3.2. Die Menge der ganzen Zahlen

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1 3.2. Die Menge der ganzen Zahlen A Führen Sie die folgenden Rechnungen ohne Taschenrechner aus. (B) a) % b) % c) % d) % e) % f) 4 5: % g) % h) % i) % j) % k) %J J % & & % K K%_;_ %? l) % m) % n) % o) % p) % q) % A Vereinfachen Sie die gestellten Aufgaben und geben Sie den berechneten Wert an. (B) a) % b) % c) 335 % d) % e) % f) % g) % h) % i) % A Übertragen Sie die folgenden Rechnungen auf den Zahlenstrahl. (A) Beispiel: % a) % b) % c) % d) % A Begründen Sie anhand eines Gesetzes, wieso folgende Aussagen korrekt sind. (D) a) 6 3 % 3 6 b) 633 g 336 c) 6:3 g 3:6 A Dokumentieren Sie bei jedem Schritt, welche Regel bei der Berechnung der folgenden Ausdrücke angewendet wird. (C) a) % b) % c) 236 2% 3.3. Die Menge der rationalen Zahlen (Bruchzahlen) A Beschreiben Sie die Menge der rationalen Zahlen mithilfe der Mengenlehre. (C) 18

2 Zahlenmengen (Deskriptor.) A Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache folgender Zahlen. (B) a) 230,48 b) 264,72 c) 285,102 d) 211,64 e) 28,32 f) 225,80,50 A Kürzen Sie die folgenden Brüche so weit wie möglich. (B) a) ; B@ < :>= b) % c) % d) % <BA <A ;:= A Machen Sie die folgenden Brüche gleichnamig. (B) a) : ;,< b) > <,= A,; = c) >?,=;, ; d) : >,: A, ; < A Führen Sie die folgenden Rechnungen ohne Verwendung des Taschenrechners aus. (B) 2 Schreiben Sie alle notwendigen Rechenschritte an. (C) 3 Schließen Sie jene Zahlen aus, für welche der Nenner Null wird. (D) a) < : 4 ; : 3 : % b) ª 4 : ª 3 ª ª 3 B ª % c) < 3 > 4 : c 4 < c 4 = 3 > c 4 < % d) C ; <= 4 > <= D3CA <= 3 <= D % e) ; : = > % f) «: c 5 % g) 2 % 2 N h) 2 2N«: % 2ªO: = A Annas Glas (Fassungsvermögen: < Liter 2L ist zu gefüllt. Sie behauptet, dass sie < L Wasser im Glas hat. : = ; 1 Argumentieren Sie, ob Anna damit Recht hat. (D) A Bei der Wahl in dieser Stadt gaben der Wähler der Partei A ihre Stimme. = 1 Berechnen Sie, wie viele Stimmen die Partei A bekam. (B) A Bauer Herbst muss Teile seines 40,5 ha großen landwirtschaftlichen Besitzes verkaufen: drei Mal ein je 4 < = ha großes Baugrundstück, zwei Mal ein je 6 : ; ha großes Feld und schließlich noch 7< : ha. 1 Schreiben Sie eine Rechnung an, mit welcher man herausfinden kann, wie groß sein verbleibendes Grundstück ist. (A) 2 Berechnen Sie die Größe des verbleibenden Grundstücks. (B) A3.3.0 Frau Maurer erhält zum Geburtstag 10 Flaschen Holundersaft zu je : : L. Sie hat vor, jeden Tag L zu trinken. ; <? 1 Berechnen Sie, wie viele Tage sie mit dem Holundersaft auskommt. (B) A Peter verkürzt in einem Plan alle Längen auf : der ursprünglichen Längen. Die Entfernung zweier Punkte beträgt = ursprünglich,8 cm. 1 Berechnen Sie, auf welche Länge diese Entfernung gekürzt wurde. (B) A Die Länge eines zu bauenden Gebäudes verhält sich zur Breite wie 7:4; die Höhe verhält sich zur Breite wie 5:. Die Breite des Gebäudes soll 12,6 m betragen. 1 Dokumentieren Sie, wie man die Höhe und die Länge des Gebäudes berechnen kann. (C) 2 Berechnen Sie die Höhe und die Länge des Gebäudes. (B) 1

