1.1: Magnetfeldmessung

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1 1.1: Magnetfeldmessung Anton Konrad Cyrol Andreas Kleiner Matr-Nr.: Matr-Nr.: Betreuer: Patrick Nonn Versuch durchgeführt am: Abgabedatum: PHYSIKALISCHES PRAKTIKUM FÜR FORTGESCHRITTENE Hiermit versichern wir das vorliegende fortgeschrittenen Praktikumsprotokoll ohne Hilfe Dritter nur mit den angegebenen Quellen und Hilfsmitteln angefertigt zu haben. Alle Stellen, die aus Quellen entnommen wurden, sind als solche kenntlich gemacht. Diese Arbeit hat in gleicher oder ähnlicher Form noch keiner Prüfungsbehörde vorgelegen. Darmstadt, den Anton Konrad Cyrol Andreas Kleiner

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 2 Theoretische Grundlagen Hall-Effekt Magnetismus Ferromagnetismus Elektromagnetismus Dipolmagnet Quadrupolmagnet Bewegung geladener Teilchen im elektromagnetischen Feld Versuchsaufbau 5 4 Versuchsdurchführung & Auswertung Allgemeines zu den Messungen Remanenzgradientenprofil Gradientenprofile bei angelegtem Spulenstrom Bestimmen der magnetischen Länge des Quadrupols Strom-Gradienten-Kalibrierung Magnetfeld des Platinensteerers Anzahl der Windungen des Steerers Fazit 9 1

3 1 Einführung Magnetfelder spielen bei der Konstruktion von Teilchenbeschleunigern eine wichtige Rolle. Sie sind z.b. für den Strahltransport unerlässlich. Dipolmagnete werden zur Strahlablenkung genutzt, Quadrupolmagnete zur Fokussierung des Strahls. In diesem Versuch sollen verschiedene Magnetfelder vermessen und ihr Einfluss auf den Strahl untersucht werden. Dabei wird das Gradientenprofil eines Quadrupols und das Magnetfeld eines Steerers vermessen. 2 Theoretische Grundlagen 2.1 Hall-Effekt Fließt Strom durch einen Leiter, der senkrecht zur Stromflussrichtung von einem Magnetfeld durchsetzt ist, dann tritt senkrecht zum Magnetfeld und senkrecht zur Stromflussrichtung eine Spannung auf, die nach Edwin Hall benannte Hall- Spannung U H. Diese soll im Folgenden berechnet werden. Dazu wird von einem rechteckigen Leiter ausgegangen. Dieser sei in z-richtung beliebig ausgedehnt, in x-richtung habe er die Dicke d und in y-richtung die Breite b. Der Strom fließe in z-richtung und das homogene Magnetfeld B zeige in negative x-richtung. Auf die Ladungsträger mit Geschwindigeit v wirkt die Lorentzkraft F L = q v B = qv e z B e x = qv B e y. (1) Durch die inhomogene Ladungsträgerverteilung entsteht ein elektrisches Feld. Gleichgewicht stellt sich ein, wenn die elektrostatische Kraft F E = q E (2) und die Lorentzkraft (1) gleich groß sind. In erster Näherung kann davon ausgegangen werden, dass das elektrische Feld homogen ist. Dann gilt E = U H e b y. Wobei U H die durch die Lorentzkraft bedingte Potentialdifferenz bzw. Hall-Spannung bezeichnet. Gleichsetzen von (1) und (2) liefert zusammen mit der letzten Gleichung: Daraus folgt sofort qv B e y = q U H b e y. (3) U H = bv B. (4) Da die Ladungsträgergeschwindigkeit v im Experiment kaum zugänglich ist, soll diese durch den elektrischen Strom ausgedrückt werden. Mit der Ladungsträgerdichte n und der Querschnittsfläche A = bd gilt für den Strom I = (nq) (bd)v. (5) Umformen von Gl. (5) nach v und Einsetzen in Gl. (4) ergibt U H = 1 IB nq d IB = R H d. Wobei im letzten Schritt die materialspezifische Hall-Konstante R H = 1 eingeführt wurde. nq (6) 2.2 Magnetismus Ferromagnetismus Diese Form des Magnetismus tritt bei Eisen, Nickel und Kobalt, sowie bei Legierungen dieser Elemente auf. Ferromagnetismus ist eine Form des Magnetismus, bei der sich die magnetischen Dipole entlang eines von außen angelegten magnetischen Feldes ausrichten und nach Abschalten des Feldes diese Ausrichtung teilweise beibehalten. Diese verbleibende Restmagnetisierung wird Remanenz genannt. Ferromagnetismus beruht auf einer quantenmechanischen Wechselwirkung der Dipole untereinander, wodurch mehrere Dipole sog. Weißsche Bezirke bilden. Innerhalb eines solchen Bezirks sind alle Dipole gleich ausgerichtet. Ein typisches Verhalten ferromagnetischer Stoffe ist die Hysterese. Wird ein äußeres Feld H angelegt, steigt der Betrag der magnetischen Flussdichte B innerhalb des Materials. Bei anschließender Verringerung von H zeigt die magnetischen Flussdichte nicht den gleichen Verlauf wie beim Anstieg. Eine typische Hysteresekurve ist in Abb. 1 gezeigt. 2

