Ueber Punkte (n+ 1)=ter Ordnung auf BOgen im R..

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1 Ueber Punkte (n+ 1)=ter Ordnung auf BOgen im R..,, Ueber differenzierbare Kurven uad BOgen III ~). Von PETER SCHERK (Vycapky, C. S. R.). Dem Anclenken meiaes verehrtea Lehrers ED~U~<D I-~AWDAU, Elnleitung. Die vorliegenden Bemerkungen wurden angeregt durch eine Arbeit Fraulein SAUTERS (~), in tier sie einen differenzierbaren Punkt s auf einem Bogen im n-dimensionalen projektiven Raum R~, betrachtete und die Falle angab, in denen sich die Differenzierbarkeit yon s in dem Sinne automatisch verscharft, dass jede Folge yon k-dimensionalea Unterraumen, die den Bogen in wenigstens je k + 1 gegen s konvergenten Punkten treffen, gegen den k-dimensionalen Schmiegraum yon s konvergieren. Dabei setzt sie voraus, dass der Punkt s den Bogen in zwei Teilb0gen n-ter 0rdnung zerlegt [Definitionen welter unten]. In dieser Arbeit werden in einem eharakteristisehen Spezialfall die Hiiufungsunterraume soleher Folgen angegeben. Wir setzen einerseits voraus, dass der Punkt s die 0rdnung n 1 hat, -- dann ist nach einem Satze yon He~'rn HAuP~ (~)die Zusatzvoraussetzung Fraulein S~U~EnS yon ~dlein erftlllt--, audererseits fordern wit, um die Punkte, in denen der Bogen yon einem Unterraum getroffen wird, mit einer gewissen Vielfaehheit zahien zu k0nnen~ dass nieht nur der Punkt s sondern der ganze Bogen differenzierbar sei. Die Ergebnisse lassen sich unter der SAu~ER'schen Zusatzvoraussetzung unschwer auf den Allgemeinfall ausdehnen. Vou den Resultaten sei erwahnt: Geht keiner der k-dimensionalen Unterraume dureh s, so enthalt jeder Haufungsunterraum den (k--1) --dimensionalen Sehp~iegraum yon s und liegt im (k ~ 1) -- dimensionalen. Eine Folge yon Unterraumen treffe den Bogen in mindestens je m [verschiedenen oder (i) SAUTER: ZItr Theorie der Bogen n-ter (Realit(~ts-) Ordnung im projektiven Rn, Zweite Mitteilung. ~, Math. Ztsehr. ~ 42 {1937)~ S. 580 ff. (e) I-IAUPT: Ein Satz iiber die reellen Raumkurve+~ vierter Ordnung und seine Verall. gemeinerung, (< ~-~ [ath. Ann. ~ 108 (1933), S. 126 ff, Annal~ di Matematiea. Serie I~i,', Tome XVII. 37

2 290 P. SCHEn~:: Ueber Punkte (n ~-1)-ter Ordne~ng auf B6gen im R., zus~mmenfallenden] gegen s konvergenten Punkten ; dann trifft ieder Haufungs. unterraum den Bogeu mindestens m-faeh iu s. Bei den Beweisen wird nicht so sehr benutzt, dass der Punkt s die 0rdnung n + 1 hat, als dass die Hyperebeneu dm'ch s dort den Bogen nach bestimmten, -- dureh ein im wesentlichen yon tterrn DENK (3) herrtihrendes Schema, die Charakteristik yon s, festgeleg~en -, Regeln sttitzen oder durchsetzen, j e nachdem welches die tt~ehstdimension der in ihnen gelegenen Schmiegr~tmne yon s ist. Den Uebergang zwisehen Charakteristik und 0rdnung vermittelt ein ebenfalls yon Herrn DENK stammender Satz. 1. Deflnltlonen und HllfssRtze (') Unter einem B ogen verstehen wir ein eindcutiges und stetiges Bild der Streeke im R~[n ~ 1]. Wir fasson die Bilder versehiedener Punkte der Strecke als verschiedene Punkte des Bogens auf. Dann kann er eineindeutig und stetig auf einea die Strecke durchlaufenden Parameter s bezogen werden. Den zum Parameter s gehsrigen Punkt bezeichnen wir gieichfalts mit s. Eine Umgebung des P~rameters sauf der Parameterstrecke hat zum Bild eine Um g e bun g des Punktes sauf dem Bogen. Konvergiert eine Folge yon Parameterwerten gegen dea Parameter s, so nennen wit auch die zugeh0rige Folge yon Punkten des Bogens konvergent gegen den Punkt s Die Ordnung eines Bogens ist die obere Grenze der Anzahl seiner Treffpunkte mit einer ttyperebene. Offensichttich ist die Ordnung eines Bogens im R~ mindestens gleich n. Einen Bogen n-ter 0rdnung im R,, nennt man auch eiaen Elementarbogen. Die 0rdnung eines Pnnktes s des Bogens istdie einerhinreichend kleinen Umgebung von s Jeder Bogen (n + t)-ter 0rdnung im R,~ setzt sieh nach einem Sat~e yon Herrn HAuP~ (~) aus einer [bei festem ~,] beschra,nkten Anzahl yon ElementarbSgen zusammen. Die Anzahl der Punkte (n-t-1).ter Ordnung ist also beschrankt; denn als solehe kommen hschstens die Endpunkte de:r ElementarbSgen in Betracht. Ferner ist in dem HAUPT' schen Satze enthalten: Trifft (s) I)ENK; Ueber die elementaren Punkte h6herer Ordnung auf Kurven im R~.~ ~ S.-B. Phys.-meal. Soz. Erlangen )>, 67 (t935}~ S. 1 ff. {4) Dieser Abschnitt ist zum Tell der folgenden Arbeit entnommen. SC~EI~:: Ueber differeuzierbare Kurven und B6gen I. Zum Begriff de~" Charakteristik. ~ Cas. mat. a phys. ~), 66 (1937), S. 165 ff.

