Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus

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Rolf Hofer
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1 Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus 24. Oktober 2013 Die zwei letzten Folien beziehen sich auf Einflussmaße ( simultane Änderungsrate von y mit x ) in lin-lin, log-lin, lin-log und log-log Modellen. Wir behandeln dies in der Vorlesung bereits an dieser Stelle, im Zusammenhang mit Logarithmen. Im Skript wird dieser Stoff erst nach der Differentialrechnung, im Kapitel Elastizität, behandelt. Die Folien zu diesem Stoff finden Sie auf der Internet-Seite unter Downloads

2 Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 1 Bedeutung der Umkehrfunktion Gegeben eine bijektive Funktion f : D W eines Intervalls D auf eine Intervall W. Bei der Umkehrfunktion sucht man für ein gegebenes y W dasjenige x mit f (x) = y. Ergänzen Sie unter Verwendung der Wörter Winkel, Bogenmaß, Basis, Exponent usw.: Bei a y sucht man den/die/das-jenige(n)... x mit... Bei log a (y) sucht man den/die/das-jenige(n)... x mit... Bei arccos(y) ( = cos 1 (y) ) sucht man den/die/das-jenige(n)... x mit...

Bei der Umkehrfunktion sucht man für ein gegebenes y W dasjenige x mit f (x) = y.

3 Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 2 Was ist der genaueste Wert? (ohne Taschenrechner!) log 2 (30) 1; 2; 3; 4; 5. log 5 (25) 1; 2; 3; 4; ; 2; 3; 4; 5. ln(9) 1; 2; 3; 4; 5. log 2 (3) 1.0; 1.2; 1.4; 1.6; 2.0.

) log 2 (30) 1; 2; 3; 4; 5. log 5 (25) 1; 2; 3; 4; 5.

4 Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 3 ln(x) ln(y) = Was ist korrekt? ln(x y); ln(x)/ln(y); ln(x/y); ln(x) + ln(1/y); keines. ln(x 2 ) ln(y 2 ) = ln(x 2 /y 2 ); ln(x/y); 2 ( ln(x) ln(y) ) ; 2ln(x/y); keines. e x2 e y2 = e x2 /y 2 ; 2e x y ; e x2 y 2 ( ; e x2 1 e y 2 x 2 ) ; keines. ln(x 2 )/ln(y 2 ) = ( ln(x 2 /y 2 ); ln(x 2 y 2 ); log ) ( x 2 y 2 ; log ) y 2 x 2 ; keines. e x2 /e y2 = e x2 y 2 ; e x2 /y 2 ; ( e x e y) 2 ; e (x y)(x+y) ; keines.

ln(x 2 ) ln(y 2 ) = ln(x 2 /y 2 ); ln(x/y); 2 ( ln(x) ln(y) ) ; 2ln(x/y); keines.

5 Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 4 Was ist korrekt? exp(e x x) = exp( e x )/e x ; exp(e x ) e x ; exp( e x )e x ; exp(e x )e x ; exp(e x ) e x ; e x /exp( e x ); e x /exp( e x ); keines. ln ( exp(e x ) e x) = e x x; e x + x; e x + x; ex x ; ex + 1 x ; x + 1 e x ; keines. y = exp(e x ) x = ln ( ln(y) ) ; ln ( ln( 1 y )) ; ln(ln(y)); ln 2 (y); ln ( 1 ln(y)) ; keines. exp(e x ) exp( e x ) = exp(e x e x ); exp( e 2x ); 1 exp(e 2x ) ; 1 ; exp(1); keines. exp(e x e x )

e x ); keines. ln ( exp(e x ) e x) = e x x; e x + x; e x + x; ex x ; ex + 1 x ; x + 1 e x ; keines.

6 Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 5 Wie lautet die Umkehrfunktion (als Lösung der Gl. f (x) = y)? Die quadrat. Gleichung x(x 2) = y ( x 2 2x y = 0) hat die beiden Lösungen x ± = 1 ± 1 + y Mit diesem Hinweis lassen sich die Umkehrfunktionen folgender Funktionen bestimmen f 1 (x) = e 2x 2e x f 2 (x) = e x2 2x f 3 (x) = ln 2 (x) ln(x 2 ) f 4 (x) = ln(x) + ln(x 2) und zwar ist die Umkehrfunktion bei geeigneter Wahl von Def.- und Wertebereich jeweils eine der folgenden vier Funktionen: g 1 (y) = ln( y) g 3 (y) = e 1+ 1+y g 2 (y) = e y g 4 (y) = ln(y) Welche ist die Umkehrfunktion von f 1? g 1 ; g 2 ; g 3 ; g 4. Welche ist die Umkehrfunktion von f 2? g 1 ; g 2 ; g 3 ; g 4. Welche ist die Umkehrfunktion von f 3? g 1 ; g 2 ; g 3 ; g 4. Welche ist die Umkehrfunktion von f 4? g 1 ; g 2 ; g 3 ; g 4.

3 (x) = ln 2 (x) ln(x 2 ) f 4 (x) = ln(x) + ln(x 2) und zwar ist die Umkehrfunktion bei geeigneter Wahl von Def.