4 Abbildung 1: Typische Hysteresekurve eines ferromagnetischen Materials. Quelle: abgerufen am Elektromagnetismus Die Grundlage für den Elektromagnetismus bilden die Maxwell-Gleichungen: ( B)(x, t) = 0 ( E)(x, t) = B (x, t) t ρ(x, t) ( E)(x, t) = ε 0 E ( B)(x, t) = µ 0 j(x, t) + ε 0 µ 0 (x, t) t Die vierte Gleichung ist das Ampèresche Gesetz in differentieller Form. In Integraler Form lautet es bei verschwindender zeitlicher Änderung des elektrischen Flusses: A H ds = A (7) j da (8) Demnach rufen Stromdichteverteilungen magnetische Felder hervor. Die wird ausgenutzt, um Elektromagnete zu konstruieren. Das Magnetfeld einer Spule kann durch einen Eisenkern weiter verstärkt werden Dipolmagnet Dipolmagnete haben je einen Süd- und einen Nordpol. Eine Bauform für Dipolmagnete, wie sie bei Beschleunigern zum Einsatz kommt, ist der sog. C-Magnet. Dabei ist der ferromagnetische Kern C-förmig. Eine Skizze ist in Abb. 2 zu sehen. Durch Variation des Stromflusses kann die Stärke des Magnetfeldes gesteuert werden. Zur Strahlablenkung ist ein homogenes Feld zwischen den Polschuhen gewünscht, die zu diesem Zweck flach ausgelegt werden. Das Ampèresche Gesetz liefert für den in Abb. 2 eingezeichneten Integrationsweg Quadrupolmagnet B 0 = µ 0N I s 0 (9) Quadrupolmagnete verfügen über je zwei Nord- und Südpole, die gegenüber angeordnet sind, wie in Abb. 3 zu sehen ist. Diese Magnete werden eingesetzt um den Strahl zu fokussieren. Sie haben die Eigenschaft, dass sie Teilchen, die in einer Ebene fokussieren, aber in einer Ebene, die 90 dazu steht, defokussiert. Daher werden zwei oder drei um 90 gedrehte Quadrupole hintereinander eingesetzt um den Teilchenstrahl zu fokusieren. Die Ausdehnung des Strahls in Richtung der Ebene, die im ersten Quadrupol fokussiert wird, ist im Zweiten geringer. Das hat zur Folge, dass der Strahl im zweiten Quadrupol in dieser Ebene weniger strark defokussiert wird. Ausführen der Integration entlang des in Abb. 3 eingezeichneten Weges ergibt für den Gradienten g g = 2µ 0N I r 2 0 (10) 3

