (eventuell Bereich der Daten /4) Berechnungen für einseitige Tests analog Kleine Unterschiede in Programmen durch Runden und Numerik Nötiger Gruppenumfang in konkreten Fällen (zweiseitige Fragestellung, α = 0.05, β = 0.2) δ/σ Gruppenumfang fn 2 6 1, ,5 64 0,1 1571

9 2 DESIGN MIT EINEM FAKTOR (EINFAKTORIELLE ANOVA) 9 2 Design mit einem Faktor (einfaktorielle ANOVA) Wir betrachten ein Experiment mit einem Faktor A mit a Stufen. Sei n i der Gruppenumfang für die Faktorstufe i {1,..., a} und N = a i=1 n i der Gesamtumfang. Wird die Zuordnung zu den Stufen des Faktors randomisiert (d.h. alle möglichen ( ) N n 1 n a Zuordnungen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit), so spricht man von einem vollständig randomisierten Experiment (Design). Ist n 1 =... = n a, so spricht man von einem balancierten Design. 2.1 Modell der Varianzanalyse y ij = µ i + ε ij (Mittelwertdarstellung) oder y ij = µ + τ i + ε ij, τi = 0 (Effektdarstellung) y ij = µ + τ i + ε ij, τ a = 0 (Darstellung mit Referenzkategorie a) ε ij i.i.d. N(0, σ 2 ) (3) i = 1,..., a j = 1,..., n i Anzahl an Gruppen Beobachtungen in den Gruppen 2.2 Die Auswertung erfolgt mit der Theorie des linearen Modells Schätzung: Konfidenzintervalle: ˆµ i = 1 n i y ij = ȳ i. n i j=1 ˆτ i = ȳ i. 1 a a ȳ k. (Effektkodierung) k=1 ˆτ i = ȳ i. ȳ a. (Referenzkodierung) ˆσ 2 = SSE N a ˆµ i ± t 1 α 2 (N a) ˆσ/ n i

10 2 DESIGN MIT EINEM FAKTOR (EINFAKTORIELLE ANOVA) Der Overall-Test Quadratsummenzerlegung Residuenquadratsumme unter H 0 (Gesamt-Streuung Total ): SST = a n i (y ij ȳ..) 2 i=1 j=1 Residuenquadratsumme ohne H 0 (Fehler-Quadratsumme Error ): SSE = a n i (y ij ȳ i.) 2 i=1 j=1 (Durch den Faktor A) erklärte Modellvarianz: SSA = SST SSE = a n i (ȳ i. ȳ..) 2 i=1 j=1 Der Overall-Test bzw. H 0 : H 0 : µ 1 = = µ a (Mittelwertdarstellung) Teststatistik: F = τ 1 = = τ a = 0 (Effekt- und Referenzkodierung) SSA/(a 1) SSE/(N a) Verteilung der Teststatistik: F H 0 F (a 1, N a) H 0 ablehnen, falls: F > F 1 α (a 1, N a)

11 2 DESIGN MIT EINEM FAKTOR (EINFAKTORIELLE ANOVA) Bestimmung des geeigneten Gruppenumfangs für die ANOVA Wir betrachten die Verteilung der F-Statistik unter der Alternative: F besitzt eine nichtzentrale F-Verteilung mit Nichtzentralitätsparameter nc = Σn i(µ i µ) 2 σ 2 mit µ = Σn i µ i /N Da a priori nicht bekannt ist, welcher Mittelwert am stärksten vom Gesamtmittel abweicht, setzt man n 1 =... = n a = n (balanciertes Design). Damit sind aber Forderungen noch nicht sinnvoll festgelegt. Man betrachtet den ungünstigsten Fall: µ max µ min = δ und für alle anderen Mittelwerte gelte: Dann ist nc = n (µ max µ min ) 2 2σ 2 = n δ2 2σ 2. Annahmen zum Gruppenumfang µ i = µ = µ min + µ max. 2 Vorgaben: Signifikanzniveau α, Fehler 2. Art β Varianz σ 2 (Annahme bzw. Schätzung) minimaler zu entdeckender Effekt als (standardisierte) Spannweite δ Die Gütefunktion des F-Tests ist dann wieder monoton. Der minimale Gruppenumfang ergibt sich wieder als Lösung der entsprechenden Integralgleichung. Konkrete Berechnung mit BIAS, Power (Russ Lenth) oder aus Bock (1998). Gruppenumfänge für die ANOVA Einige Werte (α = 0.05, β = 0.2) Gruppenzahl a Spannweite δ Gruppenumfang n 3 0, ,