3 P. SCH~aK: l]eber P~t,~th:te (n + 1)-ter Ordnu,Jt9 a,~f Bdgen im R~, 291 eine Hyperebene eine hinreiehend kleine Umgebung eines Punktes {n -t- i)-ter Ordnung in n + 1 Punkten, so liegen diese nieht alle auf derselben Seite des Punktes. 1.l. Der Punkt s heisst Stiitz- bezw. Schnittpnnkt beziiglieh einer Hyperebene, weml eine passende Umgebung yon s keinen weiteren Punkt mi~ der Hyperebene gemein hat und die beiden TeilbSgea, in die die Umgebang dureh s zerlegt wird, auf derselben bezw. auf versehiedenen Seiten der Hyperebene liegen. Entspreehend werde die Hyperebene selbst als Sttttz- oder Sehnitthyperebene des Bogens in s bezeiehnet (~) Wir nennen den Punkt s differenzierbar, wenn samtliehe Sehmiegr~tume L~ = L~,~,(s) existieren [k=-- 1, 0, 1,... n]: L'-I sei der leere Raum. L~-I [0 ~ k < n]sei berei~s definiert und seine Existenz gefordert. Dann sell jeder k-dimensionale Unterramn dureh L~_I und einen gegen s rtiekenden Punkt des Bogens stets konvergieren. Seine Grenzlage bezeiehnen wit als den k-dimensionalen Sehmiegraum L u k. Es ist also L~ der Punkt s selbst, L~_~ n seine Sehmieghyperebene mid L~ der volle R,. Wirnenneneinen Bogen differenzierbal:,wennjederseinerpunkte differenzierbar ist Die folgenden Bemerkungen gelten ftlr einen differenzierbaren Punkt s auf einem beliebigen Bogen, der die Sehmieghyperebene yon s nur endlich oft trifft (~). Jede Hyperebene ist Stiitz-oder Sehnitthyperebene in s; ists Sttitzpunkt bezw. Sehnitt.punkt bezt~glich einer tlyperebene, die genau L~(s) enth~tlt (~), so beztiglieh einer jeden solehen Ityperebene. Daher kann man dem Punkte s eine C h a r a k t e r i s t i k auf folgende Weise znordnen : Es sei 0 ~ k < n ; ists Sttitz- bezw. Sehnittpunkt beztlglieh einer Hyperebene, die genau L~*,_l(s) enthi~it, so werde ;~ls~ die Zahl I oder 2 zugeordnet, je naehdem eine Hyper- ebene, die genau L~(s) enthalt, Sehnitt- bezw. Sttltzhyperebene in s ist oder nieht. ~ ttiermit ist der Folge eine Zahlenfolge L" L ~ L" 0 ; I ~ "* } ~?,--i (ao, a,,... a,,_j zugeordnet, eben die Charakteristik yon s. (~) Eine nleh~ dureh s gehende Hyperebene ist mithin S~titzhyperebene. (6) SCH~RK: a. a. O. [7) D. h.: L~(s) aber nieht L~.t l(s ).

4 292 P. SogEag: Ueber Punkte (n U-ter Ordnung auf Bggen im R~ Aus der Definition der Charakteristik folgt unmittelbar: Hat s die Cha- rakteristik (ao, a~,..., a+~_t), so ist eine Hyperebene, die genau L~(s) enthi~lt, Sttitz- oder Schnitthypereben% je naehdem a o a~ gerade oder ungerade ist Der Punkt s sei differenzierbar und zerlege eine passende Umgebung in zwei Elementarb(igen; er babe die Charakteristik (a0,..., a~-l). Dann hat er naeh einem Satze yon Herrn DE~K (3) genau die 0rdnung ao A-at-t a,_~. Naeh dem in 1.3 angefahrten Satz yon Herrn HAUP+ folgt hieraus, dass alle Ziffern der Charakteristik eines differenzierbaren Punktes s der 0rdnung n oder n +- i im R~ bis auf h(iehstens eine gteich eins sind. Die Ordnung yon s ist dann und nur dann gleieh n, wenn alle Ziffern gieich eins sind, sonst gleich n d-1. Im ersten Fatle nennen wit s regular, im zweiten singul~tr und zwar (n--k)-faeh singul~tr, wenn ak= Schliesslieh noch zwei Bemerkungen fiber die Projektion differen- zierbarer Punkte (s). Auf einem Bogen im R~ liege der differenzierbare Punkt s. Wir projizieren den Bogen aus einem Punkt, der auf L,~+l(s) aber nieht auf L~(s} gelegen ist [--1 ~ m < n]. Die Projektion yon s ist gleiehfalls differenzierbar. Sie habe r+~-d ~-1..., 1]. Dann ist L~ -~ die die Schmiegr~tume ~,k = L~ (s) [k = -- 1, 0, 1, n -- Projektion yon L~ bezw. L~+I far -- 1 ~ k < m bzw. m ~ k ~ n. Hat s die Charakteristik [a o, a~,..., a~_~), so hat die Projektion die Cha- rakteristik und (a,,..., a,,_,) ftir m=-- 1, (ao,... a,,_,) far m:rt--1 mit sonst. a',~ -- a,~ +- a,~+, (mod 2) 2. Weitere HilfssKtze. Wir betrachten in dieser htummer differenzierbare offene BSgen B ~ der Ordnung n d-1 im R,~ (s}. Zun~tchst zwei allgemeinere Bemerkungen Ein Bogen sei yon endlieher Ordnung. Es gebe eine Zahl k derart, class jede Hyperebene, die endlich viele feste Punkte des Bogens nicht trifft, (s) Man kann diesen Paragraphen und den grssseren Tell des folgenden itbersehlagen, wenn man stch in ~ auf solehe Punkte (n + 1)-ter Ordnung beschr~nkt, deren Ordnung durch die Vielfachheitsz~hlung 3.1 nicht erh6ht wird, die also eine Umgebung besitzen, welohe yon jeder Hyperebene hsohstens (n d-t)-faeh getroffen wird. Vgl. Fussnote 1~.