5 Abbildung 2: Skizze eines Dipols mit Integrationsweg. Quelle: Versuchsanleitung zu diesem Versuch Abbildung 3: Skizze eines Quadrupols mit Integrationsweg. Quelle: Versuchsanleitung zu diesem Versuch 2.3 Bewegung geladener Teilchen im elektromagnetischen Feld Auf geladene Teilchen wirkt die elektrostatische Kraft (Gl. (2)) und die Lorentzkraft (Gl. (1)). Addieren der beiden Kräfte ergibt F = q E + v B (11) In Teilchenbeschleunigern werden Teilchen auf hohe Energien beschleunigt. Sie haben daher eine Geschwindigkeit v, die der Lichtgeschwindigkeit sehr nahe kommt (v c). Aus Gleichung (11) ist ersichtlich, dass für E c B (12) das elektrische Feld nur eine geringfügige Kraft ausübt. Daher werden meist Magnetfelder benutzt, um Teilchen abzulenken. Folglich wird auch für die nachfolgende Rechnung angenommen, dass im Laborsystem ein reines Magnetfeld existiert. Es wird ein neues, rechtwinkliges Koordinatensystem (x, y, s) eingeführt, dass die Teilchenbahn relativ zur Sollbahn angibt. Diese ist im einfachsten Fall (Linearbeschleuniger) eine Gerade. Das Teilchen bewege sich näherungsweise auschließlich in Richtung der Sollbahn v = (0, 0, v ). Das Magnetfeld sei durch B = (B x, B y, B s ) gegeben. Dann gilt für die Kraft auf das Teilchen nach Gl. (11) und der Annahme, das Gl. (12) erfüllt ist näherungsweise F q v B 0 = q 0 v v B Y = q v B x. 0 B x B y B z (13) Da ein geladenes Teilchen im Magnetfeld bekannterweise einer Kreisbahn folgt, ist der Lorentzkraft (13) die Zentrifugalkraft F Z = mv 2 e r = pv e R r entgegengerichtet. Gleichsetzen der x-komponente liefert für den inversen Radius R Taylor-Entwicklung der rechten Seite um den Ursprung ergibt q p B y = q p B y(0) 1 + q p 1 R = q p B y. (14) db y d x (0) x + 1 d 2 B y 2! d x 2 (0) x (15) Den erste Term in Gl.(15) ist der Dipol-Term: q p B y(0) = 1 R. (16) 4

6 Der zweiter Term entsprichte dem Quadrupol-Term: q dby (0) x = g x (17) p dx Sind nur Dipol- und Quadrupolmomente vorhanden, so wird von linearer Strahloptik gesprochen, da die Kraft auf das Teilchen nur linear mit dem Abstand zur Sollbahn zunimmt. Das Dipolmoment dient zur Strahlablenkung, das Quadrupolmoment zur Strahlfokussierung. 3 Versuchsaufbau Der Versuchaufbau ist in Abb. 4 zu sehen. Er besteht aus der Positioniereinheit einer alten CNC-Fräße, an der eine HallSonde befestigt ist, einem Quadrupolmagneten (der Firma LINTOTT Engineering Ltd.) und einem Platinensteerer aus dem S-DALINAC. Zur Versorgung der Spulen der beiden Magneten stehen zwei Netzteile zur Verfügung. Die Auswertung der Messdaten geschieht über einen Computer, an dem ein Step Motor Controller angeschlossen ist. Dieser dient der 1 mm. Steuerung der Schritte der Schrittmotoren, über welche die Sonde bewegt wird. Ein Schritt entspricht 100 Abbildung 4: Versuchsaufbau. Im linken und mittleren Bildbereich ist die Positioniereinheit zu sehen. Auf dieser befindet sich der Steerer. Der Quadrupol befindet sich innerhalb der roten Ummantelung. 4 Versuchsdurchführung & Auswertung 4.1 Allgemeines zu den Messungen Bevor die Messung durchgeführt wurde, wurde eine Abschirmung an der Sonde angebracht und diese kalibriert. Zur Vermessung der Gradientenprofile wurde die Sonde zuerst positioniert, d.h. an den Rand des Quadrupols gefahren. Der Punkt (1, 1) im Koordinatensystem entspricht dieser eingestellten Position. Die positive x-richtung zeigt in den Quadrupol hinein und entspricht auch der Richtung, in die sich der Strahl bewegt. Die positive y-richtung zeigt nach rechts, und die positive z-richtung nach unten. Zu den Messungen am Quadrupol Die Gradientenprofile wurden alle in der x-y-ebene auf halber Höhe vermessen. Gemessen wurde die z-komponente des Magnetfeldes Bz. Für jeden Strom wurden 20 Messpunkte in y-richtung und 36 Messpunkte in x-richtung gesetzt, d.h. es wurden für jeden Strom 720 Messungen durchgeführt. Der Abstand zwischen zwei Messpunkten in x-richtung entspricht 0.5 cm. In y-richtung liegt der Abstand der Messpunkte bei 2 mm. 5

