23. Kontextsensitive Sprachen

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1 2. Kontextsensitive Sprachen In diesem Aschnitt etrachten wir die Klasse der kontextsensitiven Sprachen, der nach der Klasse der allgemeinen Chomsky-Sprachen größten Klasse der Chomsky- Hierarchie. Wir zeigen, dass die kontextsensitiven Sprachen genau die Sprachen vom Erweiterungstyp sind und enutzen diese Äquivalenz für eine Maschinencharakterisierung der kontextsensitiven Sprachen: Die Sprachklasse KS stimmt mit der nichtdeterministisch linearen Platzklasse NSPACE n aus der Komplexitätstheorie üerein. Insesondere sind also im Gegensatz zu den Typ-0-Sprachen kontextsensitive Sprachen stets rekursiv. Zum Nachweis der Gleichheit KS ERW führen wir zunächst eine Normierung von Grammatiken ein. 2.1 DEFINITION. Eine Grammatik G N T P S heißt separiert, falls P nur Regeln der Form und enthält. v w mit v N w N (Umformungsregeln) X a mit X N a T (Sustitutionsregeln) 2.2 LEMMA. Jede Grammatik G vom Typ i oder vom Erweiterungstyp lässt sich effektiv in eine äquivalente separierte Grammatik G desselen Typs üerführen. BEWEIS. Sei G N T P S gegeen. Die Grammatik G N T P S erhält man dadurch, dass man zu jedem Terminalzeichen a eine neue Variale â einführt, in den Regeln von G alle Vorkommen von Terminalzeichen durch die entsprechenden neuen a für Varialen ersetzt (Umformungsregeln von G ) und die Sustitutionsregeln â jedes Terminalzeichen hinzufügt. Formal ist also N N ˆT, woei ˆT â : a T disjunkt zu N und T gewählt ist, und P ˆv ŵ : v w P â a : a T woei ŵ das Bild h w von w N T unter dem von h 0 : N T N mit h 0 X X für X N und h 0 a â für a T erzeugten Homomorphismus h : N T N ist. 2. SATZ. KS ERW

2 2 KONTEXTSENSITIVE SPRACHEN 160 Da jede kontextsensitive Grammatik vom Erweiterungstyp ist, gilt wie im letzten Aschnitt ereits festgehalten die Inklusion KS ERW trivialerweise. Zum Nachweis der Umkehrung genügt es, folgendes Lemma zu zeigen. 2.4 LEMMA. Jede Grammatik G vom Erweiterungstyp lässt sich effektiv in eine äquivalente kontextsensitive Grammatik G üerführen. BEWEIS. Nach Lemma 2.2 können wir ohne Einschränkung davon ausgehen, dass die gegeene Grammatik G N T P S vom Erweiterungstyp separiert ist. Weiter nehmen wir zunächst an, dass G λ-frei ist. Wir müssen dann jede Umformungsregel r X 1 X m Y 1 Y n n m 1 X 1 Y n N von G durch äquivalente kontextsensitive Regeln ersetzen. Ist m 1 (sonst ist die Regel r schon kontextsensitiv), so führen wir hierzu neue Varialen Z 1 Z m ein (für jede Regel sind diese Varialen verschieden zu wählen) und ersetzen r durch die kontextsensitiven Regeln X 1 X m Z 1 X 2 X m Z 1 X 2 X m Z 1 Z 2 X m. Z 1 Z m 2X m 1X m Z 1 Z m 1X m Z 1 Z m 1X m Z 1 Z m Y m 1 Y n Z 1 Z m Y m 1 Y n Z 1 Z m 1Y m Y n. Z 1 Y 2 Y n Y 1 Y n Man ersetzt also (im entsprechenden Kontext) zunächst die Varialen X 1 X m 1 durch Z 1 Z m 1 und die Variale X m durch Z m Y m 1 Y n. Dann werden (wieder im entsprechenden Kontext) die Hilfsvarialen Z i in Y i üerführt. Zum Nachweis, dass die so gewonnene Grammatik G zu G äquivalent ist, muss man für die nichttriviale Inklusion L G L G zeigen, dass in der Herleitung eines Terminalwortes in G jede mit X 1 X m Z 1 X 2 X m egonnene Simulation der G- Regel r (durch Ausführung der entsprechenden G -Regeln in der oen aufgeführten Reihenfolge) eendet wird (wir verzichten hier auf Details). Enthält G die λ-regel S λ, so kann die oen eschrieene Umformung die λ- Treue verletzen (z.b. für X 2 S). Hier erhält man G N T P S dadurch, dass man zunächst G0 N0 T P0 S zu G 0 N T P!" S λ# S wie oen konstruiert, und hieraus G N0 $ S # T P0 % S S S λ# S durch Hinzufügen eines neuen Axioms S, das eliminiert oder in das alte Axiom üerführt werden kann, gewinnt. Zur Analyse kontextsensitiver Sprachen enutzt man nichtdeterministische linear eschränkte Automaten (NLBA), die man als Variante nichtdeterministischer Turingmaschinen wie folgt eschreien kann: Gro gesprochen ist ein linear eschränkter

