Lösung Wiederholungsklausur Mathematik (Wintersemester 10/11) 1

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1 Lösung Wiederholungsklausur Mathematik Wintersemester / Aufgabe : 8 Punkte Zeigen Sie durch vollständige Induktion die folgende Formel für die Potenzen der Matrix A: 3 A n : A n n+ n+ n n n : Für n ist: A n A I und n+ n+ n n I Also gilt die Aussage für n. n n + : Es sei ein beliebiges, aber festes n N gegeben. Es gelte IV : A n n+ n+ n n IA: Pkt IV: Pkt Zu zeigen ist, dass dann zz : A n+ n+ n+ n+ n+ zz: Pkt Beweis dazu: Ansatz: Pkt, Umformungen: Pkt, ges: 4 Pkt A n+ A n }{{} IV Matr.Prod. A { }} { n+ n+ 3 n n n+ 3 + n+ n+ n 3 + n n 3 n+ 3 + n+ n+ + 3 n 3 + n n + n+ n+ n n n+ n+ n+ n+ q.e.d. Anmerkung: Standardansätze für Induktionen: n+ n Summeninduktion: a k a k + a n+ Produktinduktion: k n+ k a k k }{{} n IV k Potenzinduktion: A n+ A n }{{} IV a k }{{} IV Ableitungsinduktion: f n+ x A a n+ d dx f n x }{{} IV

2 Lösung Wiederholungsklausur Mathematik Wintersemester / Aufgabe : 6 Punkte Bestimmen Sie folgende Grenzwerte ggf. mit der Regel von l Hospital: x x a lim x + 3x + x + x 3x Umformungen: Pkt, Grenzwert: Pkt, ges: Pkt x x + 3x + x + x 3x x x lim x + 3x + x + x 3x x x 3x 9x + x + x + 3x 9x Umformen x x 3x 3 + 6x + x + x + 3x 3 + 6x 9x 4x Herausziehen dominanter Terme 9x x x 4 /x 9 4 /x 9 4 lim x /x b lim x + + e x+lnx + ex+ lnx Es gilt e x+lnx e x e lnx e x x und e x+ lnx e x e lnx e x x + x e x Effektiv zu bestimmen ist also der Grenzwert lim x + + x e x. Pkt Ziehe x e x im Zähler und x e x im Nenner heraus: + x e x + x e x x ex x e x x e x + x e x + ex x x e x + x e x + lim Kehrwert x + lim x + e x x e x + x e x da lim x + x a e px für jedes a, p > Da die Funktion positiv ist für genügend große x, ist der Grenzwert +. Pkt x 3 + x x x 3 + x x c lim x x 3 x und lim x x x 3 x x + Erster Grenzwert: Für x ist x3 +x x x 3 x x +. Da die Funktion somit definiert und stetig ist bei x, ist dies der Grenzwert: x 3 + x x lim x x 3 x x x 3 +x x x 3 x x+ + Zweiter Grenzwert: Für x entsteht: +. Daher kann die Regel von l Hospital angewandt werden: lim x x 3 + x x x 3 x x + lim x d dx d dx x 3 + x x x3 x x + lim x 3x + x 3x 4x Stetigk..5 Pkt.5 Pkt