3 A Zwei gemessene Strecken betragen J % 235 0,5 m und & % 11 0,5 m. J4& liegt im Intervall 7Z ; R8. 1 Geben Sie den kleinstmöglichen Wert von Z und den größtmöglichen Wert für R an. (A) 3.4. Die Menge der reellen Zahlen (Deskriptor.) A Runden Sie jeweils auf die Einerstelle, auf Zehntel und auf Hundertstel. (B) a) 3,57 b) 0,0007 c) 2,344 d) 0,8 e) f) 2,74 g) 213,457 h) 70,823 A Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck und runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel. (B) :,;?,>;?,:<N<,?:; % A Lösen Sie die Aufgaben und stellen Sie das Ergebnis als Dezimalzahl (auf 2 Kommastellen gerundet) dar. (B) : C= 3 < D % : < A Gegeben sind die Mengen R % 733;78, S % 70;108,T % 832;68 1 Stellen Sie die Mengen R,S und T auf einem Zahlenstrahl dar. (A) 2 Geben Sie die folgenden Mengen im beschreibenden Verfahren an. (B) 3 Beschreiben Sie die folgenden Mengen mithilfe von Intervallen. (C) a) b) \ c) d) \ e) \ f) g) \ h) i) \ j) k) \ l) m) \ A Stellen Sie folgende Menge am Zahlenstrahl dar. (A) % t 34,5 h h 0,27u A Begründen Sie, wieso folgende Aussage falsch ist. (D) t1;2u % 71;28 A Begründen Sie, ob 34 ein Element von folgenden Mengen ist. (D) a) t35;1u b) 834;47 c) t j35u A Begründen Sie, wieso folgende Schreibweise für nicht korrekt ist. (D) a) 73 ; 8 b) t3 ; u c) Q4³ 20

4 Potenzen und Wurzeln (Deskriptor.) A Kreuzen Sie in jeder Zeile alle zutreffenden Aussagen an. (D) (1) 3 5 Q Q (6) 3 4 (2) 0,34 (7) 327 (3) 3, 35 (8) 3 8 (4) 2,7 10 O: () 0 (5) 31, 10 (10) 4. Potenzen und Wurzeln (Deskriptor.) 4.1. Potenzen mit ganzzahligen Exponenten A Die folgende Tabelle enthält in jeder Zeile jeweils dieselbe Zahl in drei verschiedenen Darstellungen. 1 Ergänzen Sie die leeren Felder. (D) Darstellung in Potenzschreibweise Darstellung in Bruchschreibweise Darstellung in Dezimalschreibweise 3 O: 2 ; 7 8 0,564 A Ein Meter Kupferdraht dehnt sich bei einer Temperaturerhöhung von 1 C um O@ m aus. Auf der Baustelle des neuen Zentrums für das Generationendorf liegen 50 m Kupferdraht. Das Thermometer zeigt 430 C. 1 Stellen Sie eine Formel auf, welche die Ausdehnung von m Kupferdraht bei einer Temperaturerhöhung um \ C angibt. (A) 2 Berechnen Sie, um wie viele Millimeter sich die Länge ändert, wenn die Temperatur wegen eines Kälteeinbruchs auf 11 C absinkt. (B) A Berechnen Sie. (B) a) 3 % b) 4 : % c) 1 : % d) 5? % e) 232 : % f) 33 % g) 2 32? % h) 232 ; % i) % j) 2 2 % k) 3 3 : % l) 2 : 33 ; 42 % 21

5 3.2. Die Menge der ganzen Zahlen L Anmerkung: Auf dem TR muss zwischen dem Subtraktionszeichen ¹ und dem Vorzeichen Ì unterschieden werden. Statt dem % wird Í eingegeben. a) % 37 b) % 66 c) 72:2:3 % 12 d) 72:22:3 % 108 e) % % 28 f) 4 5: % 20:5 % 4 g) % 32 h) 100: %100:23422 % 100:25 % 4 i) 155:288: :100 % 155:28423 % 155:31 % 5 j) : % 20430:24533 % 20430:6 % 2045 % 25 k) %J J % % % :24J % & & % % % 78 & % K K % % % K% % % 45 5 % 425 % 34 l) % % % 4135 m) 2832:23634 % 6:32 % 3 n) % % % % 54 o) 3156 : : 16 % 156: :16 % % % 320 p) : : :238 % :8327:238 % % % % 25 q) : % % % % 334 Hinweis: wird am Taschenrechner mit»num»1:abs( ) einggegeben. L a) % % 70 b) % % % 327 c) 335 % 32 %2 d) % 144 % 144 e) % 30 f) % 31 g) % % h) :233 :234 :2 :2310 % :2338:234 :2 :2310 % :2348:2 :2310 % 740:28:2310 % 20:2310 % 32 i) % % %

