Zahlzerlegungen und Teil-Ganzes-Beziehungen

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1 und Teil-Ganzes-Beziehungen Eine wichtige Grundlage für die Entwicklung von Rechenstrategien von Andrea Peter-Koop und Thomas Rottmann Ein Selbstversuch Rechnen mit Buchstaben Wir möchten diesen Beitrag mit einem kleinen Selbstversuch starten: Es geht um das Rechnen mit Buchstaben. Vergessen Sie in den nächsten Minuten also die uns vertrauten Zahlen. 1, 2, 3 usw. kennen wir nicht. Stattdessen rechnen wir mit Buchstaben: A ist die erste Zahl, B die zweite usw. Lösen Sie nun bitte die Aufgabe F + G, aber ohne eine Umwandlung in die üblichen Zahlen vorzunehmen! (Keine Sorge, dies funktioniert tatsächlich!) Welches Ergebnis erhalten Sie? L oder M oder etwas anderes? Und wie sind Sie bei der Bearbeitung vorgegangen? Sicherlich gibt es Unterschiede in den individuellen Lösungswegen; die allermeisten von uns werden aber in irgendeiner Weise gezählt haben. So ist es beispielsweise möglich, zunächst F Objekte (Finger, Plättchen, ) zu zählen und dann zusätzlich weitere G Objekte. Wir erhalten eine Menge, die das Ergebnis darstellt. Wie das Ergebnis aber heißt, wissen wir noch nicht. Dazu ist ein erneutes Abzählen der gesamten Menge notwendig. Beispielhaft ist dies in Abb. 1 dargestellt. A B C D E F A B C D E F G A B C D E F G H I J K L M Abb. 1: F + G = M, gelöst über ein Alles-Zählen Diese Strategie nennt man Alles-Zählen. Sie ist dadurch gekennzeichnet, dass insgesamt drei Zählprozesse benötigt werden, um das Ergebnis zu bestimmen. Zuerst wird der erste Summand abgezählt (und an den Fingern oder einem anderen Material dargestellt), dann der zweite Summand und abschließend wird die Summe in einem weiteren Abzählvorgang bestimmt (vgl. Schipper 2009, S. 103). Doch warum nutzen wir nicht andere, effektivere Rechenstrategien? Möglich wäre z. B. ein Nutzen des Verdoppelns (F + F = L, L + A = M) oder das Schrittweise Rechnen zur besonderen Zahl J, analog zur 10 bei den uns vertrauten Zahlen (F + D = J, J + C = M). Diese sogenannten operativen oder heuristischen Strategien bauen sämtlich darauf auf, dass wir gewisse Aufgaben sicher auswendig wissen und auf dieser Grundlage dann andere Aufgaben herleiten. So müssen wir, 1

2 wenn wir z. B. die Aufgabe über das Verdoppeln lösen wollen, das Ergebnis der Aufgabe kennen. Außerdem müssen wir die Zahl 7 sicher in 6 und 1 zerlegen können, um zu bestimmen, dass zu dem Zwischenergebnis noch 1 addiert werden muss. Für die Strategie des Schrittweisen Rechnens ( Zuerst bis 10, dann weiter ) müssen wir zwei Zahlen sicher zerlegen können, nämlich zuerst die Zahl 10 ( Wie viel muss ich zu 6 addieren, um 10 zu erreichen? ) und dann die Zahl 7, hier jedoch in 4 und 3 ( Wie viel muss ich dann noch zu 10 addieren, wenn ich insgesamt 7 addieren möchte? ). Dieses Wissen fehlt uns jedoch beim Rechnen mit Buchstaben dies ist einer der Gründe dafür, warum wir bei F + G auf Zählstrategien angewiesen sind. Dieses Beispiel macht deutlich, dass ein solches Wissen unbedingt frühzeitig erworben werden muss, wenn