3 Lösung Wiederholungsklausur Mathematik Wintersemester / 3 Aufgabe 3: 8 Punkte In einem wissenschaftlichen Artikel zur Versauerung der Ozeane findet sich folgende Passage leicht geändert und ergänzt: Weltweit ist der mittlere ph-wert der obersten Wasserschichten seit Beginn der industriellen Revolution um. auf etwa 8. gesunken. Das mag geringfügig erscheinen. Die ph-skala ist jedoch logarithmisch. Einem Rückgang um. entspricht daher eine Zunahme des Säuregehalts um satte 3 Prozent.... Der ph-wert gibt die Konzentration von Wasserstoffionen an. In neutralem Wasser mit einem Säuregehalt von 7 beträgt er 7.. a Welche der in der folgenden Tabelle angegebenen Modelle beschreiben den Zusammenhang zwischen ph-wert ph u. Säuregehalt A? Der Zusammenhang lässt sich durch mehrere der angegebenen Modelle beschreiben; kreuzen Sie ohne Begründung alle korrekten Modelle an; β, A, A, ph und ph stellen Parameter dar, deren numerischer Wert sich von Modell zu Modell ändern kann. 6 Pkt A β lnph + A ; A β log ph + A ; A β log ph + A ; X A A e β ph ; X A A β ph ; X A A β ph ; X ph β lna + ph ; X ph β log A + ph ; X ph β log A + ph ; ph ph e β A ; ph ph β A ; ph ph β A ; Begründung nicht verlangt: Der Text besagt, dass absolute Änderungen in ph mit relativen prozentualen Änderungen in A verbunden sind. Daher geht A im Logarithmus und ph linear ein nicht umgekehrt, und es entsteht das Modell ph β lna + ph. Da log a A lna/ lna, sind alle drei Modelle aus der dritten Zeile korrekt mit unterschiedlichen β s. Die Modelle aus der zweiten Zeile sind damit auch korrekt, da sie nur den Zusammenhang umkehren ph β lna + ph ph ph β lna A e ph ph /β A e ph β mit β /β und A e ph /β. b Bestimmen Sie für eines der von Ihnen als korrekt identifizierten Modelle die numerischen Werte der beiden Parameter. Hinweise: Den Wert des Parameters β bestimmt man am einfachsten anhand der angegebenen Änderungen von ph-wert und Säuregehalt A. ln.3.76, ln.3, ln.7 Modell: A A e β ph. Laut Text:.3 A A e β ph. Pkt Quotient.3 eβ ph. e β ph e β. β ln A e β 7 A e 7β 7 e e Rundungsfehlerbedingt ist A nicht perfekt Modell: A A β ph, analog: β log.3. ln.3 ln A 7β Modell ph β lna + ph. Laut Text: ph. β ln.3 A + ph Differenz. β lna ln.3 A β ln. ln.3 β.3 ln Ergebnis ist gerade /β mit dem β des inversen Modells 7 β ln 7 + ph ph 7 β ln ln

4 Lösung Wiederholungsklausur Mathematik Wintersemester / 4 Aufgabe 4: 8 Punkte Am Ende jedes Monats werden 6 Euro auf ein Konto eingezahlt. Die Zinsen werden jeweils am Monatsende gutgeschrieben. Die Verzinsung beträgt 4.8% pro Jahr d.h..4%.4 pro Monat. a Wie hoch ist das Guthaben am Ende des sechsten Jahres? Wie hoch ist der Barwert dieser Zahlungen? Wie hoch ist die Summe der geleisteten Zahlungen? b Nach wie vielen Monaten ist ein Guthaben von 6 Euro erreicht? [Hinweise: , ln.5.4, ln.4.4. ] Lösung a: Gegeben sind hier r.4 n 6 7 Monate c 6 Guthaben am Ende des 6. Jahres: V n c r + r n }{{} 4 3 Mit TR ergibt sich V n Barwert der Zahlungen: Pkt Pkt V c r + r n }{{} Mit TR ergibt sich V Summe der Zahlungen: Pkt Lösung b: n c n c t Hier ist der Endwert V n 6 gegeben, gesucht ist n: Punkte für die Gl. und das Auflösen Pkt V n c r Mit den Zahlenwerten ergíbt sich: + r n + r n r V n c + n log +r + r V n c.4 6 n log log.4.5 ln.5 ln.4 mit TR : Punkt für das Ausrechnen Pkt Also: Nach 35 Monaten, das ist ein Monat weniger als drei Jahre, ist das Guthaben auf 6 Euro angewachsen.

5 Lösung Wiederholungsklausur Mathematik Wintersemester / 5 Aufgabe 5: 9 Punkte Für ein Produkt sei die Nachfragemenge x in Abhängigkeit vom Verkaufspreis p durch x Dp p+3 gegeben. Die Kosten K bei der Herstellungsmenge x sind Kx 5 x 3. Bei welchem Preis p bzw. Herstellungsmenge x wird der Gewinn maximal? Voraussetzung: hergestellte Menge nachgefragte Menge. Hat man bei der vorliegenden Kostenfunktion fallende oder steigende Grenzkosten? [Zur Kontrolle: G x 6 x 3 3 x. Hinweis: Substituieren Sie z x zur Lösung von G x.] Verwende x als unabhängige Variable. Bestimme dazu zunächst p px aus der Nachfrage: Erlös: Gewinn: Notwendige Bedingung: x x p + 3 p + 3 p + 3 x p 3 x Ex x px x 3 x px Gx Ex Kx x 3 x 5 x 3 G x x x 3 6 x 3 3 x G x 6 x 3 3 x G x 6 x 3 3 x 3 x 3 3 x z: x 6 z 3 3 z z 6 3 z 3 z 3 z + z z 5 ± ± 5 5 ± 5 px: Pkt Ex bzw. Gx: Pkt G x, G x : je.5 Pkte, ges: 3 Pkt { Da z x positiv sein muss, ist x x die einzige stationäre Stelle von Gx. N.B: Pkt Hinreichende Bedingung: Es gilt offensichtlich G x für alle x >. Daher ist G eine konkave Funktion auf R + und x sogar globale Maximalstelle von G. Alternativ: G x 3 x 3 3 x <, was zeigt, dass x lokale Maximalstelle von G ist. Hinr. Bed: Pkt Preis in x : p px x Pkt Fallende oder steigende Grenzkosten? Kx 5 x 3 K x 3 x K x 3 x > Da K x > für alle x >, ist K x monoton wachsend und man hat man durchwegs d.h. für alle x > steigende Grenzkosten K x. GK:.5 Pkt