12 3 EINZELNE MITTELWERTSVERGLEICHE 12 3 Einzelne Mittelwertsvergleiche Von Interesse sind Vergleiche der einzelnen Mittelwerte. Inhaltlich geht es um die Frage (falls der F-Test signifikant ist): Wo liegen die Mittelwertsunterschiede? Zunächst können im Rahmen des linearen Modells beliebige Hypothesen der Form Cβ = const getestet werden. Insbesondere können Linearkombinationen der Form a i=1 c iµ i = 0 getestet werden. Gilt Σc i = 0, so bezeichnet man a i=1 c iµ i als linearen Kontrast. Für die verschiedenen Parametrisierungen gilt Σc i µ i = Σc i τ EF F i = Σc i τ REF i Daher werden die Kontraste auch manchmal als schätzbare Funktionen bezeichnet. (Ihre Werte sind unabhängig von der Parametrisierung) 3.1 Spezielle Kontraste Einfache Mittelwertsvergleiche (inkl. Vergleich mit Kontrolle) µ 3 µ 5 = (0, 0, 1, 0, 1, 0)(µ 1, µ 2, µ 3, µ 4, µ 5, µ 6 ) Vergleich mit Gesamtmittel, z.b.: µ 1 1 a µ i, c = (1 1 a a, 1 a, 1 a, 1 a, 1 a, 1 a ) Vergleiche von Mitteln aus verschiedenen Gruppen, z.b. i=1 Vergleiche von Mittelwertsunterschieden: µ 1 + µ 2 2 µ 3 + µ 4 2 (µ 1 µ 2 ) (µ 3 µ 4 ) Trend-Kontrast (linear) z.b. Allgemein c i = n i (N x i a i=1 n ix i ) 3µ 4 + µ 3 µ 2 3µ 1 x i : (metrische) Größe der Behandlung Für gleiche n i : c i = a x i Σx i Analog können Kontraste zu Polynomen höherer Ordnung gebildet werden.

13 3 EINZELNE MITTELWERTSVERGLEICHE Tests für Kontraste Die Kontraste können einzeln getestet werden: c ˆτ /ˆσ c = c ˆµ/ˆσ c t(n a) Dabei ist die Varianzschätzung ˆσ 2 c = ˆσ 2 c(x X) 1 c ˆσ 2 c = ˆσ 2 a i=1 c 2 i n i (4) (X X) 1 = diag( 1 n i, i = 1,..., a) Bemerkung: Die Formel (4) kann auch direkt aus der Mittelwertschätzung unter Berücksichtigung der Unabhängigkeit und der gemeinsamen Varianzschätzung hergeleitet werden.

14 4 MULTIPLES TESTPROBLEM 14 4 Multiples Testproblem Motivation Beim Testen von mehreren einzelnen Hypothesen zum Niveau α wird die Wahrscheinlichkeit, dass eine Hypothese fälschlicherweise abgelehnt wird, hoch. Abhilfe: multiple Testprozeduren. Gegeben: Hypothesen H 0,1,..., H 0,k z.b.: H 0,1 : µ 1 = µ 2 H 0,2 : µ 1 = µ 3 usw. Test-Niveaus lokales Niveau: Einzelniveau der Tests globales Niveau: Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl alle Nullhypothesen gelten. multiples Niveau: Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird. Verfahren für die einfache ANOVA (Übersicht) Bonferroni: Allgemeine Methode für k Vergleiche, die für beliebige Designs anwendbar ist Scheffe: Allgemeine Methode für eine große Anzahl von Kontrasten Tukey: Gute Methode für alle Paarvergleiche Dunnett: Gute Methode für alle Behandlungs-Kontroll-(Many to one) Vergleiche Abschlussprozeduren: Für Testsysteme häufig mächtiger als andere Prozeduren Andere Verfahren halten das multiple Niveau nicht und sollten daher eher gemieden werden: Duncan multiple Range, Fisher LSD, Newman-Keuls.

15 4 MULTIPLES TESTPROBLEM Bonferroni Allgemeine Methode für k Vergleiche, die für beliebige Designs anwendbar ist Verwende bei k vorher festgelegten Tests jeweils das lokale Signifikanzniveau α lokal = α/k Die Eigenschaften folgen unmittelbar aus der Bonferroni Ungleichung ( ) P Ei P (E i ) Eigenschaften Sehr allgemein anwendbar Einfach durchführbar Hält multiples Niveau Bei sehr vielen Tests ungeeignet, da die Power gering ist 4.2 Scheffe Allgemeine Methode für eine große Anzahl von Kontrasten Verwende Scheffe bei der Exploration von vielen Tests (nicht nur Mittelwertsvergleiche) Das Verfahren liefert simultane Konfidenzintervalle für alle (unendlich vielen) linearen Kontraste Idee: F-Statistik kann als Maximum aller möglichen Linearkombinationen der Parameter angesehen werden (siehe Vorlesung Lineare Modelle Satz 3.14) Simultane Konfidenzintervalle: ˆγ ± af 1 α (a, N a) ˆσˆγ für beliebige Linearkombinationen γ = c (µ 1,..., µ a ) simultane Konfidenzintervalle. Allgemein liefern simultane Konfidenzintervalle Test-Prozeduren, die das multiple Niveau halten: P(mindestens eine Nullhypothese wird fälschlicherweise verworfen) = P(mindestens ein KI für einen Kontrast enthält nicht den wahren Wert) Eigenschaften Bei Verwendung der Theorie des linearen Modells immer anwendbar Einfach durchführbar Hält multiples Niveau Bei sehr vielen Tests gut geeignet, insbesondere für exploratives Vorgehen Power gering für geringe Anzahl von Hypothesen

