F (t) m Asin t. D konst. y(t) bzw. s(t)

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1 9.7 Lineare Kraftgeetz Bei einer Schwingung wirkt zu jede Zeitpunkt eine Kraft, die die chwingende Mae ier wieder in ihre uhelage zurückzieht. Diee Kraft nennt an ücktellkraft F. Nach de. Newtonchen Geetz gilt allgeein: F (t) F a(t) a(t) F (t) a(t) it a(t) (t) A in t folgt: und oit gilt: F (t) Ain t Dkont. y(t) bzw. (t) F (t) D (t) Da die bechleunigende Kraft bei der haronichen Schwingung der Elongation entgegengerichtet it (Minuzeichen) nennt an ie ücktellkraft. Lineare Kraftgeetz D u eine Sytekontante. bezeichnet an al die ichtgröße de chwingenden Syte, e handelt ich dabei Au folgt: 4 T T D T D Schwingungdauer Merke: Eine haroniche Schwingung it genau dann haronich, wenn da lineare Kraftgeetz gilt. haroniche Schwingung lineare Kraftgeetz 1

2 9.8 Differenzialgleichung der haronichen Schwingung Au de linearen Kraftgeetz F a(t) F (t) folgt it Hilfe de. Newtonchen Geetze: a(t) D (t) it a(t) v(t) (t) folgt oit: (t) D (t) Durch eine kleine Uforung erhält an chließlich die Differenzialgleichung der ungedäpften haronichen Schwingung: (t) D(t) Da Löen einer Differenzialgleichung it in der egel eine recht heikle Sache. Aber nicht für un! Geucht it alo eine Funktion (t), welche die obige Differenzialgleichung erfüllt. Löunganatz: (t) Ain t hierau folgt: (t) A co t (t) A in t (t) etzt an diee Beziehung in die Differenzialgleichung ein, o folgt: (t) D(t) (t) D(t) D (t) Da (t) nicht für alle Zeiten t gleich Null it u ein, alo: D D T D

3 9.9 Überprüfung der Gültigkeit de linearen Kraftgeetze a vertikalen Federpendel (Schwere-Federpendel) FD FD uhelage entpannte Feder belatete Feder zuätzliche Aulenkung der Feder u Die Schraubenfeder (Federkontante D) it zunächt entpannt. Wird nun an die Schraubenfeder ein Körper der Mae gehängt, o wird ie durch deen Gewichtkraft g u die Strecke gedehnt (vorgepannt). Für die Gleichgewichtlage de Pendel gilt: FD D g D g 1 Lenkt an nun den Pendelkörper zuätzlich u die Strecke au, o veretzt an e in vertikale Schwingung. Die nach unten gerichtete Gewichtkraft F G bleibt kontant, während ich die elatiche Federkraft F D it der Dehnung ändert. Für die rücktreibende Kraft F gilt: darau folgt dann: F FD F D g 1 F D D g g D g D F F D D Da Minuzeichen beagt dabei, da die Kraft von der Feder elbt aufgebracht wird. (Die Gewichtkraft it poitiv, da ie von außen aufgebracht wird!) Die Mae der Feder bleibt dabei unberückichtigt! Merke: Bei einer Einzelfeder it die Federkontante D identich it der ichtgröße D de Federpendel. Lineare Kraftgeetz 3

