PD Dr. R. Schätzle Maßtheoretische Methoden WS 1999/00

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1 ETH Zürich Departement für Mathematik PD Dr. R. Schätzle Maßtheoretische Methoden WS 1999/00 1.Übung AUFGABE 1: Es sei µ ein borelreguläres Maß auf einem metrischen Raum X und X = j=1 V j, wobei V j offen sind und µ(v j ) <. Zeigen Sie folgende Aussagen. (i) Für A X gilt µ(a) = inf{µ(u) U A offen }. (ii) Für µ meßbares A X gilt µ(a) = sup{µ(c) C A abgeschlossen }. AUFGABE 2: (Überdeckungssatz von Vitali, endliche Version) Es sei F eine endliche Familie von nichtdegenerierten, abgeschlossenen Bällen in einem metrischen Raum X. Dann existiert eine disjunkte Unterfamilie G F mit B F B B G B, wobei B einen abgeschlossenen Ball mit dreifachem Radius und gleichem Zentrum wie B bezeichnet. Abgabetermin ist Montag,

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3 ETH Zürich Departement für Mathematik PD Dr. R. Schätzle Maßtheoretische Methoden WS 1999/00 2.Übung AUFGABE 3: Es sei µ ein reguläres Maß auf X, und A k A k+1 X. Zeigen Sie µ( k=1a k ) = lim k µ(a k). AUFGABE 4: X sei ein lokalkompakter, separabler metrischer Raum, und µ sei ein Radon-Maß auf X, das eine Verdoppelungseigenscahft besitzt, d.h. µ(b 2ϱ (x)) Cµ(B ϱ (x)) für x X und ϱ > 0. Zeigen Sie, daß X die symmetrische Vitalieigenschaft bezüglich µ besitzt. Abgabetermin ist Montag,

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5 ETH Zürich Departement für Mathematik PD Dr. R. Schätzle Maßtheoretische Methoden WS 1999/00 3.Übung AUFGABE 5: Es sei µ ein endliches Borel-Maß auf einem metrischen Raum. Zeigen Sie, daß für ϱ > 0 die Funktion ϕ ϱ : X [0, ] mit ϕ ϱ (x) := µ(b ϱ (x)) oberhalbstetig ist, also insbesondere borelmeßbar ist. AUFGABE 6: Es sei µ ein Radon-Maß auf IR n und f L 1 loc (µ). Zeigen Sie, daß lim µ(b ϱ (x)) 1 f dµ = f(x) ϱ 0 für µ fast alle x IR n gilt. B ϱ(x) Abgabetermin ist Montag,

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7 ETH Zürich Departement der Mathematik PD Dr. R. Schätzle Maßtheoretische Methoden WS 1999/00 4.Übung AUFGABE 7: Es sei f : IR n IR borel-meßbar und für x IR n, ϱ > 0 sei f x,ϱ (y) := f(x + ϱy). Nun sei A := {x B 1 (0) 0 < ϱ < 1 : f x,ϱ L 1 (B 1 (0)) δ }. Zeigen Sie, daß f L 1 (A) Cδ. AUFGABE 8: (Satz von Lebesgue) Zeigen Sie, daß jede monotone (nichtfallende) Funktion f : IR IR fast überall differenzierbar mit f L 1 loc (IR) ist und y f(y ) = f(x ) + x f (t)dt + ν s ([x,y[) für x < y, wobei f(x ) := lim f(t) der linksseitige Limes ist und ν s ein zu L t x singuläres Radon-Maß ist. Zeigen Sie weiter, daß f das Integral über seine Ableitung ist, d.h. ν s = 0, falls f stetig ist und außerhalb einer abzählbaren Menge differenzierbar ist. Abgabetermin ist Montag,