nicht dauerhaft zählende Rechenstrategien genutzt werden sollen. Zentral ist an dieser Stelle jedoch ein grundsätzliches Verständnis des Teil-Ganzes-Schemas. Teil-Ganzes-Schema Das Teil-Ganzes-Schema bezieht sich auf die Idee, dass gegebene Zahlen auf unterschiedliche Arten zerlegt und wieder zusammengesetzt werden können. Ein Verständnis des Teil-Ganzes-Schemas stellt die Grundlage dafür dar, dass die Beziehung zwischen einer Zahl (dem Ganzen) und ihren Teilen numerisch erfasst werden kann und dass erkannt wird, dass sich eine Zahl auf ganz unterschiedliche Weise zerlegen lässt (z. B. die Zahl 10 als Menge von zehn Objekten in Teilmengen von fünf und fünf Objekten oder von sechs und vier Objekten usw.). Das zahlenbezogene Teil-Ganzes-Schema organisiert das Wissen über die Beziehungen zwischen Teilen und dem Ganzen in Zahlentripeln wie z. B Mit einem solchen Zahlentripel lassen sich insgesamt vier verschiedene Aufgaben (Aufgabe mit Tauschaufgabe und den Umkehraufgaben) bilden; eine sinnvolle Übung zur Festigung dieser Beziehungen stellt z. B. das Aufgabenformat Plumino dar (vgl. Abb. 2). Plumino Drei Zahlen im Kopf, vier Aufgaben im Bauch: Zwei Plus-Aufgaben, zwei Minus-Aufgaben Abb. 2: Plumino zum Zahlentripel (Welt der Zahl Schülerband 1 NRW, S. 82) 2

3 Die Entwicklung der Fähigkeit zur Betrachtung von Zahlen als Teil-Ganzes-Beziehungen stellt eine der größten konzeptuellen Herausforderungen des Anfangsunterrichts dar (vgl. Resnick 1983), auch wenn neuere Studien zeigen, dass viele Kinder bereits vor der Einschulung erste, elementare Einsichten zur Zerlegbarkeit von Zahlen erwerben (vgl. Clarke; Clarke, Grüßing & Peter-Koop 2008). und ihre Bedeutung für das weiterführende Rechnen Ein fehlendes Teil-Ganzes-Schema ist eine häufige Fehlerquelle beim Lösen von Additions- und Subtraktionsaufgaben. So formulieren Schülerinnen und Schüler zu vorgegebenen Situationen z. B. Rechenaufgaben wie 5 8 = 3 (vgl. Moser-Opitz 2009). Fehler wie = 28 (gerechnet über = 20 und = 28) haben ebenfalls ihre Ursache in einer fehlerhaften (bzw. unterbliebenen) Zerlegung von Zahlen in ihre Teile. Auch in einem größeren Zahlenraum ist das Teil-Ganzes-Schema eine wichtige Voraussetzung für die nicht-zählende Bearbeitung von Additionsund Subtraktionsaufgaben mit Zehnerüberschreitung. Verschiedene Rechenstrategien verlangen unterschiedliche des zweiten Summanden (vgl. Abb. 3). Damit stellt eine sichere, automatisierte Beherrschung der der Zahlen bis 10 eine zentrale Voraussetzung für die Ablösung vom zählenden Rechnen dar (vgl. Schipper 2009). Schrittweises Rechnen Hilfsaufgabe = = = = = = 55 Zerlegung der 8 in 3 und 5 Zerlegung der 10 in 8 und 2 Abb. 3: Strategieabhängige Aufbau des Teil-Ganzes-Schemas Gerade Schülerinnen und Schüler mit Rechenschwächen fallen auch gegen Ende der Grundschulzeit häufig noch dadurch auf, dass sie nicht sicher die Zerlegungen der Zahlen bis 10 auswendig beherrschen (vgl. Schipper 2009, S. 335). Ein wichtiges Ziel des Mathematikunterrichts im 1. Schuljahr besteht daher darin, dass Schülerinnen und Schüler tragfähige