4 Aufgaben: 1. Eine Feder, für die da Hookche Geetz gilt und deren Mae unberückichtigt bleibt wird enkrecht auf eine fete Unterlage angebracht. Auf dieer Feder befindet ich ein Teller deen Mae T vernachläigt werden kann. Diee Tellerfederwaage (eine techniche Anwendung wäre ein Schüttelieb) befindet ich in der uhelage. Legt an nun auf den Teller einen Körper der Mae o wird die Feder u die Strecke getaucht. 1.1 Die Tellerfederwaage hat bei der axialen Belatung it der Mae Max ein axiale Stauchung von Max Teller augelenkt wird wenn an einen Körper der Mae legt? N Teilergebni : D 981 1, kg K, 1,c. Berechnen Sie bi zu welcher Stelle der K 1,5kg auf den Teller 1.. Die Tellerfederwaage wird nun u 1,c nach unten gedrückt und zu Zeitpunkt t logelaen Zeigen Sie zunächt allgeein, da die Tellerfederwaage eine haroniche Schwingung vollführt. 1..Zeigen Sie augehend von der ücktellkraft F D, da gilt: D 1..3Berechnen Sie it Hilfe der Gleichung von 1.. it welcher Frequenz da Syte chwingt? Führen Sie auch eine Einheitenkontrolle durch Unteruchen Sie, ob an it dieer Tellerfederwaage ein Sekundenpendel erhalten könnte? 1..5U welche Strecke üte die Tellerfederwaage indeten nach unten aulenkt werden, dait der Körper i oberen Ukehrpunkt vo Teller abhebt? K uhelage K 4

5 9.1 Kobinationen von Federn Nun werden zwei Federn der Federhärte D 1 und D in eihe bzw. Parallel aufgehängt. eihenchaltung: Bei der eihenchaltung wirkt auf jede Feder die gleiche Kraft F. F F G Ingeat werden die beiden Federn u die Strecke gedehnt. 1 F Au de Hook chen Geetz F D folgt it : D F F F D D1 D Dividiert an die Gleichung noch durch F o folgt: D D1 D und darau chließlich für die Federhärte (ichtgröße) de Syte: D DD 1 D D 1 D 1 D Man kann zeigen, da die Federhärte der eihenchaltung weicher it al die weichte der zwei Federn: D1D D1D Sei D1 D, dann gilt: D D1 D D1 D D D 1 Verallgeeinerung: Für ein Syte au n in eihe gehängten Federn gilt: n 1 1 D D i1 i Parallelchaltung: Bei der Parallelchaltung wird jede Feder u die gleiche Strecke gedehnt: 1 Die Geatkraft F die auf die Federn wirkt verteilt ich auf beide Federn. F F1 F Au de Hook chen Geetz F D folgt oit: D D1 1 D D D1 D Dividiert an die Gleichung noch durch, o folgt für die Federhärte (ichtgröße) de Syte: D D D 1 D1 D Anhand der Forel erkennt an chon, da die Federhärte de Syte härter it al die der härteten Feder. 5

6 Verallgeeinerung: Für ein Syte au n Parallel gehängten Federn gilt: n D Di Die Federhärte entpricht der Steigung der Urprunghalbgeraden i -F-Diagra. Sytee au drei Federn gleicher Federhärte können unterucht werden (eihe; Parallel; Parallel-eihe)! Sytee au n Federn gleicher Federhärte die entweder alle in eihe oder alle Parallel gehängt ind können unterucht werden! i1 Aufgaben:. Gegeben it die nebentehende Anordnung dreier Federn it den Federhärten D1 D und D3 D1. Da Syte chwingt haronich it der Periodendauer T 1,4. Die chwingende Geatae beträgt 5, kg. Die Maen der Federn und der Querverbindung ind zu vernachläigen. A Schwerpunkt der chwingenden Mae wird ein Zeiger angebracht, der die jeweilige t gegenüber der Nulllage anzeigt. Da Aulenkung Syte wird al ungedäpft betrachtet..1 Eritteln Sie zunächt die Federhärten der einzelnen Federn au den gegebenen Daten. N echnen Sie weiter it der ichtgröße D 11.. Die chwingende Mae bewegt ich zu Zeitpunkt t durch die uhelage in negative ichtung...1 Geben Sie die Gleichung für die Aulenkung t it eingeetzten Zahlenwerten an, wenn die Mae zu Zeitpunkt t eine Gechwindigkeit vo Betrag c 71,8 beitzt. c e chnen Sie weiter it v t 71,8 co t,7.. Geben Sie die Gleichung für die ücktellkraft (it eingeetzten Zahlenwerten) al Funktion der Zeit t an und berechnen Sie den Zeitpunkt t, zu de die ücktellkraft zu zweiten al einen Wert von F t 1, N beitzt. D1 D..3 Berechnen Sie die Geatenergie de chwingenden Syte und den Zeitpunkt t 3, bei de die kinetiche Energie de Syte zu dritten al 75% der Geatenergie beträgt. D 3 6