6 Zahlenmengen L a) % b) % c) % d) % L a) 6 3 % 3 6 Kommutatives Gesetz der Multiplikation b) 633 g 336 Kommutatives Gesetz bezüglich der Subtraktion c) 6:3 g 3:6 Kommutatives Gesetz bezüglich der Division L a) % Multiplikation hat Vorrang vor Subtraktion b) % Potenzieren hat Vorrang vor Multiplikation, dann erst kommt die Subtraktion c) % Punktrechnungen haben Vorrang, dann kommt die Subtraktion 3.3. Die Menge der rationalen Zahlen (Bruchzahlen) L Q %M \t0un ª L a) 230,48 30 % % kgv230,48 % % 240 ggt230,48 % 2 3 % 6 b) 264,72 64 % % kgv264,72 % % 576 ggt264,72 % % 8 c) 285, % % kgv285,102 % % 510 ggt285,102 % 17 d) 211,64 11 % % kgv211,64 % % 704 ggt211,64 % 1 e) 28,32 8 % % kgv28,32 % % 32 ggt28,32 % % 8 f) 225,80,50 25 % % % kgv225,80,50 % % 400 ggt225,80,50 % 5 L a) ; > % > <@ <@ c) < % <A : << ; % ; % << : : 1< : d) :>= % = : = % = ;:= = : B B 10

7 L a) : ;,< :,< : ; :,; < ; :,< B, < < < c) >?,=;, ; > : :,=; ;, ; < @? b) > <,= A,; > <? = < <?,= <= A <=,; ; >?, >=, B@ = ; <? <? <? d) : >,:, ; : ; A < > ;,: <, ; A : A < < A <@A <@A <@A L a) < 4 ; 3 % <N;O % : % 1 : : : : : b) 4 : 3 3 B % N:O N@N OB %? % 0 mit g 0 ª ª ª ª ª ª ª c) < 3 > 4 : c 4 < c 4 = 3 > c 4 < % < co> cn: N< N= co> N< c c d) C ; 4 > <= <= D3CA 3 D % ;N> 3 AO % << % = % < <= <= <= <= <= <= <= : e) ; = % ; = %? : > : > < f) «: c g) 2 Nª «: = 5 % % <= «c % 2 % : 2 Nª 2 N 2 N N h) 2 2N«2ªO: : = % 2N«: 2ªO: = 2N«= 2ªO: % O@ % O: c c L < L % L g < L Antwort: Anna hat nicht Recht, da sie L im Glas hat. = : <= ; <= mit & g 0 mit & g 0 mit g 32 mit g 3 L % Antwort: Partei A bekam Stimmen = L ,533 4 < = 32 6: ; 37< : % 40,533 < = 32 > ; 37< : % 40,53@: = 3 =; ; 3 : % A< :? < 3 =; <= 3? % ;; @? % Diese Rechnung kann auch insgesamt mit dem Taschenrechner ausgeführt werden. Beachten Sie, dass Sie die gemischten Brüche als Summe eingeben müssen: 4 < % = C44< D = Antwort: Das verbleibende Grundstück hat eine Größe von 7 < <= ha. L3.3.0 C10 : D: : % :? <? % 25 Antwort: Frau Maurer kommt mit dem Holundersaft 25 Tage aus. ; <? ; : : L3.3.10,8 cm % 5,88 cm Antwort: Die Entfernung wurde auf eine Länge von 5,88 cm gekürzt. = L Man liest aus dem Verhältnis der Höhe zur Breite die Teile der Breite heraus und setzt sie dem tatsächlich gegebenen Wert für die Breite gleich. Damit kann man sich die Größe eines Teiles berechnen. Anschließend berechnet man die tatsächlichen Werte für die Länge und die Höhe. 2 ' & % 5 ' % 5 Teile und & % Teile 1 Teil% 1,4 m ' % 5 1,4 % 7 m $ & % 7 4 $ % 7 Teile und & % 4 Teile 1 Teil% 3,15 m $ % 7 3,15 % 22,05 m Antwort: Höhe des Gebäudes: 7 m; Länge des Gebäudes: 22,05 m L ,5 m h J h235,5 m 118,5 m h& h 11,5 m 353 m hj4& h 355 m Antwort: Z j 353 m;v h355 m 110

