Importance Sampling: Theorie und Anwendungen in der Optionsbewertung

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1 Imporance Samplng: heore und Anwendungen n der Oponsbewerung engerech von: Alexander Exner DIPLOMARBEI zur Erlangung des akademschen Grades Magser rerum socalum oeconomcarumque Magser der Sozal- und Wrschafswssenschafen (Mag. rer. soc. oec.) Sozal- und Wrschafswssenschaflche Fakulä Unversä Wen echnsch-naurwssenschaflche Fakulä echnsche Unversä Wen Sudenrchung: Wrschafsnformak Beguacher: Ao. Unv.-Prof. Dr. Sefan Pchler Wen, m Okober 000 1

2 Inhalsverzechns 1 Enleung...3 Mone Carlo Smulaon Enführung...6. Varanz des Schäzweres Effzenz enes Samplngplans Erzeugung von Samples Varanzredukon Anhesches Samplng Imporance Samplng Weere Verfahren... 4 heore des Imporance Samplng n der Oponsbewerung Mone Carlo - Grundmodell Imporance Samplng Anwendung des Imporance Samplng n der Oponsbewerung Plan Call Opon Dscree European Average Rae Call Opons IS m dynamscher Dscree European ARO Calls Concluso...54 Anhang A Herleung der Lkelhood Rao...57 Anhang B Ausgewähle c - Funkonen...60 Leraurverzechns...66

3 1 Enleung Mels Mone Carlo Smulaonen erhäl man numersche Approxmaonen für ene Velzahl mahemascher Probleme. Auch m Fnancal Engneerng fnde sch ene bree Palee von Ensazmöglchkeen. Dese müssen nch nowendgerwese sochasscher Naur sen. De Mone Carlo Mehode bee ledglch de Möglchke, Inegrale numersch zu lösen, wobe ene der herausragendsen Egenschafen dabe hr Verhalen be höherdmensonalen Problemsellungen s. Im Gegensaz zu anderen numerschen Verfahren änder sch das Konvergenzverhalen be segender Anzahl der Dmensonen nch zu ungunsen der Genaugke des Schäzers 1. Uner Verwendung von n Samples zur Genererung enes Mone Carlo Schäzers seg dessen Genaugke ses proporonal zu n. Ungeache deses posv zu beurelenden Konvergenzverhalens bzgl. der Dmenson des Problems s der Zuwachs an Genaugke pro nveserer Rechenlesung relav bescheden. Um enen Zuwachs an Genaugke des Schäzers um den Fakor 10 zu erhalen, muss der Schprobenumfang und som auch das Rechenzebudge um den Fakor 100 erhöh werden. Aus desem Grund wurden ene Velzahl von echnken enwckel, m dem Zel, de Effzenz der Mone Carlo Smulaon zusäzlch zu erhöhen. Dese Arbe beschäfg sch vorwegend m ener deser echnken, dem Imporance Samplng, und dessen Anwendung be der Bewerung verscheden ausgesaeer Oponen. Es sollen unerschedlche Anwendungsmöglchkeen und de daraus resulerenden Effzenzsegerungen be Anwendung des Imporance Samplng demonsrer werden. roz der herausragenden Egenschafen und heoresch kaum begrenzen Ensazmöglchkeen der Mone Carlo Mehode, nsbesondere des Imporance Samplng, s hr Ensaz n der 1 vgl. Boyle, Broade und Glasserman (1997) 3

4 Fnanzelbewerung n der Praxs sehr beschränk. Ene Velzahl vorhandener analyscher Lösungen und Approxmaonen snd der Grund herfür. Im Falle der Verfügbarke analyscher Lösungen s der Ensaz von numerschen Approxmaonen scher nch angebrach, doch sollen be analyschen Näherungen deren Vorund Nachele bedach werden. Se snd zwar mes nch rechenzenensv und been darüber hnaus ofmals fxe Fehlergrenzen, doch baseren se fas ausschleßlch auf der Annahme, dass den Presbewegungen des oder der Underlyngs ene Brownsche Bewegung zugrunde leg, und lefern m Gegensaz zu Mone Carlo Smulaonen kenen erwarungsreuen Schäzwer. De Annahme, dass sch de Prese enes Underlyng ensprechend ener Geomerschen Brownschen Bewegung enwckeln (d.h. de Annahme, dass de Wahrschenlchkesverelung der von enem besmmen Presnveau ausgehenden, sch zu enem späeren Zepunk ergebenden, Presvorfälle durch ene Lognormalverelung gegeben s) wrd zwar auch n deser Arbe durchgehend geäg, doch kann dese Annahme über den Presprozess problemlos geänder werden. Des und de Möglchke, Änderungen n der Aussaung enes Fnanzels durch Ersezen der Bewerungsglechung relav schnell n ener Smulaon umsezen zu können, machen de Mone Carlo Mehode zu enem äußers effzenen und flexblen Werkzeug m Fnancal Engneerng. Kapel beschäfg sch m den mahemaschen und sasschen Grundlagen von Mone Carlo Smulaonen. Es wrd de Genererung des Schäzers und dessen Varanz erläuer. Weers wrd auf den snnvollen rade off zwschen Rechenzeanseg und Genaugkeszuwachs bem Ensaz varanzreduzerender Mehoden engegangen. Kapel 3 ha ene genauere Berachung verschedener varanzreduzerender echnken zum Zel. Es erfolg ene ausführlche Darlegung der Mehoden des Anheschen Samplng und des Imporance Samplng. Es wrd gezeg, wann deren Ensaz snnvoll und velversprechend s, und n welchen Fällen dem nch so s. Danach erfolg en kurzer Abrss verschedener anderer 4

5 echnken, we z.b. der Ensaz von Conrol Varaes und de Verwendung von Quas Random Numbers. Kapel 4 beschreb de korreke Anwendung der n den zwe vorhergehenden Kapeln dargesellen Grundlagen der Mone Carlo Smulaon und des Imporance Samplng be der Bewerung von Oponen uner der Annahme, dass sch der Prespfad des Underlyng der Opon gemäß ener Geomerschen Brownschen Bewegung enwckel. Es wrd gezeg, we Samples generer werden können und we de Lkelhood Rao berechne wrd. Kapel 5 lefer für zwe unerschedlche Oponsypen (Plan Vanlla Opons, Average Rae Opons) uner jewels verschedenen Ansäzen den opmalen Drf zu besmmen, Ergebnsse über de Effzenz des Imporance Samplng. Es werden de enzelnen Mehoden dargesell, sowe deren Varanzredukon für ene bree Palee an Parameerkonsellaonen (Volalä, rskoloser Znssaz, Reslaufze, Srkeprce) m Verhälns zum zusäzlch nowendgen Rechenzeerforderns ermel. Kapel 6 fass vorwegend de Ergebnsse aus Kapel 5 zusammen und lee abschleßend davon ab, uner welchen Bedngungen mels welcher Mehoden der Ensaz des Imporance Samplng zu empfehlen s. 5

