Die meisten der in der vorliegenden Anleitung zitierten Bücher sind in der Universitätsbibliothek (i.a. in der Lehrbuchsammlung) vorhanden.

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1 E Einleitung 1. Literatur Die meisten der in der vorliegenden Anleitung zitierten Bücher sind in der Universitätsbibliothek (i.a. in der Lehrbuchsammlung) vorhanden. Es gibt viele Physikbücher speziell für Mediziner und Naturwissenschaftler. Im folgenden ist eine kleine Auswahl zusammengestellt: Ulrich Harten: Physik für Mediziner. Berlin, Heidelberg: Springer, 10. Aufl Wolfgang Hellenthal: Physik für Mediziner und Biologen. Stuttgart: Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft, 6. Aufl Alfred Trautwein, Uwe Kreibig, Erich Oberhausen: Physik für Mediziner, Biologen, Pharmazeuten. Berlin: de Gruyter, 4. Aufl Volker Harms: Physik für Mediziner und Pharmazeuten. Lindhöft: Harms Verlag, 15. Aufl (für Schallfeldgrößen ungeeignet!) Bernhard Gonsior: Physik für Mediziner, Biologen und Pharmazeuten. Stuttgart: Schattauer, 2. Aufl Ulrich Haas: Physik für Pharmazeuten und Mediziner. Stuttgart: Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft, 6. Aufl Tübinger Vorlesungsskripten: Jörg Ihringer: Skripten zur Vorlesung Experimentalphysik I und II für Biologen, Pharmazeuten, Mediziner, Zahnmediziner. Günter Staudt: Experimentalphysik. Teil 1: Mechanik, Wärmelehre, Wellen und Schwingungen. Tübingen: Verlag Carl Grossmann, 7. Aufl Günter Staudt: Experimentalphysik. Teil 2: Elektromagnetismus, Optik. Tübingen: Verlag Carl Grossmann, 7. Aufl allgemeine Physikbücher: Paul A. Tipler: Physik. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, 3. korr. Nachdruck der 1. Aufl Christian Gerthsen, Dieter Meschede: Gerthsen Physik. Berlin, Heidelberg: Springer, 21. Aufl Physikalisches Praktikum: Wilhelm Walcher: Praktikum der Physik. Stuttgart: Teubner, 7. Aufl In den hier aufgeführten Büchern findet sich zu fast jedem Versuch etwas. Speziellere Literatur ist bei den einzelnen Versuchen angegeben. 5

2 2. Physikalische Größen und Einheiten Die Physik will die Natur beschreiben, und zwar sowohl qualitativ als auch quantitativ. Je nach der interessierenden Eigenschaft ( Qualität ) eines Objekts haben wir es mit einer anderen physikalischen Größe zu tun. Physikalische Größen sind definiert über die zugehörige Meßvorschrift oder aber über eine mathematische Vorschrift, wie diese Größe aus anderen physikalischen Größen abzuleiten ist. Messen bedeutet immer den Vergleich mit einer Referenz (dieser Vergleich kann natürlich auch indirekt mit Hilfe weiterer Objekte erfolgen). Die Referenz bildet die Einheit der entsprechenden physikalischen Größe. Das Verhältnis der physikalischen Größe bei dem betrachteten Objekt zur selben physikalischen Größe bei der entsprechenden Referenz gibt den Zahlenwert der physikalischen Größe bei dem betrachteten Objekt. Eine physikalische Größe setzt sich also zusammen aus (man kann auch sagen: ist das Produkt aus) Zahlenwert und Einheit. Z.B. ist die physikalische Größe Länge eines Bleistiftes gleich 15 Zentimeter; hierbei ist 15 der Zahlenwert und Zentimeter die Einheit. Einige physikalische Größen (wie z.b. die Geschwindigkeit) benötigen zu ihrer vollständigen Bestimmung darüberhinaus noch die Angabe einer Richtung. Solche physikalischen Größen nennt man Vektoren; physikalische Größen, die keine Richtungsangabe erfordern, heißen im Gegensatz dazu Skalare. (Es gibt auch physikalische Größen, die noch mehr Bestimmungselemente benötigen, sie werden allgemein als Tensoren bezeichnet.) Je nachdem, was bei einer physikalischen Größe als Referenz gewählt wird, gibt es verschiedene Einheiten für dieselbe Größe. So gibt es etwa für die Länge sowohl die Einheit Meter als auch z.b. Elle oder inch. International hat man sich aber auf ein System von Einheiten, das Système International d Unités, abgekürzt SI-System, geeinigt. Da die Geschwindigkeit der Quotient Weg durch Zeit ist, hat sie auch als Einheit den Quotienten aus Längen- und Zeiteinheit. Die Einheit der Geschwindigkeit kann also als eine abgeleitete Einheit angesehen werden, wenn Längen- und Zeiteinheit als Basiseinheiten angesehen werden. Welche physikalischen Größen bzw. Einheiten man als Basisgrößen bzw. -einheiten ansieht, ist aber eigentlich beliebig. International hat man sich beim SI-System auf einen Satz von 7 Basiseinheiten geeinigt, von denen dann alle anderen Einheiten abgeleitet sind. Sie sind in Tabelle 1 zusammen mit den zugehörigen Definitionen (die wir in der Regel erst im weiteren Verlauf des Semesters verstehen können) angegeben. Eine Einheit kann durch Voranstellen eines Vorsatzes (siehe Tabelle 2) auch um Zehnerpotenzen verkleinert oder vergrößert werden. Sowohl die physikalischen Größen als auch ihre Einheiten und deren Vorsätze werden üblicherweise abgekürzt: durch Formelzeichen, Einheitenzeichen und Vorsatzzeichen. So schreibt man z.b. statt Länge = 15 Zentimeter gewöhnlich l = 15 cm. Im 6

