+2xy + 2yz + 2xz ; x 2 + y 2 + z 2. 2 y) + (2y) (2x) 2y ( 1. = 2 5 = 32 (Hinweis: 8 = 2 3 ) 1; 10; 20; X 30; 50.

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1 Verschiedenes Mathe für WiWis Lösungen der Quizfragen. Binom. Formeln: Was ist korrekt? + y + z + y + z + y + z + y + z + y + z + y + yz + z { { { + y + z + y + z +y + yz + z ; + y + z +y + yz + z ; + y + z +y + yz + z. + y + y + y 4 + 4y ; 4 + y + 4y ; 4 + y + 4y ; 4 + 4y ; + y + y. + y y y + y y y y y y y; y 7 4 y; y ; y y; y + y. + y y + + y + y y + + y + y + y + y + y ; + y + y ; y ; + y. Für > y : + y y y y ; ; ; y; y ; y.. Was ist der genaueste Wert? ohne Taschenrechner! Hinweis: 8 ; ; ; ; Hinweis: 7 5 ; ; ; 4; Hinweis: 9 8 ; ; ; 4; 5. siehe vorher ; 4 ; ; 4 ; ; 5 4 ;. Hinweis: 4 ; 5; ; 5;. 6 ; 7 ; 8 ; 9 ;.

2 . Milchmädchenrechnungen mit Potenzgesetzen hoch a Das BIP von Deutschland beträgt etwa.4 Billionen.4 Euro pro Jahr. Deutschland hat etwa 8 Millionen 8 6 Einwohner. Der Euro-Rettungsschirm beträgt etwa 7 8 Milliarden 8 9 Euro. Angenommen, der Euro-Rettungsschirm wird fällig und der gesamte Betrag ist von Deutschland aufzubringen. Wieviel Monate müsste dann ein durchschnittlicher Bundesbürger zur Finanzierung des Schirms arbeiten? Zeitanteil Aufwand BIP ; ; ; 4 ; 6 ; 9 ; ; 5 ; 8 ; 4 Monate Wieviel Euro würde er in diesem Zeitraum erwirtschaften? ; ; ; ; ; ; Euro b Der gesamte jährliche Primärenergieverbrauch von Deutschland liegt bei etwa 4 4 Peta Joule. Ein Peta sind 5 und ein Joule ist eine Wattsekunde Ws. Wieviele Kilowattstunden kwh, kwh 6 Ws.6 6 Ws Primärenergie sind das pro Kopf der Bevölkerung 8 Mio. und Jahr? Wieviel Litern Erdöl entspricht das, wenn ein Liter Erdöl einen Primärenergiegehalt von kwh hat? Ges. Verbr. in kwh: kwh 4 kwh, pro Kopf: kwh 6 7 kwh.5 5 kwh l Öl ; 5 kwh 5 l Öl ; kwh l Öl 5 kwh kwh ; ; 5 l Öl l Öl ; c Der gesamte jährliche Primärenergieverbrauch von Deutschland liegt bei etwa 4 kwh 4 Terawattstunden. Die Fläche von Deutschland beträgt etwa 6 km 6 km 6 4 km. Mit der derzeitigen Standard-Photovoltaik-Technik erreicht man in Deutschland etwa kwh pro m im Jahr. Wieviel Prozent der Fläche Deutschlands müsste man größenordnungsmäßig mit Solarmodulen bedecken, um den gesamten Primärenergieverbrauch zu decken abgesehen von Transport und Speicherung der Energie. Ben. Fläche: in m 4 m 4 m, in km 4 km 4 4 km 6.% % 5% % % 5% % % d Der weltweite jährliche Verbrauch an fossilen Energieträgern liegt derzeit bei etwa Milliarden toe Tonnen Öl-Äquivalent, Kohle und Erdgas werden dabei bzgl. ihres Energiegehalts umgerechnet auf den einer Tonne Erdöl. Bei der Verbrennung einer toe fossilen Materials entstehen etwa.5 Tonnen CO.. Der gesamte CO -Gehalt der Atmosphäre liegt bei Milliarden Tonnen, was einem Anteil von etwa 6 ppm parts per Million entspricht. Um wieviel ppm würde der CO -Gehalt der Atmosphäre durch die Verbrennung fossiler Stoffe jährlich steigen, wenn überhaupt kein CO z.b. durch Photosynthese oder Lösung in den Ozeanen abgebaut würde? bezogen auf 6 ppm: 6 ppm rel. Zunahme Jahr %,.9 ppm.8 ppm.6 ppm 5 ppm 6 ppm 5 ppm ppm 9 ppm Beobachtete durchschnittliche Zunahme in den letzten 5 Jahren: ca. ppm pro Jahr.4 Wie lautet die Lösung der Gleichung? 4 4 ± p ± p q, p 4, q ± 4 9 ; ± ; ± 4 9 ; ± ; y ; ± + y y > y y < y < ; y. ; ; ; ; ; 8 ; 8. Dies ist nur ein grober Richtwert, der tatsächliche Wert ist abhängig vom Energieträger bei Kohle mehr, bei Erdgas weniger als bei Erdöl und der Verbrennungsart Heizung, Verbrennungsmotor,...

3 .5 Quadrat. Ungleichungen I. a, d, e, 4 b II. e, b, f, 4 c III. e, a, f, 4 f, 5 b, 6 d IV. c, d, b, 4 f.6 Endliche Summen und Produkte a, a Gegeben ist eine Zahlentabelle auch Matri genannt:, a, a, a, a, Wir betrachten folgende Rechenoperationen innnerhalb der Tabelle a e i j j a i,j ; b i a i,j ; f i j j a i,j ; c i a i,j ; g i j j a i,j ; d i a i,j ; h Welchen konkreten Rechenschritten entsprechen diese Vorschriften jeweils? }{{} } {{ } } {{ } } {{ } i j ; ; }{{} 6+95 ; ; } {{ } +55 ; } {{ ; } 5 ; ; } {{ } j a i,j ; i a i,j. Antwort: a, b 4, c 8, d, e, f, g 7, h 5. Mit den gegebenen Zahlen a i,j ist das numerische Ergebnis in, und 4 jeweils gleich, 5. Welche dieser Identitäten entsprechen mathematischen Gesetzmäßigkeiten und welche sind zufällig? Antwort: Gleichheit von und ist die Regel i j a i,j j i a i,j..7 Wo liegen die Fehler im Induktionsbeweis? Der Induktionsanfang wird nicht bei n, sondern bei n gesetzt wo die Aussage zufällig stimmt. Der Ansatz für den Induktionsschritt und das Einsetzen der Induktionsvoraussetzung ist ok, aber dann folgt ein grober Fehler: + n + ist + n + + n, nicht nur + n..8 Beweis des Horner-Schemas mit vollst. Induktion Das Horner-Schema ist ein Verfahren zur numer. Auswertung von Polynomen, das z.b. auf Taschenrechnern verwendet wird. Die Koeffizienten werden dazu am Besten in absteigender Reihenfolge nummeriert: n a n + a n a n + a n a n j j Man schreibt dies als d.h. man bildet folgende Sequenz von Polynomen: j a n + a n + a n a + a... p : a und für j,,..., n: p j : a j + p j Die Behauptung ist, dass dann werden kann. p n n j a n j j, was mit vollst. Induktion über n bewiesen