6 Mone Carlo Smulaon.1 Enführung Mone Carlo Smulaonen denen ses dazu, enen Erwarungswer zu schäzen. Nun ha das Fundamenal heorem of Asse Prcng folgende Aussage: In enem arbragefreen und vollsändgen Mark exser en endeuges Wahrschenlchkesmaß Q, uner dem alle relaven Prese (Pres enes Fnanzels bezogen auf den Pres enes Numerares) Marngale snd. Verwende man en seg verznses Geldmarkkono als Numerare, so folg daraus für den Wer G enes belebgen Fnanzels: r G0 = e EQ[ g( x)] Im Folgenden wrd ausschleßlch davon ausgegangen, dass sch der Pres enes Underlyng uner Q gemäß ener Geomerschen Brownschen Bewegung enwckel. Durch leche Modfkaonen lassen sch durch Mone Carlo Smulaonen allerdngs auch andere Momene (andere als das Erse) bzw. belebge Quanle der Verelung ener sochasschen Größe besmmen. Se f ( ) de Dchefunkon der Wahrschenlchkesverelung ener sochasschen Größe x, de alle Were enes Berechs A annehmen kann. f ( y) dy = 1 A 6

7 Weers se g(x) ene belebge Funkon, deren Funkonswer von x abhäng. Der Erwarungswer von g(x) s dann we folg defner: Ε[ g ( x) ] = g( y) f ( y) dy A Um mels Mone Carlo Smulaon enen Schäzwer von Ε [ g( x)] zu erhalen, zeh man durch Erzeugung von ensprechenden Zufallszahlen ene Schprobe { X, = 1.. n} von x. Der Melwer gˆ = 1 n n = 1 g( X ) sell ene unverzerre und konssene Schäzfunkon für Ε [ g(x) ] dar. vgl. Fshman (1995) 7

8 . Varanz des Schäzweres Se de Sandardabwechung von g (x) als σ angenommen, so s de Sandardabwechung von ˆ 1 n g ( X,.., X ) als σ = gˆ σ n gegeben. Ene konssene, unverzerre und effzene Schäzfunkon für σ s sˆ 1 = n 1 n = 1 ( g( X ) gˆ) Deser Schäzwer ha senerses ene Sandardabwechung von σ sˆ σ 1 n Des gl exak, falls g (x) normalverel s, andernfalls approxmav 3. De Verelung des Ausdrucks gˆ Ε[ g( x)] sˆ n 3 sehe Hammersley und Handscomb (1964) 8

9 konverger für segendes n gegen ene Sandardnormalverelung. Auf deser Bass können lech Konfdenznervalle für ĝ besmm werden 4. En Schäzwer für de Sandardabwechung von ĝ s s g ˆ ˆ = sˆ n Um de Varanz von ĝ zu reduzeren, kann man den Umfang der Schprobe erhöhen. Der Rechenaufwand seg herbe quadrasch an. Um ene Varanzredukon um den Fakor 10 zu errechen, muss der Schprobenumfang um den Fakor 100 erhöh werden. 4 vgl. Boyle (1977) 9

10 .3 Effzenz enes Samplngplans Der Snn der Varanzredukon beseh m Grunde ledglch darn, be der Berechnung des Mone Carlo Schäzers m besmmer Genaugke, Rechenze enzusparen. Angenommen man möche enen Parameer θ schäzen. θ = A g ( y) f ( y) dy Alle { g( y), f ( y); y A}, de obge Bedngung erfüllen, werden als Samplngplan bezechne. Jeder Samplngplan blde de Bass für enen unverzerren Schäzer für θ. Man generer herfür ene Schprobe { θ, = 1.. n} des Parameers, wobe jedes θ den Erwarungswer θ und de Varanz σ besz. Ene unverzerre Schäzfunkon für den Parameer θ s dann das Schprobenmel n 1 θˆ = θ n = 1 Lau Zenralem Grenzverelungssaz sreb de Verelung von θˆ (uner der Annahme, dass alle θ unabhängg vonenander snd) m wachsendem n gegen ene Normalverelung m Melwer θ und Varanz σ / n. Gesez den Fall, man ha nun de Wahl zwschen zwe Samplngplänen, wobe der erse C C C Samplngplan auf { g ( y), f ( y); y A} baser und Schproben θ m Erwarungswer θ und Varanz C B B σ lefer. Der zwee Samplngplan baser auf { g ( y), f ( y); y A} und lefer Schproben B θ m Erwarungswer θ und Varanz σ B. Ohne Berückschgung der Rechenze würde man den Samplngplan m der gerngeren Schprobenvaranz wählen. Se nun 10

11 angenommen, dass man für de Genererung jeder Schprobe enen besmmen durchschnlchen zelchen Rechenaufwand benög. Bem ersen Samplngplan benög man durchschnlch C Zeenheen zur Berechnung enes Elemenes der Schprobe, bem zween Samplngplan benög man durchschnlch B Zeenheen. Be enem gegebenen Rechenzebudge von Zeenheen können jewels Schproben m enem Umfang von / C bzw. / B Elemenen berechne werden (Der Enfachhe halber se angenommen, dass / C und / B jewels ganzzahlg snd). De sch daraus ergebenden Mone Carlo Schäzwere der zwe Samplngpläne lassen sch we folg darsellen: θˆ C C = C = 1 θ C B B B θˆ = θ = 1 B Dese haben folgende Sandardabwechungen: σ θ = σ ˆ C C C σ θ = σ ˆ B B B Daraus folg, dass jener Samplngplan verwende werden solle, be dem σ mnmal s 5. Varanzredukon mels Verwendung enes Samplngplans C ansa enes Samplngplans B s C also nur dann snnvoll, falls das Verhälns der Varanzredukon ( ) B /( σ ) σ klener als das Verhälns des zelchen Rechenaufwandes B C / s. Angenommen der zelche Rechenaufwand für de Durchführung ener Mone Carlo Smulaon uner Verwendung enes besmmen Samplngplans beseh aus enem Anel der unabhängg vom Umfang der Schprobe s, und enem Anel der proporonal vom Umfang der Schprobe 5 vgl. Boyle, Broade und Glasserman (1997) 11

12 abhäng. Weers beseh der fxe Anel des zelchen Rechenaufwandes aus enem el, der nur für de Durchführung ener Mone Carlo Smulaon benög wrd (Inalserung von Varablen, Auswerung und Darsellung des Ergebnsses), und enem anderen el, den man zur Durchführung von anderen Mone Carlo Durchläufen m glechen Seng weerverwenden kann (Berechnung dverser Parameer, u.u. Genererung von Zufallszahlen). Mehrere Smulaonen nnerhalb enes besmmen Sengs werden z.b. zur Besmmung der Reagblä des Schäzweres n Abhänggke verschedener veränderlcher Parameer durchgeführ. Der zelche Aufwand pro Schprobenelemen se m v Zeenheen gegeben. Der zelche fxe Anel pro Mone Carlo Schäzung se m fmc Zeenheen gegeben, und der zelche fxe Anel für alle Mone Carlo Schäzungen nnerhalb enes Sengs se m fs Zeenheen gegeben. Be der Durchführung von m Mone Carlo Smulaonen nnerhalb enes Sengs und enem Schprobenumfang von jewels n Elemenen ergb sch en durchschnlcher zelcher Rechenaufwand von fs fmc = + + n m n v Zeenheen. In desem Falle s en Samplngplan zu wählen, be dem σ fs + n m n fmc + v mnmal s. 1