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9 ETH Zürich Departement der Mathematik PD Dr. R. Schätzle Maßtheoretische Methoden WS 1999/00 5.Übung AUFGABE 9: (Korollar 3.2 der Vorlesung, Version des Zerlegungssatzes von Lebesgue) Es seien µ, ν Radon-Maße auf einem lokalkomakten, separablen metrischen Raum X, und X besitze die symmetrische Vitalieigneschaft bezüglich µ. Zeigen Sie, daß ν zerlegt werden kann in ν = ν ac + ν s, wobei ν ac,ν s Radon-Maße sind mit Weiter gilt ν ac << µ und ν s µ. D µ ν = D µ ν ac, Dµ ν s = 0 µ fast überall. AUFGABE 10: Es sei µ ein Radon-Maß auf einem lokalkompakten, separablen metrischen Raum X und f L loc (µ). f sei approximativstetig in x X bezüglich µ. Zeigen Sie, daß x ein Lebesgue-Punkt von f als Funktion in L p loc (µ) für 1 p < ist. Abgabetermin ist Montag,

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11 ETH Zürich Departement der Mathematik PD Dr. R. Schätzle Maßtheoretische Methoden WS 1999/00 6.Übung AUFGABE 11: Es sei µ ein Radon-Maß auf einem lokalkompakten, separablen metrischen Raum X, das eine Verdoppelungseigenschaft erfüllt, d.h. µ(b 2ϱ (x)) Λµ(B ϱ (x)). Zeigen Sie für f L 1 (µ), daß die Maximalfunktion Mf, definiert durch Mf(x) := supµ(b ϱ (x)) 1 f dµ, ϱ>0 die Abschätzung B ϱ(x) µ([mf > t]) Λ3 f t L 1 (µ) erfüllt. AUFGABE 12: Es sei µ ein σ finites Maß auf X und f : X [0, [ sei µ meßbar. Zeigen Sie für p > 0, daß f p dµ = pt p 1 µ([f > t]) dt. X 0 AUFGABE 13: (Lebesgue-Punkte) Es sei µ ein Radon-Maß auf IR n und f,g L 1 (µ). Zeigen Sie folgende Aussagen. (i) lim sup ϱ 0 µ(b ϱ (x)) 1 B ϱ(x) f f(x) dµ lim sup µ(b ϱ (x)) 1 ϱ 0 +M(f g,µ)(x) + f(x) g(x) (ii) Für stetiges g ist jeder Punkt ein Lebesgue-Punkt. (iii) Für stetiges g und B ε := {x IR n lim sup µ(b ϱ (x)) 1 ϱ 0 gilt µ(b ε ) Cε 1 f g L 1 (µ). (iv) µ fast alle Punkte sind Lebesgue-Punkte von f. B ϱ(x) B ϱ(x) g g(x) dµ f f(x) dµ ε } Bearbeiten Sie zwei der drei Aufgaben. Abgabetermin ist Montag,

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13 ETH Zürich Departement der Mathematik PD Dr. R. Schätzle Maßtheoretische Methoden WS 1999/00 7.Übung AUFGABE 14: H n und L n seien das n dimensionale Hausdorff- und Lebesgue-Maß auf IR n. Zeigen Sie folgende Aussagen. (i) L n 2 n H n. (ii) H n α(n)( n 2 )n L n. (Hinweis: Für einen Würfel W := x + [0,r] n IR n gilt α(n)( diam(w) 2 ) n α(n)( n 2 )n L n (W).) (iii) Es gilt und für alle Würfel W IR n. 2 n ω := Hn ([0,1] n ) n L n ([0,1] n ) α(n)( 2 )n H n (W) = ωl n (W). (iv) H n (U) = ωl n (U) für alle offenen Mengen U IR n. (Hinweis: Jede offene Menge kann als Vereinigung von abzählbar vielen Würfeln dargestellt werden, die sich nur auf ihren Rändern überlappen.) (v) H n = ωl n. AUFGABE 15: Es sei Ω IR n offen. Der Graph einer Funktion ϕ : Ω IR ist definiert durch Zeigen Sie folgende Aussagen. (i) graph ϕ := {(y,ϕ(y)) y Ω }. also insbesondere dim H (graph ϕ) n. H n (graph ϕ) H n (Ω) > 0 (ii) Ist ϕ lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante L, so gilt also insbesondere dim H (graph ϕ) n. H n (graph ϕ) (1 + L) n H n (Ω) < Abgabetermin ist Montag,