4 Durchdenken Sie den Induktionsbeweis bis zum Ansatz für den Induktionsschritt. Welche der folgenden Ansätze sind f: mathematisch falsch; knz: korrekt, aber nicht zielführend; kuz: korrekt und zielführend: n+ a n+ j j j n+ a n+ j j j n+ n+ a j n+ j f; knz; kuz. j n+ a j n+ j a + j n a j n j f; knz; kuz. j n+ a n+ j j a n+ + a n+ j j a n+ + j n+ a n+ j j j j n a n j j f; knz; kuz. j n a n+ j j + a n+ f; knz; kuz. j Eponentialfunktion und Logarithmus. Umkehrfunktion Bei a y sucht man diejenige Basis mit a y Bei log a y sucht man denjenigen Eponenten mit a y Bei arc cosy cos y sucht man dasjenige Bogenmaß oder den Winkel mit cos y. Anmerkung: Es gibt eigentlich nicht den Winkel, da cos als Funktion auf ganz R nicht injektiv ist. Anstatt Winkel verwendet man in der Analysis das Bogenmaß π 6 α αwinkel in Grad. Was ist der genaueste Wert? ohne Taschenrechner! log ; ; ; 4; 5; 4 6, 5 log 5 5 ; ; ; 4; 5. gilt eakt, da ; ; ; 4; 5. 5, 5 ln9 ; ; ; 4; 5. e e, e 9 log.;.4;.5;.6;.., 4 Da f ln eine konkave Funktion ist fmittelwert > Mittelwertf, erweist sich.6 als der genauere Wert damit Antwort eindeutig ist, sollte.5 als Option raus. Was ist korrekt? ln lny ln y; ln/ lny; ln/y; ln + ln/y; keines. ln lny ln /y ; ln/y; ln lny ; ln/y; keines. e e y e /y ; e y ; e y ; e e y ; keines. ln / lny ln /y ; ln y ; log y ; log y ; keines. e /e y e y ; e /y ; e e y ; e y+y ; keines..4 Was ist korrekt? epe epe e ep e /e ; epe e ; ep e e ; epe e ; epe e ; e / ep e ; e / ep e ; keines. ln epe e ln epe + e ; e + ; e + ; e ; e + ; + e ; keines. 4

5 y epe lny e ln lny ln lny ; ln ln y ; lnlny ; ln y ; ln lny ; keines. epe ep e epe e epe e ; ep e ; epe ; epe e ; ep ; keines..5 Wie lautet die Umkehrfunktion als Lösung der Gl. f y? Die quadrat. Gleichung y y hat die beiden Lösungen ± ± + y Mit diesem Hinweis lassen sich die Umkehrfunktionen folgender Funktionen bestimmen f e e f e f ln ln f 4 ln + ln und zwar ist die Umkehrfunktion bei geeigneter Wahl von Def.- und Wertebereich jeweils eine der folgenden vier Funktionen: g y ln + + y g y e + +y g y + + e y g 4 y + + lny f e e z:e z z zz! y z ± + y lnz g y f e e! y lny ± + lny g 4 y f ln ln z:ln z z zz! y z ± + y e z f 4 ln + ln ln! y e y ± + e y g y Welche ist die Umkehrfunktion von f? g ; g ; g ; g 4. Welche ist die Umkehrfunktion von f? g ; g ; g ; g 4. Welche ist die Umkehrfunktion von f? g ; g ; g ; g 4. Welche ist die Umkehrfunktion von f 4? g ; g ; g ; g 4..6 Was ist die korrekte Nachfragefunktion? Für die Nachfrage Dp als Funktion des Preises p sollen folgende Szenarien modelliert werden:. Wenn der Preis um einen Euro steigt, sinkt die Nachfrage um. Stück. Dp. p + a lin-lin Modell: absoluter Zuwachs p, absoluter Zuwachs D., Änd.rate D p.. Wenn der Preis um ein Prozent steigt, sinkt die Nachfrage um Prozent. Dp d p log-log-modell: relativer Zuwachs p: %, relativer Zuwachs D %, Elastizität ε % %. Wenn der Preis um Prozent steigt, sinkt die Nachfrage um Prozent. Dp d p. log-log-modell: relativer Zuwachs p: %, relativer Zuwachs D %, Elastizität ε % %. 4. Wenn der Preis um einen Euro steigt, sinkt die Nachfrage um Prozent. Dp c e. p lin-log-modell: absoluter Zuwachs p, relativer Zuwachs D %, Änderungsrate %. 5. Wenn der Preis um einen Cent steigt, sinkt die Nachfrage um Prozent. Dp c e p lin-log-modell: absoluter Zuwachs p:., relativer Zuwachs D %, Änderungsrate %. 6. Wenn der Preis um ein Prozent steigt, sinkt die Nachfrage um. Stück. Dp. lnp+b log-lin-modell: relativer Zuwachs p: %, absoluter Zuwachs D., Änderungsrate. % g y 5

6 Welche der folgenden Nachfragefunktionen beschreibt jeweils das Szenario näherungsweise? a Dp. p + a b Dp. lnp + b c Dp c e. p d Dp d p. e Dp. p + a f Dp. lnp + b g Dp c e p h Dp d p i Dp p + a j Dp lnp + b k Dp c e p l Dp d p a: p Eur, Dp.St. Dp.p + a; h: p %, Dp % Dp dp d: p %, Dp % Dp dp. ; 4 c: p Eur, Dp % Dp c e. p 5 g: p Cnt,Dp % Dp ce p ; 6 f: p %,Dp.St Dp. lnp + b.7 ph-wert und Säuregehalt In einem populär-wissenschaftlichen Artikel zur Versauerung der Ozeane findet sich folgende Passage leicht geändert und ergänzt: Weltweit ist der mittlere ph-wert der obersten Wasserschichten seit Beginn der industriellen Revolution um. auf etwa 8. gesunken. Das mag geringfügig erscheinen. Die ph-skala ist jedoch logarithmisch. Einem Rückgang um. entspricht daher eine Zunahme des Säuregehalts um satte Prozent.... Der ph-wert gibt die Konzentration von Wasserstoffionen an. In neutralem Wasser mit einem Säuregehalt von 7 beträgt er 7.. Welche Modelle beschreiben den Zusammenhang zwischen ph-wert ph u. Säuregehalt A? β, A, A, ph und ph stellen Parameter dar, die sich von Modell zu Modell ändern können. A β lnph + A ; A β log ph + A ; A β log ph + A ; A A e β ph ; A A β ph ; A A β ph ; ph β lna + ph ; ph β log A + ph ; ph β log A + ph ; ph ph e β A ; ph ph β A ; ph ph β A ; Begründung: Der Tet besagt, dass absolute Änderungen in ph mit relativen prozentualen Änderungen in A verbunden sind. Daher geht A im Logarithmus und ph linear ein nicht umgekehrt, und es entsteht das Modell ph β lna + ph. Da log a A lna/ lna, sind alle drei Modelle aus der dritten Zeile korrekt mit unterschiedlichen β s. Die Modelle aus der zweiten Zeile sind damit auch korrekt, da sie nur den Zusammenhang umkehren ph β lna+ph ph ph β lna A e ph ph /β A e ph β mit β /β und A e ph /β. Bestimmen Sie für eines der korrekten Modelle die numerischen Werte der Parameter. Modell: A A e β ph. Laut Tet:. A A e β ph. Quotient. eβ ph. e β ph e β. β ln A e β 7 A e 7β 7 e e Rundungsfehlerbedingt ist A nicht perfekt Modell: A A β ph, analog: β log.. ln. ln A 7β Modell ph β lna + ph. Laut Tet: ph. β ln. A + ph Differenz. β lna ln. A β ln. ln. β. ln..45 Ergebnis ist gerade /β mit dem β des inversen Modells 7 β ln 7 + ph ph 7 β ln ln Preis p in Euro, Nachfrage Dp in Stück des betrachteten Produktes; a, b, c, d sind Konstanten mit folgender Bedeutung: a, c Nachfrage beim Preis von Euro, B, d Nachfrage beim Preis von Euro. 6