13 .4 Erzeugung von Samples Das Inegral θ = A g ( y) f ( y) dy kann auch als Seljes Inegral θ = A g ( y) df( y) angeschreben werden. F ( y) bezechne de Verelungsfunkon der Wahrschenlchkesverelung der sochasschen Größe x m Dchefunkon f (y) und Defnonsberech A. y F ( y ) = f ( y ) I ( ) A dy Man erhäl ene Schprobe { X, = 1.. n} der sochasschen Größe x, ndem man zuers n unabhängge Zufallszahlen { U, = 1.. n} aus der konnuerlchen Glechverelung über das Enhesnervall m der Dchefunkon f u) = I ( ( u) zeh und dann mels der nversen Verelungsfunkon von F( y) ( 0,1) X 1 = F ( ) für = 1.. n U berechne. 13

14 Des folg aus 1 P( X x) = P( F ( U ) x) = P( U F ( x)) = F( x) Danach läss sch der Mone Carlo Schäzer ermeln: n 1 θˆ = g ( X ) n 1 = Be den mesen fnanzwrschaflchen Anwendungen, nsbesondere be den m Rahmen deser Arbe beracheen, sell F ( ) de Verelungsfunkon ener Normalverelung dar bzw. wrd als solche angenommen. Doch s es leder unmöglch, de Umkehrfunkon der Verelungsfunkon ener Normalverelung explz n analyscher Form anzugeben. Aus desem Grunde snd mehrere numersche und analysche Näherungsverfahren gebräuchlch. Ene, der enfachsen analyschen Näherungen, sell de Box - Muller ransformaon 6 dar. Herzu zeh man zwe unabhängge Schproben u und v aus ener konnuerlchen Glechverelung über das Enhesnervall, und berechne x = ln( u) cos(πv) bzw. y = ln( u) sn( πv) x und y sellen angenäher unabhängge Schproben der Sandardnormalverelung dar. 6 sehe u.a. Press e al. (199), S

15 3 Varanzredukon Der gernge Zuwachs an Genaugke des Mone Carlo Schäzers, gemessen an ener zusäzlch aufgewendeen Enhe an Rechenze ha zur Enwcklung mehrerer Verfahren geführ, de ene weere Varanzredukon bewrken. De wchgsen Konzepe sollen her erläuer werden. Zuers wrd anhand zweer Bespele (Verwendung von Anheschen Samples und Imporance Samplng) ene nähere Berachung vorgenommen, und anschleßend en grober Überblck über weere Verfahren gelefer. Alle Verfahren baseren darauf, zusäzlche Informaonen de zur Verfügung sehen, aber n ener gewöhnlchen Mone Carlo Smulaon nch genuz werden, zu verweren. Es können Informaonen über das Problem (Inegral) selbs verwende werden (Imporance Samplng, Conrol Varaes,..), als auch Informaonen über de zugrundelegende Verelung genuz werden (Srafed Samplng, Quas Random Numbers,..). Daher s es auch möglch, verschedene Mehoden auf snnvolle Wese zu kombneren. 15

16 3.1 Anhesches Samplng De Verwendung von Anheschen Samples sell ene der enfachsen und am wees verbreeen Mehoden zur Varanzredukon, vor allem be der Bewerung von Fnanzeln, dar. Se θ = A g ( y) f ( y) dy und se θ ene Schprobe m Erwarungswer θ und Varanz Var (θ ), so such man ene zugehörge Schprobe θ, de den glechen Erwarungswer θ und Varanz Var (θ ), und ene sarke negave Korrelaon zu θ aufwes. De Varanz aus dem Durchschn deser beden Schäzwere s folgende: 1 Var θ + θ = ( Var( θ) + Cov( θ, θ )) Herbe s Cov θ, θ ) negav 7. ( Durch das Ausweren zweer negav korrelerer Schproben wrd also de Varanz mehr als halber. Der Rechenaufwand für de Ermlung der zween Schprobe s dabe mes gernger als der, der Ermlung ener neuen, unabhänggen Schprobe. Nun sell sch de Frage, we sch aus ener vorhandenen Schprobe θ ene Schprobe s, und de glechen Erwarungswer und gleche Varanz aufwes. θ genereren läss, de negav korreler 7 vgl. nsbesondere Hammersley und Handscomb (1964) 16

17 Falls g ( ) ene monoone, segende oder fallende Funkon s, genüg es zwe Schproben aus der Wahrschenlchkesverelung m Dchefunkon f ( ), de sark negav korreler snd, und naürlch denschen Erwarungswer und densche Varanz aufwesen, zur Ermlung von θ und θ heranzuzehen. Im Falle, dass f ( ) de Dchefunkon ener konnuerlchen Glechverelung über das Inervall ( a, b) darsell, so s U = a + b U ene zu U maxmal negav korrelere Schprobe aus deser Verelung. Im Falle, dass f ( ) de Dchefunkon ener Normalverelung m Mel glech 0 darsell, so s X = X ene zu X maxmal negav korrelere Schprobe aus deser Verelung. Der reduzere Rechenaufwand für de Ermlung von Schprobe j θ ansa ener neuen, unabhänggen θ ( j) ergb sch also daraus, dass weder ene neue Pseudozufallszahl vom Rechner generer werden muss, noch dese n ene normalverele Zufallszahl konverer werden muss. Selbs m opmalen Fall, dass ensprechende normalverele Zufallszahlen beres vorlegen, s der Aufwand, ene Zahl zu nvereren auf üblchen Compuersysemen nch größer, als der Aufwand ene Zahl aus dem Specher auszulesen. Besondere Bedeuung ha der Umsand, dass g ( ) ene monoone, segende oder fallende Funkon sen solle, denn nur dann s gewährlese, dass ene negav korrelere Schprobe aus der Wahrschenlchkesverelung auch en negav korreleres θ hervorbrng. 17

18 Im Falle der Oponsbewerung von bespelswese normalen europäschen, amerkanschen oder asaschen Oponen s des gegeben. Se nun allerdngs g ( ) als Payoff-Funkon enes Porefeulle aus ener gekaufen europäschen A he Money Cash or Nohng Call Opon und ener bs auf den Srke Prce glech ausgesaeen verkaufen europäschen Ou of he Money Cash or Nohng Call Opon gegeben. Im Falle ener Schprobe X aus der Wahrschenlchkesverelung, de enen Prespfad, der oberhalb des Srke Prce der verkaufen Opon ende, smuler, wäre som θ glech 0. De sark negav korrelere Zufallszahl X würde allerdngs enen Prespfad smuleren, der unerhalb des Srke Prce der gekaufen Opon ende, und som auch en θ glech 0 ergeben. roz sarker negaver Korrelaon der Zufallszahlen r ene posve Korrelaon zwschen und θ auf, was auf Grund von θ 1 Var θ + θ = ( Var( θ) + Cov( θ, θ )) ene uner Umsänden erheblche Varanzerhöhung zur Folge haben kann. En ensprechendes Payoff-Profl s n Abbldung 1 veranschaulch. Payoff θ S 0 = K long K shor θ S Abbldung 1; Payoff-Profl enes Porefeulle besehend aus zwe Dgal Opons 18