3 Schriftsatz werden physikalische Größen kursiv gesetzt, während Einheiten nichtkursiv gedruckt werden. Daß es sich bei einer Größe um einen Vektor handelt, macht man in der Handschrift mit einem Pfeil über dem Einheitensymbol kenntlich, in gedruckten Texten (wie auch in der vorliegenden Versuchsanleitung) werden sie dagegen meist fett gedruckt. Eine eckige Klammer um ein Formelzeichen bedeutet Einheit von..., eine geschweifte Klammer Zahlenwert von..., so daß also gilt: l = {l} [l]. Bei Angaben wie cm 3 oder mm 2 ist zu beachten, daß in diesem Fall nicht wie üblich Potenzieren vor Multiplizieren auszuführen ist (ab 3 = a (b 3 )), sondern der Einheitenvorsatz mit in die Potenz erhoben werden muß: cm 3 = (c m) 3 = (10 2 m) 3 = (10 2 ) 3 m 3 = 10 ( 2 3) m 3 = 10 6 m 3. Daher ist 10 6 m 3 auch nicht gleich Ñm 3. Wie man an den Temperatur-Einheiten Kelvin und Grad Celsius sieht (0 C entspricht 273,15 K), können unter Umständen nicht nur die Größe des Maßstabs (Schrittweite; sowohl bei Kelvin als auch bei Grad Celsius ist dies der 273,16te Teil der Temperaturdifferenz zwischen dem Tripelpunkt von Wasser und dem absoluten Nullpunkt ), sondern auch der Nullpunkt der Skala von Einheit zu Einheit variieren. Neben der Temperatureinheit Grad Celsius sind noch weitere Einheiten gebräuchlich, die nicht dem SI-System angehören. Insbesondere werden in der Atomphysik die atomare Masseneinheit u, welche gleich 1/12 der Masse des Kohlenstoffisotops 12 C ist, also 1 u = 1, kg, sowie die Energieeinheit Elektronvolt (ev) verwendet. Ein Elektronvolt ist diejenige Energie, die ein Teilchen mit der Elementarladung 1 e bei Durchlaufen einer Spannung von 1 Volt erhält, also 1 ev = 1 e 1 V = 1, J. 2.1 Übersichtliche Schreibweisen für eine physikalische Größe Eine Angabe wie 0, m, m, 0, mm, pm oder 0, m ist nicht gerade übersichtlich und somit nicht dazu angetan, daß man sich eine Vorstellung von der Größe machen kann. Man sollte daher versuchen, 1. entweder die Basiseinheit beizubehalten (hier: m) und den Zahlenwert auf die Form X, zu bringen, wobei man also genau 1 Stelle X vor dem Komma haben möchte, welche zudem ungleich 0 sein soll. In unserem Fall also 5, m. 2. oder denjenigen Einheitenvorsatz zu wählen, mit dem der Zahlenwert größer oder gleich 1 und kleiner als 1000 wird, so daß man also zwischen 1 und 3 Stellen vor dem Komma stehen hat. In unserem Beispiel wäre dies 54,7 nm. 3. oder die Basiseinheit beizubehalten und den Zahlenwert als Produkt aus einer Zahl größer oder gleich 1 und kleiner als 1000 und einer durch 3 teilbaren Zehnerpotenz zu schreiben (dies ist dann die Zehnerpotenz, die dem im 2. Punkt verwendeten Einheitenvorsatz entspricht). Bei uns also 54, m. 7