6 Lösung Wiederholungsklausur Mathematik Wintersemester / 6 Aufgabe 6: Punkte Gegeben ist die für x > definierte Funktion fx ln x lnx +. a Zeigen Sie: f x lnx x, f x lnx x. b Bestimmen Sie die Bereiche, auf denen die Funktion monoton wachsend bzw. fallend ist. Zeigen Sie, dass fx ist für alle x >. c Bestimmen Sie die Bereiche, auf denen die Funktion konvex bzw. konkav ist. a Ableitungen bestimmen fx ln x lnx + f x f x Kett.Reg. lnx d lnx dx lnx Quot.Reg. x d dx x dx dx + lnx x x x x lnx lnx x x x lnx + x lnx x. Abl:.5 Pkte,. Abl:.5 Pkte, ges: 5 Pkt b Monotonie-Bereiche f x lnx x x> lnx lnx e x mon.wchsd. x e e eˆ Also ist f monoton wachsend für x e. Analog: f ist monoton fallend für x e. Es folgt: f hat ein globales Minimum bei x e. Der minimale Funktionswert Funktionswert im Minimum ist fe ln e lne + + da lne und lne. Also gilt fx für alle x >. Monot./Extrema: 3 Pkt Anmerkung: Dass fx ist, sieht man auch, wenn man lnx als lnx schreibt, so dass binom. Formel! fx lnx. Daraus folgt sofort fx und fx lnx x e. c Konvexität/Konkavitäts-Bereiche f x lnx x x> lnx lnx e x mon.wchsd. x e eˆ Daher ist f konvex auf dem Intervall, e ]. Analog: f ist konkav auf [e,. Konvex.: Pkt

7 Lösung Wiederholungsklausur Mathematik Wintersemester / 7 Aufgabe 7: 8 Punkte Gegeben ist die Funktion fx, y x. Zeigen Sie: + y a Die Hessematrix der Funktion lautet: H f x, y b det H f x, y x + y 4. x + y 3 3x y 4xy 4xy 3y x c Die Funktion ist nirgendwo konvex oder konkav d.h.: Es gibt keine Menge D R, so dass f eine konvexe oder konkave Funktion auf D wäre. a Hesse-Matrix von f: f x Kett.R. x f x + y y Kett.R. y x + y. f x x Quot.R. Kürze x + y x + y + x x + y x f Kett.R. x x + y 4 y x y x + y 3 x + y + x x 8 x y x + y 3 x + y 3 y + 6 x x + y 3 f y x Kett.R. y x x + y 3 f y y Quot.R. x + y + y x + y y x + y 4 8 x y Kürze x x + y 3 + y x + y + y y x + y 3 x + 6 y x + y 3 Also ist in der Tat H f x, y x + y 3 auf jede partielle Ableitung Pkt, ges: 6 Pkt 3x y 4xy 4xy 3y x b Determinante der Hesse-Matrix: Pkt 4 deth f x, y 3 x x + y 6 y 3 y x 6 x y 4 9 x x + y 6 y 3 x 4 3 y 4 + x y 6 x y 4 6 x x + y 6 y 3 x 4 3 y 4 x + y 6 x 4 + x y + y 4 x + y 6 x + y x + y 4 c Nicht-Konvexität von f: Pkt Die Determinante von H f x, y ist überall d.h. für alle x, y R negativ. Daher ist H f x, y in jedem Punkt x, y R indefinit weder positiv noch negativ semi-definit. Also ist die Funktion nirgendwo konvex oder konkav. Wäre H f x, y positiv oder negativ semi-definit, so müsste nach dem Hurwitz-Kriterium jede gerade Hauptminore, insbesondere die zweite, d deth f x, y sein. Sonst müsste H f x, y positiv oder negativ semi-definit sein.