5 P. Sc~nia~:: Uebev Punkte (+.~ + i)-ter Ordnung auf BSgen im R~ 293 hsehstens k Punkte mit dem Bogen gemein hat. Dann ist seine 0rdnung hsehstens gleieh k. Die Behauptung ergibt sieh ftlr den R~ aus dem Satz, dass eine stetige ree![le Funktion, die jeden Wert bis auf endlieh viele hoehstens k-mm, diese aber nur endlich oft annimmt, sie gleichfalls h5chstens k-mal annimmt (~). Ist die Behauptung far B~gen im R~_~ bewiesen, so ergibt sich dutch Projektion aus einem beliebigen nieht auf dem Bogen gelegenen Punkt des R~,, dass jede Hyperebene dureh diesen Punkt den Bogen in h~chstens k Punkten trifft. Dies gilt ftlr jeden solehen Punkt, woraus die Behauptung folgt Ein Bogen endlicher Ordnung gehe dureh den Punkt P. Ftlr Mle nach P fallenden Punkte s des Bogens existiere die Tangente L~(s)im Sinne yon 1.5; m. a. W., die Gerade dureh s und einen irgendwie gegen s riiekenden Punkt des Bogens sei stets konvergent. Dann ist die Projektion des Bogens aus P ein Bogen, dessen 0rdnung h6ehstens gleieh der um eins verminderten Ordnung des Ausgangsbogens ist. Beweis: Der Bogen-habe die 0rdnung m. 0ffensichtlieh ist die Projektion ein Bogen endlicher Ordnung. Weiter folgt aus der Definition der Ordnung [oder aus der Existenz der Tangenten]~ dass nur endlieh viele im Sinne yon 1.1 versehiedene Punkte des Bogens im Projektionszentrum inzidieren. Jede Hyperebene durch das [auf dem Bogen gelegene] Projektionszentrum, die seine endlieh vielen T~ngenten nieht enth~tlt, projiziert sich in eine Hyperebene, die die Projektion h~hstens (m -- 1)-faeh trifft. Die Voraussetzungen yon 2.1 sind mit n -- 1 statt n und k ~---m -- 1 erfallt. Genauer ergibt sieh so, dass, wenn j verschiedene Punkte des Bogens in (9) Dieser Satz kann etwa so eingesehen werden. Die Funktion f(x) sei im Intervall (a~ 5} definiert und stetig. Sie nehme dort alle Werte bis auf endlich viele h6chstens je k-mal an. Es sei f(zzi)~y [i~ l~..., r; die x i paarweise voneinander verschieden] uncl f(x) =~ y sonst. YVir haben zu zeigen r~ k. Um y grenzen wir ein Intervall V ab und um die x i zu einander fremde in (a, b) gelegene Umgebungen Ui, die dutch f in das Innere yon V abgebildet werden, x i zerlegt U i in zwei Intervalle U i' und U~" [i-~1,..., r]. Die ~unktion f bildet Ui' bezw. Ui" auf ein IntervaI1 f(ly) bezw. f(ui" } ab~ dessen eii~er Endpunkt y ist~ und das ganz dem einen der beiden Teilintervalle angeh51% in die V durch y zerlegt wird. Wir bezeichnen den Durchschnitt aller f(u~/) nnd f(ui'% die im einen bezw. andern dieser Teilintervalle liegen, mit Vt bezw. 172 [Hat V~ oder V2 die L~nge o, so ist das ~olgende passend abzu~tndern]. Ist etwa ein U,.' gegeben, so hat also ~ntweder jeder Punkt yon V~ oder jeder yon V~ mindestens je ein Urbild in U<'. Wir w~hlen je einel~ Punkt aus Vt und Ve,der h~chstens k Urbilder besitzt. Diese beiden Punkte haben zusammen einerseits h~chstens 2k, andererseits minclestens 2r Urbilder; denn in jedem Ui' und Ui" liegt mindestens je ein Urbild. ttieraus folgt die Behaupmng.

6 29~ P. SeI-IEI~K: Ueber Punkte (~, +-1)-ter Ordn~tng auf BSgen,ira l~,, das Projektionszentrum fallen, die Ordnung der Projektion htichstens gleich m--j ist. In der obigen Bemerkung is~ insbesondere enthalten, dass die Pro3ektion eines Elementarbogens aus einem differenzierbaren Punkte von ihm wieder ein Elementarbogen und die eines Bogens B ~ aus einem seiner Punkte entweder ein Elementarbogen oder ein Bogen B "-~ ist. 2.3, Unter einem Doppelpunkt bezw. k-faehen Punkt werde ein Punkt verstanden, in dem zwei bezw. k im Sinne yon 1.t verschiedene Punkte eines Bogens inzidieren. Aus der Definition 1.i folgt unmittelbar, dass ein Elementarbogen keine mehrfachen Punkte, ein Bogen B '~ h5chstens einen Doppelpunkt und keinen mehr-als-zueifachen Punkt hat. Die Projektion ~on B '~ aus einem Doppelpunkt ist nach 2.2 ein Elementarbogen In ~ 2]. Inzidieren die Purtkte s, und s~ des Bogens B" in einem Doppelpunkt, so sind sie regul~tr In ~ 2]. Beweis: Der Punkt s, habe die Charakteristik (ao, a~,..., a,~_~). Die Pro. jektion yon B ~ aus s~ ist als Elementarbogen nach 1.7 tlberatt, insbesondere in s~ regular. Nach 1.8 hat sie in s~ die Charakteristik (c~..., q.,~_~). Somit ist a~ -~ a~... a~,_~ --~ 1. Dureh Diskussien der msgliehen Lageverh~iltnisse ergibt sich l eieht a 0 =~ 2 ffir n -~- 2 (~o). Ist a' o ~ 1 schon fiir B ~-~ naehgewiesen, so folgt dies fllr B ~ mittels Projektion aus einem Punkte des Bogen~ der nieht in die Schmieghyperebene yon s~ fallt [vgl. 1.8] Unter einer Spit z e werde ein n-lath singulii,rer Punkt verstanden, also ein Punkt mit der Charakteristik t2, 1,..., I) [vgl. 1.7]. Jede Gerade durch eine Spitze eines Bogens B ~ trifft ihn, wie leieht zu bestatigen, in h(ichstens einem weiteren Punkte; ihre Tangente trifft ihn nieht mehr. Da ein differenzierbarer Elementarbogen keine singnlaren Punkte'hat, projiziert sich ein Bogen B '~ mit Spitze aus einem nieht in der Sehmieghyper- ebene der Spitze gelegenen Punkte des Bogens nach 2.2 in einen Bogen B +'-t. (lo} Wit nehmen an, es ~ei ao~2, st habe also die Charakteristik (2~1~ [Spitze]. Der Punkt s liege auf dam ]~ogen B 2 aber nich~ ~uf den Tangenten yon s~ und s~. Die Verbindungsgerade yon s mit dem Doppelpunkt stiitzt den Bogen in s~. Stfitzte sie ihn in s 2 nicht, so trafe eine passende Nachbargerade dutch s den Bogen dritter Ordmmg B z ausser in s noch in mindestens drei Punkten. Sorait ist auch s.2 eine Spitze [vgt. 1.7]. K~ltten s~ und s~ nicht die Tangente gemeinsam, so stiitzte eine passende Geracle dutch den Doptoelpunkt den ]3ogen in s iund in s.2; eine passende Naehbargerade trlife ihll in minclestens vier Punkten. H~itten sie schliesslich dieselbe Tangente, so tr~fe jede ihr hinreichend benaehbarte ~erade dureh den Doppelpunkt den Bogen ausserhalb yon ihm noch zweifach~ was gleichfalls unmsglioh ist.

