B6(A2 A3) B7(A2 A4) B8(A2 A5) B9(A2 A6) B10(A3 A4) a4(b2 B7 B15) a5(b2 B9 B13)

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1 196 S. NAKAGAWA: [VOL. W. Ueber eine Configuration von 15 Punkten and Geraden ES VOX S. NAKAGAWA. [GELESEN AM 26. OCT ] seien die 6 Punkte A1, A2, A3, A4, A5 and A6 die Sehnittpunkte einer Curve 3. O. C3 mit einem Kegelschnitt. Verbindet man dieselben paarweise durch gerade Linien, welche die Curve C3 aufs eue in 3 Punkten schneiden, so liegen diese 3 letzteren Punkte N in einer Geraden. Bezeichnet man mit Bl den Schnittpunkt einer Verbindungslinie je zweier Punkte Ak and AJ mit C3, so erhalt man die folgenden 15 Punkte B1(A1 A2) B2(A1 A3) B3(A1 A4) B4(A1 A5) B5(A1 A6) B6(A2 A3) B7(A2 A4) B8(A2 A5) B9(A2 A6) B10(A3 A4) B11(A3 A5) 12(A3 A6) B B13(A1 A5) 1(A4 A6) B1 B15(A5 A6). You diesen 15 Punkter liegen sie zu je dreien auf 15 Geraden ƒ l and durch jeden Punkt gehen 3 von diesen Geraden. Diese 15 Punkte B lassen sich in folgender Art auf die 15 Geraden a verteilen: a1(b1 B10 B15) a2 (B1 B12 B13) a3(b1 B11 B14) a4(b2 B7 B15) a5(b2 B9 B13) 6(B2 B3 ab14) a7(b3 B6 B15) a8(b3 B8 B12) a5(b3 B9 B11) a10(b4 B6 B14) a11(b4 B9 B10) a12(b4 B7 B12) a13(b5 B6 B13) a11(b6 B7 B11) a15(b5 B8 B10) Die je 3 Geraden a durch einen Punkt B sind durch die folgende Tabelle gegeben:

2 No. 9.] UEBER EINE CONFIGURATION VON 15 PUNKTEN UND GERADN. 197 Von diesen 15 Punkten und Geraden bilden einerseits die 15 Geraden 6 Gruppen zu je 5, so dass jede Gruppe alle 15 Punkte euthait und anderseits die 15 Punkte 6 (Gruppen zu je 5, so dass durch die Punkte einer Gruppe alle 15 Geraden gehen. Diese Gruppen sind fur die Geraden and die Punkte resp. Diese Configuration von 15 Punkten and Geraden lassen sich durch die passend gewahlten 9 Punkte oder Geraden vollig bestimmen nd weil die Coustructionen fur die beiden Falle dual a einander entsprechen, fuhren wir. diese aus, wenn die folgende 9 Punkte gegeben sind Diese 9 Punkte sind so gewahlt, dass die ersteren 6 Punkte auf den 3 Geradeu a3, a9, a14 durch B11 liege, and die beiden letzteren B2 and B12 mit B11 zusammen einer Gruppe von 5 Punkten gehoren. Die Punhte Bs and B13 sind als die resp. Sehnittpunkte vou Geraden (B2B14), (B3B12) and (B1B12),(B2B9) gegeben, wahrrend die brigen 4 Punkte B4, B6, B15 and B10 resp, auf den 4 Geraden (B7B12), u (B5B13),(B2B7) and (B5B8) so bestimmt werden mussen, dass die Verbindungslinien (B4B6),(B6B15),(B15B10) and (B10B4) resp. durch die 4 bestimmten Punkte B14, B3, B1 and B9 hingehe. Und schliesslich reduciert sick dieses Problem auf das Problem der Ausfindung der oppelpunkte zweier conjectiver projectiver Punktreihen. D Es gibt also im Allgemeinen zwei losungeu, wenn die oben erwahnten 9 Punkte gegeben sind.