7 4.2 Remanenzgradientenprofil Zuerst wurde das Remanenzgradientenprofil gemessen, d.h. der Spulenstrom lag bei I = 0 A. Das hier gemessene Magnetfeld rührt aus der Restmagnetisierung des Quadrupols. Für das Magnetfeld gilt B z = g y (18) mit dem Gradienten g. Für jeden x-wert wurde der Gradient aus einem linearen Fit der Messwerte bei unterschiedlichen y ermittelt, d.h. die Koordinate x wurde fixiert. Das damit erhaltene Profil ist in Abb. 5 zu sehen. Es zeigt den erwarteten Verlauf mit einem, für das Innere des Quadrupols typischen, Platteau und abfallendem Gradienten im Randbereich. Weiterhin ist eine hohe Symmetrie zu erkennen. Jedoch hätte in x-richtung bis hin zu 200 mm gemessen werden sollen, da der Gradient bei 175 mm noch nicht auf 0 gefallen ist. Das Remanenzgradientenprofils ist stets vorhanden, und muss daher für die Fokussierung des Strahls berücksichtigt werden. Für die Strahldynamik ist das absolute Magnetfeld relevant grad B in mt mm x in mm Abbildung 5: Remanenzgradientenprofil. Zu erkennen ist das Platteau im Inneren und ein Abfallen des Gradienten im Randbereich. 4.3 Gradientenprofile bei angelegtem Spulenstrom Als nächstes wurde das Gradientenprofil bei fünf verschiedenen Spulenströmen gemessen. Das Magnetfeld genügt wieder Gleichung (18). Für den Gradienten gilt Gleichung (10). Die hierfür ermittelten Gradientenprofile sind in Abb. 6 aufgetragen. Die Werte wurden wie beim Remanenzgradientenprofil durch einen linearen Fit der Messwerte in y-richtung ermittelt. Auch hier entspricht der Verlauf dem Erwarteten. Messfehler können durch die Schwingung der Sonde zustande gekommen sein, da diese trotz der Wartezeit von 2 s nach dem Verschieben noch nicht völlig in Ruhe war. Weiterhin hat die Hall-Sonde eine gewisse Ausdehnung, was bedeutet, dass die Auflösung nicht beliebig hoch ist. Da die Fehler, sehr klein sind, kann davon ausgegangen werden, dass diese Faktoren wenig Einfluss hatten. 6