7 P. ScHsla~:: Ueber Pttn]de (n~ U-ter Ordnung auf BSgen im R,~ 295 Somit ergibt sich durch Induktion: Jede Hyperebene durch eine Spitze des Bogens B '~ trifft~ ihn in hsehstens n-- 1 weiteren Punkten; die Tangente der Spitze trifft ihn sonst nieht mehr [n ~ 2]. Aus der ersten Bemerkung folgt~ dass die Projektion yon B ~ aus einer Spitze ein Elementarbogen is~; denn die Projektion erft~llt die Voraussetzungen yon 2.1 mign - 1 start n und k -~- n Welter ergibt sich, class B '~ h~chstens eine Spitae und nieht gleiehzeitig eine Spitze und einen Doppelpunkt hat. Denn eine Spitze projizier~ sieh nur aus einem auf ihrer Tangente gelegenen Punkt ia einen regularen [1.8], wahrend die Projektion yon B" aus einer zweiten Spitze oder einem Doppelpunkt ein Elementarbogen w~re. Die Schmieghyperebene einer Spitze trifft den Bogen B '~ sonst nicht mehr [n_~ 2]. Denn da ein soleher Treffpunkt jedenfalls nicht ~uf tier Tangente der Spitze gelegen wltre, projizierte sich aus ihm einerseits B ~ nach 2.2 in einen Bogen h~chstens n-ter 0rdnung, andererseits die Spitze in einen Punkt/dessen Charakteristik nach 1.8 zwei Zweien enthielte, der also nach i.7 mindestens die 0rdnung n d-1 hatte Unter einem W end epunk t werde ein einfach singulltrer Punkt yon B '~ verstanden; er hat die Charakteristik (1, 1,..., l, 2). Die Schmieghyperebene bezw. die tiypertangente eines mindestens zweifach singuldren bezw. ei~es l/vendepwnktes trifft den Bogen B ~ sonst nicht mehr. Die Schmieghypercbene eines l~te~depunktes trifft B ~ in hschstens einem weiteren Pm,kt, der -- wenn vorhanden,- Stiitzpunkt bezi'~glich der Schmieghyperebene isl [n ~ 1]. Zum Beweis ftihre man die Behauptungen dutch wiederholte Projektion aas dem singul~iren Pm~kt auf 2.3, 2.4 und den trivialen eindimensionalen Fall zurtiek. 3. Vi elfachheitsmililung. 3.l. Wit benutzen weiterhin folgende Vie!fachheitszahlung: Der Punkt s habe die Charakteristik (ct0, a~,..., a~_~). Ein Unterraum des R~ ent- halte genau L~(s) (7) [0 ~ k < hi. Dann z~thlen wir s ats (a 0 d-... -~ a,k)-fachen Treffpunkt mit dem Unterraum. Ist der Punkt s insbesondere regular~ so wird er mithin (k + 1)-fach gez'~hlt. Es kann natt~rlich vorkommen, dass die 0rdnung eines differenzierbaren Bo~ens dutch die Vielfachheitsz~hlung erhsht wird, dass also die Summe der Vielfachheiten der Treffpunkte des Bogens mit einer passenden ltyperebene

8 296 ]?. StrEaK: Ueber Punkte (n 1)-ter Ordnung auf B6gen im R~, gr0sser ist ats die ~ [aximalanzahl der Pnnkte, in denen er yon einer gyperebene getroffen wird (~) Auf einem beliebigen Bogen liege der differenzierbare Punkt s mit der Charakteristik (ao,..., a~_~). Wit projizieren den Bogen aus einem Punkte P, der auf L~ ~l(s) abet nieht auf L~(s) gelegen ist [-- 1~ m ( n]. Die Projektion babe in s die Sehmiegraume k is) [vgl. 1.8]. Der Unterraum E durch s und P enthalte genau L~(s); dann ist jedenfalls k:4= m. Wir fragen, wie sieh die Vielfaehheit, mit der der Bogen den Unterraum E in s trifft, yon der Vielfaehheit unterseheidet, mit der die Projektion E' yon E aus P yon der Projektion des Bogens in [der Projektion yon] s getroffen wird. Ist m , fallt also P mit so zusammen, so wird die Vielfaehheit dureh die Projektion um a 0 vermindert. Es sei weiterhin m ~ 0. a) Falls k ~ m, so enth~tlt E' genau den Schmiegraum L~ ~-1 (s); s wird auf E und auf E' gleieh oft, n~mlich je (a I-cta)-fach gezi~hlt [vgl. 1.8]. b) Es sei k > m; dann liegt genau L~_I(s),-1 in E,., s wird auf E (a.+...+a~)- faeh, auf E' 1.8 zufolge (a,, a,~-14, a'm -t- a,~ ak)-fach gez~thlt [a',~-----a,~ + am+l (rood. 2); far k ~ m + 1 brieht der Ausdruek hinter a'm ab]. Die Vielfachheit, mit weleher der Treffpunkt s gezahlt wird, vermindert sieh somit infolge der Projektion um a,~ -t- am+t-- a',~. Diese Zahl ist gleich 0 ffir am= a,~l~ 1, sonst gleich 2. In allen Fallen wird die Vielfachheit durch die Projektion nicht erh(iht. Einige Folgerungen aus 3.2 (~2) Ftir jeden differenzierbaren offenen Elementarbogen gilt die Vielfachheitszi~hlung; anders ausgedriickt, die Summe der Vielfachheiten der Treffpunkte eines Elementarbogens im R~ mit einer Hyperebene ist h(lehstens gleich n [n ~ 1]. Denn da die Charakteristik eines jeden Punktes eines solchen Bogens naeh 1.7 lauter Einsen enthi~lt und der Bogen sieh aus einem seiner Punkte wieder in einen offenen differenzierbaren Elementarbogen projiziert, ergibt sieh die Behauptung mittels 3.2 dureh Induktion. (it} Ob die Ordnung eines Punktes auf einem clifferenzierbaren Bogen durch die Vielfachheitsz~hlung erh~ht wird, ist unbekannt. (r2) Aus 3.2 ergibt sich sofort: Die Projektion eines differe?~zierbaren offenen Bogens~ des" yon jeder,hyperebene hschstens m-fach getroffen +cird~ aus einem seines" Punkte ist ein differenzierbarer oftener Bogen, der yon jedvr Hyperebe~e h6chstens (m- 1)-[a.ch getroffbn ~vird. Vgl. Fussnote (s).