7 Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 6 Was ist die korrekte Nachfragefunktion? Für die Nachfrage D(p) als Funktion des Preises p sollen folgende Szenarien modelliert werden: 1. Wenn der Preis um einen Euro steigt, sinkt die Nachfrage um 0.3 Stück. 2. Wenn der Preis um ein Prozent steigt, sinkt die Nachfrage um 3 Prozent. 3. Wenn der Preis um 10 Prozent steigt, sinkt die Nachfrage um 3 Prozent. 4. Wenn der Preis um einen Euro steigt, sinkt die Nachfrage um 30 Prozent. 5. Wenn der Preis um einen Cent steigt, sinkt die Nachfrage um 3 Prozent. 6. Wenn der Preis um ein Prozent steigt, sinkt die Nachfrage um 0.03 Stück. Welche der folgenden Nachfragefunktionen 1 beschreibt jeweils das Szenario (näherungsweise)? a) D(p) = 0.3 p + A b) D(p) = 0.3 ln(p) + B c) D(p) = C e 0.3 p d) D(p) = D p 0.3 e) D(p) = 3.0 p + A f) D(p) = 3.0 ln(p) + B g) D(p) = C e 3 p h) D(p) = D p 3 i) D(p) = 30 p + A j) D(p) = 30 ln(p) + B k) D(p) = C e 30 p l) D(p) = D p 30 1 Preis p in Euro, Nachfrage D(p) in Stück des betrachteten Produktes; A,B,C,D sind Konstanten mit folgender Bedeutung: A,C = Nachfrage beim Preis von 0 Euro, B,D = Nachfrage beim Preis von 1 Euro.

Prozent. 3. Wenn der Preis um 10 Prozent steigt, sinkt die Nachfrage um 3 Prozent. 4. Wenn der Preis um einen Euro steigt, sinkt die Nachfrage um 30 Prozent. 5.

8 Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 7 ph-wert und Säuregehalt In einem (populär-)wissenschaftlichen Artikel zur Versauerung der Ozeane findet sich folgende Passage (leicht geändert und ergänzt): Weltweit ist der mittlere ph-wert der obersten Wasserschichten seit Beginn der industriellen Revolution um 0.12 auf etwa 8.1 gesunken. Das mag geringfügig erscheinen. Die ph-skala ist jedoch logarithmisch. Einem Rückgang um 0.12 entspricht daher eine Zunahme des Säuregehalts um satte 32 Prozent.... Der ph-wert gibt die Konzentration von Wasserstoffionen an. In neutralem Wasser (mit einem Säuregehalt von 10 7 ) beträgt er 7.0. Welche Modelle beschreiben den Zusammenhang zwischen ph-wert (ph) u. Säuregehalt A? (β, A 0,A 1,pH 0 und ph 1 stellen Parameter dar, die sich von Modell zu Modell ändern können.) A = β ln(ph) + A 1 ; A = β log 10 (ph) + A 1 ; A = β log 2 (ph) + A 1 ; A = A 0 e β ph ; A = A 0 10 β ph ; A = A 0 2 β ph ; ph = β ln(a) + ph 1 ; ph = β log 10 (A) + ph 1 ; ph = β log 2 (A) + ph 1 ; ph = ph 0 e β A ; ph = ph 0 10 β A ; ph = ph 0 2 β A ; Bestimmen Sie für eines der korrekten Modelle die numerischen Werte der Parameter.

obersten Wasserschichten seit Beginn der industriellen Revolution um 0.12 auf etwa 8.1 gesunken. Das mag geringfügig erscheinen. Die ph-skala ist jedoch logarithmisch. Einem Rückgang um 0.

9 Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 8 Elastizitäten zur Messung der Integration von Aktienmärkten In einem wissenschaftlichen Artikel zur Integration des US-amerikanischen und englischen Aktienmarkts finden sich folgende Passagen (leicht geändert und ergänzt): We use weekly data during the period of the US S&P 500 index and the UK FTSE 100 index... The dependent variable y t [in the model y t = α + βx t (+ε t )] is the log of the UK FTSE 100 index and the independent variable x t is the log of the S&P 500 index... Our method selected a breakpoint at the beginning of 1991 (first Gulf War, collapse of Soviet Union, start of the transition in the East European economies). The other structural break was found to be at the end of 1992 [conjecture: exchange rate crisis]. The estimated values of the parameters are: Jan Jan 1991 Feb Dec 1992 Jan Dec 1999 ˆα ˆβ ˆα ˆβ ˆα ˆβ a) Korrigieren Sie die folgende Aussage für den Zeitraum so, dass sie den Ergebnissen der Analyse entspricht (lesen Sie dazu den Text genau, die Formulierung enthält eine ganze Reihe von Fehlern!): : Wenn der S&P 500 um einen Indexpunkt gestiegen ist, dann ist der FTSE 100 (im Schnitt) um 1.22 Indexpunkte gestiegen. b) Formulieren Sie entsprechende (korrekte) Aussagen für die Zeiträume und c) Für welche Zeiträume kann man von einer recht starken Integration der beiden Märkte reden? d) Angenommen, der amerikanische treibt den englischen Aktienmarkt. Klassifizieren Sie die drei Zeiträume entsprechend folgender Attribute der Art der Reaktion des englischen Markts: Advers, Überreaktion, Unterreaktion.

(leicht geändert und ergänzt): We use weekly data during the period 1989 1999 of the US S&P 500 index and the UK FTSE 100 index.

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