8 Lösung Wiederholungsklausur Mathematik Wintersemester / 8 Aufgabe 8: 9 Punkte Für ein Produkt seien die angebotene Menge x Sp und die nachgefragte Menge x Dp als Funktionen des Preises p durch Sp 3p 4+p p >, Dp 4 p < p < 4 gegeben. a Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis p sowie die Gleichgewichtsmenge x. [Zur Kontrolle: p, x.] b Bestimmen Sie die Konsumenten- und Produzentenrente des Marktes. [Zur Kontrolle: p S x 4x 3 x 3 x 4, p Dx 4 x+.] a Gleichgewichtspreis p, Gleichgewichtsmenge x. Gleichgew. p, x : Pkt Sp Dp 3 p 4 + p 4 p p 3 p 4 + p 4 p 4 + p 3 p p p 4 + p 3 p p 4 p p 4 p 6 p 6/4 4 p ± Da negative Preise ausgeschlossen sind, ist p + der Gleichgewichtspreis. Außerdem: x Dp 4 Probe: Auch Sp 3 /4 + 6/6 ist. b Konsumenten- und Produzentenrente Bestimme zunächst die Umkehrfunktionen p S x von Sp, p D x von Dp: p D : x 4 4 x + p p p 4 x + p S : x 3 p 4 + p 4 + p x 3 p 4x + p x 3 p p x 3 4x p 4x 3 x p S, p D : je Pkt, Pkt Damit: CS x pd x p dx Integral Konsumententrente: Pkt 4 x + dx 4 lnx + x 4 [ ln ln ] ln ln4 Das Integral für P S lässt sich nicht ohne Umformungen des Integranden berechnen. Beachte dazu den Hinweis: Punkt für den Beweis des Hinweises Pkt 3 x x 3 x 3 x + 4x 3 x 4x 3 x p Sx Damit: P S x p p S x dx Integral Produzentenrente Pkt 3 x + 4 dx 6x + ln3 x 6 + [ ln ln3 ] ln 3 6 ln 9 4 Anm: 3 x dx ln3 x + c nicht + ln3 x; beachte dazu: fax + b af ax + b.

9 Lösung Wiederholungsklausur Mathematik Wintersemester / 9 Aufgabe 9: 8 Punkte Gegeben sind die Matrizen A, X, b a Lösen Sie das lineare Gleichungssystem Ax b durch Gauß-Elimination. Wie lauten ranga und deta? b Es gilt A X. Wie kann man das möglichst einfach verifizieren? Lösen Sie das lineare Gleichungssystem Ax b unter Verwendung von A.. Lösung a: Gauß-Elimination: A, b II I : IV I: III II: IV + II: Dreiecksform: 3 Pkt Dreiecksform erreicht, lese Ränge ab: ranga ranga, b 4 LGS eindeutig lösbar Ränge: Pkt deta }{{} 4 Determinante: Pkt Zeilentausch Rücksubstitution: Rücksubstitution: Pkt x 4 x 4 x 3 x 4 x 3 x x 3 + x 4 x x 4 x + x + x 3 + x 4 x x x 3 Lösung b: X A : Pkt Um X A zu verifizieren, ist es am einfachsten, X A I oder A X I zu überprüfen. Durchführung der Rechnung ist hier nicht gefragt, würde aber zeigen, dass das angegebene X tatsächlich A ist. Lösung des LGS mittels A : x x x 3 x 4 x A b Lösung stimmt mit der von a überein x A b: Pkt