Vorstellungen zu den Teil-Ganzes-Beziehungen von Zahlen aufbauen sowie die sämtlicher Zahlen bis 10 automatisieren und flexibel für das Rechnen nutzen. Daher sollte bereits frühzeitig im ersten Schuljahr mit vielfältigen Übungen zu den begonnen werden. Empfehlenswerte Materialien sind dabei z. B. Wendeplättchen bzw. Rechenschiffe (vgl. Abb. 4) oder statische Fingerdarstellungen (vgl. Abb. 5), bei denen die Zerlegungen mit einem Stift gezeigt und die Anzahlen der Finger links und rechts vom Stift 3

4 auf einen Blick erfasst werden können (vgl. Schipper 2009, S. 95; Peter- Koop & Rottmann 2013). Immer Abb. 4: Welt der Zahl Inklusion Heft A3, S Abb. 5: aus Welt der Zahl Schülerband 1 NRW, S. 26 Für die praktische Arbeit bietet es sich an, einen Begriff wie den der Zahlenfreunde einzuführen und so die Zahlzerlegung für Kinder leicht ansprechbar zu machen z. B. 3 und 7 als zusammengehörige Zahlenfreunde der 10 bzw. Zehnerfreunde (vgl. Abb. 6). Gerade zu Beginn der Behandlung von Aufgaben mit Zehnerüberschreitung hat es sich bewährt, mehrere Aufgaben mit demselben zweiten Summanden zu stellen ( immer plus 8 ). Dabei lässt sich gezielt eine Verbindung zu den Zahlenfreunden herstellen und verdeutlichen, welche Zahlzerlegung bei der jeweiligen Aufgabe Verwendung findet und dass in Abhängigkeit vom ersten Summanden unterschiedliche Zerlegungen derselben Zahl sinnvoll sind. So wird bei die Zahl 8 in 3 und 5 zerlegt, bei der Aufgabe jedoch in 1 und Abb. 6: Symbol für die Zahlenfreunde der 10 Die Automatisierung der lässt sich fördern, indem die Kinder gezielt bei einer schrittweisen Ablösung von der zählenden Erfassung der Teilmengen und von einer konkreten Verwendung der Finger unterstützt werden. Eine Orientierung bietet dabei das sogenannte Vier- Phasen-Modell (vgl. Abb. 7), wobei der konkrete Umgang mit Fingerdarstellungen oder mit einem anderen Material zunehmend in die Vorstellung verlagert wird. 4

5 Phase 1 Handlung am Material mit Versprachlichung In der ersten Phase handelt das Kind am Material und beschreibt dabei seine Handlungen. Die Handlungsebene wird auf die Symbolebene übertragen, indem das Kind den zugehörigen Term bzw. die zugehörige Aufgabe notiert. Phase 2 Beschreibung der Materialhandlung mit Sicht auf das Material In der zweiten Phase handelt das Kinder nicht mehr selbst, sondern beschreibt die Handlung am sichtbaren Material für einen Partner/die Lehrkraft und beobachtet, wie diese nach seinen Anweisungen ausgeführt werden. Phase 3 Beschreibung der Materialhandlung ohne Sicht auf das Material In der dritten Phase ist das Material zwar noch auf dem Tisch, doch durch den Einsatz einer Trennwand für das Kind nicht sichtbar. Ohne Sicht auf das Material beschreibt das Kind die Materialhandlung, die von seinem Partner/der Lehrkraft umgesetzt wird. Phase 4 Beschreibung der Materialhandlung nur noch in der Vorstellung In der vierten Phase löst das Kind die Aufgabe auf der symbolischen Ebene und stellt sich ggf. dabei noch die zugehörige Materialhandlung vor und beschreibt diese. Abb. 7: Das Vier-Phasen-Modell zum