Mathe für WiWis Lösungen der Quizfragen. 1 Quadratische Ungleichungen. 2 Exponentialfunktion und Logarithmus. 2.1 Umkehrfunktion

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1 Mathe für WiWis Lösungen der Quizfragen Quadratische Ungleichungen I c, d, e, 4 f, 5 g II a, d, e, 4 b III e, b, f, 4 c IV e, a, f, 4 f, 5 b, 6 d V c, d, b, 4 f VI a px x x x x x x x + Es folgt: px hat einheitliches Vorzeichen in den Intervallen,,,,, und, px ist genau in den beiden Intervallen [, ] [, b px x x x x x x x x + x Es folgt: px hat einheitliches Vorzeichen in den Intervallen,,,,, und, px ist genau in den beiden Intervallen [, ] [, Exponentialfunktion und Logarithmus Umkehrfunktion Bei a y sucht man diejenige Basis x mit x a y Bei log a y sucht man denjenigen Exponenten x mit a x y Bei arc cosy cos y sucht man dasjenige Bogenmaß oder den Winkel x mit cosx y Anmerkung: Es gibt eigentlich nicht den Winkel, da cosx als Funktion auf ganz R nicht injektiv ist Anstatt Winkel verwendet man in der Analysis das Bogenmaß x π 6 α αwinkel in Grad Was ist der genaueste Wert? ohne Taschenrechner! log ; ; ; 4; 5; 4 6, 5 log 5 5 ; ; ; 4; 5 gilt exakt, da ; ; ; 4; 5 5, 5 ln9 ; ; ; 4; 5 e e, e 9 log ; 4; 5; 6;, 4 Da fx lnx eine konkave Funktion ist fmittelwert > Mittelwertf, erweist sich 6 als der genauere Wert damit Antwort eindeutig ist, sollte 5 als Option raus Was ist korrekt? lnx lny lnx y; lnx/ lny; lnx/y; lnx + ln/y; keines lnx lny lnx /y ; lnx/y; lnx lny ; lnx/y; keines e x e y e x /y ; e x y ; e x y ; e x e y x ; keines lnx / lny lnx /y ; lnx y ; log x y ; log y x ; keines e x /e y e x y ; e x /y ; e x e y ; e x yx+y ; keines

2 Differentialrechnung Welche Ableitungen sind korrekt? d + x x BinForm d x d x d ProdRegel + x x x x + x + x x x x x x d KettReg x x x x x d BinFormel d x x + x x x x x + x d x d x KettReg QuotReg x x x x BinFormel x x + x nicht: x x + x x x x + x x x d + x x QuotReg x x + x x x x + + x x x x x x + + x x x x falsch: + x x, das wäre dann in der Tat x Welche Ableitungen sind korrekt? d x 5 5 x 5 5 x x 7 x 4 5 x 7 d x ln x Mit ln x lnx : d x ln x d x e +x d + x ln x d + x ln x ProdReg x ln x + x x ProdReg lnx d x + x d lnx ProdReg e +x d + x e +x KettReg e +x + x FktnlGlLog KettReg x +x e + x nicht: x 5 4x 7 x x x x ln x + x ln x+ x lnx x + x x d ln + x ln x x + x d + x x QuotReg nicht: x + e +x ; + x lnx 4 x + nicht: + + x +x e +x, +x +x e +x d ln + x d ln x + x x x + + x x x x + + x + x x + x x x x ; x x x, sondern: x