16 4 MULTIPLES TESTPROBLEM Tukey studentized Range Gute Methode für alle Paarvergleiche Verfahren für Hypothesen, die nur Unterschiede zwischen Mittelwerten betreffen. Idee: Verwende die Verteilung der Studentized range distribution : Q = max i,j T i T j / ( ˆσ/ n ) T i = ȳ i. µ i n i = n Bemerkung: Die Spannweite ist das Maximum der paarweisen Differenzen Sei Q(a,N-a) die Verteilung der Spannweite von a unabhängigen studentisierten Normalverteilungen. Sie ist bestimmt durch a und die Anzahl der Freiheitsgrade für die Schätzung von σ. Multiple Spannweitentests Betrachte die Spannweite max i,j T i T j der Testgrößen T 1,..., T a mit T i = ȳ i µ i d.h. wir erhalten simultane KIs. Q = max i,j T i T j / ( ˆσ/ n ) P (Q q) = α = P (max i,j T i T j / ( ˆσ/ n ) q) = α = P ( i, j : T i T j q ( ˆσ/ n )) = α = P ( i, j : ȳ i. ȳ j. (µ i µ j ) q ( ˆσ/ n )) = α = P ( i, j : [ȳ i. ȳ j. ± q ( ˆσ/ n )] µ i µ j ) = α Simultane Konfidenzintervalle (allgemeine Form) [ µ i µ j = τ i τ j (ȳ i. ȳ j.) ± q α (a, N a) ] 1/2ˆσ 1/n i + 1/n j q : Quantil von Q(a,N-a) Eigenschaften Power im Fall von allen Paarvergleichen größer als bei Scheffe oder Bonferroni Hält multiples Niveau Nur für Mittelwertsunterschiede anwendbar Gut geeignet als exploratives Verfahren

17 4 MULTIPLES TESTPROBLEM Dunnetts-Test für Vergleich von Behandlungen gegen Kontrolle Gute Methode für alle Behandlungs-Kontroll-(Many to one) Vergleiche Letzte Stufe des Faktors sei Kontrolle. Balanciertes Design mit Gruppenumfang n i = n Wir betrachten die Verteilung von ȳ i. ȳ a. (µ i µ a ), i = 1,..., a 1 Multivariate t-verteilung mit spezieller Korrelationsstruktur: corr(ȳ i. ȳ a., ȳ j. ȳ a.) = ρ = 0.5. Zur Konstruktion von simultanen KIs wird das Maximum dieser multivariaten Verteilung verwendet Konfidenzintervall: 2 τ i τ a (ȳ i. ȳ a. ± w D ˆσ n ) w D : Quantil des Maximums der Absolutwerte von a 1 t-verteilungen mit Korrelation 0.5. Eigenschaften Power höher als bei Tuckey, Scheffe, Bonferroni Hält multiples Niveau Für den nicht balancierten Fall τ i τ a 1 (ȳ i. ȳ a. ± w D ˆσ + 1 ) n i n a Korrelation ist arithmetisches Mittel der (a-1)*(a-2)/2 Einzelkorrelationen Für eine optimale Power ist der Stichprobenumfang der Kontrolle um den Faktor a 1 höher als die der anderen Gruppen zu wählen

18 4 MULTIPLES TESTPROBLEM Abschlussprozeduren Für Testsysteme häufig mächtiger als andere Prozeduren Diese Prozeduren wurden von Marcus, Peritz und Gabriel (1976) entwickelt. Allgemeines Verfahren für Hypothesen-Systeme Beispiel: 4 Behandlungen aller Mittelwertsvergleiche H 12 : µ 1 = µ 2 H 13 : µ 1 = µ 3... H 34 : µ 3 = µ 4 (Elementarhypothesen) Bilde aus Elementarhypothesen Schnitthypothesen: Hierarchie von Hypothesen H 12 H13 : µ 1 = µ 2 = µ 3 ect. Lehne Elementarhypothesen genau dann ab, falls sich bei ihrer Prüfung und bei allen Durchschnittshypothesen, die diese Hypothese enthält, eine Signifikanz zum Niveau α ergibt. Beispiel zum Abschlusstest H 1234 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 H 123 : µ 1 = µ 2 = µ 3 H 124 : µ 1 = µ 2 = µ 4 H 134 : µ 1 = µ 3 = µ 4 H 234 : µ 2 = µ 3 = µ 4 H 12 H 34 : µ 1 = µ 2, µ 3 = µ 4 H 13 H 24 : µ 1 = µ 3, µ 2 = µ 4 H 14 H 23 : µ 2 = µ 4, µ 3 = µ 4 H 12 : µ 1 = µ 2 H 13 : µ 1 = µ 3 H 14 : µ 1 = µ 4 H 23 : µ 2 = µ 3 H 24 : µ 2 = µ 4 H 34 : µ 3 = µ 4 Zur Überprüfung von H 12 sind H 12 H34, H 123, H 124, H 1234 zu prüfen! Vorteil: Niveau α bei jedem Einzel -Test. Beispiele 1. Vergleich von 3 Gruppen: a) Overall F-Test b) Einzeltests auf dem Niveau α 2. Vergleich von 3 Gruppen mit einer Kontrolle: a) Overall F-Test b) 3 F-Tests mit je 2 Behandlungen + Kontrolle c) 3 t-tests (Vergleich mit Kontrolle jeweils zum Niveau α)