3 Nun entsteht die Frage, ob diese 15 Punkte alle auf einer Curve 3. O. C3 liegen, wenn sie die gesuclite Configuration bilden. Im All gemeinen konnen sie nicht samtlich auf einer Curve 3. O. liege, denn eine Curve 3. O. C3 ist durch die 9 Punkte B11, B1, B14, B12, B13, B2, B3, B7 and B9 vollig bestimmt, wahrend der Punkt B5, welcher zur Bestimmung der Punkte B8 and F9 aus den gegebenen 9 Punkten nicht benutzt worden ist, auf der Geraden (B7B11) beliebig gewahlt werden darf. Vermoge des Satzes, dass wenn von 9 Schnittpunkten zweier Curven 3. O. zwei Mal drei in je einer Geraden liegen, so auch die iibrigen drei in einer Geraden liegen, folgt, dass dei Punkt Bs auf der soeben bestimmten Curve 3. O. C3 liegt. Wenn nun noch der Punkt B5 auf dieser Curve C3 liegt, so gibt on den zwei Losungen der gesuchten Configuration aus den 9 Punkten v B1, B11, B14, B3, B9, B7, B5 B2, and B12 die eine die Punkte, welche samtlich auf G3 liegen, denn wenn wir den Punkt B6 als den dritten Schnittpunkt der Geraden (B5B13)mit C3 annehmeu, so sind die Punkte B4, B10 and B15 eindeutig bestimmt and im Folge des oben erwahnten Satzes der Schnittpunkte zweier Curven 3. O. bilden sie gerade mit anderen Punkten zusammen die gesuchte Configuration.

4 Die 11 Punkte B11, B1, B14, B1, B13 B2, B3, B7, B9, B5, and B9 sind gerade die Punkte auf den Geraden a3, a9, a14, durch B11 and 2, a5, a13 durch B13 and die Punkte B11 and B13 liegen a auf keiner Geraden a. Also erhalten wir die folgenden Doppelsatze. Wenn von den 15 Punkten mid Geraden, welche die fruher erwahnte Configuration bilden, irgend 11 Punkte auf 6 verschiedenen Gerarden a, welche durch zwei nicht auf einer Geraden a liegende Punkte B gehen, auf einer Curve 3. O.C3 liegen, so lieges die iibrigen 4 Punkte auch auf C2. irgend 11 Geraden durch erschiedene Punkte 6 B, v welche auf zwei nicht durch einen Punkt B gehenden Geraden a lie gen, eine Curve dritter Classe beruhren, so be ruhen die ubrigen 4 Geraden diese Curve drit ter Classe. Dass die beiden Lagen des Punktes B6 auf der Geraden (B6B15) nicht zusammenfallen brauchen, wenn auch die gegebenen 9 Punkte B1, B11, B14, B12, B3, B2, B9, B7, B5 mit dadurch bestimmtem Punkt B13 zusammen auf einer Curve 3. O, C3 liegen, erkennt man von dem folgenden Beispiel. Projiciere man die Gerade (B9B13) ins Unendliche and drucke man die Gleichungen der Geraden (B11B1), (B11B7), (B11B9), (B8B12), (B1B13) and (B2B14) resp. durch aus, so ist die Gleichung der Curve 3. O. durch die 8 Punkte B1, B11, B14, B8, B12, B3, B13, B2 wo k=1/2ist, weun diese Curve noch den 9 nesunten Punkt B7 (O, 3) enthalte. Nimmt man nun B5 als den Schnittpunkt der Geraden (B11B7) oder x=0 mit der Curve, so sind seine Coordinaten (0, 52.) Die Coordinaten der Punkte B1, B11, B14, B3, B12 and B8 sind resp. (1)

5 ( -1, 0), (0, 0), (2, 0), (1/2, 1/2), (-1/3, 4/3) and -2) (3, and die Gleichungen der Geraden (B5B13) sind in Parameterdarstellung Die Werte von Ď, entsprechend den beiden Lagen des Punktes B6, um die gesuchte Configuration aus den gegeben Punkten zu erhalten, sind durch die quadratische Gleichung oder gegoben. Also gibt es zwei verschiedene Lagen fur B6, von dene die eine entsprechend dem Wert Ď=-19/10 auf der Curve 3. O. (1) liegt. Wenn die 15 Punkte B alle auf einer Curve 3. O. C3 liegen, konnen wir erst die 4 Punkte A3, A4, A5, and A6 auf C3 derart be stimmen, dass die Verbinduugslinien der je zwei Punkte A3A5, A3A4, A3A6, A4A5, A4A6 and A5A6 resp. durch B11, B10, B12, B13, B14, and B15 hen, and dann die zwei Punhte A2 and A1 als die Schnittpunkte ge der Geraden A4 B7 and A6 B5 mit C3. Die so bestmmten 6 Punkte A1, A2, A3, A4, A5, and A6 auf C3 liegen auf einem Kegelschnitt and wir konnen, durch die wiederholte Anwendung des schon erwahnten Schnittpunktsatzes zweier Curven 3. O, noch beweisen, dass die Configuration gerade aus diesen 6 Punkten gebildet werden ist.