9 P. SCnERK: Uebe,r Punkte (n-+ D-ter Ordnwt, g auf B6gen im R,~ 297 Die Schlussbemerkung yon 1.3 gilt somit auch bei Z~hlung der Treff. punkte gemi~ss 3.t. 5~[it B ~ sei hier wie in 2 ein differenzierbarer offener Bogen 0~-t-1)-ter Ordnung im R,, bezeiehnet. 3.4:. Eine Hyperebene habe [mindestens] zwei nieht inzidente Punkte s und s' mit B ~ gemein In ~ 2]. Die ietfachheit, mit der s gezi~hlt wird, midge sich bei Projektion yon B" aus s' verkleinern. Dann muss naeh 3.2 s singular t uncl s' auf der Schmieghvperebene yon s gelegen sein. Aus 2.5 entnimmt man, dass s Wendepunkt und die betraehtete Hyperebene die Schmieghyperebene yon s ist; sie trifft B '~ nut noch in s% 3.5. Die Vielfachheit, mit der eine ttyperebene B ~ trifft, ist, wenn ~tberhaupt, so um eine gerade Anzahl gr6sser als n-4-1. Beweis: Die Behauptung, richtig ffir n---~ 1, sei bis n- 1 bewiesen. Eine ttyperebene treffe B" mehr als (n ~-1)-faeh. Es ist nicht m6glich, dass die Hyperebene B '~ in einem Doppelpunkte und sonst nirgends trifft. Denn Projektion aus dem Doppelpunkt ffihrte B" in einen Elementarbogen fiber und verminderte die Vielfachheitszfi~hlung der Treffpunkte wegen' 2.3 nut um 2; Widerspruch zu 3.3. Es gibt also einen Treffpunkt der ttyperebene, der weder Spitze ist noch in einen Doppelpunkt fi~llt [vgl. 2.4]. Wir projizieren den Bogen und die Hyperebene aus diesem Punkt. Die Vielfachheit, mit der er gezahlt wird, verkleinert sich infolge der Projektion um genau eins. Werden die Vielfachheiten der ilbrigen Treffpunkte durch die Projektion nicht verkleinert, so ergibt sieh die Behauptung aus der Iuduktionsannahme. Wird aber die Vielfachheit eines andern Treffpunktes dutch die Projektion erniedrigt, so folgt die Behauptung aus 3.4 und 2.5. Wit schliessen noeh ~wei einfache spater nicht bentitzte Bemerkungen tiber die Vielfaehheitszlihlung an Die Vielfachheitsz(~hlung gilt fi~r alle Hyperebenen, die B ~ nicht in genau zwei verschiedenen Punkten treffen. Dies gilt ffir n ~--- 1 und sei bis n- 1 schon bewiesen In ~ 2]. Eine tty-. perebene treffe B ~ in mindestens drei verschiedenen Punkten insgesamt mehr als (n-t- 1)-fach. Litge auf ihr eine Spitze 0der ein Doppelpunkt, so projizierte sieh B ~ aus einem solchen Punkt in einen Bogen (n--1)-ter 0rdnung im R,_~, der entgegen 3.3 yon der Projektion der Hyperebene mehr als (n -- 1)-faeh getroffen wtirde. Wegen 3.4 projizierte sich demnach die Hyperebene aus jedem Treffpunkt in eine Itypereben% die die Projektion yon B ~ Aartal$ di Mate~aticc~, Serie 1~ ~, Tomo XVII. 38

10 298 P. SCH~aK: Ueber Punkte (n + [)-let Ordnung auf BSgen i,m R~, mindestens n-lath trafe. Aus der Indukt, ionsannahme folgte, dass die Hyperebene nur in drei Punkten getroffen werden warde, und dass das Projektionszentrum einfaeher Treffpunk t w~re. Da jeder der Treffpunkte zum Projektions. zentrum gewahlt werden kann, ware die Gesamtvielfachheit der Treffpunkte gleich 3 ~ n Keine Hypergerade trifft den Bogen B ~ mehr als n-faeh. Diese Behauptung ergibt sich mittels Induktion auf Grund der Bemerkung, dass wegen 3.2 und 2.5 die Vielfachheit eines Treffpunktes des Bogens mit einer H:ypergeraden nut dann durch Projektion verkleinert wird, wenn er in das Projektionszentrum fa.llt. 4. Dlfferenzierbarkeit. Wit betraehten im Folgenden einen Punkt s der 0rdnung n oder n + t auf einem differenzierbaren Begen im R,~ und beweisen, dass sich die gem~ss 1.5 definierte Differenzierbarkeit~ wie in der Einlei~ung angedeute~, automatiseh verseh~rft ('~) Der Punkt P liege nicht in der Schmieghyperebene yon s. Dann gibt es einen offenen Teilbogen B ~ des urspriinglichen Bogen% der s enth~lt, nicht dutch P geht, h~ehstens die 0rdnung n t- 1 hat., dessen Projektion aus P hsehssens yon tier Ordnung n ist, und der ebenso wie seine Projektion durch s in ~wei Elementarb~gen zerlegt wird. Denn da sauf dem Bogen bezw. seiner Projektion nach 1.7 und 1.8 hsehstens die 0rdnung n + 1 bezw. n hat, gibt es eine Umgebung (n-b 1)-ter bezw. n-ter 0rdnung yon s; beide Umgebungen setzen sich nach 1.3 aus endlich vielen Elementarb~gen zusammen. Die Vielfaehheit, mit der ein Unterraum dutch P den Bogen B '~ trifft, bleibt bei Projektion aus P erhalten ; denn nach 3.2 gilt dies ftlr jeden einzelnen Treffpunkt. Die Vielfaehheit, mit der ein nieht dureh P gehender Unterraum einer Dimension ~ n--1 den Bogen B '~ trifft, wird daher durch die Projektion nicht verkleinert. Keine Hyperebene dureh P trifft B ~ mehr als n-faeh; die Projektion yon B ~ aus P wird daher von jeder Hyperebene hsehstens ~v--fach getroffen. Ware die gemass 3.1 gezahlte Anzahl der Treffpunkte einer Hyperebene durch P mit B" n~mlich grssser als n~ so w~re sie naeh 3.5 einerseits ~ n -t~- 1 (is) Ein Teil clef Ergebnisse dieser ~Nummer ist der Arbeit Fraulein SA~TERS entnommen. Vgl. Fussnote (i).

11 P. g~her~f:: Ueber Punkte (u + 1)-ter O.rdnu~tg a uf BOgen im R,~ 299 (rood 2), andererseits gleich der AnzahI der Treffpunkte der Projektion der Hyperebene mitder Projektion yon B", also ~ n (rood 2). 4.2 Ist der Punkt s O~- k)-fach singul(ir, so,wird ein passender Bogen ums yon jeder Hypergeraden, die L~,(s) nicht enth(i.lt, hdehstens (n- 1)-[aeh go. t 'offen [0 k n]. Beweis: Ein Bogen n-ter Ordnung um einen regularen Punkt wird yon jeder ttyperebene h~chstens n-faeh, erst reeht yon jeder ttypergeraden hseh- stens (n -- 1)-fach getroffen. Es sei 0 ~ k ~ n. Der Punkt Q liege auf Lt~+l(s) aber nicht auf L~(s}. Naeh 1.8 projiziert sich s aus Q in einen regularen Punkt. Deswegen und nach 1.3 gibt es einen zu Q fremden Bogen (n + 1)-ter 0rdnung um s, der ausserhalb yon s i'egullir ist and sich aus Q in einen Elementarbegen projiziert. Dieser Bogen leistet das Verlangte. Die Summe der Vielfaehheiten der Treffpunkte eines Unterraumes dureh Q mit dem Bogen vermindert sieh namlich 3.2 zufolge dutch Projektion aus Q um 2 odor 0, je naehdem der Unterraum L#(s) enthlilt odor niel~t. Geht der yon Q und einer Hypergeraden aufgespannte Unterramn nieht dureh Ll~(s), so trifft or, also auch die I-Iypergerade, den Bog'en hoehstens (n -- 1)-faeh. Geht er aber dureh L~(s), die Hypergerade selbst aber nicht, so wird s auf ihm mindestens zweimal mehr gezahlt als auf der Hypergeraden. Da der Unterraum den Bogen h(ichstens (n 1)-faeh trifft~ trifft die Hypergerade selbst ihn hiichstens (n--1)-fach [vgl. 3.3] Eine Folge yon Hvperebenen ~ E",_, konvergiere gegen E '~-1 und treffe den Bogen in genau je n bezw. n ~- 1 [versehiedenen odor zusammenfallenden] gegen s konvergenten Punkten. Yede hinreiehend kleine Umgebung wird also yon fast allen E;-1 in genau je n bezw n + 1 Pgnkten getroffen. Ihre End- pankte liegen auf derselben oder auf verschie~ienen Seiten einer jeden E~_~, somit aueh yon E~_~, je nachdem n bezw n+ 1 gerade oder ungerade ist. Da dies filr jede hinreichend kleine Umgebung gilt, ist E~,_I Stiitz- odor Schnitthyperebene in s, je naehdem n bezw n + 1 gerade odor ungerade ist. 4.~. Auf einem differenzierbaren Bogen im R~ liege tier Punkt s yon h6eh- stens (n + 1)-ter Ordnung. Eine jede einer Folge yon Hyperebenen E ~'~_~ treffe den Bogen in genau n bezw n-t-1 [zusammenfallenden odor versehiedenen] gegen s konvergenlen Punkten. Dann h(tufen sich die E~-I gegen Hyperebenen dureh die ttypertangente yon s und konvergieren genau dann gegen die Schmieghyperebene yon s, ~enn s regul~r ist, bezw. konvergieren gegen die Sehmieghyperebene yon s. lsl s Wende~nkt, so kann tier erste fall nicht eintreten [vgl. 2.5].