8 12 10 grad B in mt mm I 20 A I 16 A I 12 A I 8 A I 6 A x in mm Abbildung 6: Gradientenprofile bei unterschiedlichen Spulenströmen. 4.4 Bestimmen der magnetischen Länge des Quadrupols Die magnetische Länge ist definiert als gdx L m = g max (19) mit dem Wert des Gradienten auf dem Platteau g max. Da der funktionale Zusammenhang zwischen x und g nicht bekannt ist, kann das Integral direkt gelöst werden, sondern wird numerisch mit der Trapezformel genähert. Dabei werden zwei benachbarte Messpunkte durch eine Gerade verbunden und die Geradengleichung integriert. Dies wird für alle Messpunkte durchgeführt und die Werte anschließend summiert. Daraus ergeben sich die in Tabelle 1 dargestellten Werte für die magnetische Länge nach Gleichung (19). Strom I in A magnetische Länge L m in mm Tabelle 1: Magnetische Länge bei unterschiedlichen Strömen. Durch bilden des Mittelwertes und Berechnen der Standardabweichung erhalten wir für die magnetische Länge L m = (124.4 ± 0.5) mm (20) 7

9 Wie in Abb. 6 zu sehen ist, ist der Gradient bei x = 175 mm noch nicht auf 0 gefallen. Um die magnetische Länge korrekt zu bestimmen, hätte so weit in x-richtung gemessen werden müssen, bis dies der Fall ist. Daher weißen die Werte für L m in der Tabelle, sowie auch der Mittelwert einen systematischen Fehler auf. Die tatsächliche magnetische Länge müsste etwas höher sein. Dennoch liegt der ermittelte Wert nahe an der realen Länge des Quadrupols von L = (120±5) mm und kann daher als realistisch angenommen werden. 4.5 Strom-Gradienten-Kalibrierung Bei der Strom-Gradienten-Kalibrierung wird dem bekannten Spulenstrom der Gradient des Magnetfeldes zugeordnet. Diese Kalibrierung ist notwendig, da das reale Magnetfeld nicht exakt Gleichungen (10) und (18) gehorcht, sondern aufgrund der Remanenz abweicht. Die Kalibrierung wurde anhand der in Tabelle 2 aufgelisteten Werte vorgenommen. Die Werte wurde linear durch ein Model der Form gefittet. Für die Fitparameter ergibt sich g = mi + g 0 (21) mt m = ( ± ) A mm g 0 = ( ± ) mt (23) mm Abb. 7 zeigt die ermittelte Gerade. Die Fehlergrenzen wurden weggelassen, da diese so klein sind, dass sie keine zusätzlichen Informationen liefern. Wie zu sehen ist, liegen alle Punkte auf einer Geraden, was auf sehr genaue Messungen schließen lässt. Strom I in A Gradient g in mt/mm Tabelle 2: Werte zur Strom-Gradienten-Kalibrierung. Die Werte für den Gradienten stammen aus der Messung der Gradientenprofile und entsprechen dem Wert auf dem Platteau. Die Unsicherheit für den Strom ergibt sich aus den Stromschwankungen der Labornetzteile zu I = 0.02 A. Die Unsicherheit für den Gradienten ergibt sich anhand der Ablesegenauigkeit in der Auftragung zu g = 0.02 mt/mm. (22) 12 grad B max in mt mm Strom in A Abbildung 7: Strom-Gradienten-Kalibrierung. 8