19 4 MULTIPLES TESTPROBLEM 19 Eigenschaften sehr allgemeines Prinzip mit hoher Power Verschiedene Varianten je nach Vorgabe der Einzeltests Durchführung häufig aufwendig Verfahren liefert keine Konfidenzintervalle Verfahren lässt sich auf beliebige Hypothesensysteme anwenden Das Holm-Prinzip Idee: Verwende Abschlusstest mit Bonferroni-Adjustierung für die Schnitthypothesen Entscheidungsprozedur: Im ersten Schritt prüft man (mit einem dazu geeigneten Test) jede der k = a(a 1)/2 Hypothesen H ij auf dem Signifikanzniveau α/k bzw. jede der a Hypothesen H i0 auf dem Signifikanzniveau α/a. Ergibt sich dabei keine Signifikanz, wird keine Hypothese abgelehnt, und die Prozedur endet. Ergeben sich jedoch l 1 Signifikanzen (l 1 1), werden die zugehörigen l 1 Hypothesen abgelehnt. Falls l 1 = k bzw. l 1 = a ist, ist die Prozedur beendet. Andernfalls werden die restlichen k l 1 bzw. a l 1 Hypothesen auf dem Signifikanzniveau α/(k l 1 ) bzw. α/(a l 1 ) geprüft. Ergibt sich dabei keine Signifikanz, wird keine weitere Hypothese abgelehnt, und die Prozedur endet. Ergeben sich jedoch l 2 Signifikanzen (l 2 1), werden auch die zugehörigen l 2 Hypothesen abgelehnt (zusätzlich zu den l 1 bereits abgelehnten Hypothesen). Falls l 1 + l 2 = k bzw. l 1 + l 2 = a ist, endet die Prozedur. Andernfalls werden die restlichen k l 1 l 2 bzw. a l 1 l 2 Hypothesen auf dem Signifikanzniveau α/(k l 1 l 2 ) bzw. α/(a l 1 l 2 ) geprüft usw Das Verfahren nach Ryan-Einot-Gabriel-Welsch Idee: Abschlussprinzip und verwende für disjunkte Schnitt-Hypothesen geeignete Adjustierung des Einzelniveaus. α m := α für m a 1 α m := 1 (1 α) m/a für 2 m a 2

20 4 MULTIPLES TESTPROBLEM 20 Führe F-Tests der Gleichheit von m Mittelwerten zum Niveau α m durch. Zwei Mitttelwerte unterscheiden sich signifikant, falls alle F-Tests, die diese Werte enthalten, signifikant sind. Das Verfahren wird als Step-Down Prozedur realisiert. Es müssen nur Untermengen von signifikanten Gruppen getestet werden. Rechnerisch einfacher ist ein Verfahren, dass auf dem Spannweiten-Test basiert. Eigenschaften Verfahren mit der größten Power Liefert keine Konfidenzintervalle Rechenaufwendig F-Variante in SPSS, Spannweitenvariante auch in SAS 4.6 Allgemeine Überlegungen Manche Autoren halten multiple Testprozeduren für nicht sinnvoll und plädieren für Einzeltests zum lokalen Niveau. Es bleibt unklar, welche Hypothesen generell in die multiple Betrachtung einbezogen werden müssen Gemeinsame Interpretation der Testergebnisse Voraussetzung für Verwendung multipler Testprozduren Besonders zur Kontrolle des Fehlers 1. Art und bei wenigen zu erwartenden Signifikanzen sind multiple Prozeduren sinnvoll Multiple Prozeduren erhöhen den Fehler 2. Art bei vielen Hypothesen beträchtlich 4.7 Empfehlungen 1. Klärung der Notwendigkeit von multiplem, globalem oder Einzelniveau 2. Verwende Scheffe bei der Exploration von vielen Tests (nicht nur Mittelwertsvergleiche) 3. Verwende Tukey oder REGW für Tests von Mittelwertsvergleichen 4. Verwende Dunnet für Kontroll Behandlungsvergleiche 5. Für vorgegebene Hypothesenssyteme verwende Bonferroni-Holm oder konstruiere Abschlusstest

21 5 ABWEICHUNGEN VON DEN MODELLANNAHMEN 21 5 Abweichungen von den Modellannahmen - Ungleiche Varianzen - Normalverteilungsannahme nicht erfüllt - Ausreißer - Systematischer Fehler - Abhängigkeiten 5.1 Strategie zur Prüfung von Modellannahmen Modell der Varianzanalyse y ij = µ i + ε ij (Mittelwertdarstellung) oder y ij = µ + τ i + ε ij, τi = 0 (Effektdarstellung) y ij = µ + τ i + ε ij, τ a = 0 (Darstellung mit Referenzkategorie a) ε ij i.i.d. N(0, σ 2 ) (5) i = 1,..., a j = 1,..., n i Anzahl an Gruppen Beobachtungen in den Gruppen Annahmen beziehen sich auf den Term ε ij = Betrachte Residuen ˆε ij = y ij ȳ i. bzw. standardisierte Residuen ˆε ij /ˆσ 5.2 Plots Plots zur visuellen Prüfung der Varianzgleichheit und der Normalverteilungsannahme - Boxplots der Einzelgruppen (Varianzgleichheit und Normalverteilungsannahme) - Residuen gegen vorhergesagte Werte (Varianzgleichheit) - qq-plots der einzelnen Gruppen und der Residuen (Normalverteilungsannahme) 5.3 Test auf Varianzgleichheit - Bartlett-Test (Setzt Normalverteilung voraus) - Levene-Test (besser geeignet (auch bei nicht-nv Größen))

22 5 ABWEICHUNGEN VON DEN MODELLANNAHMEN 22 Levene-Test In einer Stichprobe vom Umfang N und mit den Umfängen n i der a Unterstichproben (den einzelnen Gruppen) ist die Statistik W = (N a) a i=1 n i( Z i. Z..) 2 (a 1) a ni i=1 j=1 (Z ij Z i.) 2 F-verteilt mit (a 1) und (N a) Freiheitsgraden. Dabei kann Z ij für eine der drei folgenden Größen stehen: Z ij = Y ij Ȳi mit Ȳi als dem arithmetischen Mittel in der i-ten Gruppe Z ij = Y ij Ỹi mit Ỹi als dem (meist: 10%) getrimmten arithmetischen Mittel in der i-ten Gruppe Z ij = Y ij Ỹi mit Ỹi als dem Median in der i-ten Gruppe 5.4 Empfehlungen Nach Simulationsstudien ist die ANOVA relativ robust gegenüber Abweichungen von der Annahme der Varianzgleichheit Faustregel: ˆσ 2 max/ˆσ 2 min > 5(3) = verwende alternative Prozeduren Test nur dann, falls die Hypothese auch für sich genommen interessant ist.