7 Beipiel: Betie die Federkontante der folgenden Anordnung! D1 D Wird der Wagen durch die Kraft F nach recht u die Strecke augelenkt, o treten folgende Gegenkräfte auf. ücktellkraft F 1 der Feder 1 nach link: F1 D1 ücktellkraft F der Feder nach link: F D Für die ücktellkraft F gilt: F F F it D D1 D. 1 F D D 1 F D D D 1 Lineare Kraftgeetz 9.11 Da Fadenpendel Lenkt an einen Pendelkörper der Mae au der uhelage u den Winkel au, o lät ich die Gewichtkraft F G auf den Pendelkörper in eine Koponente F S (Spannkraft) läng de Faden und eine Koponente F (ücktellkraft) in ichtung der Bahntangente zerlegen. Für die ücktellkraft gilt: 1 G F F in g in 3 F g in g l l g F D l g it D l l l T D g g A FS FS F x B Bogen : AB b t F F F G S 1 Da die Aulenkung entgegen der ücktreibenden Kraft gerichtet it. Definition de Winkel i Bogenaß: 1 1 r r r 4 r r r 36 ;18 ; 9 l 7

8 3 Der Sinu eine kleinen Winkel kann durch ein Arguent angenähert werden. E gilt: in x x für ehr kleine Werte von x (FS S.38 B) Der Graph der Sinufunktion verläuft in der Nähe de Koordinatenurprung nahezu identich it der Winkelhalbierenden de I. u. III. Quadranten. Bogen aß 8

9 Welchen relativen Fehler folgenden Graphiken. x in x r(x) an durch diee Näherung acht erhält an au x Bogenaß Bogenaß Experientelle Betiung der Fallbechleunigung g durch een der Periodendauer T und der Länge l de Faden! Bogenaß Gradaß 14,3 8,6 1% 4% relativer Fehler 9

10 Aufgaben: 3. Da Pendel einer Uhr kann durch ein Fadenpendel idealiiert werden. Dabei wird die Mae eine Fadenpendel nach link u den Winkel augelenkt und zu Zeitpunkt t logelaen. Für verchiedene Längen de Pendel wird die Periodendauer T betit. E ergibt ich folgende Mereihe: in,1,15,3,5,75 T in,63,78 1,1 1,4 1,74 F h 3.1 Zeigen Sie, durch graphiche Auwertung der Mereihe, da die Gleichung Tk gilt, wobei k eine Kontante it. Matab :,1 1c;, 1c 3. Eritteln Sie it Hilfe de Diagra von 3.1 die Länge de Pendel, o da an ein Sekundenpendel T 1, erhält. 3.3 Zeigen Sie, durch allgeeine Herleitung, da für die Koordinate F der ücktellkraft gilt: g F, wobei g der Betrag der Fallbechleunigung it. 3.4 Leiten Sie, augehend von der Forel für die Periodendauer der haronichen Schwingung, eine Beziehung zur Berechnung der kontanten k her und berechnen Sie darau den Ortfaktor g. Ergebni : k g 3.5 Wie lange würde e dauern, bi ein Pendel it der Länge,5 gegenüber eine rechnerichen Sekundenpendel u genau eine Sekunde vorgeht? (echnen Sie it g 9,81 ) 3.6 Begründen Sie, waru die Periodendauer T von der Aulenkhöhe h unabhängig it. 3.7 Leiten Sie augehend vo linearen Kraftgeetz die Differentialgleichung für die ungedäpfte haroniche Schwingung her, geben Sie eine Löung dieer Gleichung an und zeigen Sie, da gilt: D 3.8 Ein Pendel der Länge,5 wird u 15 nach link augelenkt und zu Zeitpunkt t logelaen. Berechnen Sie die axiale Gechwindigkeit de Pendel owie den Betrag der Bechleunigung nach einer Zeit von t 1,15. 1