12 300 li'. S~,HEn.~:: Ueber P~nkte (n + i)-ter O~'dn~tng ~t+~( B69en im R,, Beweis: Die Behauptung, richtig ftir rt ~ 1, sei bis n- 1 bewiesen. Eine Folge yon Hypergeraden, die den Bogen in je n-- 1 gegen s rtiekenden Punkten treffen, konvergiere gegen E ~,~_~. Der Punkt P liege weder auf E,~_e noch in der Sehmieghyperebene yon s. Dann projiziert sich s aus P in einen Punkt hschstens n-ter Ordnung, nnd die Hypergeraden werden in Hyperebenen projiziert, die die Projektion des Bogens in mindestens n -- 1 gegen s konvergenten Punkten treffen [vgl. 4.1]. 5Tach Induktionsannahme geht daher die Projektion n yon E,=_~ aus P dureh die ttypertangente der Projektion des Bogens in s; falls der Punkt s h(iehstens zweifach singular, seine Projektion also h(~ehstens einfaeh singular ist, ist die Projektion yon,,,-2 sogar gleieh der Schmieghy- perebene der Projektion yon s. Daher geht die ttyperebene dutch P und E~ 2 dureh L~_3(s) und fiir h~ehstens zweifach singulares s sogar durch L~-2Is). Da P~ abgesehen yon den obigen Einsehrankungen, beliebig gewahlt werden kann, haben wir: Ist s htiehstens zweifach singular, so ist E~_.9 gleieh der Hypertangente, sonst eine ttypergerade dureh L~_3(s) (~). Eine Fotge yon Hyperebenen E~_~ treffe den Bogen in genau je n bezw. n + 1 gegen s konvergenten Punkten und strebe gegen E,~_~. Da durch irgend n--1 auf einer E,~-I gelegene Punkte des Bogens eine Hypergerade gelegt werden kann, enthalt E~=.I den Schmiegraum L~_3(s) und, wenn s hsehstens zweifach singular ist, sogar die Hypertangente. I. Jede E~-I treffe den Bogen in genau n naeh s strebenden Punkten. Ist s singular, so ist nach 1.6 die Scl~mieghyperebene, ist s mindestens drei- faeh singular, so jede genau L,~._3(s) enthaltende Hyperebene Stiitz- oder Schnitthyperebene, je nachdem n-- 1 gerade oder ungerade ist. Aus dem 0bigen und aus 4.3 ergibt sich daher: Ists mindestens dreifach singular~ so geht E ~ rt--j. dureh die Hypertangente yon s, ist aber nicht die Schmieghyperebene. Das Gleiche gilt dem 0bigen und 4.3 zufolge, wenn s zweifach singular ist. Ist s Wendepunkt, so miisste E~-I einerseits durch die Hypertangente yon s gehen; andererseits ware jede Hyperebene durch die ~typertangente, auch die Schmieghyperebene, Sttitz-oder Schnitthypereben% je nachdem n--1 gerade oder ungerade ist; dieser Fall kann daher nicht eintreten. Ists sehliesslich regular; so geht E.-I ~ dureh die ~ypertangente; wegen 1.6 und 4.3 muss E~_~ dann die Schmieghyperebene sein. ~4 (it) Dieser Schluss findet sick bei SAUTER a. a. 0.

13 P. S('Hm~K: Ueber I)nnkte (n 4- ll-ter Ordnung auf BSgen im R, 301 II. Die E ~-1 '~ treffen den Bogen in je n-q-1 gegen s konvergenten Punkten. Wegen 1.3 und 3.3 ksnnen wir voraussetzen, dass nicht alle n-t-1 Treffpunkte auf derselben Seite yon s liegeu. Wit wahlen auf jeder E~_I zwei rtuf verschiedenen Seiten yon s gelegene Treffpunkte und legen durch die ~brigen n -- 1 eine Itypergerade E ~,~-2. Eine Teilfolge der E~-2 konvergiere gegen die Hypergerade E~_2. Wir beschri~nken uns auf diese Teilfolge und die zugehsrigen E,~_I. Wir nehmen an, E~,_I sei nicht die Schmieghyperebene yon s. Dann gibt es einen Punkt P, der auf E~-I aber weder ~uf E,-2 noch in der Schmieghyperebene gelegen ist. Der Punkt s projiziert sich aus P in einen Punkt h~chsteus n-ter 0rdnung. Wir beschrankeu uns weiterhin auf einen Bogen B" am s gemass 4.i und 4.2 und eine Teilfolge der E~_~ mit der Eigenschaft, dass B" yon ihnen je (n-+- 1)-lath, yon den zugeh/3rigen E~_,2 je (n-- 1)-lath getroffen wird. Wie oben bewiesen, geht E,~_2 durch L,'~_a(s). Wit ksnnen vor- aussetzen, dass kein E~_~ durch P geht. Die Hyperebenen F,'~-I dutch P und die E~-e konvergieren gegen die Hy- perebene durch P und E '~ E" ~-2, also gegen,~-1. ~Nach 4.1 treffen sie B" h5ch- stens n-fach. Um die beiden yon E~,~_i und FI~:_I eingeschlossenen Winkelraume unterscheiden zu ksnuen, zeichnen wir irgend eine s und P nicht treffende ttyperebene als uneigeutlich aus und fiihren eine euklidische Metrik ein. Unter ~ dem Winkelraum ~ zwischen E,_, ~ und F n-1 n werde dermit dem kieineren 0ffnungswinkel verstanden. Mit E,~_~ und F~:._I konvergiert auch der Winkeh'aum zwischen ihnen gegen E ~ ~$--I Die Projektion von B" aus E~_.9 ist ein Bogen zweiter 0rdnung auf der ~n Geraden, der yon der Projektion yon E,_~ in zwei Punkten getroffen wird. Drehen wir eine Hyperebene um E~_~ aus E~_~ in den Winkelraum zwischen E~_I und Fn-1 ~ hineiu bis nach F~-I, ~ so nimmt die Anzahl ihrer Treffpunkte mit B" um mindestens eins ab. Durch Projektion aus E~_2 ergibt sich, dass diese Auzahl sich h~ichstens dann andert, wenn einer der beiden Treffpunkte durch einen der Endpunkte yon B '~ hindurchgeht, oder wenn beide Treffpunkte zusaminenfallen. Da sie in der Anfangslage auf verschiedenen Seiten yon s liegen, folgt hieraus : Es gibt eine Hyperebene G.-1 ~ dutch E,~-2 im Winkelraum zwischen E~-I ~' und F~_i, die dutch s oder einen der beiden Endpunkte yon B" geht und B ~ (n q-1)-lath trifft (~). Die GI_, kon~ergieren gegen E~_~. Wi~hlen (t~) Die Endpunkte *con ~ je einfach geziihlt.