Aufbau von Grundvorstellungen (Peter-Koop & Rottmann 2013, S. 23; erstellt auf der Basis von Schipper, Wartha & von Schroeders 2011, S. 113 sowie Wartha & Schulz 2012, S. 63) An die oben genannte Übung (Legen eines Stifts zwischen die Finger, Phase 1; vgl. Abb. 5) schließen sich weitere Übungen an, in denen ein Kind nur noch die eine Zahl sagt (ohne Legen des Stifts) und das Partnerkind den passenden Zahlenfreund nennt. Dabei können die Finger noch sichtbar auf dem Tisch liegen (Phase 2) oder mit einem Tuch abgedeckt werden (Phase 3). Zur Unterstützung des Auswendiglernens (Grundlage für Phase 4) können sehr gut die Zerlegungskarten genutzt werden. Dieses Material umfasst Kartensätze zu sämtlichen Zerlegungen der Zahlen von 4 bis 10 (vgl. Abb. 8) Abb. 8: Vorder- und Rückseite der Karte zur Zerlegung der Zahl 10 in 6 und 4 5

6 Die Zahlenfreunde zu unterschiedlichen Zahlen sind dabei an den verschieden farbigen Rändern und dem entsprechenden Zahlenfreunde-Symbol leicht zu unterscheiden. Als Hilfestellung ist auf jeder Karte eine entsprechende Anzahl an blauen Plättchen abgebildet. Auf der Rückseite wird der Zahlenfreund mit roten Plättchen dargestellt. Dieses Kartenmaterial kann als Einzel- sowie als Partnerübung eingesetzt werden. Die Karten zu einer Zahl (z. B. die Zahlenfreunde der 10 ) werden ausgewählt und gemischt. Ein Kind zieht eine Karte und nennt den passenden Zahlenfreund. Entweder kontrolliert das Kind selbst die Antwort auf der Rückseite, oder das Partnerkind übernimmt diese Kontrolle. Deutlich anspruchsvoller wird die Übung, wenn die Zerlegungskarten von verschiedenen Zahlen gemischt werden. Literatur Clarke, B., Clarke, D., Grüßing, M. & Peter-Koop, A. (2008). Mathematische Kompetenzen von Vor schulkindern Ergebnisse eines Ländervergleichs zwischen Australien und Deutschland. Journal für Mathematik-Didaktik, 29 (3/4), S Moser Opitz, E. (2009). Erwerb grundlegender Konzepte der Grundschulmathematik als Voraussetzung für das Mathematiklernen in der Sekundarstufe I. In A. Fritz & S. Schmidt (Hrsg.), Fördernder Mathematikunterricht in der Sek. I (S ). Weinheim: Beltz. Peter-Koop, A. & Rottmann, T. (2013): Einsicht in Teil-Ganzes-Beziehungen Übungen mit den Zahlenfreunden. Fördermagazin Grundschule, 4, S Resnick, L. B. (1983). A developmental theory of number understanding. In H. Ginsburg (Hrsg.), The development of mathematical thinking (S ). New York: Academic Press. Schipper, W. (2009). Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen. Braunschweig: Schroedel. Schipper, W., Wartha, S. & von Schroeders, N. (2011). BIRTE 2 Bielefelder Rechentest für das zweite Schuljahr. Handbuch zur Diagnostik und Förderung. Braunschweig: Schroedel. Wartha, S. & Schulz, A. (2012). Rechenproblemen vorbeugen. Grundvorstellungen aufbauen: Zahlen und Rechnen bis 100. Berlin: Cornelsen. Ergänzende Materialien aus der ZAHLENWERKSTATT und WELT DER ZAHL: Zerlegungskarten Inklusion Heft A3, S. 2-5 Inklusion Heft A4, S Arbeitsheft Fördern 1, S Kartei Fördern 1, Karten Rechentrainer 1, S Lernsoftware 1, Modul 2 Zahlen zerlegen 6