4 2.2 Runden von Zahlenwerten Zunächst sei auf einen grundlegenden Unterschied zwischen mathematischen und physikalischen Größenangaben hingewiesen: Während in der Mathematik das Gleichheitszeichen für eine exakte Gleichheit steht, bedeutet z.b. die Angabe l = 15 cm in der Physik nur, daß die Länge zwischen 14,5 und 15,5 cm liegt! Die Anzahl der Stellen eines Zahlenwertes in der Physik sagt also schon etwas über seine Genauigkeit aus. Wird mit Meßwerten weitergerechnet, so kann die Genauigkeit des Rechenergebnisses nicht größer sein als die Genauigkeit der in die Rechnung eingehenden Werte, genauer: als die Genauigkeit desjenigen Eingangswertes, welcher die geringste Genauigkeit hat. Daher ist das Rechenergebnis mit so vielen geltenden Ziffern anzugeben, wie der ungenaueste Eingangswert hat. (Als geltende Ziffern bezeichnet man die Ziffern einer Zahl mit Ausnahme derjenigen Nullen, welche links von der ersten von 0 verschiedenen Ziffer oder, wenn die Darstellung der Zahl kein Komma enthält, rechts von der letzten von 0 verschiedenen Ziffer stehen.) 8

5 Basis- Basiseinheit Definition größe Name Zeichen (vgl. DIN 1301) Länge Meter m Das Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während der Dauer von (1/ ) Sekunden durchläuft. Masse Kilogramm kg Das Kilogramm ist die Einheit der Masse; es ist gleich der Masse des Internationalen Kilogrammprototyps. Zeit Sekunde s Die Sekunde ist das fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133 Cs entsprechenden Strahlung. elektrische Stromstärke Ampere A Das Ampere ist die Stärke eines konstanten elektrischen Stromes, der, durch zwei parallele, geradlinige, unendlich lange und im Vakuum im Abstand von einem Meter voneinander angeordnete Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigem Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je einem Meter Leiterlänge die Kraft Newton hervorrufen würde. Temperatur Kelvin K Das Kelvin, die Einheit der thermodynamischen Temperatur, ist der 273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers. Stoffmenge Mol mol Das Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebensoviel Einzelteilchen besteht, wie Atome in 0,012 Kilogramm des Kohlenstoffnuklids C enthalten sind. Bei Benutzung des Mol müssen die Einzelteilchen spezifiziert sein und können Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen sowie andere Teilchen oder Gruppen solcher Teilchen genau angegebener Zusammensetzung sein. Lichtstärke Candela cd Die Candela ist die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz Hertz aussendet und deren Strahlstärke in dieser Richtung (1/683) Watt durch Steradiant beträgt. Tabelle 1: SI-Basiseinheiten 9

6 Potenz Name Zeichen Yotta Y Zetta Z Exa E Peta P Tera T 10 9 Giga G 10 6 Mega M 10 3 Kilo k 10 2 Hekto h 10 1 Deka da 10 1 Dezi d 10 2 Zenti c 10 3 Milli m 10 6 Mikro Ñ 10 9 Nano n Piko p Femto f Atto a Zepto z Yocto y Tabelle 2: SI-Vorsätze 10