23 5 ABWEICHUNGEN VON DEN MODELLANNAHMEN Andere Methoden Im Fall ungleicher Varianzen - Welch - REML (Proc Mixed) Prinzip: Verteilung der F-Statistik ohne Annahme der Varianz-Homogenität - Variante des t-tests für ungleiche Varianzen (siehe z.b. Fahrmeir et al., oder SPSS) Normalverteilungsannahme nicht erfüllt - t-test bleibt für große Stichproben auch ohne NV-Annahme gültig - ANOVA mit Rängen = Kruskal-Wallis-Test Prinzip: Rechne mit den Rängen aus der gepoolten Stichprobe - Transformationen sollten genutzt werden, falls die entsprechenden Skalen interpretierbar sind, insbesondere bei Zusammenhang zwischen Varianz und Mittelwert - Verwendung von generalisierten linearen Modellen (z.b. Gamma-Modell, Poisson etc.) Bei Ausreißern - ANOVA mit Rängen = Kruskal-Wallis-Test Prinzip: Rechne mit den Rängen aus der gepoolten Stichprobe Weitere Alternative ohne Modellannahmen - Randomisierungstest

24 6 ZUFÄLLIGE FAKTOREN 24 6 Zufällige Faktoren Beispiel: Einfluss des Produktionstages auf Parameter Experiment: Wähle 6 (zufällige) Tage Modell: y ij = µ + τ i + ε ij τ i i.i.d. N(0, σ 2 τ) ε ij i.i.d. N(0, σ 2 ) τ i und ε ij unabhängig 6.1 Schätzung eines Modells Von Interesse: σ 2 τ und σ 2 Die einzelnen τ i sind nur von sekundärem Interesse. Varianzkomponentenmodell Test: Nullhypothese: σ 2 τ = 0 Schätzung von σ 2 τ V (y) = σ 2 + σ 2 τ 6.2 Erwartungswerte der Quadratsummen Wir betrachten die Varianzzerlegung der ANOVA: [ a ] n i E(SSE) = E (y ij ȳ i.) 2 = (N a) σ 2 i=1 j=1 [ a ] E(SSM) = E n i ȳ i. Nȳ.. 2 = (N i=1 E(MSM) = c σ 2 τ + σ 2 c = N 2 a i=1 n2 i N(a 1) a n 2 i /N) στ 2 + (a 1) σ 2 i=1 = n für gleiche n i = n

25 6 ZUFÄLLIGE FAKTOREN 25 liefert erwartungstreuen Schätzer für σ 2 τ. E [(MSM MSE)/c] = σ 2 τ Berechnung der erwarteten Quadratsumme E(M SE) Die Herleitung für den MSE erfolgt mit Hilfe bedingter Erwartungen MSE = 1 N a a n i (y ij ȳ i.) 2 i=1 j=1 E(MSE) = E[E(MSE τ 1,..., τ a )] = E(σ 2 ) = σ 2 Berechnung der erwarteten Quadratsumme E(M SM) E( a a E(SSM) = E( n i (ȳ i. ȳ..) 2 ) = E( n i ȳi ) 2 E(Nȳ 2 ) a n i ȳi ) 2 = i=1 i=1 a n i [µ 2 + στ σ 2 ] n i i=1 ȳ i. = µ + τ i + 1 n i n i j=1 ε ij E(Nȳ 2 ) = Nµ 2 + N ( 1 N 2 i=1 a n 2 i στ N σ2 ) i=1 ȳ.. = µ + 1 a n i τ i + 1 a n i N N i=1 i=1 j=1 [ E(SSM) = (a 1)σ 2 + στ 2 N N E(MSM) = σ 2 + στ 2 N 2 a i=1 n2 i N(a 1) a i=1 n2 i ε ij ] 6.3 Test des Effekts Der F-Test ist auch im Fall des Varianzkomponentenmodells sinnvoll: Nullhypothese H 0 : σ τ = 0 Unter der Nullhypothese stimmt das Modell mit dem der einfachen ANOVA überein. F-Verteilung für M SM/M SE gültig. Weiter können Konfidenzintervalle für die Varianzkomponente bestimmt werden. Technische Umsetzung: SPSS: Allgemeines lineares Modell, Varianzkomponenten SAS: PROC GLM, PROC MIXED