3 Was ist korrekt? d ux vx wx u v w u v w u vw + u vw u v w + u v w + v w ux v x w x + u x vx w x + u x v x wx ; d ln ue x u e x de x ue x u x vx wx + ux v x wx + ux vx w x u x ux ; u e x ue x ; u e x ue x ex ; uex u e x ex ; u e x u e x ex d ln ux KettReg d u x ux QuotReg u x ux u x u x ux u x ux u x u x ; u x u x ux u x ; u x ux u x u x ; keines d eux d e ux u x d eux u x+e ux d u x e ux u x u x+e ux u x u x e ux ; u x e ux ; u x + u x e ux ; u x + u x e ux 4 Wo liegt der Fehler? Die Ableitungen sind korrekt, aber die Folgerung ist falsch: Aus u x v x folgt nicht ux vx, sondern ux vx + const In der Tat unterscheiden sich +x x vx und x ux nur um die Konstante : x +x x x x x x 4 Anwendungen der Differentialrechnung 4 Was ist der Grenzwert? lim x x +x x x x x x Nicht: lim +x x x x x x lim x x +x x x x x+ lim x lim x lim x x +x x x x x+ lnx ln x lnx ln x Versuch mit Stetigkeit + l Hospital lim x x +x x 4 x Versuch mit Stetigkeit + + l Hospital lim x Versuch mit Stetigkeit l Hospital lim x x x x +x x 4 x ln ln Stetigkeit Versuch ok Stetigkeit + 4 Stetigkeit + 4 lim ln x Versuch mit Stetigkeit x x ln Versuch ok ln Nicht: lim ln x l Hospital x x lim ln x falsch! x Stetigkeit ln nicht definiert falsch! x

4 4 Welcher mathemat Sachverhalt entspricht ökonomischer Sprechweise? Äquivalenzen zwischen den Einträgen in den drei Spalten der Tabelle: a iii 4 Funktion konvex f x wachsender Grenzertrag b i Funktion wachsend f x positiver Grenzertrag c iv Funktion konkav f x fallender Grenzertrag d ii Funktion fallend f x negativer Grenzertrag Ein positiver, aber mit x fallender Grenzertrag bedeutet, dass die nächste Einheit x einen kleineren Ertragszuwachs erbringt, wobei der Ertragszuwachs aber noch größer Null ist 4 Was ist die korrekte Nachfragefunktion? a: p Eur, Dp St Dp p + A; h: p %, Dp % Dp Dp d: p %, Dp % Dp Dp ; 4 c: p Eur, Dp % Dp C e p 5 g: p Cnt,Dp % Dp Ce p ; 6 f: p %,Dp St Dp lnp + B 5 Integralrechnung 5 Was ist korrekt? c ; c ; x + c ; x + c ; x + c ; x + c x 5 x + c ; x + c ; 7 x 7 + c ; 5 x 5 + c ; 5 x 7 + c ; x + x + x + 4x + 9 x + c ; x + x + x 4 + c ; x + x + 4 x4 + c ; x + x + 4 x4 + c +x x+x x+x + c ; +x+x x + x +x +x + c ; ln + x + c ; lnx + x + c ; ln + x + c ; 5 Was ist der korrekte Wert von a? Substitution ux ax + b Lineare Transformation im Argument : fu du F u + c fax + b F ax + b + c a x + a x + + c [ fu, F u ] u, ux x + u a ; a ; a ; a ; a e x a e x + c [fu e u, F u e u, ux x ] a ; a ; a ; a ; a e x a e u du [fu e u, F u ux/ ] fudu, ux x a ; a ; a ; a ; a 4