11 9.1 Da U-ohr Ein U-ohr beitzt an jeder Stelle den elben Querchnitt A und it zu Teil it einer Flüigkeit der Dichte gefüllt. Durch Änderung de Druck in eine Schenkel kann die Flüigkeitäule au de Gleichgewicht gebracht werden. Gibt an ie wieder frei, o chwingt die Flüigkeit hin und her. (Von Adhäion- und eibungkräften wird abgeehen) Bei Aulenkung der Flüigkeitäule u die Strecke ergibt ich für die ücktellkraft F : F g Vg A g Berückichtigt an, da F und entgegengeetzt orientiert ind, o folgt: F Ag D A A D it der ichtgröße D Ag kont. Soit it die Schwingung i U-ohr haronich. Für die Periodendauer T folgt: V A T D Ag Ag T g Dabei it die Mae der Flüigkeit und i U-ohr! die ittlere Geatlänge der Flüigkeitäule Aufgaben: 4. Man füllt in ein U ohr it kreiförigen Querchnitt und de Durcheer d 5, Queckilber it der Mae 6g. Durch geeignete Maßnahen wird da flüige Queckilber zu Schwingen gebracht. Die Dichte von Queckilber beträgt kg 13,6. 3 d 4.1 Zeigen Sie, durch nachvollziehbare allgeeine Herleitung (evtl. it Skizze), da die Queckilberäule haronich chwingt, wenn an von eibung-, Adhäion- und Kohäionkräften abieht! 4. Berechne Sie die Periodendauer T der chwingenden Queckilberäule au den unter 4. angegebenen Daten. kg 4.3 Berechen Sie, wie viel Gra Glycerin it der Dichte 1,6 3 in da U ohr eingefüllt werden üte, u dieelbe Schwingungdauer zu erzielen! d 11

12 9.13 Körper in einer Flüigkeit Ein Körper, der an jeder Stelle den elben Querchnitt A beitzt chwit in einer Flüigkeit der Dichte. Durch leichte Anheben bzw. Untertauchen de Körper kann dieer au einer Gleichgewichtlage gebracht werden. Gibt an ihn wieder frei, o chwingt der Körper auf und ab. (Von Adhäion- und eibungkräften wird abgeehen) Ein konkrete Beipiel findet an in der AP 7 Aufgabe II: In eine Gefäß befindet ich eine Flüigkeit der Dichte. In dieer Flüigkeit chwit tabil ein it Bleichchrot bechwerte zylinderförige eagenzgla it der Querchnittfläche A und der Geatae. Auf de eagenzgla it eine Markierung M angebracht, bi zu der da eagenzgla in der Gleichgewichtlage in die Flüigkeit eintaucht. Au dieer Gleichgewichtlage wird da eagenzgla nach oben gezogen und dann logelaen. Nun chwingt da eagenzgla in vertikaler ichtung auf und ab. Gleichgewichtlage Aulenkung nach oben y h M FA y h M F FAo In der Gleichgewichtlage wird die auf da eagenzgla wirkende Gewichtkraft durch die Auftriebkraft kopeniert. E gilt: F G F A g g V g g A h 4 Wird da eagenzgla nach oben augelenkt, dann gilt für die bechleunigende Kraft F: F F F ga h y g gah ga y g g A y Soit gilt: Ao G D g F ga y D y it D g A Alo gilt da lineare Kraftgeetz, da eagenzgla chwingt haronich. Beerkung: Da die Auftriebkraft u da au de Waer angehobene Voluenanteil verringert wird, gilt: F ga h y Für die Periodendauer der haronichen Schwingung folgt oit A o T D Ag 1

