VORANSICHT II/D. Die Strahlungsgesetze Beginn einer neuen Ära. Vom Planck schen Strahlungsgesetz bis zum Treibhaus-Effekt! Der Beitrag im Überblick

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1 5. Die Strahlungsgesetze 1 von 4 Die Strahlungsgesetze Beginn einer neuen Ära Ael Donges, Isny im Allgäu Das Planck sche Strahlungsgesetz ist eine der wichtigsten Formeln der modernen Physik. Seine Herleitung markiert den Beginn einer neuen Ära: der Quantenphysik. Der Beitrag behandelt das Planck sche Strahlungsgesetz und weitere Strahlungsgesetze: das Rayleigh-Jeans-Gesetz, das Wien sche Strahlungsgesetz, das Stefan-Boltzmann-Gesetz, das Wien sche Verschiebungsgesetz und das Kirchhoff sche Gesetz. Als Anwendung betrachten wir den Treibhaus-Effekt. Vom Planck schen Strahlungsgesetz bis zum Treibhaus-Effekt! Der Beitrag im Überblick Ma Planck ( ) picture alliance/akg-images Klasse: 11/1 Dauer: Ihr Plus: 1 Stunden Knappe Darstellung der wichtigsten Strahlungsgesetze Behandlung des Treibhaus-Effekts Fächerübergreifender Unterricht Inhalt: Planck sches Strahlungsgesetz (samt Näherungen) Stefan-Boltzmann-Gesetz Wien sches Verschiebungsgesetz Schwarzer und nicht schwarzer Strahler Kirchhoff sches Gesetz Treibhaus-Effekt

2 5. Die Strahlungsgesetze von 4 Materialübersicht V = Vorbereitungszeit SV = Schülerversuch Ab = Arbeitsblatt/Informationsblatt D = Durchführungszeit LV = Lehrerversuch SW-Fo = (Schwarz-Weiß) Folienvorlage M 1 Ab Die Hohlraumstrahlung D: min M Ab Das Planck sche Strahlungsgesetz D: 5 min M SW-Fo Die spektrale Energiedichte eines Hohlraums M 4 Ab Grenzfall sehr kleiner Frequenzen das Rayleigh-Jeans-Gesetz D: min M 5 Ab Grenzfall großer Frequenzen Wien sches Strahlungsgesetz D: 5 min M 6 Ab Das Stefan-Boltzmann-Gesetz M 7 Ab Eine lineare Funktion das Wien sche Verschiebungsgesetz M 8 Ab Ein Loch im Hohlraum die thermische Strahlung D: 5 min M 9 Ab/SV Der schwarze Körper M 1 Ab V: 5 min D: 5 min D: min M 11 Ab D: 5 min M 1 Ab M 1 Ab M 14 Ab Hausaufgabe M 15 Ab Versuch Streichholzschachtel oder Schuhkarton Metallstäbchen (zum Stechen eines Loches) Aufgaben Der Absorptionsgrad Der Emissionsgrad eines nicht schwarzen Körpers Das Kirchhoff sche Strahlungsgesetz Die Strahlungsbilanz der Erde Der Treibhaus-Effekt Temperaturen wie in einem Gewächshaus Aufgaben

3 4 von 4 5. Die Strahlungsgesetze M 1 Die Hohlraumstrahlung Stellen Sie sich vor, Sie beinden sich in einem fensterlosen, unbeleuchteten Raum. Was sehen Sie? Antwort: Nichts, alles ist dunkel. Es gibt kein Licht in dem Raum. Ist das wirklich so? Die Luft in dem Raum und die Wände des Raums haben eine Temperatur. Dies bewirkt, dass es immer Atome/Moleküle gibt, die sich in einem angeregten Zustand beinden. Angeregte Atome/Moleküle kehren immer wieder in energetisch niedrigere Zustände zurück. Dabei können sie elektromagnetische Strahlung in den verschiedensten Frequenzbereichen (z. B. Radiowellen, Infrarotstrahlung, sichtbares Licht, UV-Strahlung) emittieren. Photonen in einem Hohlraum (Temperatur T) A. Donges Merke: Die Hohlraumstrahlung In jedem (unbeleuchteten) Hohlraum eistieren viele Photonen mit verschiedenen Frequenzen, die sich in unterschiedliche Richtungen bewegen. Man bezeichnet diese Strahlung als Hohlraumstrahlung. Ursache der Hohlraumstrahlung ist die Temperatur T des Hohlraums. Anmerkung: Bei Zimmertemperatur besteht die Hohlraumstrahlung im Wesentlichen aus infraroten Photonen. Photonen im sichtbaren Spektralbereich kommen so gut wie nicht vor. Dies erklärt, warum Sie in einem unbeleuchteten Kellerraum die Hohlraumstrahlung nicht sehen können. Hohlraumstrahlung kann das menschliche Auge erst oberhalb von 6 C wahrnehmen. Statt von Hohlraumstrahlung spricht man auch von Wärmestrahlung oder thermischer Strahlung.