19 3. Imporance Samplng Das Zel, das be der Anwendung von Imporance Samplng verfolg wrd, s jenes, Eregnsse, de maßgeblch den m f ( ) gewcheen Erwarungswer von g( ) θ = A g ( y) f ( y) dy besmmen, hrem Enfluss ensprechend zu berachen. Be der Bewerung enes Fnanzels, dessen Wer von enem Underlyng X abhäng, wrd üblcher Wese g ( ) als Payoff-Funkon deses Fnanzels n Abhänggke vom Wer des Underlyng X angenommen, während f ( ) de Dchefunkon der Wahrschenlchkesverelung der möglchen Presvorfälle des Underlyng X uner dem rskoneuralen Wahrschenlchkesmaß repräsener. Probleme auf dese dreke Ar und Wese umzusezen, mag für enen großen el der Anwendungen genügen, doch gb es auch ene Rehe von Bespelen, wo des nch vorelhaf s. So werden zum Bespel m Falle der Smulaon der Payoffs ener we Ou of he Money Call Opon de mesen Elemene ener Schprobe enen Payoff von 0 ergeben, während nur wenge Samples enen Prespfad, der oberhalb des Srke Prce ende, repräseneren und som enen posven Payoff lefern. Der für den Wer der Opon maßgeblche el wrd also von verhälnsmäßg wengen Samples smuler. Des führ zu ener hohen Varanz des Schäzers. Aus desem Grund kann man versuchen uner ener anderen Wahrschenlchkesverelung m Dchefunkon f * ( ) Samples zu genereren, de sch eher den wchgen Berechen der Aufgabe zuwenden. Daher laue der Name deser Mehode Imporance Samplng. 19

20 Um dennoch enen unverzerren Schäzwer zu erhalen, muss man jedoch noch de, m der Dchefunkon f * ( ) gewchee Funkon g ( ), modfzeren. Konkre erfolg des so: θ = A * g ( y) L( y) f ( y) dy m f ( y) L ( y) = * f ( y) * { g( y) L( y), f ( y); y A} sell den neuen Samplngplan dar, wobe L ( ) als Lkelhood Rao, Imporance Funkon oder auch als Radon-Nkodym Ableung bezechne wrd. Für Schproben Y und f * ( ) gl also 8 Y aus der Wahrschenlchkesverelung m Dchefunkon f ( ) bzw. * * * [ g( Y )] = Ε[ g( Y ) L( Y ] = θ Ε ) De Varanz von g Y ) s gegeben als ( Var[ g( Y )] = g ( y) f ( y) dy θ A * * De Varanz von g ( Y ) L( ) s gegeben als Y Var * * * [ g( Y ) L( Y )] = g ( y) L ( y) f ( y) dy θ = g ( y) L( y) f ( y) dy θ A A 8 vgl. Fshman (1995) 0

21 Uner der Annahme g ( ) > 0 ergb sch also be { f * ( y) = g( y) f ( y) / θ ; y A} ene opmale * * Varanzredukon m Var[ g( Y ) L( )] = 0 Y 9. In der Praxs s des aber leder nch drek anwendbar, da zur Ermlung von f * ( ) der unbekanne Parameer θ benög wrd. Dennoch bescher das Wssen über dese opmale Wahl von * ( * f ) de Ensch, dass f ( y) zu g( y) f ( y) für y A so proporonal we möglch gewähl werden solle. Des resuler daraus, dass θ den Durchschn aus ( ) L( ) g über den Berech A darsell, und de Varanz [ g( ) L( ) ] wrd, ndem man g ( ) L( ) so konsan we möglch wähl. Var mnmer Enerses muss f * ( ) flexbel genug sen, um g ( ) f ( ) zu glechen und dam de Varanz aus * dem Verhälns f ( y)/ g( y) f ( y) gerng zu halen, andererses muss f * ( ) ene negrerbare Funkon sen (obwohl g ( ) f ( ) offenbar nur numersch negrerbar s). Desen Wderspruch zu überwnden, s das Zel des Imporance Samplng. 9 vgl. Glasserman, Hedelberger und Shahabuddn (1998) 1

22 3.3 Weere Verfahren Conrol Varaes Gesez den Fall, man möche enen Parameer θ berechnen, wobe dese Aufgabe nch analysch lösbar s, und es exser en ähnlches Problem, enen Parameer φ (Conrol Varae oder Konrollvarable genann) zu berechnen, was wohl analysch lösbar s (d.h. en Problem dessen zu Grunde legende Funkon, über de das Inegral geblde werden soll, ene hohe Ähnlchke zu der zugrundelegenden Funkon erserer Aufgabe aufwes). Es s möglch, dese Informaon dahngehend zu nuzen, dass man mels ener Mone Carlo Smulaon ledglch de Dfferenz der beden Lösungen ( θ φ) ermel. Für Schproben θ und φ von θ bzw. φ gl { θ = φ + α Ε[ θ φ ]; α (, )} En unverzerrer Schäzwer von θ s daher θˆ = θ + α( φ ) φ De opmale Wahl für α s 10 α * Cov( θ, φ) = Var( φ) Daraus ergb sch ene Varanzredukon von 10 sehe Boyle, Broade und Glasserman (1997)

23 Var( θ ) 1 = Var( θˆ) 1 ( Corr( θ, φ )) * Dese Varanzredukon s größer oder glech Null, falls α [0, α ] für Corr ( θ, φ) 0 bzw. * falls α [α,0] für Corr ( θ, φ) 0. Dennoch s de Wahl der rchgen Conrol Varae ene schwerge Aufgabe. Um ene Varanzredukon um den Fakor 5 zu errechen (ohne Berückschgung der zusäzlch benögen Rechenze), muss ene Korrelaon von Corr ( θ, φ ) = ± besehen. Um ene Varanzredukon um den Fakor 10 zu errechen, muss ene Korrelaon von Corr ( θ, φ ) = ± besehen sehe Fshman (1995) 3

24 Srafed Samplng Üblcherwese generer man Samples mels ener Zehung aus ener Wahrschenlchkesverelung. Es s dabe allerdngs durchaus möglch, dass dese Schprobe nch der üblchen Charakersk der zugrundelegenden Verelung ensprch, und som u.u. Bereche, de für den Wer des Schäzers maßgeblch snd über- oder unerrepräsener werden. Man kann zwar schon m vorhnen esen, ob ene Schprobe gewssen Kreren genüg (z.b. ndem man de ersen Momene deser Schprobe überprüf) und dese gegebenenfalls durch ene ransformaon exak anpassen (mels sog. Momen Machng Mehods), doch handel man sch, sowohl be ener selekven Auswahl, als auch be ener ransformaon der Schprobe, enen verzerren Schäzwer en. Weers können durch ene normale Zehung aus ener Schprobe ledglch Konfdenznervalle für de Genaugke des Schäzers angegeben werden, während hngegen ofmals de Kennns enes absoluen Wors Case Fehlers wünschenswer s. Srafed Samplng hlf, obge Probleme zu umgehen. De Vorgehenswese s der Gesal, dass man den Inegraonsberech n elbereche zerleg. Innerhalb deser Bereche wrd ene genau der Wahrschenlchkesfunkon ensprechende Anzahl von Samples erzeug 1. Im endmensonalen Fall el man den Inegraonsberech n Inervalle en. En Nachel deser Mehode s, dass n höherdmensonalen Merkmalräumen de Anzahl der benögen Bereche exponenell anseg. Be der Defnon der Bereche kann man Informaonen über de mels der Mone Carlo Smulaon zu lösende Aufgabe nuzen. So s es z.b. möglch, be der Bewerung ener Opon de Inervalle m Merkmalraum der ermnal Sock Prces so anzuordnen, dass der Srke Prce genau ene Inervallgrenze defner. Dam wrd ene vorab gegebene Informaon (nämlch dass uner dem rskoneuralen Wahrschenlchkesmaß de Anzahl möglcher Presvorfälle, n denen 1 vgl. Hammersley und Handscomb (1964) 4