3 2 KONTEXTSENSITIVE SPRACHEN 161 Automat eine 1-Band-Turingmaschine, die nur die Felder esucht, auf denen zu Beginn der Rechnung die Eingae steht. Dies wird realisiert mit Hilfe von vor und nach der Eingae gesetzten Randmarken, die weder üerschrieen noch üerschritten werden dürfen. Ein NLBA M eginnt also seine Rechnung ei Eingae w T mit der Startkonfiguration & w ' 0 woei die Randmarken & (' in dem Bandalphaet von M nicht vorkommen, und 0 der Startzustand von M ist. M verhält sich dann wie eine Turingmaschine, verlässt aer den mit & und ' markierten Bereich nie. Ist also das mit & (zw. ' ) eschriftete Feld das Areitsfeld von M, so wird die Inschrift nicht verändert, und der Kopf läuft nach rechts (zw. links) oder leit stehen. Im Folgenden nehmen wir o.b.d.a. an, dass das Programm eines NLBA M aus edingten Anweisungen esteht, und es genau einen akzeptierenden Zustand git. Mit NLBA ezeichnen wir auch die Klasse der Sprachen L M, die von einem nichtdeterministischen linear eschränkten Automaten M erkannt werden. Entsprechend ist DLBA die Klasse der von deterministischen linear eschränkten Automaten erkannte Sprachen. Aufgrund der Definition linear eschränkter Automaten lässt sich mit Hilfe des linearen Kompressionssatzes leicht zeigen: 2.5 LEMMA. Es gilt und NLBA NSPACE n ) 2 * NSPACE O n + DLBA DSPACE n ) 2, DSPACE O n + Der folgende Satz zeigt also, dass KS mit der nichtdeterministischen Platzklasse NSPACE O n + zusammenfällt. 2.6 SATZ. Es lässt sich zu jeder kontextsensitiven Grammatik G effektiv ein NLBA M mit L G L M angeen und umgekehrt. Insesondere gilt also KS NLBA. Wir formulieren die eiden für den Beweis erforderlichen Behauptungen als Lemmata. 2.7 LEMMA. Jede kontextsensitive Grammatik G lässt sich effektiv in einen NLBA M mit L G L M üerführen. BEWEIS. Von der gegeenen kontextsensitiven Grammatik G N T P S können wir o.b.d.a. annehmen, dass sie separiert ist. Weiter gehen wir davon aus, dass G λ- frei ist. (Ist dies nicht der Fall, so muss der unten angegeene Automat so erweitert werden, dass er zunächst zusätzlich testet, o die Eingae leer ist.) Ein NLBA M, der die von G erzeugte Sprache akzeptiert, areitet wie folgt: M enutzt zwei Spuren, woei zunächst die Eingae w auf die oere Spur kopiert und das Axiom S auf die untere Spur geschrieen wird. Auf der unteren Spur werden dann nichtdeterministisch alle möglichen Herleitungen von G erzeugt, in denen nur Satzformen der Länge -/. w. vorkommen (diese also auf dem verfügaren Platz agespeichert werden können). Da G

