Ein Beweis fur die Differeuirbrtrkeit del Losungen der erentinlgleiehungen nach Parametern.

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1 106 T. YOSIE: [Ser. 3, Vol. 4 Ein Beweis fur die Differeuirbrtrkeit del Losungen der erentinlgleiehungen nach Parametern. Diff BY Takuzi YOSIE. 1) Pekauntlich hat Poincare in,les methodes nouvelles de la ecanique celeste gozeigt da die Losung der Differentialgleichung m,mit einem Parameter eine analytisehe Funktion von ist, falls e analytisehe Funktion ihrer Argumente ist. Fur die Losungen ein des Differentialgleichung*systems mit mehreren Parnmetern ist der Satz auch ewiesen. b In Bulletin de la Soeiete mathematique de France Tome 37 (1909) hat Emile Cotton gezeigt, da die Losungen partielle Ableitungen erster Ordnung each den Parametern besitzt, sobald die Funktioneu in gewissem Bereiche stetige Funktionen ihrer Argumeute sind and stetige and beschrankte partielle Ableitungen erster Ordnung each aud besitzt. Er hat auch diese Resultate ant die n Ableitung ausgedehnt. In den folgenden Zeilen moge ich einen anderen Bowels dafur geben. Der Bequemliehkeit halber nehme ieh ein System von zwei Differentialgleichnugen mit zwei Parametern Wir setzen nun vorans, da die Funktionen X and Y, in gewissem Bereiche (B) um einen Puukt (t x y ),tetig in Bezug auf t, einmal stetig differenzirbar each x,y,1, 2,sind.

2 June, EIN EEWEI*FUN DIE DIFFERENZIERSRKET ETC. 107 Die Anfangswerte x0 and y0 mogen von den Paranietern 1, 2 abhangen, dams setzeu wir aucli die Einmval-stetig-differenzirbarkeit dieser Grossen each 1, and 2, voraus. Unter diesen Voraussetzungen ergibt es sich ein einziges Losungensystem mit den Aufaugswerten t0,x0 ( 1, 2),y0( 1, 2) Im folgenden bezeichnen wir don Zuwachs einer Funktion f, welcheher don Zawachs von entspriclit, mit ; den fur 2 mit ; den fur gleichzeitige Zuwuehse 1 and 2 mit : Wenn annimi*t, man and bestehen 2 himreichend die Un-kleigleichungen fur eiue bestimmfe beliebig kleine pusitive Zahl on den Identituten V erimu lt man wobei X fur die Funktion X indem man,, unit +, hat daher die Identitat 1+ ( ein echter Bruch)ersctzt,X fur and ahnlicherweise Wenn selir klein ist, dann kann man das System der beiden letzten Gleichungen als ein benachbartes System von Differentialgleicbnngensystem

3 108 T.YOSIE : [Ser. 3, Vol. 4 hetrachten, worin X and Y die Funktionen von, 2 namlich X (t, p_,) and Y (t,,,, ), bezeichnen. Integriert man diese beiden Systeme mit denselben Anfangswerten so hat man fur die Lusungen /, / and n, /, v / der, beiden Systeme die Ungleichungen(1) worin gewisse Konstante bedeutet. enn kleiner and Wkleiner wird, and daher sich nach Null nahern Ia t, strebt sich das Losungensystem /, / fit, nach dem System (u, v), uud die Losuugen u and v sind aber vorhanden and in einer Umgebung von t stetig. Mithin haben die Funktionen (t, t0, x0, y0, 1, 2) and (t, t0, x0,y0, 1, 2)stetige Ableitungen nach 1 and 2 in einer Umgebung von t0; sie sind die Losungen des Differentialgleichungensystems (2) mit den A nfangswerten /, 0/ 1,bezw. 0/ ay~~ 2, 0/ 2. a11, aft, a1~, ap, 2) Um nur die Stetigkeit (nicht Differenzirbarkeit) von and in Bezug auf 1 and 2 zu beweisen, braucht man nicht die Differenzirbarkeit von X, Y, x0 and y0 nach 1, 2 vorauszusetzen. Wir verfahren danu etwa wie folgt. Wir betrachten die folgenden beiden Systeme der Differeutialgleichungen : Die Integration dieser beiden Systeme mit den Aufangswerten t0,x0, y0 bzw. to, x0+ x0, y0+ yo gebe die Losungensysteme : (1) Serret-Scheffers: Lehrbuch d. Din- n. Int.- Rechnung III (4. u. 5. Au.) S. 65.