26 7 MODELL DER ZWEIFAKTORIELLEN VARIANZANALYSE 26 7 Modell der zweifaktoriellen Varianzanalyse Wir betrachten zwei feste, diskrete Einflussgrößen (Faktoren) A und B mit a bzw. b Ausprägungen. Man spricht dann von einer zweifaktoriellen Varianzanalyse mit einem a-stufigen und einem b-stufigen Faktor. 7.1 Modell mit einfachen Effekten y ijk = µ + τ i + γ j + ɛ ijk τi = γ j = 0 (Effektdarstellung) τ a = τ b = 0 (Referenzkategorie) Interpretation von µ: Effektdarstellung: Ungewichteter Mittelwert über alle Faktorstufenkombinationen Referenzdarstellung: Mittelwert bei a (1. Faktor) und b (2. Faktor) Matrixschreibweise (Effektkodierung): µ E(Y ) = τ γ γ hier: 2 Beobachtungen pro Kombination der Faktoren: 1. Faktor hat 2 Stufen (a=2) 2. Faktor hat 3 Stufen (b=3) Test auf Effekt von A: Test auf Effekt von B: H 0 : τ 1 =... = τ a 1 = 0 H 0 : γ 1 =... = γ b 1 = 0

27 7 MODELL DER ZWEIFAKTORIELLEN VARIANZANALYSE Testen und Schätzen im Zwei-Faktor-Modell Schätzung der Parameter erfolgt mit Hilfe des linearen Modells F-Test für τ = 0, γ = 0. Kontraste können über die allgemeine lineare Hypothese getestet werden. µ τ γ Tafel der Varianzanalyse Effekt df QS MS Faktor A a 1 SSA MSA Faktor B b 1 SSB MSB Fehler N a b + 1 SSE MSE Total N 1 SST Balanciertes Design Bei der Effekt-Kodierung stehen die Vektoren der X-Matrix, die zu verschiedenen Faktoren gehören, aufeinander senkrecht e Z e i (A) = e Z e j (B) = 0 Z e i (A) Z e j (B) = 0 X = (e Z e 1(A)... Z e a 1(A) Z e 1(B)... Z b 1 (B)) Damit gilt: X X = e e Z(A) Z(A) Z(B) Z(B) = (X X) 1 (X Y ) = (e e) 1 e y (Z(A) Z(A)) 1 Z(A) y) (Z(B) Z(B)) 1 Z(B)y d.h. die Parametervektoren µ, τ, γ werden unabhängig voneinander geschätzt.

28 7 MODELL DER ZWEIFAKTORIELLEN VARIANZANALYSE 28 Schätzer im Balancierten Design d.h. n ij = n i {1,..., a}, j {1,..., b} ˆµ = ȳ ˆτ i = ȳ i ȳ ˆγ j = ȳ j ȳ SST = SSA + SSB + SSE a SSA = nb (ȳ i ȳ ) 2 SSB = na i=1 b j=1 (ȳ j ȳ ) 2 a b n SSE = n (y ijk ȳ i ȳ j + ȳ ) 2 i=1 j=1 k=1 7.2 Modell mit Interaktion y ijk = µ + τ i + γ j + (τγ) ij + ε ijk τi = 0 γj = 0 (τγ) ij = i j (τγ) ij = 0 Die Effekte (τγ) ij beschreiben die Interaktionen. Test auf Interaktion: H 0 : (τγ) 11 =... = (τγ) a 1,b 1 = 0 Formale Beschreibung des Modells Interaktionen lassen sich durch Aufnahme aller Produktterme Z e k (A)Ze l (B), k {1,..., a 1}, l {1,..., b 1} modellieren: Y = (e, Z e 1(A),..., Z b 1 (B), Z e 1(A)Z e 1(B),..., Z a 1 (A)Z b 1 (B)) µ τ 1. γ b 1 (τγ) 11. (τγ) a 1,b 1

29 7 MODELL DER ZWEIFAKTORIELLEN VARIANZANALYSE 29 Design-Matrix (Effektkodierung) Design-Matrix X für 2-Faktor-Modell mit einem zweistufigen und einem dreistufigen Faktor: (jeweils eine Beobachtung pro Merkmalskombination). e τ 1 γ 1 γ 2 (τγ) 11 (τγ) X = Tafel der Varianzanalyse Effekt df QS MS Faktor 1 a 1 SSA MSA Faktor 2 b 1 SSB MSB Interaktion (a 1)(b 1)) SSAB Fehler N ab + 1 SSE MSE Total N 1 SST Schätzer im balancierten Design ˆµ = ȳ ˆτ i = ȳ i ȳ ˆγ j = ȳ j ȳ (τγ) ij = ȳ ij (ȳ i + ȳ j ȳ ) SST = SSA + SSB + SSAB + SSE a SSA = nb (ȳ i ȳ ) 2 SSB = na i=1 b j=1 i=1 (ȳ j ȳ ) 2 a b SSAB = n (ȳ ij (ȳ i + ȳ j ȳ )) 2 j=1 a b n SSE = n (y ijk ȳ ij ) 2 i=1 j=1 k=1

