Übungen zur Geometrie (L3/Bachelor)

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1 J. Wolfart Sommersemester 2009 Übungen zur Geometrie (L3/Bachelor) 1. Beweisen Sie nicht mit Elementargeometrie, sondern mit Hilfe der Maschinerie der euklidischen Punkträume a) den Satz des Thales, b) seine Umkehrung, c) dass ein Parallelogramm genau dann ein Rechteck ist, wenn seine Diagonalen gleichlang sind, d) dass ein Parallelogramm genau dann eine Raute ist (d.h. mit gleichlangen Seiten), wenn seine Diagonalen aufeinander senkrecht stehen. 2. Der R 3 sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt ist auf dem R 3 definiert durch (a 1,a 2,a 3 ) (b 1,b 2,b 3 ) := (a 2 b 3 a 3 b 2,a 3 b 1 a 1 b 3,a 1 b 2 a 2 b 1 ). Beweisen Sie: Das Kreuzprodukt ist bilinear. a b steht senkrecht auf a und b. Drücken Sie die Länge a b durch die Längen von a,b und ihren eingeschlossenen Winkel aus! Das von a, b, c aufgespannte Parallelotop hat das Volumen a b, c. 3. Finden (und beweisen) Sie eine Verallgemeinerung des Dreispiegelungssatzes auf den euklidischen Punktraum E(R 3 ). 4. Die Punkte (±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1) E(R 3 ) sind die Eckpunkte eines regelmäßigen Oktaeders. Wie weit sind die Randflächen vom Nullpunkt entfernt? Wie groß ist die Symmetriegruppe des Oktaeders, m.a.w. wieviele euklidische Bewegungen des E(R 3 ) in sich gibt es, die das Oktaeder in sich überführen? Zulassung zur Klausur wie Sie das von der Linearen Algebra her gewohnt sind: Sie sollen ca. die Hälfte der Hausaufgaben richtig lösen und aktiv und regelmäßig an den Übungen teilnehmen. Bitte vormerken: Die Abschlussklausur findet statt am letzten Vorlesungstermin, d.h. am Donnerstag, 16. Juli 2009, von 8.15 bis 9.45 Uhr im Hörsaal I. 5. Zeichnen Sie zwei Kreise mit Radien r 1 < r 2, die sich in den Punkten S T schneiden. Konstruieren Sie eine Gerade g durch S, welche nicht durch T verläuft und aus der beide Kreise gleichlange Sehnen ausschneiden. Bitte mit einer Konstruktionsbeschreibung, die Ihre Überlegungen wiedergibt! Tipp: Wie wird die Zeichnung nach einer Punktspiegelung an S aussehen?

2 6. Gegeben ein spitzwinkliges Dreieck mit Eckpunkten A, B, C. Beweisen Sie, dass der Fermatpunkt jener Punkt im Dreieck ist, für den die Summe der Abstände zu den Eckpunkten minimal wird. Tipp: Wählen Sie einen beliebigen Punkt P im Innern des Dreiecks, zeichnen Sie die Verbindungsstrecken zu den Eckpunkten ein und drehen Sie siehe Beweis des Satzes von Fermat die Strecke CB um den Eckpunkt C mit Winkel π/3 in die Strecke CA, ebenso die Strecke CP in CP. Dann betrachten Sie die Länge des Streckenzugs A P PA. Vergleichen sie den Streckenzug mit jenem, der entsteht, wenn Sie den Spezialfall P = F (Fermatpunkt) nehmen. Alles klar soweit? Finden Sie für die Matrix A = eine orthogonale Matrix S O 3, für die S T AS eine Diagonalmatrix wird. 8. Erfinden Sie eine symmetrische Bilinearform auf einem euklidischen Vektorraum V V R : (x,y) [x,y] = x,ϕ(y), deren selbstadjungierte Abbildung ϕ : V V zwar bijektiv ist (vollen Rang besitzt), für die dennoch isotrope Vektoren x V, x 0 existieren, d.h. mit [x,x] = 0. Bilden die isotropen Vektoren (zusammen mit 0 ) einen Untervektorraum? 9. Sei ein Kreis K mit Mittelpunkt F gegeben, dazu ein weiterer Punkt F innerhalb des Kreises. Nun betrachten Sie alle Punkte P, die von F und von K den gleichen Abstand haben. Welche Figur beschreiben diese Punkte und warum? 10. In der Ebene sei durch y 2 = 4x eine Parabel gegeben. Zeigen Sie: a) Jeder Parabelpunkt hat von der Leitlinie x = 1 den gleichen Abstand wie vom Brennpunkt F = (1, 0). b) Lichtstrahlen, welche von rechts parallel zur Symmetrieachse der Parabel kommen, also längs Geraden y = c, werden an der Parabel in den Brennpunkt gespiegelt (wie präzisiert man diese Aussage?). 11. Machen Sie sich eine Skizze von der Fläche im R 3, die durch die Gleichung x 2 + y 2 z 2 = 1 definiert wird. Man zeige: a) Die Fläche besitzt eine Drehsymmetrie (was heißt das?), b) es liegen Geraden auf dieser Fläche (raten Sie eine, die durch den Punkt (1, 0, 0) geht!), c) und die ganze Fläche entsteht durch Rotation dieser Geraden um die z Achse. 12. Sei V ein K Vektorraum, V sein Dualraum, U,U Untervektorräume von V und U 0 V der Unterraum jener Linearformen, die auf U verschwinden. Beweisen Sie (U + U ) 0 = U 0 U 0 und (U U ) 0 = U 0 + U 0 ; für die Inklusion (U U ) 0 U 0 +U 0 ist dabei vorauszusetzen, dass V endliche Dimension hat.