7 Folgen. Welche Reihenfolge beim Standardvorgehen zur Folgenkonvergenz? In welcher Reihenfolge geht man bei der Untersuchung der Folgenkonvergenz zweckmäßigerweise vor: a Identifizieren und Herausziehen der dominanten Terme im Zähler und Nenner b Ermitteln des Konvergenzverhaltens der ganzen Folge anhand des Quotienten der dominanten Terme c Kehrwert bilden, falls Vermutung, dass uneigentliche Konvergenz vorliegt d Alles auf einen Bruchstrich bringen sofern nicht schon gegeben Antwort: d a b c. Ermittlung von dominanten Termen a n Wir sagen, eine Folge b n dominiert die Folge a n für n, wenn lim. n b n a Angenommen, c n dominiert b n und b n dominiert a n für n. Wie beweist man, dass c n sozusagen: erst recht a n dominiert? Indem man an b n mit c n erweitert Indem man bn c n Indem man an c n mit b n erweitert Indem man cn a n n bn wenn lim b n n c n und lim b Gegeben sind die acht Folgen: a n n, dann lim cn lim n an bn a n mit a n erweitert mit b n erweitert bn c n a n, b n n 5, c n n 4 n, d n n n, e n 4 n, f n n n, g n n n, h n n Welche ist die für n dominanteste, zweit-dominanteste usw. dieser Folgen? Antw.: 4 n n n n n n 4 n n n n 5 n : dominiert für n c Wie lauten die folgenden Grenzwerte? + n n lim n + n 4 n, lim + n n + n n n + n n + n 4 n, lim + n 5 + n n n + n + n n, lim + 4 n + n n n + n + n n. Antwort: + n n n + n 4 n n n 4 n n n + n 4 n + n n n + n 4 n + lim... + n + + n n + n n + n n + n 4 n n n n n... n... KW n... lim n + n 5 + n n + n + n n n n n n n n + n n + n n + n n + lim n n + n n + n + n n 4n n n... n 4 n KW n n lim n. Variabler vs. konstanter Zins bei gleichem Mittel: Was ist besser? Ein Kapital K wird über drei Jahre verzinszlich angelegt: Am Ende des ersten Jahres wird ein Zins von r %, im zweiten Jahr von r % und im dritten Jahr von r % gezahlt. a Ergibt sich der Effektiv-Zins durch arithmetische oder geometrische Mittelung? Wieso? r eff n r r n oder r eff n + r... + r n? Begründung: Der Effektivzins ist definiert durch die Gl. + r eff n + r... + r n. Durch Ziehen der n-ten Wurzel und Abziehen von entsteht die Formel für r eff. Der Brutto-Effektivzins + r eff ist also das geometrische Mittel aus den jahresspefizischen Brutto-Zinsen + r,..., + r n. 7

8 n b Es lässt sich allgemein zeigen: Das geometrische Mittel a... a n aus positiven Zahlen a,..., a n ist zwar nahe, aber dennoch stets kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel n a a n der gleichen Zahlen, mit Gleichheit nur in den trivialen Ausnahmefällen. Ist demzufolge die obige variable Verzinsung günstiger als die Kapitalanlage mit konstantem Zins von % über drei Jahre? genauso gut wie die Kapitalanlage mit konstantem Zins von % über drei Jahre? schlechter als die Kapitalanlage mit konstanten Zins von % über drei Jahre? c Um zu sehen, ob der Unterschied gravierend ist: Ermitteln Sie mit Taschenrechner den Effektivzins in der vorliegenden Situation r eff + r + r + r % sowie für r %, r %, r %. r eff + r + r + r % Im ersten Szenario beträgt die Differenz zum arithmet. Mittel von % nur.%, im zweiten diejenige zu % nur.8%. Die Unterschiede sind vorhanden, aber recht gering. 4 Reihen 4. Partialsummenbetrachtung, Nullfolgenbed. und Quotientenkriterium bei der Reihe zu a i ii+ Wir betrachten die Reihe zur Folge a i ii+ beginnend bei i, d.h Mit vollst. Induktion haben wir bereits folg. Formel für die Partialsummen bewiesen: n i ii+ n n+ a Ist für diese Reihe die notwendige Bedingung für eigentl. Konvergenz, lim i a i, erfüllt? Antwort: Ja, denn ii+ i+i i /i+ lim i ii+ +. b Ist für diese Reihe das Quotientenkriterium a i+ /a i r < i erfüllt? Antwort: Nein, denn ai+ i i+ a i i+ i+ i i+, und das konvergiert gegen für i Beweis: a i+ a i i i a +/i lim i+ ai+ i a i +. Zwar ist a i immer kleiner als, der Abstand zu wird jedoch bel. klein kleiner als jedes ε >, so dass keine Zahl r < eistiert mit ai+ a i r für alle i. c Welchen Wert liefert die Partialsummenbetrachtung für die Reihe i a i? n Antwort: Da lim n n+ Beweis wie oben, gilt: i ii+ lim n n n+. 4. Aus der geometrischen Reihe abgeleitete Potenzreihen I Gegeben sind die folgenden vier Potenzreihen um : a i b i i c i i i d i i i+ i Welche der Funktionen f,..., f 5 stellen sie jeweils dar? a b f + i i i i q f i }{{} f i i i i i f i i f 4 f + f 5 + 8