4 5. Die Strahlungsgesetze 5 von 4 M Das Planck sche Strahlungsgesetz Beginn einer neuen Ära In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts erforschten die Physiker intensiv die Hohlraumstrahlung. Im Jahre 19 gelang es Ma Planck ( ), die empirisch gefundenen Ergebnisse auch theoretisch zu interpretieren. Dazu führte er das Planck sche Wirkungsquantum h ein und machte die revolutionäre Annahme, dass elektromagnetische Strahlung nur in bestimmten Energieportionen (Quanten) absorbiert und emittiert werden kann. Seine Herleitung der Formel 8π hf ρ (f, T) = hf /kt c e 1 wobei ( ) (.1, Planck sches Strahlungsgesetz), f Frequenz der elektromagnetischen Strahlung, T (absolute) Temperatur [in K], h = 6, Js Planck sches Wirkungsquantum, c =, m/s Lichtgeschwindigkeit, k = 1,81 1 J/K Boltzmann-Konstante, für die Hohlraumstrahlung gilt daher als Geburtsstunde der Quantenphysik. Die Funktion ρ(f, T) beschreibt die sogenannte spektrale Energiedichte (d. h. die Energie pro Volumen- und Frequenzeinheit) des Hohlraums. Sie hängt nur von der Frequenz f und der Temperatur T ab, nicht aber von den Materialeigenschaften der Wand. Multipliziert man die spektrale Energiedichte ρ(f, T) mit einem sehr kleinen Frequenzintervall Δf << f, so erhält man die Energiedichte (= Energie pro Volumeneinheit) derjenigen Hohlraumstrahlung, die bei der Temperatur T im Frequenzintervall f bis f + Δf liegt. Beispiel: Für die Frequenz f = Hz und die Temperatur T = 6 K berechnet sich die spektrale Energiedichte zu: πh f 8 π 6,66 1 Js 1 Hz 16 J hf /kt 4 14 ( ) 6,66 1 Js 1 Hz Hz m 8 m ρ (f, T) = = = 5 1 c e 1 1,81 1 J/K 6 K,998 1 e 1 s Ma Planck ( ) Bei einem angenommenen Hohlraumvolumen von V = 1 m und einem Frequenzintervall von Δf = 1 Hz bedeutet dies eine Energie von ΔW = ρ(f, T) V Δf = J. Da ein Photon die Energie W Ph = h f = 6, Js 1 14 Hz = 6,66 1 J besitzt, entspricht dies ΔN = ΔW / W Ph = 7,5 1 4 Photonen, die sich im Hohlraum und im Frequenzintervall [ Hz, Hz + 1 Hz] aufhalten.. picture alliance/akg-images Die Folie zeigt für vier verschiedene Temperaturen die spektralen Energiedichten ρ(f, T) eines Hohlraums. Folgendes erkennt man deutlich: Mit zunehmender Temperatur T wachsen die Flächen unter den f-ρ-kurven überproportional an, verschieben sich die Maima der f-ρ-kurven zu höheren Frequenzen.

5 spektrale Energiedichte ρ in fj/(hz m³) 1,8 1,6 1,4 1, 1,8,6,4, M Die spektrale Energiedichte eines Hohlraums K 4 K 5 K 6 K ,6,5 1,76,94 Frequenz f in 1 14 Hz Spektrale Energiedichte [in 1 15 J/(Hz m )] eines Hohlraums in Abhängigkeit von der Frequenz [in 1 14 Hz] bei vier verschiedenen Temperaturen. 6 von 4 5. Die Strahlungsgesetze