4 & ' 2 KONTEXTSENSITIVE SPRACHEN 162 vom Erweiterungstyp ist, erhält man so eine Herleitung von w, falls w L G gilt. Nach Aschluss der Herleitung vergleicht also M die Wörter auf eiden Spuren und akzeptiert ei Gleichheit. Im Folgenden geen wir ein Programm aus edingten Anweisungen an, das auf diesen Ideen asiert. Der Startzustand ist 0, ) der einzige akzeptierende Zustand. Die Inschriften α der oeren und β der unteren Spur eines Feldes schreien wir als Paar α β. Weiter sind a a T, A N, α T N % elieige Buchstaen aus diesen Alphaeten, woei 0 T N $ & ('1 das Blankzeichen von M ist. Die Üerführung einer nichtleeren Eingae w a 1 (n 1) in die Spurendarstellung zu Beginn der Simulation der G-Herleitungen 0 a 1 ' 2 & a 1 S a 2 ' leisten die Instruktionen 0 & & R 1 1 a a S R 2 2 a a R 2 2 ' ' S Zur folgenden Simulation von G ermöglicht man den Üergang & a 1 S a 2 ' 2 & für jedes Wort w α 1 α n 2 der Länge n, für das S h w gilt, woei h : T N T N der Homomorphismus ist, der alle Vorkommen von Blanks in w eliminiert (d.h. der von der Funktion h : T N % 4 T N mit h α α für α 0 und h λ induziert wird). und Hierzu enutzt man zunächst die Instruktionen ' ' L & & R a α a α L a α a α R a 1 α 1 a a α L 5 α6 a a α R 5 α6 5 α6 a α a S um das Areitsfeld elieig zu ewegen zw. auf der unteren Spur die Blanks elieig zu verschieen. Jede Umformungsregel r X 1 X m dann mit den Instruktionen α n Y 1 Y n (1 - m - n) von G simuliert man a X 1 a Y 1 R 5 r 26 5 r i6 a X i a Y i R 5 r i ) i - m 5 r i6 a a Y i R 5 r i ) 16 m 7 i 7 n 5 r n6 a a Y n S

5 & 2 KONTEXTSENSITIVE SPRACHEN 16 und jede Sustitutionsregel r X a durch a8 X a a S Nach Aschluss der Simulation von G akzeptiert M ei positivem Vergleich der eiden Spuren mit Hilfe der Instruktionen a 1 a 1 ' 2 & ' ) & & R 4 4 a a R 4 4 ' ' S ) Auf den Korrektheitseweis verzichten wir. 2.8 LEMMA. Jeder NLBA M lässt sich effektiv in eine Grammatik G vom Erweiterungstyp mit L M L G üerführen. BEWEIS. Wir gehen wie im Beweis von Lemma vor, in dem die Rechnungen einer Turingmaschine durch eine Chomsky-Grammatik simuliert wurden. Da ei einem NLBA Konfigurationslänge und Eingaenlänge (im Wesentlichen) gleich sind, ist die Simulation hier (mit geeigneten kleineren Modifikationen) mit Hilfe einer Grammatik vom Erweiterungstyp möglich. Sei also ein NLBA M gegeen, Σ Γ Z das Eingae- zw. Bandalphaet und die Zustandsmenge von M, woei o.b.d.a. Z 9 Γ /0 gelte, und 0 und 1 der Start- zw. einzige akzeptierende Zustand & von M seien. Weiter können wir annehmen, dass M stets auf der linken Randmarke stoppt. Eine Grammatik G N Σ P S, die L M erzeugt, enthält folgende Regeln. Für die endlich vielen Wörter w L M der Länge - 2 sichert man die Herleitarkeit durch Regeln S w. Für die anderen Wörter aus L M wird die Herleitarkeit durch Regeln gesichert, die die Areitsweise von M eschreien. Die Satzformen von G estehen hierzu aus zwei Spuren. Während ein Kandidat w a 1 (n ) für ein Wort w L M in der oeren Spur steht, wird in der unteren Spur eine aus der zu w gehörenden Startkonfiguration erreichare Konfiguration stehen. Daei schreien wir den Zustand vor den Buchstaen auf dem Areitsfeld und wählen jedes Paar estehend aus Zustand und Feldinschrift als Variale in N. Weiter verschmelzen wir die Randmarken mit dem ersten zw. letzten Buchstaen der Bandinschrift. (Durch diese Maßnahmen stimmen Eingae- und Konfigurationslänge exakt üerein, weshal wir verkürzende Regeln vermeiden können.) Formal transponieren wir die Spaltenvektoren, schreien also α β für α in der oeren und β in der unteren Spur eines Feldes. Das Alphaet N der syntaktischen Varialen von G wird also neen dem Axiom S und einer Hilfsvarialen U alle Paare a α : a & α : a α'; < a zα < a z & α < a & zα : a zα'; : a αz'; enthalten, woei a Σ, α Γ und z Z gilt. In den folgen Regeln sind jeweils a a= Σ, α α α Γ, z z= Z elieige Buchstaen aus den genannten Alphaeten. Für jedes Wort w a 1 Σ mit n ermöglicht man zunächst S 2 a & 1 a 2 0a 1 a 2 '