9 c i i i i }{{} + f i q d i i+ i }{{} + f 4 i i q II Wie lautet die Potenzreihendarstellung der verbleibenden Funktion aus a? f 5 i i i 4. Vier Szenarien für die geometrische Summe i i i i+ Eine Größe mit dem Wert c in der ersten bzw. letzten Periode vermehrt bzw. reduziert sich pro Periode um die konstante Rate r. Um die Aggregation von c über n Perioden zu beschreiben, sind folgende vier Summenbildungen denkbar: i S n + r i c ; S i n i n + r i c ; S r i c ; S 4 i n i r i c. Anmerkung: Verschiebung um eine Periode bei S und S 4 zur Vereinfachung der Ergebnisformel in II. I Welches Szenario beschreiben diese Summen jeweils? a Der Wert c fällt in der ersten Periode an; er vermehrt sich mit jeder Periode um die Rate r. c + + r c r n c S b Der Wert c fällt in der ersten Periode an; er reduziert sich mit jeder Periode um die Rate r. c + r c r n c S c Der Wert c fällt in der letzten Periode an; er hat sich mit jeder Periode um die Rate r vermehrt. c/ + r n c/ + r + c/ + r +c S d Der Wert c fällt in der letzten Periode an; er hat sich mit jeder Periode um die Rate r reduziert. c/ r n c/ r + c/ r +c S 4 II Welcher geschlossene Ausdruck ergibt sich mit der geometr. Summenformel für S,..., S 4? c + r n c S r n c S c r r r +r S n r r S n Barwert bei variablen Zahlungen c j und Kapitalkosten r j In der Vorlesung wurde der Barwert als DCF-Wert in der Situation eines konstanten zukünftigen Cash- Flows c j c und eines konstanten zukünftigen Kapitalmarkt-Zinses r j r definiert. Diese Begriffsbildung lässt sich folgendermaßen verallgemeinern auf die Situation, dass der Cash Flow c j und der Zinssatz r j zwischen den Zeitpunkten j und j + mit der Periode j variiert: Der Barwert V n zum Zeitpunkt n ist und derjenige zu einem Zeitpunkt j < n ergibt sich rekursiv aus V j c j + +r j V j+, für j n, n,..., Interpretation: Zum Zeitpunkt j hat man als Barwert V j den aktuellen Cash-Flow c j sowie den mit dem aktuellen Zins r j diskontierten morgigen Barwert, V j+ / + r j Welche Formel resultiert daraus für den Barwert zum Zeitpunkt? V n n j ij +r i c j, V Zum Beispiel für n V, V c : n j j i V c + + r V c + + r c + + r V Beweis für bel. n mit vollst. Induktion. +r i c j, V n j j i + r i c j c + c + + r + r + r c 9

10 5 Differentialrechnung 5. Welche Ableitungen sind korrekt? d d + Bin.Form. d d d d d Prod.Regel + d + + d Kett.Reg. d d Bin.Formel d + d d + d d d d Kett.Reg. Quot.Reg. Bin.Formel + nicht: + + d + d Quot.Reg falsch: +, das wäre dann in der Tat 5. Welche Ableitungen sind korrekt? d d d ln d Mit ln ln : d ln d d d e + d + d ln d + d ln Prod.Reg. ln + Prod.Reg. ln d d + d ln d Prod.Reg. e + d + d e + Kett.Reg. e + + FktnlGl.Log Kett.Reg. + e + nicht: ln + ln +. ln + d ln + ln d + d + d Quot.Reg. nicht: + e + ; + ln 4 + nicht: e +, + + e +. d ln + d d ln d ;, sondern:

11 5. Was ist korrekt? d d u v w u v w u v w u vw + u vw u v w + u v w + v w u v w + u v w + u v w ; d d ln ue u e de ue d u v w + u v w + u v w. u u ; u e ue ; u e ue e ; ue u e e ; u e u e e. d d ln u Kett.Reg. d u d u Quot.Reg. u u u u u u u u u ; u u u u ; u u u u ; keines. d d eu d e u u d d d eu u +e u d d u e u u u +e u u u e u ; u e u ; u + u e u ; u + u e u. 5.4 Wo liegt der Fehler? Die Ableitungen sind korrekt, aber die Folgerung ist falsch: Aus u v folgt nicht u v, sondern u v + const. In der Tat unterscheiden sich + v und u nur um die Konstante : +. 6 Anwendungen der Differentialrechnung 6. Ist die. Wurzel aus kleiner oder größer als die 4. Wurzel aus 4? Wir wollen diese Frage etwas allgemeiner angehen, indem wir fragen, ob die -te Wurzel aus, f : e ln eine monoton fallende od. wachsende Funktion ist, bzw. für welche R + sie fallend bzw. wachsend ist. a Berechnung von f : Notieren Sie über den Gleichheitszeichen die angewandten Ableitungsregeln: f K,E d d ln ln e Q,L ln e ln ln f P: Produktregel; Q: Quotientenregel; K: Kettenregel; E: deu du eu ; L: d ln d b Für welche R + ist f monoton wachsend? f ln ln e für alle R + ; für kein R + ; für > ; für < ; für > e ; für < e ; für > /e ; für < /e ; Analog: f monoton fallend für > e, globales Maimum bei e mit Funktionswert fe e e. Ist demnach kleiner oder größer 4 4? < 4 4 ; > 4 4 ; n.a.. Da 4 > > e, befindet man sich auf dem fallenden Zweig der Fkt., also f > f4 4 4 Was ergibt sich für 4 4 und? < ; > ; n.a.. Da < e <, liefert die Diff.Rechng hier direkt kein Ergebnis; aber: f 4 4 f4.

12 c Berechnung von f : Notieren Sie über den Gleichh.Zeichen die verwendeten Regeln bzw. a: f P,a d ln d + ln e ln Q,L 4 ln+ ln e ln ln +ln 4 f 4 d Vorzeichen von f in ausgewählten Pkten: f < od. f e < od. f e / < od. f >? f e >? f e / >? Denn: f ln + ln 4 f ln + < f e lne + lne e e 4 fe lne e + e 4 e e e e e < f e e lne + lne e 6 fe lne + e 6 fe > Wendepunkt zwischen e und e /, f konkav li. vom Wndepkt, konve re. davon. Außerdem: lim f e ln da lim, lim f e ln da lim. 6. Wie lautet der Grenzwert? lim + Nicht: lim + lim + + lim lim lim + + ln ln ln ln Versuch mit Stetigkeit + l Hospital lim + 4 Versuch mit Stetigkeit + + l Hospital lim Versuch mit Stetigkeit l Hospital lim + 4 ln ln Stetigkeit Versuch ok Stetigkeit + 4 Stetigkeit + 4 lim ln Versuch mit Stetigkeit ln Versuch ok ln Nicht: lim ln l Hospital lim ln 6. Ist die Regel von l Hospital anwendbar? Welche der folgenden Grenzwerte kann man mit falsch! Stetigkeit ln nicht definiert falsch! S: einem Stetigkeitsargument; H: der Regel von l Hospital; n.a.: keinem von beiden berechnen? Falls S oder H anwendbar ist: Welcher Grenzwert ergibt sich jeweils? links ist a, rechts ein Parameter; vom jeweiligen Parameter nehmen wir an, dass er positiv ist. a lim a a lim a lim a a lim via S; H; n.a. lim a a a via S; H; n.a. lim a a via S; H; n.a. lim a a a via S; H; n.a. lim a a via S; H; n.a. via S; H; n.a. via S; H; n.a. via S; H; n.a.