6 5. Die Strahlungsgesetze 7 von 4 M 4 Grenzfall sehr kleiner Frequenzen das Rayleigh-Jeans-Gesetz Wir betrachten das Planck sche Strahlungsgesetz für den Grenzfall sehr kleiner Frequenzen hf << kt. (4.1) In diesem Fall lässt sich die Eponentialfunktion im Nenner des Planck schen Strahlungsgesetzes in guter Näherung durch hf /kt hf e 1+ (4.) kt ersetzen (siehe Abbildung).,5 hf /kt e 1,5 1,5,1,,,4,5,6,7,8,9 1 hf /kt Graische Darstellung der Funktionen e und 1+ hf/kt. Im Bereich < hf/kt <, ist die Näherung (4.) sehr gut erfüllt. Merke: Das Rayleigh-Jeans-Gesetz hf/kt 1+ hf kt Wird diese Näherung in das Planck sche Strahlungsgesetz eingesetzt, ergibt sich 8π f kt ρ (f, T) = ( hf << kt ). (4.) c Diese Näherungsformel für das Planck sche Strahlungsgesetz für den Grenzfall kleiner Frequenzen wird als Rayleigh-Jeans-Gesetz bezeichnet. Die Ultraviolett-Katastrophe John William Strutt ( ), der dritte Baron Rayleighs, und Sir James Jeans ( ) leiteten diese Formel aus den Gesetzen der klassischen Physik her. Das Rayleigh- Jeans-Gesetz beschreibt die spektrale Energiedichte der Hohlraumstrahlung bei höheren Frequenzen jedoch nicht korrekt, da diese im Grenzfall hoher Frequenzen ( f ) über alle Grenzen ( ρ ) anwächst. Demnach strebt auch die in einem Hohlraum enthaltene Energie gegen unendlich, was aus physikalischer Sicht jedoch keinen Sinn macht. An dieser Stelle wird deutlich, dass die Gesetze der klassischen Physik die Hohlraumstrahlung nicht richtig beschreiben. Man bezeichnet das Versagen des Rayleigh-Jeans-Gesetzes bei hohen Frequenzen als Ultraviolett-Katastrophe. Mithilfe der klassischen Elektrodynamik zeigt man, dass man in einem Hohlraum pro Volumen- und Frequenzeinheit nur 4 π f Eigenschwingungen (Moden) einer Polarisationsrichtung unterscheiden kann. Jede Eigenschwin- c gung erhält nach dem sogenannten Gleichverteilungssatz der Thermodynamik die Energie 1 kt pro Freiheitsgrad. Berücksichtigt man, dass es zwei unabhängige Polarisationsrichtungen gibt und eine Eigenschwingung zwei Freiheitsgrade besitzt (entsprechend elektrischer und magnetischer Energie), so ergibt sich das Rayleigh- Jeans-Gesetz (4.).

7 5. Die Strahlungsgesetze 9 von 4 M 6 Das Stefan-Boltzmann-Gesetz Energiedichte Die spektrale Energiedichte ρ(f, T) beschreibt die spektrale Zusammensetzung der Energiedichte des Hohlraums. Interessiert man sich für die Energiedichte w(t) (d. h. die gesamte Energie pro Volumeneinheit, unabhängig von der Frequenz), so muss man die Anteile der spektralen Energiedichte bei den verschiedenen Frequenzen aufaddieren. Mathematisch läuft dies auf eine Integration hinaus, d. h., man berechnet die Fläche im f-ρ-diagramm: w(t) = ρ(f, T) df. (6.1) Mit Gl. (.1) folgt hf πh f 8 π(k T) kt hf 8 π(k T) w(t) = df = d = d bzw. hf /kt ( ) hf /kt ( ) c e 1 (ch) e 1 kt (ch) ( e 1) Merke: Stefan-Boltzmann-Gesetz 4 8π k -16 J 4 (c h) m K 4 w(t) = at mit a = d = 7,57 1. (6.) ( e 1) Diese Gleichung heißt Stefan-Boltzmann-Gesetz. Die (frequenzunabhängige) Energiedichte w(t) der Hohlraumstrahlung wächst mit der vierten Potenz der absoluten Temperatur an. Aufgaben 1. Ermitteln Sie mithilfe eines GTRs näherungsweise den Wert des Integrals ( e 1) d.. Bestimmen Sie damit den Proportionalitätsfaktor a. Vergleichen Sie mit dem in Gleichung (6.) angegebenen Wert.. Wie viel Hohlraum-Strahlungsenergie W enthält ein V = m 4 m m großer Kellerraum bei einer Temperatur von T = 8 K? (6.) Wussten Sie schon? Unter inden Sie einige eindrucksvolle Applets zum Thema und weiterführende Informationen beispielsweise, dass die Sonne eine Strahlungsleistung von P =,8 1 6 W hat.