10 4.6 Magnetfeld des Platinensteerers In y-richtung wurden die Messpunkte im Abstand von 75 Schritten, in x-richtung im Abstand von 1000 Schritten gesetzt. Das entspricht einem Abstand von 0.75 mm in y-richtung uund 1 cm in x-richtung. Die Messpunkt sind über die gesamte breite des Steerers verteilt und beginnen ca. 2 cm vor dem Steerer und reichen bis ca. 2 cm dahinter, um auch Randeffekte sichtbar zu machen. Der Spulenstrom wurde bei dieser Messung auf das Maximum von I = (5.13 ± 0.005) A eingestellt. Die x-y-ebene wurde nach Augenmaß auf halber Höhe gemessen. Das Magnetfeld wurde aus dem Mittelwert der Messpunkte innerhalb des Rechtecks in Abb. 8 zu B = (7.53 ± 0.05) mt (24) ermittelt. Die Bereiche rechts und links daneben wurden nicht berücksichtigt, da hier Randeffekte auftreten. Gleiches gilt für die Bereiche oberhalb und unterhalb des Rechtecks. Die hier auftretenden Störungen haben ihre Ursache in der nicht akkuraten Wicklung der Spule. Für den feldglatten Bereich wurde eine Abweichung von 2 % festgelegt. Das entspricht B = 7.53 mt 2 % = 0.15 mt. Die obere Grenze ist demnach B max = 7.68 mt, die untere Grenze B min = 7.38 mt. In der Physik ist es zwar üblich Abweichungen von 10 % zu tolerieren, jedoch ist das für den Betrieb eines Beschleunigers unangemessen, da die Teilchen unterschiedlich stark abgelenkt würden. Dadurch würde der Strahl stark aufweiten und möglicherweise in das Strahlrohr laufen. Eine Abweichung von 2 % ist zwar auch nicht ausreichend für den Beschleunigerbetrieb, aber aufgrund der Proportionalität von Strom und Magnetfeld geeignet um einen Strahl auf ein Target zu lenken, wenn der Strahldurchmesser etwas größer sein darf. Eine geringere Abweichung macht aufgrund der Messungenauigkeit keinen Sinn. y in mm x in mm Abbildung 8: Magnetfeld des Steerers. Das schwarze Rechteck markiert den Bereich, der zur Bestimmung des Magnetfeldes herangezogen wurde. Der orangefarbene Bereich in der Mitte entspricht dem feldglatten Bereich. 4.7 Anzahl der Windungen des Steerers Die Anzahl der Windungen des Steerers lässt sich mit der Gleichung B = µ 0 I n (25) berechnen, wobei n = N/l die Anzahl der Windungen pro Länge bezeichnet. Die Länge liegt bei L = (5 ± 0.2) cm, der Strom wurde auf I = (5.13 ± 0.01) A eingestellt. Der Wert des Magnetfeldes liegt bei B = (7.53 ± 0.05) mt, wie in Abschnitt 4.6 berechnet wurde. Einsetzen der Werte liefert die Anzahl der Windungen: N = (58.4 ± 2.4) (26) Der Fehler wurde durch Gaußsche Fehlerfortpflanzung ermittelt. Dieser Wert erscheint sehr realistisch, da wir die Anzahl der Windungen durch Zählen auf ca. 55 abschätzen konnten. 5 Fazit Im Versuch ist es gelungen, einen Steerer und einen Quadrupolmagneten zu vermessen. Die erhaltenen Werte sind besonders für den Quadrupol mit geringen Fehler behaftet, sodass diese als zuverlässig beurteilt werden können. Damit 9

11 ließe sich ein Teilchenstrahl ablenken und fokusieren. Das Magnetfeld, das im Steerer erzeugt wurde, ist jedoch für den Beschleunigerbetrieb, selbst in der Mitte, nicht ausreichend homogen. Der Spulendraht war nicht sehr akkurat gewickelt. Diese Ungenauigkeiten lassen sich in der Form des Magnetfeldes wiedererkennen. Für den Beschleunigerbetrieb müsste demzufolge ein besserer Steerer eingesetzt werden, beispielsweise ein Platinensteerer wie derzeit im S-DALINAC. Die ermittelte magnetische Länge des Quadrupols weißt einen systematischen Fehler auf, der durch eine erneute Messung, bei der zusätzlich der hintere Randbereich gemessen wird, behoben werden kann. Trotz dieses Fehlers liegt die erhaltene magnetische Länge im Bereich der realen Länge. Literatur [1] Russenschuck, S.: Electromagnetic Design of Accelerator Magnets. CERN, Genf, Schweiz o.j.. [2] Schmidt, Rüdiger: Vortrag: Magnetfelder und Teilchenfokusierung. Darmstadt [3] Wille, Klaus: Physik der Teilchenbeschleuniger und Synchrotronstrahlungsquellen. Dortmund o.j.. 10