5 x e x a e u du ux [Subst: u x du x x du ] a ; a ; a ; a ; a 5 Integral von sin x mittels partieller Integration Partielle Integration allgemein: uxv x ux vx u xvx i Was sind die korrekten Vorzeichen? sin x a sinx cosx + b cos x [ u sin u cos ] v cos v sin a, b +, + ; a, b +, ; a, b, + ; a, b, ii Was sind die korrekten Vorzeichen?: cos x a sinx cosx + b sin x [ u cos u sin ] v sin v cos a, b +, + ; a, b +, ; a, b, + ; a, b, iii Wenn man in i cos x durch sin x ersetzt und nach sin x auflöst, ergibt sich sin x sinx cosx + F x + c mit F x ; F x ; F x x ; F x x ; F x x ; F x x iv Wie groß ist die Fläche unter sin x zwischen und π? π 6 Vektorrechnung [ sinx cosx + x π] sin x ; π ; π ; π ; π 6 Welche Linearkombination liefert den Vektor? C D c B A b O a Welche Linearkombination liefert den Vektor A? a + b ; a + c ; b + c ; a + c ; a + b + c ; a + b + c ; a + b + c Welche Linearkombination liefert den Vektor B? a + b ; a + c ; b + c ; a + c ; a + b + c ; a + b + c ; a + b + c Welche Linearkombination liefert den Vektor C? a + b ; a + c ; b + c ; a + c ; a + b + c ; a + b + c ; a + b + c Welche Linearkombination liefert den Vektor D? a + b ; a + c ; b + c ; a + c ; a + b + c ; a + b + c ; a + b + c 5

6 6 Wohin zeigt der Vektor? L c H E D b A M K G F C B O J I a Auf welchen Punkt zeigt der Vektor a + b? A; B; C; D; E; F; G; H; I; J; K; L; M Auf welchen Punkt zeigt der Vektor a + b + c? A; B; C; D; E; F; G; H; I; J; K; L; M Auf welchen Punkt zeigt der Vektor a + b + c? A; B; C; D; E; F; G; H; I; J; K; L; M 6 Ist die Aussage wahr? Gegeben sind drei Vektoren des R Wenn die Vektoren lin abh sind, dann liegen sie auf einer Geraden ja nein Wenn die Vektoren lin unabh sind, dann liegen sie nicht auf einer Geraden ja nein Die Vektoren sind genau dann lin abh, wenn sie auf einer Geraden liegen ja nein Wenn die Vektoren lin abh sind, dann liegen sie in einer Ebene ja nein Wenn die Vektoren lin unabh sind, dann liegen sie nicht in einer Ebene ja nein Die Vektoren sind genau dann lin abh, wenn sie in einer Ebene liegen ja nein Übertragung auf n Vektoren im R n : n Vektoren im R n sind genau dann linear abhängig, wenn sie alle in einer Hyperebene liegen 7 Matrizenrechnung I 7 Welchen Rang hat die Matrix? } III III II: rang, } rang, II: } rang, } wie oben 4 8 II I: rang, 6 III I: III II: } rang, III II: Die letzte Matrix entsteht aus der ersten, indem man in der ersten Matrix zweimal die erste Zeile zur zweiten und dreimal die erste Zeile zur dritten addiert Daher haben beide Matrizen den gleichen Rang 6

7 7 Ergebnis der Matrixmultipikation A B und B A? Gegeben sind die Matrizen: A 4 5, B 4 5 Was ist das Ergebnis der Matrixmultiplikation? A B na; B A na; A A na; ; 4 ; 4 ; 4 6 ; ; ; ; ; ; 5 4 na nicht definiert Welche Matrizenoperationen sind definiert? Gegeben sind: a eine n-matrix A a,, a n ; b, b,n b eine n n-matrix B b n, b n,n ; c eine n -Matrix C c c n Welche der folgenden Matrizenoperationen sind definiert? Notieren Sie, sofern definiert, die Dimensionen x y der Ergebnismatrix unter der Operation: A+A; A+B; A+C; B+A; B+B; B+C; C +A; C +B; C +C n n n n A A; A B; A C; B A; B B; B C; C A; C B; C C n n n n n n A B C; C B A; A C B; A C B; C A B; B C A; B C A n n n n n n n n 74 Wie entsteht -Form durch Matrix-Multiplikation? Die Matrix A wird durch eine Folge elementarer Zeilenumformungen auf -Form gebracht: A A A A A 4 6 A A A Jede Umformung A i A i entspricht einer Multiplikation von links an A i mit einer der folgenden Matrizen: P, Q, R, S, T 6 Wie entsteht A aus A? A P A A Q A ; A R A ; A S A ; A T A Wie entsteht A aus A? A P A A Q A ; A R A ; A S A ; A T A Wie entsteht A 5 aus A? A 5 P Q R S T A ; 7 A 5 T S Q R P A ; A 5 Q S R T P A