8 1 von 4 5. Die Strahlungsgesetze M 7 Eine lineare Funktion das Wien sche Verschiebungsgesetz Hier müssen Sie genau hinsehen! Auf der Folie (M ) ist zu erkennen, dass sich das Maimum der spektralen Energiedichte mit zunehmender Temperatur T zu höheren Frequenzen verschiebt. Lesen Sie für die verschiedenen Temperaturen T diejenigen Frequenzen f ma ab, bei denen Maima vorliegen. Welcher Zusammenhang besteht? Lösung zur Selbstkontrolle Sie sollten den folgenden Zusammenhang inden: f = bt mit b = 5, 9 1 ma 1 Hz K. (7.1) Dies ist das Wien sche Verschiebungsgesetz. Aufgaben Merke Die Frequenz f ma, bei der das Maimum der spektralen Energiedichte der Hohlraumstrahlung liegt, wächst proportional mit der absoluten Temperatur T an. Pro K nimmt die Frequenz f ma um 59 GHz zu (G 1 9 Giga). 1. Bei welchen Frequenzen liegen die Maima der spektralen Energiedichte der Hohlraumstrahlung bei den folgenden Temperaturen: T 1 = K, T = K und T = K. Welchen Wellenlängen λ entsprechen diese Frequenzen (c 1 8 m/s)?. Bei welcher Temperatur T liegt das Maimum der spektralen Energiedichte der Hohlraumstrahlung bei der Wellenlänge des HeNe-Lasers (λ = 6 nm)?. Aus dem Weltall fällt aus allen Richtungen elektromagnetische Strahlung im Millimeter-Bereich (kosmische Hintergrundstrahlung) auf die Erde. Spektrale Untersuchungen bestätigen, dass es sich um Hohlraumstrahlung handelt. Das Maimum der spektralen Energiedichte liegt bei etwa f ma = 1, Hz. Bestimmen Sie die Temperatur des Weltalls (= Hohlraums). Wilhelm Wien ( ) akg/science Photo Library Wikipedia Spektrale Zusammensetzung der kosmischen Hintergrundstrahlung; genauer: durch den Satelliten COBE gemessenes Spektrum (spektrale Strahldichte als Funktion der reziproken Wellenlänge) der kosmischen Mikrowellenhintergrundstrahlung. Die Fehlerbalken der Datenpunkte sind kleiner als die Dicke der Modellkurve, ein Planck-Spektrum mit der Temperatur T =,75 K.

9 1 von 4 5. Die Strahlungsgesetze M 9 Der schwarze Körper Wir betrachten den auf Material M 8 dargestellten Hohlraum. Fällt elektromagnetische Strahlung von außen auf das Loch im Hohlraum, so tritt sie vollständig in den Hohlraum ein. Trifft diese Strahlung die Innenwände des Hohlraums, so wird sie von den Wänden entweder absorbiert oder diffus gestreut. Es ist sehr unwahrscheinlich, dass die eingefallene Strahlung den Hohlraum durch die Öffnung wieder verlässt. Da das Loch Strahlung verschluckt, sieht es schwarz aus. (Beispiel: Die Fenster eines Hauses sehen bei Tag von außen betrachtet dunkel aus.) Schülerversuch Vorbereitung: 5 min Durchführung: 5 min Materialien Streichholzschachtel oder Schuhkarton Versuchsdurchführung Metallstäbchen (zum Stechen eines Loches) Stechen Sie ein kleines Loch in eine Schachtel. Überzeugen Sie sich, dass das Loch schwarz aussieht. Fazit: Der schwarze Körper Ein Loch in einem Hohlraum verschluckt wie eine ideal schwarze Oberläche von außen einfallende Strahlung. Strahlungsphysikalisch wirkt daher ein Loch genauso wie ein gleich großer schwarzer Fleck auf der Oberläche. Das Wien sche Verschiebungsgesetz und die Gleichungen (8.1) (8.) gelten daher auch für einen Körper, der eine ideal schwarze Oberläche besitzt. Einen solchen Körper bezeichnet man als schwarzen Körper. Die Abbildungen 1 und zeigen zwei Körper, die intensiv thermische Strahlung abgeben. Aufgrund der hohen Temperaturen wird ein merklicher Teil sogar im sichtbaren Spektralbereich emittiert. Ralf Dubau, Kronshagen Abb. 1: Die Sonne gibt aufgrund ihrer hohen Oberlächentemperatur intensiv thermische Strahlung ab. Abb. : Auch ein glühendes Hufeisen emittiert intensive thermische Strahlung. Peerstall Hildebrandt, Appen