6 2 KONTEXTSENSITIVE SPRACHEN 164 durch die Regeln S a & 0a U U a a U U a a'; z α α B z> führt man Simulationsregeln ein, die von der Zu jeder Instruktion I Kopfewegung ahängen. Für den Fall der Linksewegung B L (andere Fälle: Üung) sind dies a & zα? a z & α a & α a zα? a & z α a α a α a zα? a z α a α a α a a zα a α '; Entsprechend simuliert man Instruktionen, die die Randmarken etreffen. Z.B. entspricht der Instruktion I z & & R z die Regel a z & α A a & z α Mit diesen Simulationsregeln kann man mit w in der oeren Spur alle Konfigurationen (und nur diese) in der unteren Spur erzeugen, die M ei Eingae w erreichen kann. Ist solch eine Konfiguration akzeptierend, kann man die untere Spur auflösen mit Hilfe der Regeln a & 1 α B a a a α? a a α';? Wir verzichten auf den Korrektheitseweis. aa aa Fassen wir die Sätze 2. und 2.6 sowie Lemma 2.5 zusammen, so erhalten wir 2.9 KOROLLAR. KS ERW NLBA NSPACE O n +. Insesondere ist also jede kontextsensitive Sprache rekursiv, woraus sich die Echtheit der Inklusion KS CH ergit: 2.10 KOROLLAR. KS C CH. BEWEIS. Das Halteprolem K ist rekursiv aufzählar aer nicht rekursiv. Nach Satz und Korollar 2.9 gilt also K CH! KS. Setzen wir eine Gödelisierung der Grammatiken voraus, so können wir (wie am Ende von Aschnitt 21 ereits für allgemeine Grammatiken gemacht) das Wortprolem W KS D GE x : G kontextsensitiv & x L G F# das Leerheitsprolem LEER KS D GE# x : G kontextsensitiv & L G /0

7 2 KONTEXTSENSITIVE SPRACHEN 165 das Unendlichkeitsprolem INF KS / D GE x : G kontextsensitiv & L G unendlich# und das Äquivalenzprolem ÄQU KS G D GE# HD G E : G G kontextsensitiv & L G I L G für kontextsensitive Grammatiken etrachten. Im Gegensatz zum Wortprolem W CH für allgemeine Chosmky-Grammatiken ist das Wortprolem W KS für kontexsensitive Grammatiken entscheidar KOROLLAR. W KS ist rekursiv. BEWEISIDEE. Um e x J W KS zu entscheiden, erechnet man zunächst aus e die Grammatik G mit Gödelnummer e. Ist e keine Gödelnummer oder G nicht kontextsensitiv, so gilt e x K0 W KS. Sonst führt man mit Hilfe von Lemma 2.7 G effektiv in einen äquivalenten NLBA M üer, für den man effektiv feststellen kann, o er die Eingae x akzeptiert. Die anderen oen aufgeführten Proleme sind jedoch auch für KS (wie im allgemeinen Fall) unentscheidar. Dies zeigt man mit der Reduktionsmethode mit Hilfe der folgenden Verschärfung des Projektionslemmas LEMMA. Jede rekursiv aufzählare Sprache A lässt sich als Projektion einer kontextsensitiven Sprache B darstellen. Darüerhinaus lässt sich aus einem Index e für A (A W e ) eine kontextsensitive Grammatik G, die B erzeugt, effektiv erechnen. BEWEIS. Sei die rekursiv aufzählare Sprache A W e gegeen, d.h. A enthält alle Wörter x, für die die e-te Turingmaschine M e stoppt. Wir definieren (wie im Beweis des Projektionslemmas) B x c 0 # #c n : c 0 c n ist term. M e -Rechnung ei Eingae e (Hierei sind die M e -Konfigurationen c i geeignet durch Wörter kodiert.) Offensichtlich ist A die Projektion von B, weshal es genügt, B KS zu zeigen. O ein Wort c 0 # #c n eine terminierende M e -Rechnung ei Eingae x eschreit, kann man jedoch mit einer (deterministischen) Turingmaschine ohne zusätzlichen Platzedarf, also insesondere durch einen NLBA N üerprüfen. Dieser lässt sich daei effektiv aus M e gewinnen. Mit den Lemmata 2.8 und 2.4 erhalten wir aer aus N effektiv die gewünschte kontextsensitive Grammatik zur Erzeugung von B. 2.1 SATZ. LEER KS, INF KS und ÄQU KS sind nicht rekursiv. BEWEIS. Zum Nachweis der Nichtrekursivität von LEER KS reduzieren wir das nach dem Satz von Rice nichtrekursive Leerheitsprolem LEER e : W e /0L G e : M e terminiert für keine Eingae für Turingmaschinen auf diese Menge. Hierzu wählen wir mit Lemma 2.12 eine rekursive Funktion f, die den Index e einer rekursiv aufzählaren Menge A W e auf