13 6.4 Welcher mathemat. Sachverhalt entspricht ökonomischer Sprechweise? Äquivalenzen zwischen den Einträgen in den drei Spalten der Tabelle: a iii 4 Funktion konve f wachsender Grenzertrag b i Funktion wachsend f positiver Grenzertrag c iv Funktion konkav f fallender Grenzertrag d ii Funktion fallend f negativer Grenzertrag Ein positiver, aber mit fallender Grenzertrag bedeutet, dass die nächste Einheit einen kleineren Ertragszuwachs erbringt, wobei der Ertragszuwachs aber noch größer Null ist. 6.5 Was ist die korrekte Nachfragefunktion? a: p Eur, Dp.St. Dp.p + A; h: p %, Dp % Dp Dp d: p %, Dp % Dp Dp. ; 4 c: p Eur, Dp % Dp C e. p 5 g: p Cnt,Dp % Dp Ce p ; 6 f: p %,Dp.St Dp. lnp + B 6.6 Was ist größer, das arithmetische oder das geometrische Mittel? Arithmetisches und geometrisches Mittel zweier positiver Zahlen, y mit Gewicht a auf und a auf y a definiert man als: arithmetisches Mittel : a + a y, geometrisches Mittel : a y a. Die beiden Mittel liegen immer zwischen den Zahlen und y, aber welches ist das größere? Wir beweisen, dass das arithmetische Mittel stets größer gleich dem geometrischen ist: ln a + a y a ln + a lny Begründung: 4 ln a + a y ln a + lny a Begründung: 8 ln a + a y ln a y a Begründung: 5 a + a y a y a Begründung: Welches ist die korrekte Begründung des jeweiligen Schritts? Auswahl aus folgender Liste: Logarithmus ist monoton wachsend; Eponentialfunktion ist monoton wachsend; Eponentialfunktion ist konvee Funktion; 4 Logarithmus ist konkave Funktion; 5 Funktionalgl. des Logarithmus; 6 Funktionalgl. der Eponential-Funktion 7 Basiswechselformel des Logarithmus; 8 logpotenz Eponent logbasis Anmerkungen: Dass die Ep.Fkt monoton wachsend ist folgt aus: f e f e >. Die Konkavität des Logarithmus folgt aus: f ln f f <. In obigem Beweis wird folgende Identität verwendet: a ln+ a lny ln a y a. Diese Identität kann man folgendermaßen lesen: Das arithmet. Mittel der Logarithmen von und y ist der Logarithmus ihres geometrischen Mittels. Inhaltlich bedeutet dies, dass das geometr. Mittel das arithmetische Mittel auf der Ebene der Logarithmen ist. Die Verallgemeinerung dieser Mittelungsprozesse behandelt die Jensen sche Ungleichung.

14 7 Integralrechnung 7. Was ist korrekt? d c ; c ; + c ; + c ; + c ; + c. 5 d + c ; + c ; c ; c ; c ; + + d c ; c ; c ; c. + + d + + c ; c ; ln + + c ; ln + + c ; ln + + c ; 7. Was ist der korrekte Wert von a? Substitution u a + b Lineare Transformation im Argument : fu du F u + c fa + b d F a + b + c a + d a + + c [ fu, F u ] u, u + u a ; a ; a ; a ; a. e d a e + c [fu e u, F u e u, u ] a ; a ; a ; a ; a. e d a e u du [fu e u, F u u/ ] fudu, u a ; a ; a ; a ; a. e d a e u du u [Subst: u du d d du ] a ; a ; a ; a ; a. 4

15 7. Integral von sin mittels partieller Integration Partielle Integration allgemein: uv d u v i. Was sind die korrekten Vorzeichen? sin d a sin cos + b cos d u v d [ u sin u cos ] v cos v sin a, b +, + ; a, b +, ; a, b, + ; a, b,. ii. Was sind die korrekten Vorzeichen?: cos d a sin cos + b sin d [ u cos u ] sin v sin v cos a, b +, + ; a, b +, ; a, b, + ; a, b,. iii. Wenn man in i. cos durch sin ersetzt sin d sin cos + sin d sin cos + und nach sin d auflöst plus sin d, dann durch teilen ergibt sich sin d sin cos + F + c mit sin d F ; F ; F ; F ; F ; F. [ iv. Wie groß ist die Fläche unter sin zwischen und π? sin cos + π] π sin d ; π ; π ; π ; π. Es folgt: sin zerlegt das Rechteck [, π] [, ] Fläche π in zwei gleichgröße Flächen. 7.4 Volumen eines rotationssymmetrischen Körpers z y r b Vol. r d a a b Rotiert man den Graphen einer Funktion r um die -Achse, dann entsteht ein Rotationskörper. Das Volumen eines solchen Körpers zwischen den Deckelflächen bei a und b lässt sich ermitteln über die folg. Formel: Welche der folg. Fktnen r Volumen des Rotationskörpers π b a r d r ; r ; r ; r sin [, π]; r ; ergibt bei Rotat. um die -Achse aeinen Zylinder: r ; beinen Kegel: r ; ceine Kugel: r Es sei r R, R R. Wie lautet die Stammfkt. von r? r d R d r d R + c ; R + c ; R lnr + c ; R + c. Wie groß ist das Volumen einer Kugel vom Radius R? +R Vol. der Kugel v. Radius R π R d π [R ] +R [ π R R R + R] π R R π R ; π R ; π R ; 4 π R ; 5 π R ; π R. R 5

16 7.5 Rotationssymmetrische Minimalfläche Katenoid z y r b Fläche r r' d a a b Die Oberfläche eines Rotationskörpers zwischen den Deckelflächen bei a und b lässt sich ermitteln über die folg. Formel: b Oberfläche des Rotationskörpers π r + r d Wir wollen die Oberfläche eines Katenoiden berechnen, der entsteht wenn r der hypberbolische Cosinus, r cosh : e +e, ist. Mit sinh : e e gelten folg. Regeln die denen für sin und cos ähneln: : cosh sinh ; : a d cosh sinh; : d sinh cosh. d d Im Fall r cosh ergibt sich der Integrand f r + r als f cosh. Notieren Sie die zum Beweis verwendeten Regeln: r + r cosh + sinh cosh. Wie lautet die Stammfunktion von f cosh? Entweder via part. Integr. wie bei sin d oder: d d sinh cosh + sinh + cosh + cosh + cosh cosh cosh d sinh cosh + + c ; sinh + c ; sinh cosh + c. Wie groß ist die Fläche des Katenoiden, der bei Radius u. bei ln Radius coshln 5 hat? 4 ln [ ] ln Oberfläches des Katenoiden π cosh d π sinh cosh + [ ] π sinhln coshln + ln π [ + + ln] π [ + ln] π [ 5 + ln].6 π 6 Zum Vergleich: Oberfläche des Kegels, der bei Radius u. bei ln Radius coshln 5 hat: 4 ln Oberfläche Kegel π + + d π 4 ln + + ln 4 ln 4 ln 4 ln 4 ln 4 [ 5 π ln + ] 4 9 π ln π Dieser Körper realisiert die Minimalfläche Seifenhaut zwischen zwei parallelen Ringen mit Radien cosha bei a bzw. coshb bei b. 8 Vektorrechnung 8. Welche Linearkombination liefert den Vektor? c D A C B b O a Welche Linearkombination liefert den Vektor A? a + b ; a + c ; b + c ; a + c ; a + b + c ; a + b + c ; a + b + c. 6