8 Zahlenmengen 3.4. Die Menge der reellen Zahlen L a) 3,5754; 3,5753,6; 3,5753,57 b) 0,000750; 0,000750,0; 0,000750,00 c) 2,34452; 2,34452,3; 2,34452,34 d) 0,851; 0,851,0; 0,851,00 e) ; ; f) 2,7453; 2,7452,7; 2,7452,74 g) 213, ; 213, ,5; 213, ,46 h) 70,823571; 70,823570,8; 70,823570,82 L :,;?,>; % 0, ,74?,:<N<,?:; L : C= 3 < D % 0, ,42 : < L Zahlenstrahl: 2 3 a) % t 0 Š Š7u % 70;78 b) \ % t 33 Š h 0u % 733;07 c) % t 33 Š Š10u % 733;108 d) \ % t 7 h Š10u % 87;108 e) \ % t u f) % tx 32 h x Š 6u % 832;68 g) \ % t 33 Š Š32 6 h Š 7u % 733;328 86;78 h) % t 33 Š Š7u % R 733;78 i) \ % t u j) % t 0 Š Š6u % 70;68 k) \ % t 6 h Š10u % 86;108 l) % t 32 h Š10u % 832;108 m) \ % t 32 h h0u % 832;07 L L t1,2u ist eine Menge, die aus den Elementen 1 und 2 besteht. 71;28 gibt das Intervall an, welches alle reellen Zahlen von 1 bis 2 enthält. L a) 34 t35;1u, die Menge enthält nur die Elemente 35 und 1 b) ;47, weil es ein offenes Intervall ist c) 34 t j 35u, weil in dieser Menge alle reellen Zahlen rechts von 35 enthalten sind. 111

9 L a) 3 und sind keine reellen Zahlen, daher darf das Intervall nicht abgeschlossen sein. L3.4.0 b) Hier ist die Menge gemeint, die nur aus den Zahlen 3 und besteht, das ist vollkommen falsch. c) Mengen kann man nicht addieren, sondern nur vereinigen. (1) 3 5 Q Q X X (6) 3 4 X X X (2) 0,34 X X (7) 327 X X X (3) 3, 35 X X (8) 3 8 X (4) 2,7 10 O: X X () 0 X X X X (5) 31, 10 X X X (10) 4. Potenzen und Wurzeln 4.1. Potenzen mit ganzzahligen Exponenten L Darstellung in Potenzschreibweise Darstellung in Bruchschreibweise 3 O: < 7 2 O: > > O: <;< A =? 2 ; <@ < Darstellung in Dezimalschreibweise 0,037 0,875 0,564 16,0 L Ausdehnung2,\% \ O@ m 2 Ausdehnung250,1 % O@ m % 0,01615 m % 1,615 cm Nach dem Kälteeinbruch ändert sich die Länge des Kupferkabels um 16,15 mm. L a) 3 % b) 4 : % 64 c) 1 : % 1 d) 5? % 1 e) 232 : % 38 f) 33 % 3 g) 2 32? % 431 % 3 h) 232 ; % 16 i) % 3 16 % 48 j) 2 2 % 8 k) 3 3 : % 27 % 243 l) 2 : 33 ; 42 % 36 L a) 0,2 = % 0,5 < : <= ; b) 0,25 % 2 O 0,25 % < ; c) 2? % 3? 1 % 1 d) 32 ; % 2 ; 316 g 16 e) 2243 j j13 f) 6 2g6 2 O< 3 % 3 112