30 8 EFFEKTE ALS SCHÄTZBARE FUNKTIONEN BZW. KONTRASTE 30 8 Effekte als schätzbare Funktionen bzw. Kontraste y ijk = µ + τ i + γ j + (τγ) ij + ε ijk, i = 1,..., 3, j = 1,..., 3 Unterschied von A1 zu A2: 1/3(µ 11 + µ 12 + µ 13 ) 1/3(µ 21 + µ 22 + µ 23 ) = 1/3 [(3 τ 1 + (τγ) 11 + (τγ) 12 + (τγ) 13 ) (3 τ 2 + (τγ) 21 + (τγ) 22 + (τγ) 23 )] Unterschied von A1 zum Mittelwert 1/3(µ 11 + µ 12 + µ 13 ) 1/9 µ ij = i j 1/9 [(6 τ 1 3 τ 2 3 τ (τγ) (τγ) (τγ) 13 (τγ) 21 (τγ) 22 (τγ) 23 (τγ) 31 (τγ) 32 (τγ) 33 ) ] Beachte: Im Fall der Effektkodierung fallen alle Interaktionsterme weg. Dann entspricht der Effekt dem Wert von τ Interaktionseffekte Unterschied der Zelle 11 zu dem Modell mit einfachen Effekten: µ 11 1/3(µ 11 + µ 12 + µ 13 ) 1/3(µ 11 + µ 21 + µ 31 ) + 1/9 µ ij = i j = 1/9(4µ 11 2(µ 12 + µ 13 + µ 21 + µ 31 ) + µ 22 + µ 23 + µ 32 + µ 33 ) = 1/9 (4 (τγ) 11 2 [(τγ) 12 + (τγ) 13 + (τγ) 21 + (τγ) 31 ]) +(τγ) 22 + (τγ) 23 + (τγ) 32 + (τγ) 33 ) Der Kontrast ergibt sich auch direkt aus den Nebenbedingungen als (τγ) 11. Beachte, dass einfache Effekte in der Referenzkodierung nur die Effekte in der Referenzkategorie des anderen Faktors darstellen! 8.2 Das zweifaktorielle Modell mit zufälligen Effekten y ijk = µ + τ i + γ j + (τγ) ij + ε ijk ε ijk i.i.d. N(0, σ 2 ) τ i i.i.d. N(0, σa) 2 γ j i.i.d. N(0, σb) 2 (τγ) ij i.i.d. N(0, σab) 2

31 8 EFFEKTE ALS SCHÄTZBARE FUNKTIONEN BZW. KONTRASTE Erwartungswerte der Residuen-Quadratsummen Balanciertes Design n: Gruppenumfang pro Kombination E(MSE) = σ 2 E(MSA) = σ 2 + bnσa 2 + nσab 2 E(MSB) = σ 2 + anσb 2 + nσab 2 E(MSAB) = σ 2 + nσab 2 Allgemein gilt: SSX E(MSX) χ2 (df(x)) 8.4 Tests Test von σ 2 A Test von σ 2 AB = 0 durch MSA MSAB = 0 durch MSAB MSE (Unterschied zum Modell mit festen Effekten) (Identisch zum Modell mit festen Effekten) Kritischer Punkt: Falls σab 2 0: Test auf σ2 A = 0 sinnvoll? σab 2 MSA 0 = Verwende (identisch mit herkömmlichem F-Test). MSE k - Design Im Fall von 2-stufigen Faktoren lassen sich die Effekte einfach darstellen. Alle Effekte haben nur einen Freiheitsgrad. Jeder Effekt lässt sich als einen Kontrast darstellen. Geometrische Darstellung im Fall k=2,3.

32 8 EFFEKTE ALS SCHÄTZBARE FUNKTIONEN BZW. KONTRASTE 32 Beispiel: Design Factorial Factor Combination Effekt (1) a b ab c ac bc abc I A B AB C AC BC ABC Tabelle 1: Darstellung der Effekte A = 1 [a (1) + ab b + ac c + abc bc], 4 B = 1 [b + ab + bc + abc (1) a c ac], 4 C = 1 [c + ac + bc + abc (1) a b ab], 4 AB = 1 [(1) + ab + c + abc a b ac bc], 4 AC = 1 [(1) + b + ac + abc a ab c bc], 4 BC = 1 [(1) + a + bc + abc b ab c ac], 4 ABC = 1 [(abc bc) (ac c) (ab b) + (a (1))] 4 = 1 [abc + a + b + c ab ac bc (1)]. 4 Die Buchstaben entsprechen den Mittelwerten der Faktorkombinationen.

33 9 RANDOMISIERTE BLOCKDESIGNS 33 9 Randomisierte Blockdesigns Vergleich verschiedener Behandlungen Störfaktor für mögliche Behandlungseffekte, der kontrolliert werden kann. Beispiele: Abschnitte in Feldern bei Versuchen zu Erträgen in der Landwirtschaft Würfe bei Tieren Schichten Personen bei Mehrfachmessungen Blöcke Stufen des Störfaktors Ziel: Behandlungseffekt im Mittel über die verschiedenen Blöcke herausfinden 9.1 Vollständig randomisiertes Block-Design Jede Behandlung kommt in jedem Block genau einmal vor Randomisierte Zuordnung der Einheiten innerhalb eines Blocks, z.b. Block Behandlung Modell und Auswertung Analyse mit 2-faktorieller ANOVA ohne Interaktion analog zum Zweifaktormodell Unterschiede nur in den Schwerpunkten der Analyse Design kann als Verallgemeinerung des verbundenen t-tests gesehen werden Effizienzgewinn bei starkem Blockeffekt Beim Design ohne Wiederholung ist eine Untersuchung von Interaktionen zwischen Blöcken und Faktor nicht möglich Vollständig randomisiertes Blockdesign auch möglich bei mehreren Faktoren Auswertung auch mit Randomisierungstest möglich Nichtparametrisches Analogon: Friedman Test (Bildung von Rängen innerhalb jedes Blocks)