10 5. Die Strahlungsgesetze 17 von 4 M 1 Die Strahlungsbilanz der Erde Wir wollen den bisher gelernten Stoff anwenden. Als Beispiel schätzen wir die durchschnittliche globale Temperatur der Erdoberläche ab. Problemstellung Wie wir wissen, strahlt die Sonne aufgrund ihrer Oberlächentemperatur thermische Strahlung ab. Bei uns auf der Erde beträgt die Intensität dieser Strahlung I S = 1,4 kw/m (Solarkonstante). Auf welche mittlere Temperatur T E heizt diese Strahlung die Erde auf? Strahlungsbilanz Die kugelförmige Erde (Radius R E ) absorbiert insgesamt eine Leistung von P = α I π R ( π Querschnittsläche der Erde). (1.1) auf S E R E Hierbei ist α der Absorptionsgrad der Erde (genauer: der Erdoberläche einschließlich der umgebenden Atmosphäre). Damit die mittlere Temperatur der Erde konstant bleibt, muss diese aufgenommene Strahlungsleistung die Erde wieder verlassen. Dies geschieht dadurch, dass die Erde samt ihrer Atmosphäre thermische Strahlung ins Weltall emittiert. Mit dem Stefan-Boltzmann-Gesetz (11.) folgt P = ε σ 4 πr T ( 4π R E : Oberläche der Erde). (1.) 4 ab E E Setzt man aufgenommene und abgegebene Strahlungsleistungen gleich α I π R = ε σ 4πR T, (1.) 4 S E E E so folgt für die mittlere globale Temperatur der Erde T = E 4 α I S ε 4σ. (1.4) Mit I S = 1,4 kw/m und α = ε ergibt sich T E Die Erde, aufgenommen von Apollo 17 am W /m = 4 = 8 K = 8 4 5,67 1 W /m K o 7C. NASA; H. Schmitt oder R. Evans Korrektur Die von der Erde (samt Atmosphäre) absorbierte Sonnenstrahlung erstreckt sich im Wesentlichen über den sichtbaren (VIS) und den nahen infraroten (NIR) Spektralbereich. Der Absorptionsgrad der Erde beträgt für Sonnenstrahlung etwa α VIS+NIR,69. Die Erde besitzt eine wesentlich niedrigere Temperatur als die Sonnenoberläche. Daher liegt die von der Erde emittierte Strahlung bei wesentlich geringeren Frequenzen (fernes Infrarot: FIR). In diesem Spektralbereich gilt für den Emissionsgrad der Erde näherungsweise ε FIR 1. Mit diesen unterschiedlichen Werte von α und ε berechnet sich mit Gleichung (1.4) eine deutlich niedrigere Erdtemperatur von nur T E 55 K = 18 o C 4. 4 Der hier diskutierte Effekt [T(α VIS+NIR < ε FIR ) < T(α VIS+NIR = ε FIR )] erklärt auch, warum beispielsweise schwarze Autos sich gegenüber weißen Autos in der Sonne stärker aufheizen.

11 von 4 5. Die Strahlungsgesetze Erläuterungen und Lösungen M 6 1. Das Stefan-Boltzmann-Gesetz 4 π d = 6, 49 ( e 1) 15 Das Integral I = e 1 Funktion f() = ( ) ( e 1) d stellt anschaulich die Fläche zwischen dem Graphen der und der -Achse ( > ) dar. Da die Funktion f() für große Werte von schnell gegen Null geht, tragen Funktionswerte mit > nicht mehr wesentlich zum Integral I bei (siehe Abbildung). Es gilt in ausreichend guter Näherung I = ma = ( e 1) d. Die numerische Integration z. B. mit einem GTR im Intervall < < liefert den gerundeten Wert 6,49. Daran ändert sich auch nichts, wenn als obere Grenze beispielsweise ma = gewählt wird... ( ) 4 8 π ( 1,81 1 J/K) ( ) ( ) 4 4 8π k π -16 J (c h) 15 m K a = d = = 7,57 1 e 1,998 1 m/ s 6,66 1 Js Dieser Wert wurde auch in Gleichung (6.) angegeben. zum Eintippen in den Taschenrechner: Den Faktor ( 1,81 1 ) 4 als Letztes eingeben! 16 J 4 6 J µ J 4 w(8 K) = 7,57 1 (8 K) = 4,65 1 = 4,65 m K m m Die Energiedichte berechnet sich zu w = 4,65 µj/m. µ J W = w(t) V = 4,67 ( m 4 m m) = 11 µ J m Die Gesamtenergie beträgt W = 11 µj.