25 de Opon ausgeüb werden kann, zu allen möglchen Presvorfällen genau dem Verhälns zwschen der Masse aller Inervalle oberhalb deser Inervallgrenze zur gesamen Masse ensprch) genuz. Quas Random Numbers Mels ener Mone Carlo Smulaon erhäl man enen Schäzer der Lösung enes Inegrals. Ene andere Möglchke, enen eben solchen Schäzer zu erhalen, s de numersche Inegraon. Der Vorel ener numerschen Inegraon beseh n der Möglchke der Ermlung fxer Fehlergrenzen des Schäzers. Der Nachel ener numerschen Inegraon s der m Verglech zu Mone Carlo Smulaonen unerproporonale Zuwachs an Genaugke des Schäzers pro zusäzlch nveserer Rechenzeenhe be der Ermlung höherdmensonaler Inegrale. Des begründe sch n ener ungünsgen Verelung der Inegraonspunke n höheren Dmensonen. M zunehmender Dmenson ensehen mmer größere Räume, n denen ken Inegraonspunk leg, während sch hngegen n anderen Regonen Inegraonspunke häufen. Um de Vorele beder Mehoden zu kombneren, kann man ansa zufällger bzw. pseudozufällger Folgen von Samples besondere deermnssche Folgen von Samples als Grundlage für Mone Carlo Smulaonen verwenden. De Samples deser Folgen füllen den Inegraonsberech glechmäßger aus. Solche Folgen werden als Quas Random Numbers oder Low Dscrepancy Sequences bezechne 13. Bespele sellen Sobol Sequences oder Faure Sequences dar, deren Anwendung enfach und äußers effzen s. Des weeren kann dese echnk problemlos m Imporance Samplng oder m Conrol Varaes kombner werden. 13 sehe Nederreer (1988) 5

26 4 heore des Imporance Samplng n der Oponsbewerung 4.1 Mone Carlo - Grundmodell Für gewöhnlch wrd über den Prespfad ener Ake 14 angenommen, dass de relaven Änderungen (Renden) des Preses deser Ake seg (ohne Sprünge) und m über de Ze konsaner (endlcher) Volalä und konsanem Drf erfolgen. Mahemasch beschreb man de Verelung der Renden mels ener Arhmeschen Brownschen Bewegung und de Verelung der Prese mels ener Geomerschen Brownschen Bewegung. Se S der Pres der Ake zum Zepunk, µ der Drf und σ de konsane Volalä der Ake, so gl ds = µ S d + σ S dw W bezechne enen Wener Prozess m Markov Egenschaf, wobe gl Ε[ dw ] = 0 und Var[ dw ] = d. Des folg aus der Beschrebung der Renden ds / S der Ake ds S = µ d + σ dw 14 m Folgenden wrd ses ene Ake als Underlyng ener Opon angenommen. Andere Möglchkeen würden bespelswese Znsen oder Wechselkurse darsellen. 6

27 Demnach s de Wahrschenlchkesverelung der Rende ds / S der Ake für enen Zepunk Zeenheen n der Zukunf ene Normalverelung m Ε [ ds / S ] = und Var( ds / S ) = σ. µ Som s de Wahrschenlchkesverelung von µ ( s) [ S ] S e µ ( s) σ ( s) Ε = und Var[ S ] = S e ( e 1). s s S gegeben S s ene Log-Normalverelung m Daraus folg, dass de Wahrschenlchkesverelung von ln( S ) gegeben ln( S ) ene Normalverelung m Ε[ ln( S )] = ln( S ) + µ ( s) 0.5σ ( s) und Var[ ln( S )] = σ ( s) s 15. s s Schprobenelemene der Presvorfälle der Ake können durch S = S s e ( µ 0.5σ )( s) + σ ( s) Z ermel werden, wobe Z unabhängge Schprobenelemene der Sandardnormalverelung darsellen. 16 Um enen Mone Carlo Schäzer zu erhalen, generer man ene Schprobe von n ermnal Sock Prces bzw. n Prespfaden. Für de enzelnen Schprobenelemene wrd der fkve Payoff ensprechend des Oponsyps ermel. Das arhmesche Mel deser Payoffs sell den Mone Carlo Schäzer dar. De durch den Schprobenumfang n dvdere emprsche Varanz der Payoffs sell enen Schäzer der Varanz des Mone Carlo Schäzers dar. 15 sehe Johnson und Koz (1970), S sehe z.b. Boyle, Broade und Glasserman (1997) 7

28 4. Imporance Samplng Bem Imporance Samplng wrd de Schprobe der Sock Prces uner ener anderen Wahrschenlchkesverelung erzeug. Be der Wahl deser Verelung s man, bs auf de Resrkon, dass de Lkelhood Rao (analysch) berechenbar sen muss, fre. Für gewöhnlch so auch m Zuge deser Arbe wrd angenommen, dass de Renden der uner der neuen Verelung erzeugen Sock Prces, we be ener Mone Carlo Smulaon, normalverel snd. Dese haben zwar de gleche Varanz s, allerdngs enen anderen Drf d (ansa µ ) als uner dem rskolosen Wahrschenlchkesmaß. De Sock Prces snd daher ebenfalls m glecher Varanz, aber unerschedlchem Drf Lognormalverel. 8

29 De Lkelhood Rao U L = U s µ d σ ( d 0.5σ ) ( µ 0.5σ ) )( σ e s) s n desem Fall also als Quoen zweer Dchefunkonen von Log-Normalverelungen m unerschedlchem Drf und glecher Varanz defner. 17 Um enen Imporance Samplng Schäzer zu erhalen, generer man ene Schprobe von n ermnal Sock Prces bzw. n Prespfaden gemäß der gewählen Wahrschenlchkesverelung. Für de enzelnen Schprobenelemene wrd der fkve Payoff ensprechend des Oponsyps ermel und m der ensprechenden Lkelhood Rao gewche (mulplzer). De Lkelhood Rao für enen gesamen Prespfad ergb sch aus dem Produk der Lkelhood Raos der enzelnen Presveränderungen des Pfades. Das arhmesche Mel deser gewcheen Payoffs sell den Imporance Samplng Schäzer dar. De durch den Schprobenumfang n dvdere emprsche Varanz der gewcheen Payoffs sell enen Schäzer der Varanz des Imporance Samplng Schäzers dar. Sofern man sch, we oben angeführ, für ene Normalverelung m glecher Varanz und modfzerem Drf als Wahrschenlchkesverelung, uner der man de Renden der Sock Prces genereren wll, enschede, s de Wahl des Drf von grundlegender Bedeuung für de Effzenz ener Imporance Samplng Smulaon. Be der Smulaon von Prespfaden beseh des weeren de Möglchke, den Drf während des Pfades zu ändern. Für jedes elnervall kann also en opmaler Drf gesuch werden. 17 Herleung sehe Anhang A 9