8 8 Matrizenalgebra 8 Wie lauten die Einträge in der inversen Matrix? y 4 n 4 n x z y 4 n A n, Struktur A x z y x n n n n n z y x n n Wie lauten x, y, z? x, y, z,, ;,, ;,, ;,, ;,, Systematisch bekommt man das zum Beispiel so: Zeile A Spalte A + x x x mit SpA, da nur x Zeile A Spalte A + y y y mit ZlA, da nur y Zeile A Spalte A + z + z 4 z Probe zum Beispiel mit der Spalte von A : Zeile A Spalte A : Zeile A Spalte A : Zeile A Spalte A : usw Zum Beispiel für n : A A Matrixalgebra: Was ist die korrekte Vereinfachung? : Frage geändert gegenüber ursprünglicher Version Ausgangspunkt: quadratische, reguläre Matrix I regulär regulär exist [ ] [ ] I lässt sich ia nicht weiter vereinfachen, korrekt: keines Struktur: A; ist dann und nur dann A, wenn A A, dh wenn A u kommutieren Hier A, dh Ergebn wäre, wenn IA kommutiert eine Matrix aber nicht mit ihrer Transponierten [ ] lässt sich ia nicht weiter vereinfachen, korrekt: keines Struktur wieder UAU mit U, A u das ist genau dann A, wenn UA AU [ ] [ ] I [ ] [ ] [ ] I I I [ ] ia I, da ia, also korrekt: keines I 8

9 8 Matrix-Algebra Ausgangspunkt: Beliebige m n-matrix mit m n ; die Matrix ist als Produkt einer n m- und einer m n-matrix stets definiert und stellt eine n n-matrix dar; Annahme: ist regulär; definiere neue Matrizen A :, P : A, Q : I P n m m m m m Anmerkung: Man kann nicht einfach A schreiben, da nicht quadratisch Was ist jeweils korrekt? : Frage geändert gegenüber ursprünglicher Version A I A P A A A A I A A P A nicht definiert, da Spaltenzahl P m Zeilenzahl A n P A A I P P A A A A I A A P Q P I P P P P P P P O Q Q I P I P I P I I P P I P P +P I P P +P I P Q Welche der folg Matrizen sind stets symmetrisch? ist symmetrisch, da ist als Inverse einer symmetrischen Matrix symmetrisch A ist nicht symmetrisch, da keine quadratische Matrix P A ist symmetrisch: P P Q I P ist symmetrisch: Q I P I P Q Anmerkung: P und Q I P sind also stets idempotente symmetrische Matrizen 84 Ist die Matrixklasse invariant unter der Inversion? Für jede der hier betrachteten Matrixklassen gilt: Wenn eine Matrix aus dieser Klasse invertierbar ist, dann ist die Inverse wieder ein Element dieser Klasse allerdings sind oft nicht alle Matrizen aus dieser Klasse invertierbar a Die Inverse einer unteren Dreiecksmatrix ist eine untere Dreiecksmatrix Beweis: Gauß-Elimination von A, I Eine untere Dreiecksmatrix ist genau dann invertierbar, wenn alle Diagonaleinträge sind b Die Inverse einer oberen Dreiecksmatrix ist eine obere Dreiecksmatrix Beweis: Gauß-Elimination von A, I Oder: Betrachte A ; argumentiere mit a u A A Eine obere Dreiecksmatrix ist genau dann invertierbar, wenn alle Diagonaleinträge sind c Die Inverse einer symmetrischen Matrix A A ist symmetrisch Beweis: Invertiere A A : Liefert A A A Dh für B A gilt auch B B Es gibt invertierbare zb A I und nicht-invertierbare symmetrische Matrizen zb A O d Die Inverse einer symmetrischen positiv definiten Matrix ist positiv definit Beweis: Zu geg y R n sei x : A y Dann: y A y Ax A Ax x A x x Ax, da A symmetr und pos definit ist nur für x y möglich Also ist A pos definit Eine pos definite Matrix ist stets invertierbarsonst Lösung x von Ax x Ax x e Die Inverse einer idempotenten Matrix A A ist idempotent Beweis: Multipliziere A A mit A : A A Dh für B A gilt auch B B Allerdings: Die einzige invertierbare idempotente Matrix ist A I multipliziere A A mit A f Die Inverse einer involutorischen Matrix A I ist involutorisch Beweis: Multpliziere A I mit A : Liefert I A Dh für B A gilt auch B I Eine involut Matrix ist stets invertierbar, da die Gl A I eine Lösung hat nämlich A g Die Inverse einer orthogonalen Matrix A A I ist orthogonal Beweis: Invertiere I A A: I A A A A Dh für B A gilt auch I BB Eine orthogonale Matrix ist stets invertierbar, da die Gl A I eine Lösung hat nämlich A Zusammenfassung Invertierbarkeit: Positiv definite, involutorische und orthogonale Matrizen sind stets invertierbar; Dreiecksmatrizen und symmetrische Matrizen sind idr, aber nicht immer invertierbar Von den idempotenten Matrizen ist nur A I invertierbar 9