8 N N 2 KONTEXTSENSITIVE SPRACHEN 166 die Gödelnummer e# Menge B e erzeugt, deren Projektion W e ist. Es gilt dann f e einer kontextsensitiven Grammatik G em aildet, die eine e LEER N A W e leer B e L G fo ep leer f e Q LEER KS d.h. LEER - m LEER KS via f. Hierei haen wir enutzt, dass die Menge B B e im Beweis von Lemma 2.12 so gewählt ist, dass B e genau dann leer ist, wenn W e leer ist. Da es zu jedem x höchstens ein y mit x y Q B e git (da M e deterministisch!), gilt sogar R W e R R B e R. Dies zeigt, dass auch INF / e : W e unendlich auf INF KS vermöge f many-one-reduzierar und damit auch INF KS nicht rekursiv ist.. Zum Nachweis der Nichtrekursivität von ÄQU KS eoachtet man schließlich, dass LEER KS auf ÄQU KS vermöge g e e e 0 many-one-reduzierar ist, woei e 0 die Gödelnummer einer kontextsensitiven Grammatik G e0 ist, die die leere Sprache erzeugt: e LEER KS N L G e /0 N L G e L G e0 N e e 0 ÄQU KS Aus den Maschinen-Charakterisierungen der allgemeinen zw. kontextsensitiven Chomsky-Sprachen können wir Aschlusseigenschaften von CH und KS aleiten, aus denen sich deren Ungleichheit eenfalls ergit LEMMA. CH ist gegen Vereinigung und Durchschnitt, nicht aer gegen Komplement ageschlossen. KS ist gegen Vereinigung, Durchschnitt und Komplement ageschlossen. BEWEIS. Dies folgt aus den entsprechenden Aschlusseigenschaften von RA CH zw. NSPACE O n ( KS. In der Theorie formaler Sprachen etrachtet man häufig noch den Aschluss unter Homomorphismen (oder genauer: homomorphe Bilder). Ist L Σ eine Sprache und h : Σ T ein Homomorphismus, so heißt die Sprache h L T mit h L S h w : w L das homomorphe Bild von L zgl. h LEMMA. CH, nicht jedoch KS, ist gegen homomorphe Bilder ageschlossen. BEWEIS. Den Aschluss von CH gegen Homomorphismen zeigt man unter Verwendung der Identität CH RA. Sei L Σ in CH, und sei h : Σ T ein Homomorphismus. Da h durch seine Werte auf den einzelnen Buchstaen estimmt ist, ist h rekursiv. Wegen x h L N T y x h y & y L folgt hieraus h L U RA mit Hilfe der Aschlusseigenschaften der rekursiv aufzählaren Mengen.

9 2 KONTEXTSENSITIVE SPRACHEN 167 Um zu zeigen, dass KS nicht gegen homomorphe Bilder ageschlossen ist, zeigen wir, dass jede rekukrsiv aufzählare Sprache, d.h. jede Chomsky-Sprache das homomorphe Bild einer kontextsensitiven Sprache ist (woraus sich die Behauptung dann wegen KS C CH ergit). Hierzu verwenden wir Lemma 2.12 und die Beoachtung, dass man Projektionen als homomorphe Bilder auffassen kann. Sei also L RA CH, L Σ, gegeen. Nach Lemma 2.12 git es eine kontextsensitive Sprache L mit V x Σ x L NWT y x#y L ( Hierei enutzen wir das Hilfszeichen # zur Repräsentation von Paaren (x#y statt x y ), und durch eventuelle Umenennung können wir davon ausgehen, dass y ein Wort üer einem zu Σ disjunkten Alphaet T ist. Der von der Funktion h 0 : Σ T #Q Σ mit h 0 a X a für a Σ und h 0 a λ für a T, # induzierte Homomorphismus h : Σ T $ # Σ eliminiert dann den zweiten Teil #y, projiziert also das Paar x#y auf die erste Komponente. D.h. L h LY.