13 7 A II 3. Ein Körper, der ich in einer Flüigkeit befindet, erfährt eine Auftriebkraft F A. Der Betrag dieer Kraft F A it genau o groß wie der Betrag der Gewichtkraft der Flüigkeit, die vo Körper verdrängt wird. In eine Gefäß befindet ich eine Flüigkeit it der Dichte. In dieer Flüigkeit chwit tabil ein it Bleichrot bechwerte zylinderförige eagenzgla it der Querchnittfläche A,8c und der Geatae 35g. Auf de eagenzgla it eine Markierung M angebracht, bi zu der da eagenzgla in der Gleichgewichtlage in die Flüigkeit eintaucht. Bei der zugehörigen Eintauchtiefe h halten ich die Gewichtkraft F G de it Bleichrot bechwerten eagenzglae und die auf da eagenzgla wirkende Auftriebkraft da Gleichgewicht. Au dieer Gleichgewichtlage wird da eagenzgla nach oben gezogen und dann logelaen. Nun chwingt da eagenzgla in vertikaler ichtung auf und ab. Die Elongation der Markierung M wird it y bezeichnet (iehe Skizze). Bei der Bearbeitung der folgenden Aufgaben ind Däpfungverlute zu vernachläigen. 3.1 Begründen Sie, da da eagenzgla haronich chwingt, und zeigen Sie, da für die Periodendauer T dieer Schwingung gilt: T Ag eagenzgla Bleichrot Flüigkeit 3.. Da eagenzgla wird nach oben gezogen und zu Zeitpunkt t herau logelaen. E chwingt nun it der Aplitude ŷ au der uhe 3,c und der Schwingungdauer T, Die Elongation y der Markierung M it abhängig von der Zeit t. Betien Sie eine Gleichung it eingeetzten Werten, die diee Abhängigkeit aufzeigt. 3.. Zu Zeitpunkt t befindet ich die Markierung M zu zweiten Mal 1,8c oberhalb der Flüigkeitoberfläche. Berechnen Sie t Betien Sie den Betrag und die ichtung der Gechwindigkeit de eagenzglae für den Zeitpunkt t,5. M h y y^ y 13

14 Weitere Aufgaben 5. Eine Feder dehnt ich bei Anhängen einer Mae von 1 Bei einer angehängten Mae von 1, kg 5g u wird eine Schwingungdauer von 1c. T,9 geeen. Diee it größer al die errechnete, da ein Teil der Federae auch itchwingt, in der Forel aber nicht berückichtigt it. Berechnen Sie die Größe der chädlichen Federae! 6. I ahen de Apolloprogra wurde von den Atronauten folgende Experient auf de Mond zur Betiung der Fallbechleunigung it Hilfe eine Fadenpendel unbekannter Länge durchgeführt: Sie betiten zunächt die Schwingungdauer 1 Pendellänge u 1,36 die Schwingungdauer T 7,. T 4, und nach Verlängerung der Berechnen Sie au dieen Medaten die Fallbechleunigung g M auf de Mond. Hinwei: Mit diee Verfahren lät ich der Einflu der in Abweichung von der Theorie nicht punktförigen Mae auchalten. 7. Man füllt in ein U-ohr vo Durcheer d 3,4 Queckilber der Mae Q 5g kg Q 13,8 3 d. Durch geeignete Maßnahen wird die Queckilberäule zu Schwingen angeregt. 7.1 Zeigen Sie, da die enttandene Schwingung eine haroniche Schwingung it. (Von eibung-, Kohäion- und Adhäionkräften oll abgeehen werden)berechnen Sie die Schwingungdauer dieer Schwingung zuert allgeein, dann peziell au den oben angegebenen Daten! 7. Wie viel Gra Waer üte an an Stelle von Queckilber einfüllen, u dieelbe Schwingungdauer zu erzielen? 7.3 Eine betite Schwingung dieer Anordnung habe die Frequenz f,5hz und die Aplitude A 5,c. Berechnen Sie die Aulenkung, Gechwindigkeit und Bechleunigung 3,7 nach de Durchgang durch die uhelage in poitiver ichtung! 7.4 Stellen Sie die Elongation al Funktion der Zeit t i Zeitintervall t,5 T graphich dar (ohne Berückichtung der eibung). 7.5 Welche Veränderung erfährt der in 3.5 erittelte Graph, wenn von der eibung nicht abgeehen wird? 8. Wie lang u ein Fadenpendel ein, dait e eine Schwingungdauer von genau, beitzt (ogenannte Sekundenpendel )? 14