10 9 Lineare Gleichungssysteme 9 Schnelle Lösung eines quadratischen LGS bei gegebener Inversen Gegeben ist die Matrix A Von den folgenden drei Matrizen ist eine die Inverse von A Welche ist es? 5 5 A 8 5 ; 8 5 ; Zum Beispiel: ZeileA 4 SpalteA muss ergeben; führt auf! x x Gegeben die Inverse von A, bestimme mit minimalem Rechenaufwand die Lösung x des LGS Ax b: 5 b x 8 5 ; b x 6 8 ; b x 7 8 ; 4 } {{ } e b 8 SpA } {{ } 8e x 5 } {{ } e 8 SpA ; b SpA e +e +e +e 4 x e +e 6 8a +a +a +a 4 ; } {{ } a +a 9 Konsistenz im Preissystem? Fünf Studenten kaufen zum gleichen Zeitpunkt im gleichen Laden vier Produkte ein und treffen sich anschließend zum Mathe-Lernen Sie erinnern sich nicht mehr an die genauen Preise p,, p 4, haben aber den Verdacht, dass unterschiedl Preise für das gleiche Produkt bezahlt wurden Da sie die Menge a i,j, die Student i vom Produkt j gekauft hat, sowie den Betrag b i, den er insgesamt bezahlt hat, kennen, versuchen sie die unbekannten Preise durch das LGS a, p + + a,4 p 4 b { 5 Gleichungen in 4 Unbekannten a 5, p + + a 5,4 p 4 b 5 zu rekonstruieren Wann ist der Verdacht der Studenten berechtigt? Wenn das lin GlSystem eindeutig lösbar ist Wenn das lin GlSystem mehrdeutig lösbar ist Wenn das lin GlSystem unlösbar ist Wir betrachten nun drei Szenarien für die KoeffMatrix A und erw KoeffMatrix A,b des LGS: ranga 4, ranga, b 5 ranga 4, ranga, b 4 ranga, ranga, b Welche Folgerung lässt sich daraus jeweils ziehen? a Mit den Abrechnungen stimmt etwas nicht zb unterschiedl Preise für das gleiche Produkt b Die Abrechnungen sind konsistent, aber die Preise lassen sich nicht eindeutig rekonstruieren c Die Abrechnungen sind konsistent und die Preise lassen sich eindeutig rekonstruieren Lösung: LGS unlösbar a LGS eindeutig lösbar c LGS mehrdeutig lösbar b Anmerkung: Im Fall bzw b befindet man sich in der gleichen Situation wie in der folgenden Aufgabe: Ein scheinbar überbestimmtes LGS 5 Gleichungen, 4 Unbekannte, das effektiv unterbestimmt ist