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15 ETH Zürich Departement der Mathematik PD Dr. R. Schätzle Maßtheoretische Methoden WS 1999/00 8.Übung AUFGABE 16: Es sei f L 1 loc (IRn ), 0 s < n und Λ s := {x IR n lim supϱ s ϱ 0 B ϱ(x) f dl n > 0 }. Zeigen Sie, daß H s (Λ s ) = 0. AUFGABE 17: Es sei Ω IR n offen und konvex. Zeigen Sie, daß eine Funktion u L (Ω) genau dann lipschitzstetig mit Lip u M ist, wenn Ω udϕ M ϕ L 1 (Ω) für alle ϕ C 1 0 (Ω). (Hinweis: Definieren Sie u ε (x) := Ω λ ε (x y)u(y)dy.) Abgabetermin ist Montag,

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17 ETH Zürich Departement der Mathematik PD Dr. R. Schätzle Maßtheoretische Methoden WS 1999/00 9.Übung AUFGABE 18: Eine stetige Funktion f : IR IR heißt lokal absolutstetig, falls für R > 0,ε > 0 ein δ > 0 existiert, so daß für jede endliche, paarweise disjunkte Familie von offenen Intervallen mit ]a i,b i [ ] R,R[, i = 1,...,k, die Implikation k k (b i a i ) < δ = f(b i ) f(a i ) < ε i=1 i=1 gilt. Zeigen Sie, daß eine stetige Funktion f genau dann lokal absolutstetig ist, wenn f fast überall differenzierbar ist, f L 1 loc (IR) und f das Integral seiner Ableitung ist, d.h. b f(b) = f(a) + a f (t) dt für a < b. (Hinweis: Zeigen Sie, daß eine absolutstetige Funktion von beschränkter Variation ist, und verwenden Sie Aufgabe 8.) AUFGABE 19: Es sei f : IR n IR m lokal lipschitzstetig. Zeigen Sie, daß Df(x) = 0 für L n fast alle x [f = 0]. Abgabetermin ist Montag,

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19 ETH Zürich Departement der Mathematik PD Dr. R. Schätzle Maßtheoretische Methoden WS 1999/00 10.Übung AUFGABE 20: Es sei f : U IR n IR m, f lokal lipschitz, injektiv, und die Metrik sei gegeben durch g ij := i f, j f. Dann gilt für das Oberflächenmaß auf dem Bild von f, daß H n f(u) = f( det(g ij ) L n U). Dabei ist das Bildmaß f(µ) definiert durch f(µ)(a) := µ(f 1 (A)). Zeigen Sie weiter für einen Graphen einer lokal lipschitzstetigen Funktion ϕ : U IR n IR, daß H n graph(ϕ) = (id ϕ)( 1 + ϕ 2 L n U). AUFGABE 21: Es sei f : IR n IR m lokal lipschitzstetig. Zeigen Sie, daß f(ir n ) M 0 j=1m j, wobei H n (M 0 ) = 0 und M j, für j 1,n dimensionale C 1 Mannigfalitgkeiten sind. (Hinweis: Verwenden Sie den Erweiterungssatz von Whitney und die Flächenformel.) Abgabetermin ist Montag,

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21 ETH Zürich Departement der Mathematik PD Dr. R. Schätzle Maßtheoretische Methoden WS 1999/00 11.Übung AUFGABE 22: Es sei f : IR n IR lokal lipschitz und g : IR n [0, [ borelmeßbar. Dann gilt IR n g Df dl n = IR [f=t] g dh n 1 dt. AUFGABE 23: ( C 1 -Sard-Satz) Es sei f : IR n IR m, n > m, f C 1 loc. Dann gilt für Lm -fast alle y IR m, daß f 1 (y) die Vereinigung einer (n m)-dimensionalen C 1 -Untermannigfaltigkeit von IR n und einer abgeschlossen H n m -Nullmenge ist. Genauer gilt f 1 (y) = (f 1 (y) C) (f 1 (y) C), wobei C := [Jf = 0], H n m (C f 1 (y)) = 0 für L m -fast alle y IR m und (f 1 (y) C) eine (n m)-dimensionalen C 1 -Untermannigfaltigkeit ist. Abgabetermin ist Montag,

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