4 June, 1922.] EIN BENEIS FUR DIE DIFFERENZIERBARKEIT ETC. 109 Wir bezeichnen das Losungensystem von (4) mit den Anfangswerten t0, x0, mit x, y. y0 Fur hinreichend kleine und 2 kann man (3) and (4) als die zu einander benaehbarte Systeme betrachten, and daher ergeben sich die Ungleichungen wenn C gewisse Konstante and eine Gro e, welche X und 12Y nicht uberschreiten konnen, bezeichnet. Andererseits sind Da aber x, y eiumal stetig differenzirbar nach x0, y0 sind, haben wir unmittelbar wobei x and y die Funktionen x bgw. y mit den Argumenten t, t0, x0+ 12x0, o + 12y0, 1, 2bezeichnen. y Aus (5) and (6) sieht man leicht, da die beiden Gro en 12 and beliebig klein gemacht werden konnen, wenn 1, and 2 hinreichend 12 klein gewuhlt werden. Von bier a us schliesst man die Stetigkeit von and in Bezug auf and 2 in gewissem Bereiche. 1 Wir haben also gesehen : Wenn X and Y in (1), in gewissem Bereiche, stetige Funktionen ihrer funf Argumente t, x, y,, 2, sind, and stetige erste Ableitungen nach x and y haben, and uberdies die Anfangswerte x0, y0 stetige Funktionen von and sind, dann sind die Losungen and von (1) mit den Anfangswerten t0, x0, y0 stetige Funktionen von 1 and 2 Setzt man noch daze die Existenz and die Stetigkeit der Ableitungen von X, Y, x0, y0 nach and 2 voraus, darn folgen die Existenz and die Stetigkeit der ersten Ableitungen von and nach uud 3) Wir setzen nun die Existenz and die Stetigkeit der Ableitungen zweiter Ordnung von X and Y nach x, y,, 2 and noch dazu die Existenz der Ableitungen zweiter Ordnung von x0, y0 nach 1, 2.voraus..

5 I 110 T. YOSIE : [Ser. 3, Vol. 4 Neil /, / (i=1, 2) den Differentialgleichungen (2) genugen, haben wir die ldeutitaten wobei x and y in X mid Y durch bzw. ersetzt werden. Hierans erhalt man unmittelbar (fur k=1, 2) and entsprechende Gleichung fur /dt / (7t J,u Fur hiureiehend kleines, geben diese Gleiehungeu, als Differentialgleichungen fur / and / betraehtet, ein beuaclibartes System des Differeutialgleiclhungeusystems Gerade wie fruher kann man hieraus sehliessen, da die Losuugen des etzteren Systems mit den Anfangswerten /, / die Grenzwerte l a11, S//k a,, a,,f Stetigkeit and Einmal-stetig-differenzirbarkeit von a / and / als Funktionen von. Wenn main von vornherein die Stetigkeit der zweiten Ableitungen von x0,y0 nach den Parametern voraussetzt, dann sind / and /, da ap,ap,

6 June, 1922] EIN BER ELS FUR DIE DIFFERENZIERBARKEIT ETC.111 sie stetige Funktionen der Anfangswerte sind, auch stetig in Bezug ant and Ahnlieherweise kann man offenbar den Fall der hohereu Ableitungen fur Systeme mehrerer Differentialgleichungen mit mehreren Parnmetern behandeln.