3 13. Die beiden Geraden y b = ±x a bezeichnet man als Asymptoten der Hyperbel x 2 a 2 y2 b 2 = 1 ; mit wachsenden x, y verläuft die Hyperbel immer,,näher an den Asymptoten. Erfinden Sie eine präzise Definition dafür, was damit gemeint ist, und verifizieren Sie, dass die Hyperbel und ihre Asymptoten diese Definition erfüllen! 14. V sei ein K Vektorraum mit symmetrischer Bilinearform [, ]. Beweisen Sie, dass für jedes y V die Abbildung f y : V K : x [y,x] eine Linearform aus V ist und dass F : V V : y f y eine lineare Abbildung ist. Wenn V endlich dimensional ist und die Bilinearform nicht entartet ist, d.h. wenn [y,x] = 0 x V y = 0 gilt, dann ist F sogar ein Isomorphismus warum? 15. Fortsetzung: Nun sei V := R 2 und [, ] eine nichtentartete symmetrische Bilinearform, und durch die Gleichung [x, x] = 1 werde ein nicht entarteter Kegelschnitt Q definiert. Sei y R 2 mit y 0, [y,y] 1 gewählt, also außerhalb Q. Zeigen Sie, dass f y V dann die folgende geometrische Bedeutung besitzt: Wenn (was nicht immer der Fall ist) die Gerade f y (x) = 1 (genannt die Polare zum Punkt y bezüglich Q ) die Kurve Q in zwei Punkten x 1,x 2 schneidet, dann ist y der Schnittpunkt der beiden Tangenten an Q durch x 1 und x 2. Tipp: Weisen Sie nach, dass die Verbindungsgerade von x i und y nur den Punkt x i mit Q gemeinsam hat. 16. Beweisen Sie: Zu drei nicht kollinearen Punkten eines projektiven Raums P 3 (K) (anders gesagt: die drei liegen nicht auf einer Geraden) gibt es genau eine Ebene, welche die drei Punkte enthält. Die Nachklausur zur Geometrie wird stattfinden am Mittwoch, 7. Okt., Uhr. Den Raum werde ich rechtzeitig auf der Homepage bekanntgeben. Sie dürfen diese Nachklausur auch als ersten Prüfungsversuch schreiben (sowohl Bachelor wie L3). Ich erinnere nochmal an die feinen Unterschiede: Bachelors müssen Lineare Algebra ebenso wie Geometrie bestehen; L3er koennen das eine mit dem anderen ausgleichen, haben aber das Recht auf eine Nachprüfung nur, wenn sie im 1. Versuch 3 oder 4 Punkte erzielt haben. 17. P sei eine axiomatische projektive Ebene, d.h. wir setzen nur die Axiome voraus. Man beweise, dass alle Geraden gleichviele Punkte enthalten. Hinweis: Deren Anzahl (kann natürlich sein) ist gleichzeitig die Anzahl der Geraden, die mit einem beliebigen Punkt inzidieren; nützlich für den Beweis!