14 302 P. SCnERK: Ueber Punk te (n ~- 1)-ter Ordnu~g auf BSgen im R. wir den Bogen B" yon vornherein so klein, dass er E,-1 '* nut in s selbst trifft, so gehen nur endlich viele G:~_i dutch eineu der Endpuukte yon B'k Laser man diese Hyperebenen weg, so erhalt man eine Folge yon Hyperebenen G~_l dureh s, die gegen ~-1 konvergieren und B" in noeh n Ptmkten treffen, yon denen mindestens n--1 gegen s konvergieren. Wir p?ojizieren den Raum aus s. Dann geht s selbst in einen Punkt h(ieh- stens n-ter 0rdnung und jede G~-I in eine Hyperebene tiber, die die Projektion yon B" in mindestens n--t gegen s konvergenten Punkten trifft. Ists Wen- depunkt, so ist die Projektion yon E~-I naeh Induktionsannahme Schmieg- hyperebene, also aueh E,"-I selbst. Ists mifidestens zweifach singular, so geht die Projektion yon E2-1 aus s naeh Induktionsannahme dutch die Hypertan- n 8 genre der Projektion, E,2_I daher dureh L~_s(). Ware die Hyperebene E~_I nieht die Sehmieghyperebene des mindestens zweifaeh singuli~ren Punktes s, so ware sie nach 1.6 Sttitz- oder Sehnitthyperebene, je naehdem n gerade oder ungerade ist, im Widerspruch zu 4.3. ~.5. Auf einem differenzierbaren Bogen im R~, liege der Punkt s yon h(~chslens (n ~ 1)-ler Ordnung. Ein jeder einer Fotge yon m-dimensionalen Unler- rgt,umen E,,~, yon denen keiner durch s gehe, treffe den Bogen in mindestens m + 1 [versehiedenen oder zusammenfallenden] gegen s konvergenten Punkten [vgl. 4.2; 0 ~ m ~ n -- 1]. Ist s hschstens (~ ~ m)-fach singuldr, so konvergieren die E~ gegen L~(s). Ists mindestens (n- m)-fach singul~ir, so h~i, ufen sieh die E~ gegen Unlerr~ume yon L~ ~(s) durch L~_l(s) und konvergieren dann und nut dann gegen L~(s), wenn die Hyperebenen dutch die E'~ und irgend einen (n- m- 2)-dimensionalen Unterraum, der mit den L,~+e~(s) nur j-dimensioncde Unterrg~ume gemein hat [j ~ -- 1, O, 1,..., n -- m -- 2] sonst aber beliebig gew~hlt ist, den Bogen schtiesslich in m + 2 gegen s konvergenlen Punkten treffen. Beweis: Die Behauptung, richtig ft~r n ~ 1, sei bis n- 1 bewiesen. Der Fall m ~ n - 1 ist in 4.4 behandelt worden. Es sei m ~ n -- 1 und der Punkt s genau (n -- k)-faeh singular [0 ~ k ~ n]. Eine Folge yon m-dimensionalen Un- terr~umen E~ der angegebenen Art sei konvergent gegen den Unterraum E~. Der Punkt P liege nicht in der Sehmieghyperebene yon s. Wir beschri~nken uns auf einen Bogen B" ums gem~ss 4.1 und 4.2 und eine Teilfolge der E~ die nicht durch P geht und B '~ je (m 4-1)-faeh trifft (~). Sie projiziert sich (16) Gingeu unendlich viele Enm durch P, so projizierten sie sieh aus P in (m--1)- dimensionale Unterr~iume, die die Projektion yon B n in mindestens je m ~+-1 gegen s konvergenten Punkten trkfen; ~3riderspruch zu 4.2.