30 Abbldung zeg, m Fall ener Europäschen Call Opon den Verlauf der Varanz n Abhänggke des gewählen Drf. heoresch seg oberhalb des opmalen Drf de Varanz des Schäzers seg. Praksch nmm allerdngs ab enem besmmen Level de Schprobenvaranz ab. Glechzeg s ene zunehmende Verzerrung des Schäzers feszusellen. Des s n Abbldung 3 dargesell. Be der Wahl des Drf s demnach große Sorgfal von Nöen, da be IS Smulaonen von der Schprobenvaranz des Schäzers nur bedng auf de Güe des Schäzers geschlossen werden kann. Es gb zwe Ursachen für deses Phänomen. Zum enen s de Wahl des Drf nach unen hn zu beschränken, da, je weer der Drf gesenk wrd, mmer wenger Samples enen posven Payoff ergeben. Im Exremfall sellen alle Samples enen Payoff von Null dar. Der smulere Oponspres und dessen Varanz snd n desem Fall Null. Der Übergang zu dem Berech, n dem noch erwarungsreue Schäzer erzeug werden, s annähernd seg. Der gleche Effek r auch be gewöhnlchen Mone Carlo Smulaonen, be denen de Wahrschenlchke, dass en posver Payoff erfolg, gerng s, auf (z.b. ndem der Srke Prce ener Call Opon sehr hoch s). Be gewöhnlchen Mone Carlo Smulaonen kann man des jedoch vernachlässgen, da n desen Fällen der reale Oponspres ohnehn auch sehr klen s (gegen Null geh). Dese Ursache begründe sch also n der für Oponen ypschen unsegen Payoff-Funkon. Zum anderen s de Wahl des Drf, sowohl nach unen, als auch nach oben hn, aus folgendem Grund zu beschränken: Je weer sch der gewähle Drf vom naürlchen Drf (dem rskolosen Znssaz) enfern, deso krasser veränder sch de Imporance Funkon (Lkelhood Rao). Samples, de nahe bem Erwarungswer uner dem rskolosen Znssaz legen, werden zunehmend särker gewche ( L ( ) > 0) ; Samples, de nahe bem Erwarungswer uner dem gewählen Drf legen, werden zunehmend schwächer gewche ( L ( ) < 0). Da Smulaonen mels enes endlchen Samples durchgeführ werden, und sch deses erwarungsgemäß um den Erwarungswer uner dem gegebenen Drf kumuler, kommen m segendem Drf mmer 30

31 mehr Samples n enem Berech zu legen, n dem de Lkelhood Rao zunehmend klener wrd. Der Schäzer, und folglch sene Varanz, nehmen ab enem besmmen Level des Drf seg ab und konvergeren gegen Null. Bede Ursachen hängen also m der Endlchke der Schprobe zusammen. Konkre s de asache, dass be enem endlchen Sample de Randbereche der Verelung nch, oder nur ungenügend abgeblde werden (das heß nch, dass se durch unerrepräsenav wenge Samples abgeblde werden), dafür veranworlch, dass be ener, vom dealen Drf zu sehr abwechenden, Wahl des Drf, de Mehode kene zuverlässgen bzw. verzerre Ergebnsse lefer. Dem gemäss häng das Enreen der Verzerrung des Schäzers auch vom Schprobenumfang ab. Je größer de Schprobe, deso späer sez de Verzerrung des Schäzers en. Für jene Opon aus Abbldung 3 gl bespelswese, dass be enem Schprobenumfang von 10,000 Samples nur n enem Berech von ca. d = 0. 5 bs d = 1. 5 erwarungsreue Schäzer generer werden können. 31

32 heorecal Varance vs. Samplevarance Varance 1,00E+14 1,00E+1 1,00E+10 1,00E+08 1,00E+06 1,00E+04 1,00E+0 1,00E+00 1,00E-0 1,00E-04 0,00 0,50 1,00 1,50,00,50 3,00 3,50 Drf heorecal Sample Abbldung ; Schprobenvaranz, Plan Call Opon, r=0.03, s=0.5, =0.5, S 0 =90.0, K=100.0, 10,000 Samples Samplevarance and Esmaor 1,00E+0 1,00E+01 Varance, Esmaor 1,00E+00 1,00E-01 1,00E-0 1,00E-03 1,00E-04 1,00E-05-1,3-0,8-0,3 0, 0,7 1, 1,7,,7 3, Drf Varance Esmaor Abbldung 3; Schäzer, Plan Call Opon, r=0.03, s=0.5, =0.5, S 0 =90.0, K=100.0, 10,000 Samples 3

33 5 Anwendung des Imporance Samplng n der Oponsbewerung 5.1 Plan Call Opon Um de Mehode des Imporance Samplng am enfachen Bespel zu demonsreren, sollen an deser Selle Plan Vanlla Call Oponen mels Imporance Samplng bewere werden. Wel es für deses Problem beres ene analysche Lösung gb, kann man de Mehode und deren Effzenz lech nachvollzehbar darsellen und de ermelen Schäzer auf hre Unverzerrhe hn überprüfen. Im Deal werden ver Heursken, den opmalen Drf zu besmmen, geese. 33

34 Heursk 1 Der opmale Drf d op wrd so gewähl, dass der Erwarungswer der sch uner desem Drf ergebenden Verelung der ermnal Sock Prces glech dem Srke Prce K s. K 1 d op = Log S0 Des ensprch der Heursk, dass (uner geegneen echnschen Bedngungen) de Wahrschenlchke enes raren Eregnsses ungefähr glech der Wahrschenlchke des wahrschenlchsen Pfades zu desem Eregns s 18,19, uner der Annahme, dass de unmelbare Umgebung von K de für de Oponspresbldung maßgeblchse Regon darsell 0. Heursk De Volalä des Underlyng geh be der Besmmung des opmalen Drf uner Heursk 1 nch en. Sowohl analysch, als auch m prakschen Versuch zeg sch jedoch, dass en funkonaler Zusammenhang zwschen Volalä und opmalem Drf beseh. Des, und de asache, dass Heursk 1 we sch späer zegen wrd generell enen zu gerngen Drf ergb, haben dazu geführ, Heursk zu enwckeln. Lau Heursk wrd der opmale Drf d op so gewähl, dass der Medan der sch uner desem Drf ergebenden Verelung der ermnal Sock Prces glech dem Srke Prce K s. K 1 d op = Log + 0.5σ S0 18 vgl. Glasserman, Hedelberger und Shahabuddn (1999a) 19 vgl. Glasserman, Hedelberger und Shahabuddn (1999b) 0 vgl. Broade (000) 34

35 Heursk 3 Im Falle der Smulaon ener europäschen Call Opon läss sch de Varanz ener Schprobe θ des Imporance Samplng Schäzers we folg darsellen: Var(θ ) = e r K ( S K) L( S ) f ( S ) ds e r K ( S K) f ( S ) ds Das Mnmum deser Funkon s allerdngs nch auf analysche Wese besmmbar (durch Dfferenzeren und Nullsezen). Für de n desem Bespel gewähle Verelung, uner der de Samples generer werden sollen, und der sch daraus ergebenden Imporance Funkon läss sch de Varanz ener Schprobe θ, we folg, darsellen: Var( θ ) = r ( e ( S ) K) K S S 0 r d σ ( d 0.5σ ) ( r 0.5σ ) ) σ e LogN( S ) ds e r K ( S K) LogN( S ) ds Herbe bezechne LogN ( ) de Log-Normalverelung m Melwer Log( S ) + r 0. σ und Varanz σ. 0 5 Dese Funkon häng von ver Parameern ab. Var( θ ) = f ( r, σ,, K / S0) Der Enfluss von r s herbe allerdngs größenels vernachlässgbar. 35