11 9 Ein scheinbar überbestimmtes LGS, das effektiv unterbestimmt ist Ausgangspunkt: Durch Gauß-Elimination in der erweiterten Koeffizientenmatrix Matrix A, b des LGS Ax b erhält man die angegebene Dreiecksform A, b : A, b el Zeilenumf A, b Fragen: a Ist das LGS Ax b äquivalent zum LGS Ãx b mit Ã, b? ja; ja, sofern nie eine der ersten drei Zeilen mit einer der letzten beiden getauscht wurde; nein b Die allg Lösung des LGS hat die Struktur: x x + λv λ R beliebig mit v ; v ; v ; v Der Vektor v muss Lösung des homogenen LGS Ax bzw Ãv sein; ein solcher ist nur der zweite 94 Bedeutung der Inversen in quadratischem LGS Gegeben ein quadratisches LGS Ax b Aus rechentechnischer Sicht ist die Lösung des LGS durch vorherige Bestimmung der Inversen A idr nicht optimal Einen Sinn macht dieses Vorgehen aber dann, wenn man nicht nur an der Lösung x selbst, sondern auch am Einfluss, den eine Änderung in der rechten Seite b auf den Lösungsvektor x hat, interessiert ist Was ist korrekt?: Der Eintrag c i,j in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von A gibt an, um wieviel Einheiten x j wächst, wenn b i um eine Einheit erhöht wird c j,i um wieviel Einheiten b j wächst, wenn x i um eine Einheit erhöht wird a j,i um wieviel Einheiten x i wächst, wenn b j um eine Einheit erhöht wird c i,j um wieviel Einheiten b i wächst, wenn x j um eine Einheit erhöht wird a i,j um wieviel Prozent x j wächst, wenn b i um ein Prozent erhöht wird um wieviel Prozent b j wächst, wenn x i um ein Prozent erhöht wird um wieviel Prozent x i wächst, wenn b j um ein Prozent erhöht wird um wieviel Prozent b i wächst, wenn x j um ein Prozent erhöht wird Determinanten Gegeben deta, was ist detfa? Questions taken from nainsufficient information to solve the question Let A be a 5 5 matrix with determinant 6 What is the determinant of A the inverse of A? deta deta a ; b ; c 5 6 ; d ; e 6; f 6 ; g na Let A be a 5 5 matrix with determinant 6, and let B be a 5 5 matrix with determinant 4 What is the determinant of A B? detab deta detb a 6 ; b ; c na; d ; e 4; f ; Let A be a 5 5 matrix with determinant 6, and let B be a 5 5 matrix with determinant 4 What is the determinant of A + B? There is no general formula for deta + B, therefore: a ; b na; c 6 ; d ; e 4 ; f ; g 4 4 Let A be a 4 4 matrix with determinant What is the determinant of A? det A n deta a na; b ; c ; d ; e ; f ; g 5 Let A be a 4 4 matrix with determinant What is the determinant of A? deta n deta a ; b ; c 9; d 48; e 6; f 4; g na