4 18. P 2 (K) sei die projektive Ebene über dem Körper K, deren Punkte durch die homogenen Koordinaten [x 0,x 1,x 2 ] beschrieben werden. a) Erläutern Sie, warum durch die Gleichung x 2 0 = x x 2 2 eine wohldefinierte Punktmenge C P 2 (K) beschrieben wird. b) Durch x 0 x 1 = 1 wird eine affine Ebene A P 2 (K) in der projektiven Ebene ausgewählt; zeigen Sie, dass C A eine Parabel ist. c) Welche Punkte von C liegen nicht in A, sind also die (von A aus gesehen),,unendlich fernen Punkte der Parabel? Klausur: Spielregeln Verboten ist die Verwendung von Mobiltelefonen, leistungsfähigen Taschenrechnern, Laptops, Bücher und Skripten. Am besten gar nicht erst mitbringen! Wenn Sie den Tag nicht ohne Ihr Handy verbringen können, dann dieses ausschalten und tief in eine verschlossene Tasche versenken. Jeder Betrugsversuch hat Ausschluss aus der Klausur und Note 6 zur Folge. Jeder Teilnehmer muss bis zum Ende der Klausur auf seinem Platz bleiben. Toilettenbesuch nur einzeln und unter Zurücklassung allen Materials. Erlaubt ist ein eigenhändig handschriftlich hergestellter DIN A4 Spickzettel, beidseitig beschrieben (keine Kopie!). Mitzubringen sind mindestens zwei funktionsfähige Stifte als Schreibzeug sowie ausreichend Papier, am besten auch Bleistift, Lineal und Radiergummi, ebenso Personalausweis, Studentenausweis oder Goethecard. Diese sichtbar auf den Tisch legen! Ein einfacher (nicht programmierbarer) Taschenrechner ist erlaubt. Sitzordnung: Jede zweite Reihe bleibt frei, zwischen Ihnen und Ihren nächsten Nachbarn sind mindestens drei Plätze frei zu halten. Die Klausur wird aus fünf Aufgaben bestehen, jede Aufgabe bringt bei komplett richtiger Lösung 20 Punkte. In den ersten beiden Aufgaben sind nur die Ergebnisse anzugeben, und nur diese zählen, Rechenweg egal. Also einfach Resultat auf das Blatt eintragen, fertig. Die dritte Aufgabe ist zum Ankreuzen, also eine Art Multiple choice Aufgabe. Bei den beiden letzten ist eine Begründung bzw. ein Beweis gefragt, den Sie auf ein Extrablatt schreiben; bitte auf alle Blätter Ihren Namen!! Bewertung: Bis zu 100 Klausurpunkte können in der Klausur erreicht werden. Notenpunkte und Noten ergeben sich daraus wie folgt. Nicht bestanden ist die Klausur mit Klausurpunkten Notenpunkten Noten Bestanden ist sie mit (Zeilen geben wieder Klausurpunkte, Notenpunkte, Note an)