7 3. Differentiation Viele Größen in der Physik entstehen aus anderen Größen durch Differentiation, so ist z.b. die Geschwindigkeit die Ableitung des Weges nach der Zeit oder die Volumenstromstärke (Versuch 11) die Ableitung des durch einen Rohrquerschnitt fließenden Flüssigkeitsvolumens nach der Zeit. In der Schule haben Sie schon Ableitungen kennengelernt, das waren dann Funktionen f einer Variablen x, also f(x). Die Ableitung von f(x) nach x ist definiert als der Differentialquotient, d.h. der Limes des Differenzenquotienten: f (x) := df dx f(x + x) f(x) := lim. (1) x 0 x Anschaulich gibt die Ableitung die Steigung der Kurve bzw. ihrer Tangente im Punkt x an. In der Physik ist die Variable, nach der differenziert wird, irgendeine physikalische Größe, häufig wie in den obigen Beispielen die Zeit t. Für Ableitungen nach der Zeit schreibt man statt eines Striches hinter der Größe einen Punkt über die Größe; also bei der Geschwindigkeit: v = ds = ṡ mit dem Weg s. dt Ist die Ableitung konstant, so kann man den Differentialquotienten auch durch den reinen Differenzenquotienten ersetzen: f (x) = const f (x) = df dx = f x. (2) 11

8 4. Tabellen und Diagramme 4.1 Anlegen von Tabellen Über jeder Spalte einer Tabelle muß die dort aufgelistete physikalische Größe (möglichst sowohl in Worten als auch mit Formelzeichen) sowie die verwendete Einheit angegeben sein (z.b. Länge l in cm oder Länge l/cm ). Dann werden in die einzelnen Spalten nur noch die Zahlenwerte eingetragen. Bei errechneten Werten muß in der Kopfzeile oder vor der Tabelle die verwendete Formel angegeben werden. 4.2 Zeichnen von Schaubildern Die horizontale Achse eines Schaubilds nennt man die Abszisse, die vertikale die Ordinate. Die Achsen des Schaubildes müssen so lang sein, daß alle Werte eingetragen werden können. Gegebenenfalls müssen die Maßstäbe für die Achsen angepaßt werden (nicht das Papierformat...), notfalls braucht auch der eingezeichnete Wertebereich nicht bei 0 zu beginnen. Die Achsen müssen mit der aufgetragenen physikalischen Größe (möglichst sowohl in Worten als auch mit Formelzeichen) und der verwendeten Einheit beschriftet sein sowie mit Markierungen versehen sein, an denen die Zahlenwerte stehen, aus denen zusammen mit der angegebenen Einheit der Maßstab entnommen werden kann. Die Werte werden mit Blei- oder Buntstift in das Schaubild eingetragen, indem an der entsprechenden Stelle möglichst ein kleines Kreuz (x) gezeichnet wird. Zur Darstellung von exponentiellen Abhängigkeiten eignet sich statt eines linearen Koordinatensystems ein halblogarithmisches Netz (siehe Kapitel 5.), zur Darstellung von Potenzgesetzen verwendet man zweckmäßigerweise doppeltlogarithmische Netze. Logarithmische Darstellung ist auch dann vorzuziehen, wenn Abhängigkeiten, die sich über viele Größenordnungen erstrecken, wiedergegeben werden sollen Ausgleichsgeraden und andere Ausgleichskurven Die in ein Schaubild eingezeichneten Werte liegen für gewöhnlich näherungsweise auf einer Kurve. Da Meßwerte aber immer mit Fehlern behaftet sind (vgl. Kapitel 6.), kann man diese Punkte nicht einfach verbinden, wenn man ein möglichst gutes Bild von der Kurve haben möchte. Stattdessen ist eine sogenannte Ausgleichskurve zu zeichnen. Es gibt mathematische Verfahren, um aus den Meßwerten diese Ausgleichskurve zu bestimmen, wenn bekannt ist, um welche Art von Kurve (z.b. Parabel oder Gerade) es sich handeln sollte. Für das vorliegende Praktikum reicht es jedoch, die Ausgleichskurve nach Augenmaß einzuzeichnen. Dabei achtet man darauf, daß die Abstände der Meßwerte von der Kurve möglichst klein und nach beiden Seiten gleichermaßen verteilt sind, einzelne Punkte ( Ausreißer ) dürfen ruhig auch weiter von der Ausgleichskurve entfernt sein. Wenn aus theoretischen Überlegungen klar ist, daß sich eine Ursprungsgerade ergeben muß, so ist dies beim Zeichnen der Ausgleichsgerade zu berücksichtigen. 12