34 9 RANDOMISIERTE BLOCKDESIGNS Designs mit 2 Blockeffekten Idee: simultane Balancierung bezüglich mehrerer Blockvariablen Lateinisches Quadrat: 2 Blöcke und Behandlungen gleicher Größe Verallgemeinerung: Lateinisch-griechisches Quadrat Lateinische Quadrate Beispiel: 4 Düngemittel A, B, C, D auf einem Feld, das in 4x4 Zellen (Plots) unterteilt wird: A B D C 2 B C A D 3 C D B A 4 D A C B Lateinisch-griechische Quadrate Zwei lateinische Quadrate gleichen Formats (pxp), wovon das eine griechische statt lateinische Buchstaben hat und die beim Übereinanderlegen die Eigenschaft haben, dass jeder griechische Buchstabe genau einmal mit jedem lateinischen Buchstaben zusammentrifft. Die beiden Quadrate heißen orthogonal. Beispiel: Aα Bβ Cγ Dδ 2 Bδ Aγ Dβ Cα 3 Cβ Dα Aδ Bγ 4 Dγ Cδ Bα Aβ

35 9 RANDOMISIERTE BLOCKDESIGNS Unvollständige Blockdesigns Notation b: Anzahl der Blöcke k: Größe der Blöcke a: Anzahl der Behandlungen r: Anzahl der Replikationen für die Behandlungen Beispiel: Ein unvollständiges Block-Design mit b = 8, k = 3, a = 8, r = 3 Block Block I V II VI III VII IV VIII Unverbundenes unvollständiges Blockdesigns Beispiel mit b = 8, k = 3, a = 8, r = 3 Block Block I V II VI III VII IV VIII Das balancierte unvollständige Blockdesigns Eigenschaften: Jede Behandlung tritt nur einmal pro Block auf. Jedes Paar von Behandlungen tritt genau λ-mal gemeinsam in einem Block auf. Es existieren nicht für alle Parameterkonstellationen balancierte Designs. Es gilt dann (notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für die Existenz) bk = ar (6) r(k 1) = λ(a 1) (7) b a (8)

36 9 RANDOMISIERTE BLOCKDESIGNS Das partiell balancierte unvollständige Blockdesign Notation b: Anzahl der Blöcke k: Größe der Blöcke a: Anzahl der Behandlungen r: Anzahl der Replikationen für die Behandlungen Eigenschaften Jede Behandlung tritt nur einmal pro Block auf. Die Behandlungen sind in g Gruppen aufgeteilt. Behandlungspaare in der gleichen Gruppe werden als assoziiert auf der 1. Stufe, die übrigen Paare als assoziiert auf der 2. Stufe bezeichnet. Jedes Paar von Behandlungen, das auf der 1. Stufe assoziiert ist, tritt genau λ 1 -mal gemeinsam in einem Block auf. Jedes Paar von Behandlungen, das auf der 2. Stufe assoziiert ist, tritt genau λ 2 -mal gemeinsam in einem Block auf. Beispiele für ein partiell balanciertes Design Beispiel 1: Block I II III IV V VI Gruppen (1 2 3) (4 5 6) (7 8 9) ( ) λ 1 = 3, λ 2 = 1 Beispiel 2: Block Block I V II VI III VII IV VIII Gruppen (1 5) (2 6) (3 7) (4 8) λ 1 = 0, λ 2 = 1

37 9 RANDOMISIERTE BLOCKDESIGNS Zyklisches Block-Design Ein zyklisches Block-Design mit k = 4 erzeugt aus (1, 2, 3, 6) für b = 7, a = 7 und r = 4 Block Behandlung Bemerkungen Balanciertes oder partiell balanciertes Design am besten Unverbundene Designs vermeiden Länge der KIs für die Kontraste hängen von dem gemeinsamen Vorkommen in den Blöcken ab Analyse mit linearem Modell Interaktionen zwischen Blöcken und Behandlungen nicht schätzbar

38 10 DESIGN MIT WIEDERHOLTEN MESSUNGEN Design mit wiederholten Messungen Beispiele Es werden unter verschiedenen Versuchsbedingungen mehrere Messungen (typischerweise im zeitlichen Verlauf) vorgenommen. Es werden an der gleichen Versuchseinheit mehrere Behandlungen vorgenommen. Klassische Ansätze: 1. Multivariate Analyse 2. Repeated measures ANOVA Neuer Ansatz: 3. Mixed Model 10.1 Multivariater Ansatz Idee: Betrachte die Beobachtungen als Vektoren mit allgemeiner Korrelationsstruktur (siehe Vorlesung Multivariate Verfahren, Kapitel 4) Effekte auf das Niveau von Behandlungen können als lineare Hypothesen der MANOVA formuliert werden. Effekte, die Unterschiede im Profil zeigen, können als MANOVA der Differenzen formuliert werden: Betrachte y itk y itk 1 Generell ist die Verwendung der Wilks Λ- Statistik zu empfehlen. Es werden keine Einschränkungen über die Korrelationsstruktur der wiederholten Messungen gemacht. Geringere Power der Tests als bei der Verwendung des Mixed Models oder der klassischen Repeated Measures Analyse. Umgang mit nicht äquidistanten Werten und fehlenden Werten kaum oder nur schwer möglich.

39 10 DESIGN MIT WIEDERHOLTEN MESSUNGEN Traditionelle (alte) Repeated Measures Analyse Idee: Verwende ANOVA mit bestimmten Annahmen (zufällige Personeneffekte als zufällige Blockeffekte) und verwende Quadratsummenzerlegungen und entsprechende F-Tests. Methodik weitgehend überholt durch gemischte Modelle (Mixed models). Umgang mit fehlenden Werten und nicht gleichzeitigen Messungen schwierig. Immer noch verbreitet in der Anwendung Mixed Models (siehe Vorlesung Lineare Modelle, Folien zu gemischten Modellen)