17 Welche Linearkombination liefert den Vektor B? a + b ; a + c ; b + c ; a + c ; a + b + c ; a + b + c ; a + b + c. Welche Linearkombination liefert den Vektor C? a + b ; a + c ; b + c ; a + c ; a + b + c ; a + b + c ; a + b + c. Welche Linearkombination liefert den Vektor D? a + b ; a + c ; b + c ; a + c ; a + b + c ; a + b + c ; a + b + c. 8. Wohin zeigt der Vektor? L c H E D b A M K G F C B O J I a Auf welchen Punkt zeigt der Vektor a + b? A; B; C; D; E; F; G; H; I; J; K; L; M. Auf welchen Punkt zeigt der Vektor a + b + c? A; B; C; D; E; F; G; H; I; J; K; L; M. Auf welchen Punkt zeigt der Vektor a + b + c? A; B; C; D; E; F; G; H; I; J; K; L; M. 8. Ist die Aussage wahr? Gegeben sind drei Vektoren des R. Wenn die Vektoren lin. abh. sind, dann liegen sie auf einer Geraden ja nein Wenn die Vektoren lin. unabh. sind, dann liegen sie nicht auf einer Geraden ja nein Die Vektoren sind genau dann lin. abh., wenn sie auf einer Geraden liegen ja nein Wenn die Vektoren lin. abh. sind, dann liegen sie in einer Ebene ja nein Wenn die Vektoren lin. unabh. sind, dann liegen sie nicht in einer Ebene ja nein Die Vektoren sind genau dann lin. abh., wenn sie in einer Ebene liegen. ja nein Übertragung auf n Vektoren im R n : n Vektoren im R n sind genau dann linear abhängig, wenn sie alle in einer Hyperebene liegen. 7

18 9 Matrizenrechnung I 9. Welchen Rang hat die Matri? } III III II: rang, } rang, II: } rang, } wie oben 4 8 II I: rang, 6 III I: III II: } rang, III II: Die letzte Matri entsteht aus der ersten, indem man in der ersten Matri zweimal die erste Zeile zur zweiten und dreimal die erste Zeile zur dritten addiert. Daher haben beide Matrizen den gleichen Rang. 9. Welchen Rang hat das Teilsystem? Vier Vektoren a, a, a, a 4 des R werden in der 4-Matri A a, a, a, a 4 zusammengefasst. Durch elementare Zeilenumformungen Gauß-Elimination entsteht aus A eine 4-Matri folgender Struktur: : Eintrag von Null verschieden : Eintrag beliebig a Welchen Rang hat jeweils das Teilsystem von drei der vier Vektoren? n.a. so nicht entscheidbar Ohne a 4 : ranga, a, a ; ; ; ; n.a. a, a, a sind l.a., l.u., n.a. Ohne a : ranga, a, a 4 ; ; ; ; n.a. a, a, a 4 sind l.a., l.u., n.a. Ohne a : ranga, a, a 4 ; ; ; ; n.a. a, a, a 4 sind l.a., l.u., n.a. Ohne a : ranga, a, a 4 ; ; ; ; n.a. a, a, a 4 sind l.a., l.u., n.a. Begründung jeweils: Man stellt sich die Matri A ohne den herausgenommenenen Spaltenvektor vor. Anwendung der gleichen el. Zeilenumformungen auf diese Matri hier führt auf die gleiche Stufenmatri, nur dass dort auch die gleiche Spalte gestrichen ist. Aus der Struktur der Stufenmatri kann man hier in den ersten drei Fällen den Rang ablesen. Das Ergebnis der Analyse ist, dass hier eine lineare Abhängigkeit bereits in den ersten drei Vektoren besteht dass die vier R -Vektoren lin. abh. sind, ist ohnehin klar; der Normalfall wäre, dass alle er-teilsysteme lin. unabh. sind. Ob auch noch eine lin. Abhängigkeit in den letzten drei Vektoren besteht, kann man so nicht feststellen. b* Ist der weggelassene Vektor eine Linearkombination der anderen drei Vektoren? n.a. so nicht entscheidbar a 4 spana, a, a? ja; nein; n.a. da ranga, a, a < ranga, a, a, a 4 a spana, a, a 4? ja; nein; n.a. da ranga, a, a 4 ranga, a, a, a 4 a spana, a, a 4? ja; nein; n.a. da ranga, a, a 4 ranga, a, a, a 4 a spana, a, a 4? ja; nein; n.a. 9. Ergebnis der Matrimultipikation A B und B A? Gegeben sind die Matrizen: A 4 5, B. 4 5 Was ist das Ergebnis der Matrimultiplikation? A B n.a.; ; 4 6 ; ; 5 4 n.a. nicht definiert

19 B A n.a.; A A n.a.; ; 4 ; 4 6 ; ; ; ; Welche Matrizenoperationen sind definiert? Gegeben sind: a eine n-matri A a,..., a n ; b,... b,n b eine n n-matri B.. b n,... b n,n ; c eine n -Matri C c. c n Welche der folgenden Matrizenoperationen sind definiert? Notieren Sie, sofern definiert, die Dimensionen y der Ergebnismatri unter der Operation:. A+A; A+B; A+C; B+A; B+B; B+C; C +A; C +B; C +C. n n n n A A; A B; A C; B A; B B; B C; C A; C B; C C. n n n n n n A B C; C B A; A C B; A C B; C A B; B C A; B C A. n n n n n n n n 9.5 Wie entsteht -Form durch Matri-Multiplikation? Die Matri A wird durch eine Folge elementarer Zeilenumformungen auf -Form gebracht: A A A A A 4 6 A A A Jede Umformung A i A i entspricht einer Multiplikation von links an A i mit einer der folgenden Matrizen: P, Q, R, S, T 6 Wie entsteht A aus A? A P A A Q A ; A R A ; A S A ; A T A. Wie entsteht A aus A? A P A A Q A ; A R A ; A S A ; A T A. Wie entsteht A 5 aus A? A 5 P Q R S T A ; A 5 T S Q R P A ; A 5 Q S R T P A. 9

20 Matrizenalgebra. Wie lauten die Einträge in der inversen Matri? y n 4... n. z y n. A n, Struktur A z y n n n n... n z y n n Wie lauten, y, z?, y, z,, ;,, ;,, ;,, ;,,. Systematisch bekommt man das zum Beispiel so:. Zeile A. Spalte A + mit. SpA, da nur. Zeile A. Spalte A + y y y mit. ZlA, da nur y. Zeile A. Spalte A + z + z 4 z Probe zum Beispiel mit der. Spalte von A :. Zeile A. Spalte A : Zeile A. Spalte A : Zeile A. Spalte A : usw. Zum Beispiel für n : A A Matrialgebra: Was ist die korrekte Vereinfachung? Ausgangspunkt: quadratische, reguläre Matri I regulär regulär eist. [ ] [ ] I lässt sich i.a. nicht weiter vereinfachen, korrekt: keines Struktur: A; ist dann und nur dann A, wenn A A, d.h. wenn A u. kommutieren. Hier A, d.h. Ergebn. wäre, wenn. I.A. kommutiert eine Matri aber nicht mit ihrer Transponierten. [ ] lässt sich i.a. nicht weiter vereinfachen, korrekt: keines Struktur wieder UAU mit U, A u. das ist genau dann A, wenn UA AU [ ] [ ] I [ ] [ ] [ ] I I I [ ] i.a. I, da i.a., also korrekt: keines I