9 5. Logarithmus und Halblogarithmische Darstellung Physikalische Größen hängen häufig exponentiell voneinander ab, d.h. die Abhängigkeit ist von der Form y(x) = a e α x, z.b. I(d) = I 0 e µ d N(t) = N 0 e λ t. Einige Regeln für das Rechnen mit Logarithmus und Exponentialfunktionen Logarithmus und Exponentialfunktion zur gleichen Basis b sind Umkehrfunktionen voneinander, d.h. insbesondere für log b (b x ) = x bzw. b log b x = x, (3) b = e : ln(e x ) = x b = 10 : lg(10 x ) = x. Weiter gilt: log b (u v) = log b u + log b v (4) ( ) u log b = log v b u log b v (5) Insbesondere log b (a n ) = n log b a. (6) log b 1 a = log b a. Basiswechsel insbesondere a x = b x log b a, (7) a x = e x ln a. 13

10 insbesondere loga x = log b x log b a, (8) ln x = 1 lg e lg x lg x = 1 ln 10 lnx. Halblogarithmische Darstellung Um zur halblogarithmischen Darstellung zu kommen, wendet man auf beide Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus an: mit (4): mit (3): y(x) = a e α x ln y(x) = ln(a e α x ), ln y(x) = ln a + ln(e α x ), ln y(x) = ln a α x. (9) Zwischen ln y und x besteht also ein linearer Zusammenhang, d.h. das Schaubild der Größe ln y in Abhängigkeit von x ist eine Gerade mit dem Achsenabschnitt ln a und der Steigung α. Zur Bestimmung von α muß somit die Steigung der Geraden ermittelt werden. Die negative Steigung dieser Geraden ist, wie aus dem Schaubild ersichtlich: α = ln v 1 ln v 2 = ln 1 v 2 = lg 1 v 2 ln 10. u 2 u 1 u 2 u 1 u 2 u 1 Wegen Gleichung (5) sind die Logarithmen verschiedener Basen zueinander proportional, d.h. jede Darstellung in Logarithmen anderer Basen als der (hier sehr bequemen) natürlichen ist obiger Darstellung äquivalent, sie bedeutet lediglich eine Änderung des Maßstabsfaktors der Ordinate. Insbesondere gibt es kein spezielles Zehnerlogarithmuspapier, sondern das Logarithmuspapier ist für logarithmische Darstellung aller Logarithmen geeignet. 14

11 ln a ln V 1 ln V 2 ln y = ln a α x ln 1 0 U 1 U 2 Abb. 1: Halblogarithmische Darstellung 15

12 6. Fehlerrechnung Wenn Sie eine physikalische Größe messen, dürfen Sie nicht voraussetzen, daß dieser gemessene Wert x dem wahren Wert X entspricht: bei jeder Messung werden Fehler gemacht. Diese Fehler kann man in 2 Gruppen unterteilen: systematische Fehler zufällige oder statistische Fehler Systematische Fehler treten z.b. auf, wenn bei der Messung von Zählraten die Totzeit nicht berücksichtigt wird (siehe V 42), wenn Meßgeräte defekt sind (Stoppuhr geht falsch), oder wenn der Versuchsaufbau nicht richtig durchdacht wurde. Statistische Fehler gibt es hingegen bei jedem Experiment, auch wenn systematische Fehler ausgeschlossen sind. Sie treten z.b. beim Ablesen von Zeigerinstrumenten auf (Parallaxenfehler), oder beim Messen der Zeit mit einer Stoppuhr (unterschiedliche Reaktionszeit). Jeder einzelne Meßwert x i wird also mehr oder weniger vom wahren Wert X bzw. vom Mittelwert x (Gleichung (10)) abweichen. Dies ist in Abbildung 2 dargestellt. (a) Wahrer Wert (b) Wahrer Wert Abb. 2: Reihe von Meßwerten: (a) nur mit zufälligen Fehlern, (b) zufällige plus systematische Fehler. Jeder Strich zeigt das Ergebnis einer Messung an. Wir setzen nun voraus, daß wir keine systematischen Fehler machen. Um den statistischen Fehler klein zu halten, müssen Sie mehrere Messungen durchführen. Die Anzahl n der Messungen muß dabei nicht notwendigerweise sehr groß sein (siehe V 41). Aus diesen einzelnen Meßwerten x 1, x 2,..., x n bestimmen Sie nun den Mittelwert x: x = 1 n (x 1 + x x n ) = 1 n x i. (10) n (Durch diese Gleichung wird auch klar, was das Symbol bedeutet.) Dieser Mittelwert ist ein besseres Maß für den wahren Wert X als ein einziger Meßwert. i=1 16