36 Mels enes numerschen Näherungsverfahrens wurde für enen ausgewählen Berech der übrgen Parameer σ,, K / S ) be r = en ensor opmaler Drfwere errechne. Deser ( 0 ensor beseh aus Koordnaenpunken. Der Berech wurde we folg gewähl: σ = ; = ; K S 0 = e.. e Es wurden also 177,147 Daensäze der Form σ,, K / S, d } ermel. Aus desen Daen wurde de Regressonsfunkon { 0 op Log( K / S0) d op = V geschäz, deren Gesal und Koeffzenen de Summe der Fehlerquadrae mnmeren sollen. De geschäze Varanz enes Regressweres s herbe Var ( (,, )) = d op Heursk 4 Der opmale Drf wrd mels enes numerschen Näherungsverfahrens besmm. Da m Zuge von prakschen Smulaonen de Funkon der Schprobenvaranz n Abhänggke des gewählen Drf kenen ausschleßlch konvexen Verlauf aufwes, wurde um ene akzepable Performance be vorgegebener Genaugke zu errechen ene Kombnaon aus Verfahren angewand. Im ersen el wrd, von Drf glech Null ausgehend, n dskreen Schren der Drf erhöh und jewels mels ener klenen Schprobe de Varanz des Schäzers ermel. Sobald be enem Drf-Nveau de Varanz zu segen begnn, wrd, von desem Punk ausgehend, der zwee el der Näherung durchgeführ. 36

37 Sowohl bem jewels beracheen Drf, als auch für zwe n sener Umgebung befndlchen Drf- Were wrd mels ener größeren Schprobe de Varanz besmm. Aufgrund deser Informaon wrd enscheden, ob enweder der berachee Drf verschoben wrd, oder, ob sene Umgebung für den nächsen Schr engeschränk wrd. Des wrd solange wederhol, bs de Varanz des Schäzers bem beracheen Drf m den Varanzen der Schäzer be den Drf-Weren n sener Umgebung m ener defneren Genaugke überensmm. De Schproben, de zur Ermlung der Schprobenvaranzen herangezogen werden, sammen nch aus ener zufällgen Zehung, sondern werden deermnssch generer, sodass de Momene der erhalenen Schprobe maxmal m den Momenen der zugrungelegenden Verelung überensmmen. De Smulaon wrd quas mels perfek Srafed Samples durchgeführ, respekve ähnel de Smulaon ener numerschen Inegraon. 1 1 Deals snd dem m Anhang B befndlchen c - Code zu ennehmen. 37

38 In nachsehender abelle 1 s für unerschedlche Parameerkonsellaonen de heoresche Varanz ener gewöhnlchen Mone Carlo Smulaon angeführ. Danach folg jewels der heoresch opmale IS-Drf, de heoresche Varanz ener IS-Smulaon uner dem opmalen Drf und der Quoen aus heorescher MC-Varanz und heorescher IS-Varanz. Alle Ergebnsse wurden mels enes analyschen Näherungsverfahrens ermel, das de angegebene Genaugke der Were garaner (vgl. m Heursk 3). Versuch heoresche Ergebnsse (analysche Näherungen) # r s S 0 K s MC d op s IS s MC /s IS E-0 3.1E E E E E-01.03E E E E-0.06E E E E-01.97E E E-05.38E E-11.8E E E E E E E E-0.79E E E E E E+01.43E E E E E-01.79E E E E-01.74E E E E E E E E E E E E-01.03E E E+0 4.3E E+00.35E E E E E E E-01.58E E E E E E E-01.01E E E E+03.33E E+0.55E E E-01.4E+0.03E+01 abelle 1; Parameerkonsellaonen für Plan Vanlla Opon Prcng nkl. heorescher Ergebnsse 38

39 Für obge Versuche s n unen sehender abelle de Schprobenvaranz enes Mone Carlo Schäzweres dargesell. Danach folgen für de enzelnen Heursken jewels de ermelen opmalen Drfwere, de sch daraus ergebenden Schprobenvaranzen und de Effzenz des Schäzers uner Bedachnahme der benögen Rechenze. Alle Smulaonen wurden m dem glechen Se an Zufallszahlen jewels 50 mal hnerenander m 500,000 Samples durchgeführ. # s MC d H1 s H1 eff H1 d H s H eff H d H3 s H3 eff H3 d H4 s H4 eff H E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E abelle ; Effzenz der Varanzredukon von Heursken 1 bs 4 In obger abelle s de Effzenz folgendermaßen gegeben: σ σ H effh = MC H MC In allen Versuchen wurden, von Malab (Verson ) erzeuge, sandardnormalverele Zufallszahlen verwende. 39

40 De grau unerlegen Enräge n abelle haben folgende Bedeuung: Versuch # Her wrd uner den Heursken 1, und 3 der Drf überschäz. Des führ zu enem verzerren Schäzer und ener sehr gerngen Schprobenvaranz (sehe Abbldung 3). Heursk 3 könne adaper werden, ndem man den Berech für den de Regressonsfunkon geschäz wurde, erweer. Be Heursk 1 und leg de Vermuung nahe, dass deren Ergebnsse zwar über enen ween Berech zu ener Varanzredukon führen, allerdngs nch asymposch opmal snd. Versuch #5 Der Srke Prce K wurde so we enfern vom Anfangswer S 0 des Underlyng angenommen, dass be der Mone Carlo Smulaon ken enzger Prespfad oberhalb von K endee. Des führe zu enem Oponspres von Null und ener Schprobenvaranz von Null. En Verglech der Schprobenvaranzen war deshalb nch möglch. Versuch #19 De gernge Effzenz komm dadurch zusande, dass be Heursken 1, und 3 der Drf unerschäz wrd. Ansonsen gelen selbge Anmerkungen we für Versuch #. 40

41 Es zeg sch, dass Heursk 3 nnerhalb des Berechs, der für de Schäzung der Regressfunkon herangezogen wurde, endeug überlegen s. De Abwechungen des Regressweres von der heoresch bes möglchen Wahl für den Drf snd nnerhalb deses Berechs mnmal und der Rechenaufwand zur Ermlung des Regressweres s zu vernachlässgen. Enzg der enmalge Rechenaufwand, der zur Ermlung der Regressfunkon m voraus gelese werden muss, und de auf enen m vorhnen defneren Berech beschränke Anwendbarke fallen negav ns Gewch. In der prakschen Anwendung dürfe des allerdngs kaum enen Nachel darsellen, da de Bewerung von Fnanzeln mes auch nur n m vorhnen bekannen Berechen der Aussaungsmerkmale benög wrd. Für belebge Parameerkombnaonen lefer Heursk 4 das bese Ergebns (man vergleche de Schprobenvaranzen von abelle m der jewels heoresch mnmal errechbaren Varanz aus abelle 1). Der relav große, fxe Rechenzeanel zur Ermlung des Drf sell allerdngs be klenem Schprobenumfang en Problem dar. De Effzenz häng durch den großen fxen Rechenzeanel n hohem Maße vom Schprobenumfang ab. Heursk 1 und besechen zwar durch hre Enfachhe, allerdngs nuzen se nch das volle Poenal der möglchen Varanzredukon aus und führen be exremen Parameerkombnaonen zu unbrauchbaren Ergebnssen. Im Fall ener Unerschäzung des Drf ergb sch ledglch ene schleche Effzenz der Smulaon. Doch wrd der Drf (we be Versuch #) überschäz, s en verzerrer Schäzer de Folge. 3 Des wäre unragbar. 3 vgl. Kapel 4.; Abbldung 3 41