5 Die Klausurergebnisse werden nach Korrektur an meiner Zimmertür Robert Mayer-Str. 6 8, 2. OG, Zi. 205 und auf meiner Homepage anonymisiert für ca. 10 Tage aushängen. Übungsscheine alter Art (z.b. für Studierende nicht-modularisierter Studiengänge) gibt es dann direkt bei mir, ebenso kann ich Modulbescheinigungen für L Studiengänge ausstellen (Vordruck ausgefüllt mitbringen, gibt es zum Herunterladen auf der ZPL Homepage); meine Sprechstunden sind an meiner Zimmertür bzw. in meiner Homepage zu finden. Modulbescheinigungen für Bachelors stellt Fr. Weiglhofer im Prüfungsamt der Mathematik aus (wie oben Zi. 215). Der wichtigste Tipp für die Klausur: Lesen Sie die Aufgaben genau! Nichts ist ärgerlicher, als wenn man nachher merkt, dass man die Aufgabe falsch verstanden hat und z.b. die falsche Richtung der Behauptung bewiesen hat... Bedenken Sie, dass viele Klausuraufgaben kleine Varianten alter Hausaufgaben sein werden! Überlegen Sie sich gut, was Sie auf Ihren Spickzettel speichern wollen. Gilt alles genauso für die Nachklausur! Es sei ausdrücklich daran erinnert, dass sowohl Bachelors wie L3 Studierende maximal drei Versuche für diese Prüfung frei haben, dass diese aber innerhalb von 15 Monaten (Bachelor) bzw. etwa eines Jahres (L3) zu absolvieren sind. Wer bis Aufgabe 16 noch keine 30 Punkte erworben hat, wird für die Aufgaben 17 bis 20 zu besonderen Anstrengungen aufgefordert, sonst keine Klausurzulassung! Gegebenenfalls Rücksprache erforderlich. 19. Durch die Gleichung y 2 = x 3 x wird eine Kurve in der affinen Ebene A = R 2 beschrieben. Machen Sie eine Skizze! Dann erweitern Sie die affine Ebene zur projektiven Ebene P = P 2 (R) und beschreiben Sie die Kurve dort durch eine geeignete Gleichung in homogenen Koordinaten. Dadurch kommen Punkte,,im unendlichen hinzu. Welche? 20. Welche Form nimmt der affine Satz des Desargues an, wenn mit der üblichen Bezeichnung der Punkte A und C im Unendlichen liegen und alle anderen Punkte im Endlichen? Skizze und saubere Formulierung gefragt! (Hausaufgabe 11. Klasse, Waldorfschule)

6 Übungsaufgaben für Repetitorium und Nachklausurtraining Nachklausur am Mittwoch, 7. Oktober, bis Uhr im H II 21. Die 16 Punkte (±1, ±1, ±1, ±1) R 4 sind die Eckpunkte eines vierdimensionalen Würfels W. Wie groß ist die Symmetriegruppe von W? Wieviele Raumdiagonalen hat W? Länge der Raumdiagonalen? Je zwei Raumdiagonalen schließen den Winkel π/2 oder π/3 ein. Warum? (Skriptum!) 22. In der affinen Ebene A beschreibt die Gleichung y 3 yx + 5y 2 3x 3 + 3x 1 = 0 eine Kurve C. Schreiben Sie sie in homogenen Koordinaten [x,y,z], um die Kurve auf die projektive Ebene auszudehnen. Ermitteln Sie, welche Punkte P dadurch neu hinzukommen natürlich auf der Horizontgeraden. Welche projektiven Geraden g verlaufen durch P? Wie lautet die affine Gleichung für den affinen Teil g := g A dieser Geraden? Zeigen Sie, dass g die affine Kurve C in höchstens zwei Punkten schneidet. 23. Gegeben die Ebene E : x + y + z = 4 und der Punkt F := ( 1, 1, 1) im euklidischen R 3. Beschreiben Sie die Menge R aller Punkte, die von E und F den gleichen Abstand haben, durch eine Gleichung. Warum nennt man R ein Rotationsparaboloid? 24. Beweisen Sie, dass die Hintereinanderausführung zweier Drehungen der euklidischen Ebene E (um zwei verschiedene Fixpunkte!) wieder eine Drehung oder eine Translation ergibt. Geben Sie eine Bedingung dafür an, wann es sich um eine Translation handelt. Im Fall der Drehung: Wie konstruiert man den Fixpunkt? 25. Sei F : V W eine lineare Abbildung endlichdimensionaler K Vektorräume, F : W V ihre adjungierte Abbildung. Man zeige ohne die Verwendung von Matrizen, dass beide den gleichen Rang haben. 26. Zwei Ebenen E 1 E 2 P 3 (K) schneiden sich in genau einer Geraden. Warum?

7 27. Gegeben zwei Geraden g, h der affinen Ebene, deren Schnittpunkt Z weit außerhalb des Zeichenpapiers liegt, dazu ein Punkt A g, h. Man kann alleine mit Hilfe eines Lineals ohne Maßstab, also ohne Zirkel, Winkelmesser oder Geodreick die Verbindungsgerade k von A zu Z einzeichnen. Wie? g A h