15 P. S ',~r~nk: Ueber Punkte (n ~-1)-ter Ordnung anf B6gen im R,~ 303 aus P in eine Folge yon Unterraumen, die die Projekfion von B '~ aus P mindestens je (m + 1)-faeh treffen. Die Schmiegr~ume tier Projektion yon s seien mit bj qs! bezeichnet. Ist m ~ k, so konvergieren die Projekfionen der E~ nach Induktionsan. nahme gegen den Sehmiegraum L,~ ~-1 (s). Daher liegt E,~ ~, in dem yon P und L~Is) aufgespannten Unterraum. Da/? ausserhalb der Sehmieghyperebene be- liebig gew~hlt werden kann, muss E~ gleieh L~,(s) sein (~). Ist re>k, so haufen sich die Projektionen der E~ naeh Induktionsannahme gegen Unterr~ume yon L,~+l(S) dureh L~(s); folglieh liegt Em in dem yon L~-l(s) und P aufgespannten Unterraum und L~_l{s), falls P nieht auf E,~, in dem yon E~ und P aufgespannten. Die s gil~ wieder, yon den obigen Einsehr~nkungen abgesehen, bei beliebiger Wahl yon P. Daher geht E,~ dureh L~_l(s) und liegt, falls m < n- 2, in L~+I(S}. Ist m = n- 2, so wahlen wit einen auf L~+l(s) abet nieht auf L~(s} gelegenen Punkt Q; s projiziert sich aus Q in einen regularen Punkt, eine passende Teilumgebung mithin in einen Elementarbogen. Die E,~-e, die nieht dureh Q gehen {~7), projizieren sieh aus Q in ttyperebenen, die den Elementarbogen sehliesslieh in n--1 gegen s konvergenten Punkten treffen~ also naeh 4.4 gegen die Schmieghyperebene des Elementarbogens in s konvergieren, d. h. gegen die Projektion yon L',',_l(s) [vgh 1.8]. Somit liegt E~_.~ in der Sehmieghyperebene von s, wie behauptet. Par m ~ k gilt ferner nach Indukfionsannahme: Die yon den E'~ und P a ufgespannten Unterr~tume konvergieren genau dann gegen Unterr~ume des yon P und Lm(s}" aufgespann~en, wenn die Hyperebenen dureh die E",~ und einen (n--m--2)-dimensionalen Unterraum dutch P, dermit den yon den L~,~,~j(s) und P aufgespannten Unterraumen nut (j + 1)-dimensionale Unterr~tume gemein hat, den Bogen sehliesslich in m -t- 2 gegen s strebenden Punkten treffen. Hieraus folgt, mag Pauf in dem yon P und L~ : E~ liegen oder nieht: E~ liegt genau dann,~[s~ aufgespannten Unterraum, wenn die Hyperebenen durch die E;~ und einen (n -- m -- 2)-dimensionalen Unterraum dutch P, dessen Durehsehnitte mit den L~s+j(s) nur j-dimensional sind, den Bogen sehliesslieh in m t-2 gegen s konvergenten Punkten treffen. Da auf jedem solehen (n- ~n- 2)-dimensionalen Unterraum ein Punkt P ausserhalb der Sehmieg- I i7) Vgl. Fassnote (~6).

16 304 P. SC~ERK: Ueber Punkte in 1)-ter Ordnttng auf BSgen im R,~ hyperebene yon s gewahlt werden kann, folgt hieraus das ~< nur dann ~> der Behauptung. Das << dann >> ergibt sich einfaeh so: E ~.~ liegt im Dureh schnitt yon L~+l(s) mit dem von P und L~(s) aufgespannten Unterraum, also in L~,(s). 4:.6. Die Einschri~nkung, dass keiner der Unterraume E~ dureh s geht, ist leieht zu beseitigen. Wir begntigen uns mit der folgenden Bemerkung. Es sei s ein Punkt hschstens (n +-1)-ter Ordn~tng auf einem dif[erenzier. baren Bogen im R,. Eine Folge yon Unterr~ume~ treffe de+~ Bogen in mindestens je m [verschiedenen oder zusammenfallenden] gegen s konvergenten Punklen. Dann h(~ufen sie sich gegen Unterr(iume, die den Bogen mindestens je m-fach in s treffen. Beweis: Es sei -- 1 ~j~m-- 1. Es gentlgt, die Behauptung far die Teilfolge der Unterr~ume zu beweisen, die den Bogen je m-faeh treffen und L~(s) aber nicht L~+t(s) enth~lten. Der Punkt s sei h(ichstens (n--j- l}-fach bezw. mindestens (n --j)-faeh singular. D~nn trifft L~(s) den Bogen (j + 1)-fach be~,w. (j-t-2)-faeh in s. Das Gleiche gilt ftir jeden Unterraum der Teilfolge. Der (m- 1)- bezw. (m--2)-dimensiona]e Unterraum E dureh seine m Treffpunkte ist in ibm enthaltem Der Fall, dass die E den Bogen nur in s treffen, is~ trivial; wir setzen m ~j+ 1 bezw. re>j+2 voraus. Falls j ~ 0, projizieren wir den Raum aus L~{s}. Dem Punkte s entsprieht ein Punkt hscbstens (n--j)-ter 0rdnung im R,~_j-1, den wit wieder mit s, ~-j-1 and dessen Sehmiegr~iume wit mit Lk (s) bezeiehnen [k ~ , 0,..., ~t--j--1]. Fast alle E proji~ieren sieh in (,m --j -- 2)- be~w. (m --j.-- 3)-dimensionale nicht durch s gehende Unterraume, die die ausserhalb yon s reguli~re Pro- jektion eines Teilbogens in mindestens je m--j--1 bezw. m-j--2 gegen s konvergenten Punkten treffen, sieh 4.5 zufolge daher gegen U nterraume durch Lm-j-2(s) bezw.,_,re_]_ate! hgufen. Daher haufen sieh die E selbst gegen Un- terraume dureh L,%_1(s) bezw. L,~_s(s). Far j folgt unm ittelbar aus 4.5, dass sieh die E gegen Unterraume dureh L~,_l(s) haufen. Die ttaufungsunterraume der E treffen den ~,egebenen Bogen in s also stets mindestens m-faeh, woraus die Behauptung folgt Far die Puukte s der Ordnung n folgt aus 4.6: Konvergieren irgend m Punkte des Bogens gegen s, so strebt der yon ihnen aufgespannte (m--1}-di- L,~ ~(s). Dass dies nieht nur ffir die inneren mensionale Unterraum gegen " sondern auch for die Randpunkte seines Elementarbogens gilt, ergibt sich daraus, dass er selbst oder ein s enthaltender Tell yon ihm fiber s hinaus zu

17 P, SCHn~K: Ueber Punkte (n + l)-ter Ordnung a~f BOget~, im R,,. 305 ei~em neuen Elementurbogen fortgesetzt werden kunn (~s). Da jeder Punkt (?t + 1)-ter 0rdnung Randpunkt eines Elementarbogens ist, haben wir: Der Punkt s der Ordnung ~ n + 1 liege auf einem differenzierbaren Bogen im R~. Eine Forte yon m-dime~sionalen Unterr~iumen treffe den Bogen in m ~-1 gegen s konve~enten Punkten. Die nicht nach s fallenden TrelTpunkte eines jeden Unterraumes seien sg~mtlieh auf derselben Seite yon s gelegen. Da, nn konvergieren die Unterr~ume gegen L~(s}. Das Kriterium in 4.5 ist bier aatomatisch erftillt. Lasst man Mle m + 1 Punkte zusammenfallen, so ergibt sich die Stetigkeit der Schmiegri~ume der differenzierbaren B0gen (n + 1)-ter Ordnung (~). (is) Vgl. SCHE}t}~: Ueber differenzierbare Kurven und B6gen II: Elementarbogen und Kurve n-ter Ordnung im Rn, ~, Cas. mat. a phys. ),, 66 (1937), S. 172 ff. (~0) ~olgerungea aus 4 fiir differenzierbare geschlossene Kurven Kq2+ i der Ordnung n ~- 1 im Rn: Aus ~.7: Die Schmiegrdume der K n i sind stetig. A_us 4.6: Trifft eine ~olge von Unterr~umen eme K n+ ~ mindestens je m-fach, so auch jeder HSufunysunterraum yon ihuen. A~nali di 3i'~e~a, ~erie IV. Tomo XVII. 39