42 5. Dscree European Average Rae Call Opons Zur Bewerung von arhmesch gemelen asaschen Oponen bee sch üblcherwese ene Smulaon mels Conrol Varaes an, da der Pres geomersch gemeler asascher Oponen analysch besmm werden kann, und de Prese deser beden Oponsypen be ansonsen glecher Aussaung ene exrem hohe Korrelaon aufwesen. Im Falle von zusäzlchen Aussaungsmerkmalen ener Asan Opon, we zum Bespel Barrers, dskreen Beobachungszepunken, nch konsanen Dvdendenzahlungen des Underlyng oder der Möglchke der vorzegen Ausübung (Amercan Feaured Opons), kann sch de Korrelaon zu ener Plan Vanlla Asan Opon deulch verrngern. Je eher des der Fall s, deso mehr bee sch Imporance Samplng als Alernave an. Be deep ou of he money Plan Asan Opons erschen ene Kombnaon beder Mehoden (Imporance Samplng uner Verwendung ener Konrollvarable) velversprechend. Der Erfolg be der Varanzredukon häng her wederum von der rchgen Wahl des Drf ab. Im Folgenden sollen ähnlch Kapel 5.1 ver Heursken zur Besmmung des opmalen Drf geese werden. Heursk 1, und 3 ensprechen denen n Kapel 5.1 m der Ausnahme, dass, ansa den Srke Prce K als Zenrum der ermnal Sock Prces zu berachen, K S0 herangezogen wrd. Das gescheh, wel de Dfferenz aus Srke Prce und Durchschn des Prespfades ausgezahl wrd, ansa der Dfferenz aus Srke Prce und ermnal Sock Prce. Der Durchschn der Presvorfälle des mos lkely pah n Rchung K S0 ergb angenäher K. Des s n Abbldung 4 dargesell. 4

43 S d K S0 K S 0 0 Abbldung 4; Schemasche Darsellung enes mögl. mos lkely pah ener Asan Opon IS - Smulaon Es s zu beachen, dass der n Abbldung 4 (& Abbldung 5) dargeselle Prespfad nur angenäher durch ene Gerade dargesell werden kann. In Wahrhe wes er enen logarhmschen Verlauf auf. Des s auch der Grund, warum der Durchschn der Presvorfälle des mos lkely pah n Rchung K S0 nur angenäher K ergb. Heursk 4 ensprch der aus Kapel 5.1 m Ausnahme dessen, dass ansa mels ener deermnsschen Folge m glechblebenden Pseudozufallszahlen de Varanz der enzelnen Smulaonen besmm wrd. Des gescheh aufgrund der hohen Dmenson der Problemsellung und des sch ansonsen ergebenden überproporonalen Rechenaufwandes. 43

44 Zusammenfassend se also dargesell: Heursk 1 Der opmale Drf d op wrd so gewähl, dass der Erwarungswer der sch uner desem Drf ergebenden Verelung der ermnal Sock Prces glech K S0 s. K S 1 d op = Log 0 S0 Heursk Der opmale Drf d op so gewähl, dass der Medan der sch uner desem Drf ergebenden Verelung der ermnal Sock Prces glech K S0 s. K S0 1 d op = Log + 0.5σ S0 Heursk 3 Für de n Kapel 5.1 geschäze Regressonsfunkon wrd ansa K de Funkon K S0 engesez. Log((K S0) / S0 ) d op = V 44

45 Heursk 4 Im ersen el wrd von Drf glech Null ausgehend, n dskreen Schren der Drf erhöh, und jewels mels ener klenen Schprobe de Varanz des Schäzers ermel. Sobald be enem Drf-Nveau de Varanz zu segen begnn, wrd, von desem Punk ausgehend, der zwee el der Näherung durchgeführ. Sowohl bem jewels beracheen Drf, als auch für zwe n sener Umgebung befndlchen Drf- Were wrd mels ener größeren Schprobe de Varanz besmm. Aufgrund deser Informaon wrd enscheden, ob enweder der berachee Drf verschoben wrd oder, ob sene Umgebung für den nächsen Schr engeschränk wrd. Des wrd solange wederhol, bs de Varanz des Schäzers bem beracheen Drf m den Varanzen der Schäzer be den Drf-Weren n sener Umgebung m ener defneren Genaugke überensmm. De Schproben, de zur Ermlung der Schprobenvaranzen herangezogen werden, sammen aus ener zufällgen Zehung. Für alle Smulaonen wrd der gleche Se an Zufallszahlen verwende. 45

46 Für folgende Parameerkonsellaonen wurden Versuche durchgeführ: # r s S 0 K abelle 3; Parameerkonsellaonen für European Average Rae Call Opon Prcng Be allen Versuchen wrd der durchschnlche Akenpres aus den Presvorfällen zu jewels 50 Berachungszepunken geblde, de über de Laufze äqudsan verel snd. 46

47 Für obge Versuche s n unen sehender abelle 4 de Schprobenvaranz enes Mone Carlo Schäzweres dargesell. Danach folgen für de enzelnen Heursken jewels de ermelen opmalen Drf-Were, de sch daraus ergebenden Schprobenvaranzen und de Effzenz des Schäzers uner Bedachnahme der benögen Rechenze. Alle Smulaonen wurden m dem glechen Se an Zufallszahlen jewels fünfmal hnerenander m 50,000 Samples durchgeführ. # s MC d H1 s H1 eff H1 d H s H eff H d H3 s H3 eff H3 d H4 s H4 eff H abelle 4; Effzenz der Varanzredukon von Heursken 1 bs 4 In obger abelle 4 s de Effzenz folgendermaßen gegeben: σ σ H effh = MC H MC Obwohl Heursk 4 fas durchgehend zur höchsen Varanzredukon führ, s de Effzenz mes uner der, der anderen Mehoden. Des begründe sch n dem großen Rechenaufwand zur 47

48 Ermlung des opmalen Drf (für jeden Ieraonsschr muss pro Prespfad de gewünsche Anzahl an Samples generer und ausgewere werden). Da deser Aufwand allerdngs konsan und som vom Schprobenumfang der egenlchen Smulaon unabhängg s, verbesser sch de Effzenz (m Gegensaz zu den anderen Mehoden) m wachsender Schprobengröße seg. Be Heursk 1 und zeg sch wederum, dass deren Ergebnsse nur über enen besmmen Berech an Parameerkombnaonen zu befredgenden Ergebnssen führen. Heursk 3 führ be obgen Versuchen zu den verlässlchsen Ergebnssen. Obwohl es den Anschen ha, dass der Drf generell ewas zu hoch geschäz wrd, zeg sch doch, dass be asaschen Oponen de Ergebnsse der Drfermlung für Plan Vanlla Oponen auf de gezege Wese genuz werden können. De Parameer be desen Versuchen (abelle 3) wurden wenger exrem gewähl, als jene n Kapel 5.1 (abelle 1). Se befnden sch som nch, oder nch so we we n Kapel 5.1, außerhalb des Bereches, für den de Regressonsfunkon ermel wurde. Daher ensanden be deser Versuchsrehe kene Ausreßer. De Erkennns, dass sch Ergebnsse von Plan Vanlla Oponen anwenden lassen, könne auch zu ener Modfkaon von Heursk 4 genuz werden, ndem man de rechennensve numersche Näherung für ene ensprechende Plan Vanlla Opon durchführ (zumndes am Begnn). Der Aufwand würde dadurch exrem verrnger werden. Im Rahmen deser Arbe s des allerdngs nch berückschg. 48