13 Um die Güte Ihrer Messung beurteilen zu können, müssen Sie jetzt die Streuung Ihrer Meßwerte untersuchen. Betrachten Sie dazu Abb. 3: (a) x (b) Wahrer Wert Abb. 3: Zur Streuung von Meßwerten Jeder Strich stellt wieder einen Meßwert dar. In Abb. 3 (a) liegen alle Meßwerte in einem sehr kleinen Bereich um den Mittelwert. In (b) hingegen in einem großen Bereich um den Mittelwert. Ohne viel rechnen zu müssen, kann man sagen, daß in (a) der Fehler der Messung kleiner ist. Um jedoch eine genauere Aussage über den statistischen Fehler machen zu können, werden einige Formeln und Begriffe benötigt: Fehler f i einer Einzelmessung: Dies ist die Abweichung der einzelnen Meßwerte vom Mittelwert: Die Varianz: Sie ist durch folgende Formel definiert: s 2 = 1 n 1 f i = x i x. n (x i x) 2, i=1 d.h. alle Einzelfehler werden quadriert, addiert und durch die Anzahl n der Messungen minus 1 geteilt. Die Standardabweichung: Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel aus s 2 : s = 1 n 1 n (x i x) 2 (11) i=1 Die Standardabweichung gibt an, wie sehr die einzelnen Meßwerte vom Mittelwert abweichen. Je kleiner s ist, desto dichter liegen die meisten Meßwerte beim Mittelwert (siehe Abb. 3). Ist s groß, sind die einzelnen Meßwerte über einen großen Bereich verteilt, die einzelnen Messungen waren ungenauer. Viele Taschenrechner können aus eingegebenen Werten den Mittelwert und die Standardabweichung berechnen (man beachte aber, daß beim Taschenrechner im Nenner der Standardabweichung gelegentlich n statt n 1 verwendet wird). 17

14 Zur Beurteilung der Genauigkeit des Mittelwertes gibt man aber nicht die Standardabweichung an, sondern die Standardabweichung des Mittelwerts (früher mittlerer quadratischer Fehler des Mittelwerts genannt): Standardabweichung des Mittelwerts: m = s n (12) Somit haben wir also n (x i x) 2 m = i=1 n (n 1). (13) Falls die Meßwerte theoretisch eine Gaußverteilung 1 bilden müssen, kann mit Hilfe der Standardabweichung des Mittelwerts der Vertrauensbereich x berechnet werden, der angibt, daß der wahre Wert mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit w (üblich sind 68,27 %, 95 % oder 99,73 %) im Intervall [x x, x + x] liegt. x ist proportional zur Standardabweichung des Mittelwerts, läßt sich also schreiben als x = τ m, (15) wobei der Proportionalitätsfaktor τ sowohl vom Vertrauensniveau w als auch vom Stichprobenumfang n abhängt. Im Praktikum werden wir vereinfachend τ = 1 verwenden, was für w = 68,27 % und n exakt stimmt. Damit wird also der Vertrauensbereich vereinfachend zu x = m. (16) 1 Eine Gaußverteilung f(x) = 1 (x x) 2 s 2π e 2 s 2 (14) ist in Abb. 4 abgebildet. Die vertikale Achse gibt die Häufigkeit an, mit der ein Meßwert gemessen wird, s ist ein Maß für die Breite der Kurve. s x x Abb. 4: Die Gaußverteilung 18

