5. 7. Brüche und Dezimalzahlen. Mathematik. Das 3-fache Training für bessere Noten: Klasse. Klasse

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1 Das 3-fache Training für bessere Noten: WISSEN ÜBEN TESTEN Die wichtigsten Regeln zum Thema Brüche und Dezimalzahlen mit passenden Beispielen verständlich erklärt Zahlreiche Übungsaufgaben in drei Schwierigkeitsstufen Thementests als Check-up nach jedem Kapitel sowie ein großer Abschlusstest zum Rechnen mit Brüchen und Dezimalzahlen Mit praktischem Leitsystem sowie Lösungen zu allen Übungen und Tests im Anhang WISSEN ÜBEN TESTEN Mathematik Brüche und Dezimalzahlen Klasse ISBN ,99 (D) 11,40 (A) Wüt_Mathe_Brüche/Dezi_5/7KL._RZ_CS5.indd 1-3 WISSEN ÜBEN TESTEN Geeignet für Gymnasium, Realschule und Gesamtschule Berücksichtigt die aktuellen Bildungspläne der Bundesländer Brüche und Dezimalzahlen Klasse Klasse > Mathematik Brüche und Dezimalzahlen :27

2 Teilbarkeit natürlicher Zahlen übung 17 Bestimme das kgv durch Primfaktorzerlegung. a) 2; 5; 20 b) 12; 28 c) 24; 54 d) 8; 12; 15 e) 30; 50; 80 f) 30; 60; 105 g) 15; 18; 24 h) 25; 40; 130 wissen + Das Sieb des Eratosthenes Auf den griechischen Gelehrten Eratosthenes (etwa v. Chr.) geht ein Verfahren zurück, mit dem man leicht und vor allem schnell Primzahlen einer Zahlenmenge bestimmen kann die Primzahlen also aussiebt. 1. Man notiert alle zu untersuchenden Zahlen und 2. streicht die 1; 3. markiert die 2, streicht Vielfache von 2; 4. markiert die 3, streicht die Vielfachen von 3, falls noch nicht geschehen; 5. wiederholt die Schritte 3 und 4 für die jeweils kleinsten nicht markierten Zahlen. Das Verfahren ist beendet, sobald das Quadrat der kleinsten unmarkierten Zahl größer als die größte Zahl der Menge ist. Alle markierten Zahlen sind Primzahlen. Die Primzahlen zwischen 0 und 50 sollen gefunden werden Ergebnis: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17;19; 23; 29; 31; 37; 41; 43 und 47 sind Primzahlen. übung 18 Bestimme die Primzahlen zwischen 0 und 100 mithilfe des Siebes von Eratosthenes. Üben übung 19 Anna, Lina und Julian spielen mit der Modellrenn - bahn. Sie starten ihre Renn autos zur gleichen Zeit. Linas Auto benötigt 14 Sekunden für eine Runde, Julians Auto braucht 15 Sekunden und Linas Wagen schafft eine Runde in 12 Sekunden. Nach welcher Zeit fahren sie wieder gemeinsam über die Ziellinie? übung 20 Die Zahnräder eines Fahrrades haben 24 und 30 Zähne. Mit jeder Umdrehung der Pedale drehen sich auch die Zahnräder genau einmal. Nach wie vielen Umdrehungen der Pedale haben beide Kettenräder wieder dieselbe Lage erreicht? 18

3 Thementest 1 Thementest 60 Minuten 2 aufgabe 1 Bestimme die Teilermengen der Zahlen. a) 20 b) 45 c) 60 d) 182 e) 215 f) 315 aufgabe 2 Gib die Primzahlen an, die zwischen den gegebenen Zahlen liegen. a) 20 und 30 b) 30 und 40 c) 60 und 70 d) 90 und 110 aufgabe 3 teilbar? Sind die gegebenen natürlichen Zahlen durch die jeweils angegebene Zahl a) durch 3: 1530; 337; 3452; 3453; 8912 b) durch 4: 224; 1252; 4561; 9992; c) durch 9: 442; 351; 7560; ; aufgabe 4 Bestimme mithilfe der Primfaktorzerlegung das kleinste gemeinsame Vielfache folgender Zahlen. a) 15, 36 und 40 b) 204 und 510 aufgabe 5 Finde die größte Zahl, die kleiner als ist und a) durch 6, aber nicht durch 9 teilbar ist; b) durch 2, durch 7, aber nicht durch 4 teilbar ist. aufgabe 6 Alle 27 Schülerinnen und Schüler einer Klasse besuchen eine Theatervorstellung. Elias sammelt das Eintrittsgeld von allen Mitschülern ein. Nach dem Einsammeln hat er 163 in der Kasse. Warum wird er stutzig? aufgabe 7 Die Seitenlängen eines Rechtecks seien mithilfe natürlicher Zahlen angegeben. (Der Umfang eines Rechtecks ist die Summe der Seitenlängen; den Flächeninhalt berechnest du, indem du die Länge mit der Breite multiplizierst.) Beantworte die Fragen und begründe deine Meinung. a) Kann der Umfang eine Primzahl sein? b) Kann der Flächeninhalt eine Primzahl sein? 19 testen