10 Lösung Wiederholungsklausur Mathematik Wintersemester / Aufgabe : 9 Punkte Die Matrix A R n n sei darstellbar als A L L mit einer regulären Matrix L R n n. a Zeigen Sie: deta detl. b Zeigen Sie: A ist regulär mit A L L. c Es sei nun speziell L. Bestimmen Sie deta und A unter Verwendung der Ergebnisse von a und b. a deta aus detl, mit Determinantenmultiplikationssatz und detx detx: deta detll detl detl detl detl det L Pkt b A aus L : A ist als Produkt zweier regulärer Matrizen regulär. Mit X Y Y X und X X folgt: A L L L L L L Pkt c deta und A bei konkretem L: Bei der hier vorliegenden Matrix L ist detl L ist eine Dreiecksmatrix, deren Det. gleich dem Produkt der Diagonalelemente, also, ist. Mit a folgt: deta 4. Pkt Bestimmung von L : L, I II + I: III I: IV + I: III + II: IV II: IV + III: Nach Division der ersten Zeile durch erhält man für die Inverse von L: L L Für die Inverse von A ergibt sich mit b: A L L Pkt Pkt Zusatz nicht verlangt: Mit der Matrix L aus c errechnet sich A zu A Die Probe A mal die in c berechnete Matrix zeigt, dass diese Matrix tatsächlich die Inverse von A ist.

11 Lösung Wiederholungsklausur Mathematik Wintersemester / Aufgabe : 9 Punkte In dieser Aufgabe wird die folgende Matrix betrachtet: A. n n n Tridiagonalmatrix : A n in der Diagonale,.. in der oberen Nebendiagonale in der unteren Nebendiagonale... 3 Es soll eine Formel für d n : deta n für beliebiges n N bestimmt werden. a Wie lauten d und d? d 3 3, d Pkt b Zeigen Sie mit einer Laplace-Entwicklung nach der ersten Zeile von A n : d n 3 d n d n Pkt }{{}}{{} A n : B n Die erste n n -Unterdeterminante ist A n d n. Für die zweite ergibt sich mit einer Laplace-Entwicklung nach der. Spalte von B n die außer der links oben nur Nullen enthält: d.... n Pkt 3 3 Zeigen Sie mit a, dass diese Formel auch für n u. n gilt, wenn man d :, d : setzt. Mit d, d gilt 3d d 3 3 d und 3d d 9 7 d. c Um die Rekursion für d n aus b aufzulösen, werden die beiden Folgen x n : d n, y n : d n betrachtet. Begründen Sie, dass, n,,... xn 3 xn y n y n } x n d n 3d n d n 3x n y n y n d n x n Das gilt ab n. xn y n 3 Pkt xn y n d In Aufgabe wurde folgende Formel für die n-te Potenz der Matrix aus c gezeigt: n 3 n+ n+ n n. Welche allgemeine Formel ergibt sich damit für d n? Die n-stufige Rekursion involviert die n-te Potenz der Matrix: xn 3 xn 3 xn... y n y n y n n 3 Mit n+ n+ x d n n und folgt: y d n xn 3 x n+ n+ y n y n n Das ergibt d n x n n+ und konsistenterweise d n y n n. n 3 x y n+ n. Pkt

12 Lösung Wiederholungsklausur Mathematik Wintersemester / Aufgabe : 8 Punkte Behandeln Sie das folgende Problem mit der Lagrange-Methode: max / min fx, y, z : x + y + z + x y + y z y + z u.d. Nbd. gx, y, z : x + z Hinweis: Siehe Aufgabe 9 zur Lösung des entstehenden Gleichungssystems. Aufstellen der Lagrange-Funktion: Lλ, x, y, z fx, y, z + λ gx, y, z c x + y + z + x y + y z y + z + λ x + z Pkt Partielle Ableitungen der Lagrange-Funktion: pro Abl..5 Pkte, ges: Pkt Für die Hesse-Matrix von Lλ, x, y, z erhält man H L λ, x, y, z L λ x + z! L x x + y + λ! L y y + x + z L z z + y + λ +! L λ L x L y L z Pkt Dies ist genau die Matrix A aus Aufgabe 9. Die notwendige Bedingung, gradl, ist äquivalent zu Ax b mit dem A und b aus Aufgabe 9. Die Lösung ergab sich dort als x stat,,, d.h. x, y, z, λ. Pkt Alternativ erhält man mit der rechten Seite b,,, die Lösung des LGS aus Aufgabe 9b als λ + x y A b z + + Fazit: Die einzige stationäre Stelle der Lagrange-Funktion ist x, y, z, λ. Hinreichende Bedingung: Es sind die beiden Determinanten d und d 3 von H L zu überprüfen. d d 3 deta < s. Aufgabe 9 4 < 3 Pkt Es liegt die Situation alle Vorzeichen negativ vor. Daher ist die stat. Stelle ein lokales Minimum des restringierten Problems.