15 Außer der Fehlerrechnung für den zufälligen Fehler ist auch noch eine Abschätzung der natürlich unbekannten Größe des systematischen Fehlers vorzunehmen. Bei der Angabe des Meßergebnisses sind die beiden Fehler zu addieren. Wenn wir nun davon ausgehen, daß der systematische Fehler vernachlässigbar ist, so erhält man dann als Endergebnis der Messung: x = x ± x x muß hierbei immer aufgerundet werden. x wird normalerweise auf 2 geltende Ziffern genau angegeben, x wird mit der gleichen Genauigkeit angegeben wie x (z.b. wenn man l = 15, cm und l = 0, cm errechnet, ist das Ergebnis in der Form l = 15,33 cm ± 0,14 cm oder l = (15,33 ± 0,14) cm anzugeben). f i und x werden als absolute Fehler bezeichnet. Bezieht man den Fehler hingegen auf den Mittelwert x, d.h. bildet man den Quotienten aus absolutem Fehler und Mittelwert, so erhält man den relativen Fehler. Relative Fehler werden in Prozent angegeben (% = 1/100). 2 Gesunder Menschenverstand beim Beurteilen von Fehlern: Nicht in allen Fällen ist es notwendig oder gar sinnvoll, stur nach diesen Formeln zu rechnen. Es folgen 2 Beispiele: 1. Nehmen wir an, Sie wiegen einen Gegenstand 4mal und erhalten folgende Werte: G 1 = 30,9453 g G 2 = 30,9446 g G 3 = 30,9447 g G 4 = 30,9449 g Der Mittelwert ist 30,9449 g. Wenn Sie sich die Einzelwerte ansehen, werden Sie feststellen, daß 3 der 4 Werte in einem Bereich von ±0,0003 g liegen. Sie können also den Fehler durch reine Überlegung nach oben abschätzen: G = (30,9449 ± 0,0003) g 2. Sie messen eine Strecke s mit dem Maßband und können nur auf 0,5 mm genau ablesen. Sie erhalten in zwei Meßreihen mit keiner oder nur sehr geringer Streuung der Meßwerte: a) fünfmal den Wert 435 mm, b) sechsmal den Wert 435 mm und einmal den Wert 435,5 mm. In beiden Fällen ist es unsinnig, eine genaue Fehlerrechnung durchzuführen. Da Sie nur auf 0,5 mm genau ablesen können, ist es falsch, in Fall a) einen Fehler von 0 mm anzugeben und in Fall b) einen Fehler von 0,012 mm. Sie können nach wie vor nur sagen, daß Sie die Länge auf 0,5 mm genau gemessen haben. Wenn Sie die Strecke genauer messen wollen, müssen Sie ein genaueres Instrument verwenden. 2 1 Außer der Abkürzung Prozent = % für 100 = 10 2 gibt es auch noch Promille = 0 / 00 = = , parts per million = ppm = = , parts per billion = ppb = = und parts per trillion = ppt = = (Beachte: Im Deutschen ist 1 Billion = und 1 Trillion = ) 19

16 Poissonverteilung Die in im vorangehenden Teil beschriebenen Formeln gelten nicht für das Zählen von Teilchen (siehe V 42 und V 43). Hierbei gilt die Poissonverteilung. Angenommen, wir messen die Absorption von γ Strahlung. Wir haben insgesamt N Teilchen gezählt. Jetzt gilt für den absoluten Fehler: N = N, (17) und für den relativen Fehler: N rel = N N = 1 N. (18) Der Fehler N rel wird also umso kleiner, je mehr Teilchen oder Ereignisse gezählt wurden. Der Zeitraum, in dem diese N Teilchen oder Ereignisse gezählt werden, spielt keine Rolle. Der Fehler hängt nicht davon ab, ob man eine hohe Zählrate hat oder eine kleine. 20

17 7. Griechisches Alphabet α A alpha ν N ny β B beta ξ Ξ xi γ Γ gamma o O omikron δ delta π Π pi ε, ǫ E epsilon ρ, P rho ζ Z zeta σ Σ sigma η H eta τ T tau θ, ϑ Θ theta υ Υ ypsilon ι I iota φ, ϕ Φ phi κ K kappa χ X chi λ Λ lambda ψ Ψ psi µ M my ω Ω omega 21

18 8. Naturkonstanten Einige wichtige Naturkonstanten (nach CODATA 1998). Größe Symbol Wert Atomare Masseneinheit u = 1 12 m(12 C) 1, kg Protonenmasse m p 1, kg = 938,2720 MeV/c 2 Neutronenmasse m n 1, kg = 939,5653 MeV/c 2 Elektronenmasse m e 9, kg = 0, MeV/c 2 Elementarladung e 1, C Spez. Elektronenladung e m e 1, C kg Magn. Moment des Protons µ p 1, J T Magn. Moment des Elektrons µ e 9, T J Avogadro-Konstante N A 6, mol 1 Boltzmann-Konstante k B 1, K J Vakuumlichtgeschwindigkeit c 2, m s Magnetische Feldkonstante µ 0 4Ô 10 7 A V m s Elektrische Feldkonstante ε 0 = 1 µ 0 c 2 8, V A m s 11 m3 Gravitationskonstante G 6,67 10 kg s 2 Erdbeschleunigung g 9,80665 m s 2 Plancksches Wirkungsquantum h 6, J s ha-quer h = h 2 Ô = 4, ev s 1, J s 22