4 3 Brüche 3.1 Brüche als Teile von einem Ganzen Bruchteile Oft wird ein Ganzes in mehrere Teile geteilt: Ein halber Liter Wasser wird gebraucht. Ein Dezimeter ist ein Zehntel eines Meters. Im Sport misst man in Hundertstelsekunden. Walzer ist Musik im Dreivierteltakt. Werden Ganze in 2, 3, 4, 5, 6 gleiche Teile zerlegt, erhält man Halbe, Drittel, Viertel, Fünftel, Sechstel 1 ist der halbe Teil eines Ganzen, 2 1 ist der dritte Teil eines Ganzen usw. 3 Man schreibt: Man liest: ein halb ein Zehntel ein Hundertstel drei Viertel A 1_ 6 1_ 6 1_ 6 1_ 6 1_ 6 1_ 6 1_ 3 1_ 3 1_ 3 Ein Ganzes wird in 6 bzw. 3 gleiche Teile zerlegt. B Teilt man ein Ganzes in gleiche Teile, entstehen Bruchteile. Bruchteile eines Ganzen werden als Bruch (auch gemeiner Bruch genannt) in der Form a (a von insgesamt b b Bruch teilen) geschrieben. Zähler 2 3 Bruchstrich 5 Nenner wissen Der Nenner (der Name beruht auf nennt ) gibt an, in wie viele gleiche Teile ein Ganzes zerlegt wird. Der Zähler (der Name beruht auf zählt ) zeigt, wie viele solcher Teile vorhanden sind. Sind Zähler und Nenner gleich, sind also alle Teile vorhanden, entspricht der Bruch dem Ganzen. 20 In einem Bruch bedeuten: 2 Zähler: 2; Nenner: 5 5 Das Ganze in 5 Teile geteilt, 2 Fünftel sind vorhanden 6 Zähler: 6; Nenner: 6 6 Das Ganze in 6 Teile geteilt, 6 Sechstel = 1 Ganzes ist vorhanden.

5 3.1 Brüche als Teile von einem Ganzen 3 Ist der Zähler das n-fache des Nenners, entspricht der Bruch n Ganzen. Merke: Brüche entstehen bei der Teilung eines oder mehrerer Ganzer. 12 Zähler: 12; Nenner: 4 4 Das Ganze in 4 Teile geteilt, 12 Viertel = 3 4 Viertel = 3 Ganze Bruchzahlen, die auf dem Zahlenstrahl an der gleichen Stelle liegen, stellen den gleichen Bruch dar = Haben gegebene Brüche den gleichen Nenner, wurde bei allen Brüchen das Ganze in die gleiche Anzahl Teile geteilt. Diese Brüche nennt man gleichnamig. Diese Brüche lassen sich vergleichen. 1 8 < 3 8 < 5 8 < 7 8 < 8 8 = 1 < 11 8 < 15 8 < 16 8 = > 3 12 ; 5 22 < ; 3 25 < 9 25 > 8 25 Brüche als Maßzahlen von Größen Häufig werden im Alltag Größen verwendet, die Maße oder Mengen von etwas angeben, wie Meter, Euro, Liter. Diese Größen stehen für ein Ganzes (oder mehrere Ganze): 1 m, 1, 2 kg. Man kann diese Größen ebenfalls in Bruchteile teilen. 2 m ist z. B. der Bruchteil von 1 m, den man 5 erhält, wenn man 1 m in 5 gleiche Teile teilt und von diesen 5 Teilen dann 2 Teile herausnimmt. 2 2_ 5 m 5 m = 40 cm m 3 von 5 Kilogramm sollen berechnet werden: 8 5 kg = 5000 g; 1 von 5000 g entspricht 625 g; 8 3 von 5000 g sind: g = 1875 g 8 Bruchteile von Größen können anschaulich dargestellt werden, indem man die Einheit der Größe in die nächstkleinere umwandelt und den Bruch als natürliche Zahl angibt. 1 von 1 kg ist 1 von 1000 g, das entspricht g. Währung: 1 = 100 ct Länge: 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm Masse: 1 kg = 1000 g = mg Zeit: 1 h = 60 min = 3600 s 1 min = 60 s Volumen: 1 m 3 = 1000 dm 3 = 1000 l = cm 3 21 wissen

6 Brüche übung 1 Zeichne auf Kästchenpapier ein Rechteck, das 24 Kästchen (am besten 4 * 6 Kästchen) enthält. Das Rechteck entspricht einem Ganzen. Kennzeichne folgende Teile dieser Fläche farbig: 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; 1 8 ; 5 6 ; 3 4 ; 2 3 übung 2 Welche Bruchteile der Kreisfläche sind jeweils farbig gekennzeichnet? a) b) c) übung 3 Gib die gekennzeichneten Bruchteile an. a) b) c) übung 4 Wie viel fehlt zu einem Ganzen? a) 1 3 ; 2 3 ; 3 3 ; 4 ; 19 ; b) 3 6 ; 3 20 ; 1 10 ; 6 11 ; 5 ; übung 5 a) Bestimme die Füllmenge der Messzylinder. Gib sie in Liter an. 1 l 1 l 1 l 1 l b) 1 l 1 l 1 l Üben 22