12 6 Let A be a 4 4 matrix with determinant What is the determinant of A the transpose of A? deta deta a ; b 7; c na; d ; e ; f ; g 8 7 Let A be a 4 4 matrix with determinant Let B be the matrix formed by swapping the second and third rows of A What is detb? Solution: Swapping rows swaps the sign of deta, thus: a na; b ; c 6; d ; e ; f ; g 8 Let A be a 4 4 matrix with determinant Let B be the matrix formed by multiplying the fourth row of A by What is detb? Solution: detb detdiag,,, A deta a 48; b ; c ; d 6; e na; f 48; g 6 9 Let A be a 4 4 matrix with determinant Let B be the matrix formed by dividing the fourth row of A by What is detb? Solution: detb deta a 6 ; b ; c 6; d ; e 4 ; f na; g Let A be a 4 4 matrix with determinant Let B be the matrix formed by subtracting two copies of the third row from the first What is detb? Row transformations of this type do not affect the determinant, thus detb a 9; b 6; c ; d ; e na; f ; g 6 einfach zu berechnende 4 4-Determinanten Wie lauten die Determinanten der folgenden Matrizen? mit minimalem Rechenaufwand, Laplace-Entwicklung auf Papier nur dann ansetzen, wenn es nicht einfacher geht deta 4 4, deta 4 4, 4 4 -Matr -Matr deta 4 4, deta 4 singulär, da la 4 4 -Matr Sp Sp detb deta 4, detb deta 4, 4 4 I II -Form Zl Zl, Sp 4Sp 4 detb deta 4, detb , la Lapl 4 Zl Zl 4Zl, Zl Zl Laplace Sp 4 detc, detc Laplace Zl Laplace Sp Sp Sp la Laplace Sp detc 4, detc Sarrus SpSp Zl 4Zl Laplace Sp

13 Wie lauten ausgewählte Einträge in der inversen Matrix? Gegeben A Laplace 4Zl Sarrus Wie lautet deta? deta ; ; ; ; ; 4; 4; 4 ; 4 ; ; Wie lautet der Eintrag x, in A -Form? k, + x, k, deta ; ; ; ; ; 4; 4; 4 ; 4 ; ; Wie lautet der Eintrag x, in A -Form? k, + x, k, deta ; ; ; ; ; 4; 4; 4 ; 4 ; ; Wie lautet der Eintrag x, in A -Form? k, 4 x, k, deta ; ; ; ; ; 4; 4; 4 ; 4 ; ; 4 Welche Einschränkungen für die Determinante in der Matrixklasse? Für spezielle Matrixklassen impliziert der Determinanten-Multiplikationssatz Einschränkungen an die Determinante Welche sind es jeweils? Welche Werte kann die Determinante einer idempotenten Matrix A A annehmen? x deta löst wegen deta deta x die Gl x x mit der Lösungsmenge {}; {}; {, }; {, }; {,, }; R Welche Werte kann die Determinante einer involutorischen Matrix A I annehmen? x deta löst wegen deta deta x die Gl x mit der Lösungsmenge {}; {}; {, }; {, }; {,, }; R Welche Werte kann die Determinante einer nilpotenten Matrix A k O für ein k annehmen? x deta löst wegen deta k deta k x k die Gl x k mit der Lösungsmenge {}; {}; {, }; {, }; {,, }; R Welche Werte kann die Determinante einer orthogonalen Matrix A A I annehmen? x deta löst wegen deta A deta deta deta die Gl x mit der Lösungsmenge {}; {}; {, }; {, }; {,, }; R Ist die Determinante einer positiv definiten Matrix notwendigerweise positiv? ja, da sie mit der n-ten Hauptminore d n übereinstimmt, die nach dem Hurwitz-Kriterium positiv sein muss Ist die Determinante einer negativ definiten Matrix notwendigerweise negativ? nein, das Vorzeichen hängt von n ab: Für ungerades n ist die Det einer solchen Matrix nach dem Hurwitz-Krit notwendigerweise positiv, für ungerades n negativ Wenn eine symmetrische Matrix eine positive Determinante hat, dann ist sie notwendigerweise positiv definit; regulär; ohne Zeilenvertauschungen auf -Form transformierbar da die Det ist; damit die Matrix positv definit wäre, müssten auch alle anderen Hauptminoren positiv sein; zu den benötigten Zeilenvertauschungen für die -Form besteht kein Zusammenhang