21 . Matri-Algebra Ausgangspunkt: Beliebige m n-matri mit m n ; die Matri ist als Produkt einer n m- und einer m n-matri stets definiert und stellt eine n n-matri dar; Annahme: ist regulär; definiere neue Matrizen A :, P : }{{}}{{} A, Q : I P. }{{} n m m m m m Anmerkung: Man kann nicht einfach A schreiben, da nicht quadratisch. Was ist jeweils korrekt? : Frage geändert gegenüber ursprünglicher Version A I A P A A A A I A A P A nicht definiert, da Spaltenzahl P m Zeilenzahl A n P A A I P P A A A A I A A P Q P I P P P P P P P O Q Q I P I P I P I I P P I P P +P I P P +P I P Q Welche der folg. Matrizen sind stets symmetrisch? ist symmetrisch, da ist als Inverse einer symmetrischen Matri symmetrisch A ist nicht symmetrisch, da keine quadratische Matri P A ist symmetrisch: P P Q I P ist symmetrisch: Q I P I P Q Anmerkung: P und Q I P sind also stets idempotente symmetrische Matrizen. Solche Matrizen realisieren Orthogonal-Projektionen..4 Ist die Matriklasse invariant unter der Inversion? Für jede der hier betrachteten Matriklassen gilt: Wenn eine Matri aus dieser Klasse invertierbar ist, dann ist die Inverse wieder ein Element dieser Klasse allerdings sind oft nicht alle Matrizen aus dieser Klasse invertierbar. a Die Inverse einer unteren Dreiecksmatri ist eine untere Dreiecksmatri. Beweis: Gauß-Elimination von A, I. Eine untere Dreiecksmatri ist genau dann invertierbar, wenn alle Diagonaleinträge sind. b Die Inverse einer oberen Dreiecksmatri ist eine obere Dreiecksmatri. Beweis: Gauß-Elimination von A, I. Oder: Betrachte A ; argumentiere mit a u. A A Eine obere Dreiecksmatri ist genau dann invertierbar, wenn alle Diagonaleinträge sind. c Die Inverse einer symmetrischen Matri A A ist symmetrisch. Beweis: Invertiere A A : Liefert A A A. D.h. für B A gilt auch B B. Es gibt invertierbare z.b. A I und nicht-invertierbare symmetrische Matrizen z.b. A O. d Die Inverse einer symmetrischen positiv definiten Matri ist positiv definit. Beweis: Zu geg. y R n sei : A y. Dann: y A y A A A A A, da A symmetr. und pos. definit. ist nur für y möglich. Also ist A pos. definit. Eine pos. definite Matri ist stets invertierbarsonst Lösung von A A e Die Inverse einer idempotenten Matri A A ist idempotent. Beweis: Multipliziere A A mit A : A A. D.h. für B A gilt auch B B. Allerdings: Die einzige invertierbare idempotente Matri ist A I multipliziere A A mit A. f Die Inverse einer involutorischen Matri A I ist involutorisch. Beweis: Multpliziere A I mit A : Liefert I A. D.h. für B A gilt auch B I Eine involut. Matri ist stets invertierbar, da die Gl. A I eine Lösung hat nämlich A. g Die Inverse einer orthogonalen Matri A A I ist orthogonal. Beweis: Invertiere I A A: I A A A A. D.h. für B A gilt auch I BB. Eine orthogonale Matri ist stets invertierbar, da die Gl. A I eine Lösung hat nämlich A. Zusammenfassung Invertierbarkeit: Positiv definite, involutorische und orthogonale Matrizen sind stets invertierbar; Dreiecksmatrizen und symmetrische Matrizen sind i.d.r., aber nicht immer invertierbar. Von den idempotenten Matrizen ist nur A I invertierbar.

22 Lineare Gleichungssysteme. Schnelle Lösung eines quadratischen LGS bei gegebener Inversen Gegeben ist die Matri A. Von den folgenden drei Matrizen ist eine die Inverse von A. Welche ist es? 5 5 A 8 5 ; 8 5 ; Zum Beispiel:.ZeileA 4. SpalteA muss ergeben; führt auf! Gegeben die Inverse von A, bestimme mit minimalem Rechenaufwand die Lösung des LGS A b: 5 b 8 5 ; b 6 8 ; b 7 8 ; 4 } {{ } e b }{{} 8. Sp.A } {{ } 8e 5 } {{ } e }{{} 8.SpA ; b }{{}.Sp.A }{{} 8e +e +e +e 4 }{{} e +e 6 }{{} 8a +a +a +a 4 ;. } {{ } a +a. Konsistenz im Preissystem? Fünf Studenten kaufen zum gleichen Zeitpunkt im gleichen Laden vier Produkte ein und treffen sich anschließend zum Mathe-Lernen. Sie erinnern sich nicht mehr an die genauen Preise p,..., p 4, haben aber den Verdacht, dass unterschiedl. Preise für das gleiche Produkt bezahlt wurden. Da sie die Menge a i,j, die Student i vom Produkt j gekauft hat, sowie den Betrag b i, den er insgesamt bezahlt hat, kennen, versuchen sie die unbekannten Preise durch das LGS a, p a,4 p 4 b {... 5 Gleichungen in... 4 Unbekannten a 5, p a 5,4 p 4 b 5 zu rekonstruieren. Wann ist der Verdacht der Studenten berechtigt? Wenn das lin. Gl.System eindeutig lösbar ist. Wenn das lin. Gl.System mehrdeutig lösbar ist. Wenn das lin. Gl.System unlösbar ist. Wir betrachten nun drei Szenarien für die Koeff.Matri A und erw. Koeff.Matri A,b des LGS: ranga 4, ranga, b 5 ranga 4, ranga, b 4 ranga, ranga, b. Welche Folgerung lässt sich daraus jeweils ziehen? a Mit den Abrechnungen stimmt etwas nicht z.b. unterschiedl. Preise für das gleiche Produkt b Die Abrechnungen sind konsistent, aber die Preise lassen sich nicht eindeutig rekonstruieren. c Die Abrechnungen sind konsistent und die Preise lassen sich eindeutig rekonstruieren. Lösung: LGS unlösbar a LGS eindeutig lösbar c LGS mehrdeutig lösbar b Anmerkung: Im Fall bzw. b befindet man sich in der gleichen Situation wie in der folgenden Aufgabe: Ein scheinbar überbestimmtes LGS 5 Gleichungen, 4 Unbekannte, das effektiv unterbestimmt ist.

23 . Ein scheinbar überbestimmtes LGS, das effektiv unterbestimmt ist Ausgangspunkt: Durch Gauß-Elimination in der erweiterten Koeffizientenmatri Matri A, b des LGS A b erhält man die angegebene Dreiecksform A, b : A, b el. Zeilenumf. A, b Fragen: a Ist das LGS A b äquivalent zum LGS Ã b mit Ã, b? ja; ja, sofern nie eine der ersten drei Zeilen mit einer der letzten beiden getauscht wurde; nein. b Die allg. Lösung des LGS hat die Struktur: + λv λ R beliebig mit v ; v ; v ; v Der Vektor v muss Lösung des homogenen LGS A bzw. Ãv sein; ein solcher ist nur der zweite..4 Bedeutung der Inversen in quadratischem LGS Gegeben ein quadratisches LGS A b. Aus rechentechnischer Sicht ist die Lösung des LGS durch vorherige Bestimmung der Inversen A i.d.r. nicht optimal. Einen Sinn macht dieses Vorgehen aber dann, wenn man nicht nur an der Lösung selbst, sondern auch am Einfluss, den eine Änderung in der rechten Seite b auf den Lösungsvektor hat, interessiert ist. Was ist korrekt?: Der Eintrag c i,j in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von A gibt an, um wieviel Einheiten j wächst, wenn b i um eine Einheit erhöht wird. c j,i um wieviel Einheiten b j wächst, wenn i um eine Einheit erhöht wird. a j,i um wieviel Einheiten i wächst, wenn b j um eine Einheit erhöht wird. c i,j um wieviel Einheiten b i wächst, wenn j um eine Einheit erhöht wird. a i,j um wieviel Prozent j wächst, wenn b i um ein Prozent erhöht wird. um wieviel Prozent b j wächst, wenn i um ein Prozent erhöht wird. um wieviel Prozent i wächst, wenn b j um ein Prozent erhöht wird. um wieviel Prozent b i wächst, wenn j um ein Prozent erhöht wird. Determinanten. Gegeben deta, was ist detfa? Questions taken from n.a.insufficient information to solve the question.. Let A be a 5 5 matri with determinant 6. What is the determinant of A the inverse of A? deta deta a ; b ; c 5 6 ; d ; e 6; f 6 ; g n.a.. Let A be a 5 5 matri with determinant 6, and let B be a 5 5 matri with determinant 4. What is the determinant of A B? detab deta detb a 6 ; b ; c n.a.; d ; e 4; f ;. Let A be a 5 5 matri with determinant 6, and let B be a 5 5 matri with determinant 4. What is the determinant of A + B? There is no general formula for deta + B, therefore: a ; b n.a.; c 6 ; d ; e 4 ; f ; g Let A be a 4 4 matri with determinant. What is the determinant of A? det A n deta a n.a.; b ; c ; d ; e ; f ; g. 5. Let A be a 4 4 matri with determinant. What is the determinant of A? deta n deta a ; b ; c 9; d 48; e 6; f 4; g n.a...

24 6. Let A be a 4 4 matri with determinant. What is the determinant of A the transpose of A? deta deta a ; b 7; c n.a.; d ; e ; f ; g Let A be a 4 4 matri with determinant. Let B be the matri formed by swapping the second and third rows of A. What is detb? Solution: Swapping rows swaps the sign of deta, thus: a n.a.; b ; c 6; d ; e ; f ; g. 8. Let A be a 4 4 matri with determinant. Let B be the matri formed by multiplying the fourth row of A by. What is detb? Solution: detb detdiag,,, A deta a 48; b ; c ; d 6; e n.a.; f 48; g Let A be a 4 4 matri with determinant. Let B be the matri formed by dividing the fourth row of A by. What is detb? Solution: detb deta a 6 ; b ; c 6; d ; e 4 ; f n.a.; g.. Let A be a 4 4 matri with determinant. Let B be the matri formed by subtracting two copies of the third row from the first. What is detb? Row transformations of this type do not affect the determinant, thus detb a 9; b 6; c ; d ; e n.a.; f ; g 6.. einfach zu berechnende 4 4-Determinanten Wie lauten die Determinanten der folgenden Matrizen? mit minimalem Rechenaufwand, Laplace-Entwicklung auf Papier nur dann ansetzen, wenn es nicht einfacher geht deta 4 4, deta 4 4, 4 4 }{{}}{{} -Matr. -Matr. deta 4 4, deta 4 singulär, da l.a. 4 4 }{{}}{{} -Matr..Sp.Sp detb deta 4, detb deta 4, 4 4 }{{}}{{} I II -Form.Zl.Zl,.Sp 4.Sp 4 detb deta 4, detb }{{}}{{}}{{}}{{}, l.a. Lapl. 4. Zl..Zl 4.Zl,.Zl.Zl Laplace. Sp. 4 detc, detc }{{}}{{}}{{}}{{} Laplace.Zl. Laplace.Sp..Sp.Sp l.a. Laplace.Sp. detc 4, detc }{{}}{{}}{{}}{{} Sarrus.Sp.Sp.Zl 4.Zl Laplace.Sp. 4

25 . Wie lauten ausgewählte Einträge in der inversen Matri? Gegeben A Laplace 4.Zl. Sarrus Wie lautet deta? deta ; ; ; ; ; 4; 4; 4 ; 4 ; ;. Wie lautet der Eintrag, in A -Form? k, +, k, deta ; ; ; ; ; 4; 4; 4 ; 4 ; ;. Wie lautet der Eintrag, in A -Form? k, +, k, deta ; ; ; ; ; 4; 4; 4 ; 4 ; ;. Wie lautet der Eintrag, in A -Form? k, 4, k, deta ; ; ; ; ; 4; 4; 4 ; 4 ; ;..4 Welche Einschränkungen für die Determinante in der Matriklasse? Für spezielle Matriklassen impliziert der Determinanten-Multiplikationssatz Einschränkungen an die Determinante. Welche sind es jeweils? Welche Werte kann die Determinante einer idempotenten Matri A A annehmen? deta löst wegen deta deta die Gl. mit der Lösungsmenge {}; {}; {, }; {, }; {,, }; R. Welche Werte kann die Determinante einer involutorischen Matri A I annehmen? deta löst wegen deta deta die Gl mit der Lösungsmenge {}; {}; {, }; {, }; {,, }; R. Welche Werte kann die Determinante einer nilpotenten Matri A k O für ein k annehmen? deta löst wegen deta k deta k k die Gl. k mit der Lösungsmenge {}; {}; {, }; {, }; {,, }; R. Welche Werte kann die Determinante einer orthogonalen Matri A A I annehmen? deta löst wegen deta A deta deta deta die Gl mit der Lösungsmenge {}; {}; {, }; {, }; {,, }; R. Ist die Determinante einer positiv definiten Matri notwendigerweise positiv? ja, da sie mit der n-ten Hauptminore d n übereinstimmt, die nach dem Hurwitz-Kriterium positiv sein muss. Ist die Determinante einer negativ definiten Matri notwendigerweise negativ? nein, das Vorzeichen hängt von n ab: Für ungerades n ist die Det. einer solchen Matri nach dem Hurwitz-Krit. notwendigerweise positiv, für ungerades n negativ. Wenn eine symmetrische Matri eine positive Determinante hat, dann ist sie notwendigerweise positiv definit; regulär; ohne Zeilenvertauschungen auf -Form transformierbar da die Det ist; damit die Matri positv definit wäre, müssten auch alle anderen Hauptminoren positiv sein; zu den benötigten Zeilenvertauschungen für die -Form besteht kein Zusammenhang 5